2023-2024学年天津市河西区高一下学期期末考试数学试卷（含解析）

2023-2024学年天津市河西区高一下学期期末考试数学试卷
一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。
1.下列情况适合用抽样调查的是( )
A. 调查某化工厂周围个村庄是否受到污染 B. 调查某批次汽车的抗撞击能力
C. 调查某班学生的身高情况 D. 学校招聘，对应聘人员进行面试
2.已知事件的概率均不为，则的充要条件是( )
A. B.
C. D.
3.下列命题正确的是
A. 一条直线和一点确定一个平面 B. 两条相交直线确定一个平面
C. 四点确定一个平面 D. 三条平行直线确定一个平面
4.容量为的样本数据，分组后的频数如下表：
分组
频数
则样本数据落在区间的频率为( )
A. B. C. D.
5.随机掷两枚质地均匀的骰子，它们“向上的点数之和不超过”的概率记为，“向上的点数之和大于”的概率记为，“向上的点数之和为偶数”的概率记为，则( )
A. B. C. D.
6.铁棍的长度随环境温度的改变而变化，某试验室从时到时每隔一个小时测得同一根铁棍的长度依次为，，，，，，，单位：，则( )
A. 铁棍的长度的极差为 B. 铁棍的长度的众数为
C. 铁棍的长度的中位数为 D. 铁棍的长度的第百分位数为
7.设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列命题：
若，，则；
若，，则；
若，，，则；
若，，则．
其中正确命题的序号是( )
A. B. C. D.
8.袋中有个大小相同的小球，其中个白球，个黑球，从袋中随机摸出个小球，观察颜色后放回，同时放入一个与其颜色大小相同的小球，然后再从袋中随机摸出个小球，则两次摸到的小球颜色不同的概率为( )
A. B. C. D.
9.如图，在正四棱锥中，分别是的中点，当点在线段上运动时，下列四个结论：
；；平面；平面．
其中恒成立的为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.某中学高一年级有名学生，高二年级有名学生，高三年级有名学生．用比例分配的分层随机抽样的方法从高三年级抽取了人，则从高二年级应抽取的学生人数为
11.某人打靶时连续射击两次，事件“至多一次中靶”的对立事件为
12.若一组样本数据，，，，的平均数为，则该组样本数据的方差为 ．
13.如图，在棱长为的正方体中，，，分别为，，的中点，则与所成的角的余弦值为 ．
14.从数字，，，，，中任取个数，组成没有重复数字的两位数，则这个两位数是的倍数的概率为 这个两位数是偶数的概率为
15.如图，在一个的二面角的棱上有，两点，线段、分别在这个二面角的两个半平面内，并且都垂直于棱，若，，则的长为
三、解答题：本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将只小鼠随机分成两组，每组只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比，根据试验数据分别得到如图直方图：
记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于”，根据直方图得到的估计值为．
求乙离子残留百分比直方图中的值且估计甲离子残留百分比的中位数；
从组小鼠和组小鼠分别取一只小鼠，两只小鼠体内测得离子残留百分比都高于的概率为多少．
17.甲、乙两位同学参加某高校的入学面试．入学面试中有道难度相当的题目，已知甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第次为止．假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人互不影响．
Ⅰ求甲第二次答题通过面试的概率；
Ⅱ求乙最终通过面试的概率；
Ⅲ求甲、乙两人至少有一人通过面试的概率．
18.如图，四棱锥的底面是平行四边形，，，，，分别是棱，的中点．
Ⅰ证明：平面；
Ⅱ若二面角为，
证明：平面平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
答案解析
1.
【解析】根据抽样调查的定义可以判断适合抽样调查，根据全面调查的定义可以判断、、适合全面调查．
故选：
2.
【解析】因为，
由，
只能得到，并不能得到，
故A错误；
因为，
，
又，
所以，
由于无法确定事件是否相互独立，
故无法确定，故 B选项错误；
因为，，
又，所以，
故C正确；
对于，由于不能确定是否相互独立，
若相互独立，则，，
则由可得，
故无法确定，
故D错误；
故选：．
3.
【解析】根据一条直线和直线外一点确定一个平面，知不正确
显然正确
中四点不一定共面，或当四点在一条直线上时，不能确定一个平面，故不正确
三条平行直线可以确定一个平面或三个平面，故不正确．
故选：．
4.
【解析】解：样本数据落在区间的频数为，
故所求的频率为．
故选B．
5.
