2023-2024学年陕西省榆林市高一下学期期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年陕西省榆林市高一下学期期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数为虚数单位，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.已知边长为的正方形中，点，分别为，的中点，则( )
A. B. C. D.
4.某种化学物质的衰变满足幂函数模型，每周该化学物质衰减，则经过星期后，该化学物质的存量低于该化学物质的，则的最小值为 参考数据：
A. B. C. D.
5.已知平面向量，，则向量在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.已知，满足点在直线上，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.在中，角的对边分别为，，，若，，只有一个解，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知正三棱锥，满足，，，，点在底面上，且，则点的轨迹长度为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若，，，则
B. 若，，则
C. 若，，，则
D. 若，为两条异面直线，，，，，则
10.已知随机事件，满足，，则下面结论不正确的是( )
A. 若为互斥事件，则
B. 若，则可能为互斥事件
C. 若为独立事件，则
D. 若，则可能不为独立事件
11.如图，已知正方体的棱长为，点为的中点，点为正方形内包含边界的动点，则( )
A. 直线到平面的距离为
B. 点到到的距离为
C. 直线与平面上任意直线所成角中的最小角的正弦值为
D. 满足的点的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知甲、乙、丙三名同学站在一排进行拍照，则甲在中间的概率 ．
13.已知，则 ．
14.已知甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，每人输两次即被淘汰，比赛顺序为甲、乙先比，丙轮空，之后胜者与丙比赛，败者轮空，以此类推直到比出获胜者，假如甲、乙、丙三人实力相当，则丙获胜的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，满足，，．
求；
若向量与相互垂直，求实数的值．
16.本小题分
某学校高一年级进行某学科的考试，所有学生的成绩做成的频率分布直方图如图所示，第一组成绩在，第二组成绩在，第三组成绩在，第四组成绩在，第五组成绩在．
求图中的值；
年级准备表扬在本次考试中成绩在前的同学，定为成绩优胜，估计此次考试成绩优胜的分数线；
现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取人，进行成绩情况调研若抽取的同学中，第二组的成绩的平均数和方差分别为和，第四组的成绩的平均数和方差分别为和，据此估计第二组和第四组抽取的所有同学中成绩的方差．
17.本小题分
已知中，内角的对边分别为、、，点为边上一点，满足．
求证：；
若为内角的角平分线，满足，求．
18.本小题分
如图，已知三棱锥，三角形为等边三角形，，．
若点为的中点，证明：；
当时，求异面直线与所成角的余弦值；
当异面直线与所成角的余弦值为时，求的值．
19.本小题分
在锐角三角形中，内角所对应的边分别为，，，点，分别为边的中点，满足．
求边，，之间的 关系；
求的值域．
答案解析
1.
【解析】对于可知，解得，即；
对于可知，即；
所以．
故选：．
2.
【解析】因为，则，
所以的虚部为．
故选：．
3.
【解析】因为点，分别为，的中点，
则，且在方向上的投影数量为，
所以．
故选：．
4.
【解析】设某种化学物质的原始量为，经过星期后，该化学物质的存量为，则，
当经过星期后，该化学物质的存量低于该化学物质的时，有，
故，故．
故选：．
5.
【解析】因为，，所以，
则．
故选：．
6.
【解析】点在直线上可得，
，
当且仅当时不等式取等号，故最小值为．
故选：．
7.
【解析】的外接圆的半径，
如图所示，，是圆的直径．
可知点在优弧上不包括端点，
当为时，此时取到最大值；
当点从点到时，此时越来越大，且；
当点从点到时，此时越来越小，且；
综上所述：若只有一个解，则的取值范围为．
故选：．
8.
【解析】
，
设为等边三角形中心，则平面，
连接，则，
所以，
，
而点到的距离为，
点到的距离为，
所以点轨迹是以点为圆心，以为半径，
且与的三边各有个交点的三段相等圆弧，如图，
设圆弧与相交于两点，作，则，
，所以，可得，
可得点的轨迹在内部的弧所对的圆心角为，
则弧长为．
故选：．
9.
【解析】对于：若，，根据线面平行的判定定理可知，故 A正确；
对于：若，根据线面垂直的性质可知，故 B正确；
对于：当时，，由面面垂直的性质定理可得，
当时，，则或或与相交，故 C错误；
对于：因为，，所以存在使得，又，，所以，
又且为异面直线，所以平面内的两直线、必相交，
所以，故 D正确．
故选：．
10.
【解析】对于，为互斥事件，则，故 AB错；
对于，因为，所以，
因为，故 C对；
对于，，则为独立事件，
所以随机事件为独立事件，故 D错．
故选：．
11.
【解析】对于选项A：因为平面平面，且平面，
所以直线到平面的距离，即为点到平面的距离，
且平面，所以直线到平面的距离为，故 A正确；
对于选项B：连接，设点到到的距离为，
则，
在中，可得边上的高为，
由三角形面积可得，解得，
所以点到到的距离为，故 B错误；
对于选项C：直线与平面上任意直线所成角中的最小角即为直线与平面所成角的最小值，
取的中点，连接，
则，且，
又因为平面，可得平面，
可知直线与平面所成角为，则，
可知当与或重合时，取到最大值，
即取到最小值，可得取到最小值，
此时，可得，
所以直线与平面上任意直线所成角中的最小角的正弦值为，故 C正确；
对于，取，
可知，即共面，
在底面正方形中易知，则，
结合正方体的性质可知底面，底面，所以，
而平面，
所以平面，故在线段上运动，
易知，故 D正确．
故选：
关键点点睛：对于：利用转化的思想，把线线垂直转化为线面垂直，根据题意结合垂直关系分析可得平面，进而可得轨迹．
12.
【解析】已知甲、乙、丙三名同学站在一排，则有：
甲、乙、丙，甲、丙、乙，乙、甲、丙，乙、丙、甲，丙、甲、乙，丙、乙、甲，
共个基本事件，
设甲在中间为事件，则有乙、甲、丙，丙、甲、乙，共个基本事件，
所以．
故答案为：．
13.
【解析】因为，
即，
所以．
故答案为：．
14.
【解析】根据赛制，最小比赛场，最多比赛场，比赛结束，假如甲、乙、丙三人实力相当，则每局比赛双方获胜的概率均为，
比赛进行场，丙最终获胜，则后场丙全胜，概率为；
比赛进行场，丙最终获胜，则从第二场开始的场比赛按照丙的胜负轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为
所以丙获胜的概率为．
故答案为：
15.解：因为向量，满足，，，
所以
；
因为向量与相互垂直，
所以，
所以，
所以，解得
【解析】根据已知条件利用化简求解；
由题意得，化简后可求出实数的值．
16.解：，解得．
年级准备表扬在本次考试中成绩在前的同学，定为成绩优胜，故求第分位数的分数即可，
，故分位数在内，
故第分位数的分数为分，故此次考试成绩优胜的分数线为分
因为现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取人，
所以第二组抽取的人数为人，第四组抽取的人数为人，
由总体平均数的知识可知总体平均数为，
由总体方差的知识可知总体方差为．
【解析】根据频率分布直方图的面积之和为即可求解；
根据频率分布直方图的百分位数的求法即可求解；
根据样本平均数和方差估计总体平均数和方差的知识即可求解．
17.解：记的中点为，可得，
因为，则，
可知为的垂直平分线，所以．
记，
因为，且点在线段内，可知，
又因为为内角的平分线，则，即，
在中，分别由余弦定理得：
，联立可得，
在中，由余弦定理得，
且，所以．
【解析】记的中点为，利用向量运算证明即可；
先根据向量关系得，再由角平分线定理可得，分别在使用余弦定理可得，再在中利用余弦定理求，然后由平方关系可得．
18.解：设，取中点，连接，，
为 等边三角形，为中点，
，
在中，为中点，，
在中，，
，
在中，，
．
设，取中点，连接，，
取中点，连接，由得，，
在中，为中点，
且，
故异面直线与所成角为与所成的角，
在中，，
，
在中，，
故异面直线与所成角的余弦值为．
设，，
异面直线与所成角的余弦值为
由可知，
，故，
在中，，
，故．
【解析】通过直角三角形和等边三角形的性质，求出，即可证明．
取中点，连接，将异面直线与所成角变为与所成的角，利用余弦定理即可求解．
根据第二问的求解过程，表示出，即可求解．
19.解：连接，，
因为点分别为边的中点，
可得，
，
又因为，则，
整理得，即，
由余弦定理可知，则，
所以．
因为为锐角三角形，
所以，即，，，
又因为，则，，可得，即，
则，
令，则，可得，
令，可知在上单调递减，在上单调递增，
且，，
可得，即，
所以的取值范围为．
【解析】用、表示出，，根据数量积的运算律及定义得到，再由余弦定理计算可得；
由三角形为锐角三角形及余弦定理求出，即可得到的范围，再由余弦定理得到，利用换元法及对勾函数的性质计算可得．
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