【解析】把随机掷两枚骰子的所有可能结果列表如下：
共有种等可能的结果，
其中“向上的点数之和不超过”的有种情况，
“向上的点数之和大于”的有种情况，
“向上的点数之和为偶数”的有种情况，
所以“向上的点数之和不超过”的概率，
“向上的点数之和大于”的概率，
“向上的点数之和为偶数”的概率．
因为，
所以，
故选：．
6.
【解析】铁棍的长度从小到大排列依次为，，，，，，，单位：，
对于：极差为，故 A正确；
对于：众数为，故B正确；
对于：中位数为，故 C正确；
对于：因为，所以铁棍的长度的第百分位数为从小到大排列的第个数，是，所以不正确．
故选：．
7.
【解析】对，若，，，则与可以平行、相交或异面，故错误．
对，，，则，故正确．
对，当，，，则，故正确．
对，，，则或者，与相交，故错误．
故正确．
故选：
8.
【解析】解：由题意，
第一次从袋中摸出个白球，概率为，放回后再放入一个白球，
此时摸出黑球的概率为，
即第一次从袋中摸出个白球时，两次摸到的小球颜色不同的概率为；
第一次从袋中摸出个黑球，概率为，放回后再放入一个黑球，
此时摸出白球的概率为，
即第一次从袋中摸出个黑球时，两次摸到的小球颜色不同的概率为；
综上，则两次摸到的小球颜色不同的概率为．
故选：．
9.
【解析】如图所示，连接，
因为分别是的中点，所以，
又因为，且平面，平面，
所以平面平面，
因为平面，平面，所以恒成立；
设与交于点，则为底面正方形的中心，且，
由正四棱锥，可得平面，
因为平面，所以，
又因为，且平面，所以平面，
所以平面，因为平面，所以，所以恒成立；
对于对于线段上的任意一点不一定成立．
故选：．
10.
【解析】根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为，
则高二年级抽取的人数是，
故答案为：．
11.两次都中靶
【解析】因为连续射击两次可能有两次都没中靶，恰有一次中靶，两次都中靶，
所以事件“至多一次中靶”的对立事件为“两次都中靶”．
故答案为 ：“两次都中靶”
12.
【解析】解：数据，，，，的平均数为，
，
解得，
所以该组样本数据的方差为：
，
故答案为．
13.
【解析】解：建立如图所示空间直角坐标系：

则，
，，
所以，
即与所成的角的余弦值为．
故答案为：
14.或或
【解析】从数字，，，，，中任取个数，组成没有重复数字的两位数，
因为十位不能为，则十位共有种情况，个位有种情况，
则共有种情况，
要使两位数是的倍数，则个位上必须是或，且十位不能为，
若个位上是，则有种情况；
若个位上是，共有种情况，故共有种情况，
则这个两位数是的倍数的概率为．
要使两位数是偶数，则个位上必须是偶数，且十位不能为，
若个位上是或，则有种情况；
若个位上是，则有种情况，则共有种情况，
则这个两位数是偶数的概率为．
故答案为：；．
15.
【解析】因为，所以，
由题意，，则，
所以，
因为线段，分别在这个二面角的两个半平面内，并且都垂直于棱，且二面角大小为，所以，
而，，于是，
所以．
故答案为：．
16.
由频率分布直方图可得：且，
解得，
甲离子残留百分比的中位数为．
组所取小鼠体内测得离子残留百分比高于的概率为，
组所取小鼠体内测得离子残留百分比高于的概率为，
所以两只小鼠体内测得离子残留百分比都高于的概率为．
【解析】由频率分布直方图的性质列出方程组，能求出乙离子残留百分比直方图中，即可求中位数；
先求出组、组所取小鼠体内测得离子残留百分比高于的概率，由相互独立事件的概率乘法公式求概率．
17.Ⅰ设甲第二次答题通过面试为事件，则．
Ⅱ设乙最终通过面试为事件，对立事件为乙最终没通过面试，
，
．
Ⅲ设甲、乙两人至少有一人通过面试为事件，对立事件为甲、乙两人都没有通过面试，
，
．
【解析】Ⅰ甲第二次答题通过面试，则第一次面试未通过，利用分步用乘法即可计算出概率．
Ⅱ利用对立事件求出乙最终未通过面试的概率，再用减去未通过面试的概率即得通过的概率．
Ⅲ利用对立事件求出甲、乙两人都未通过面试的概率，再用减去甲、乙两人都未通过面试的概率即得甲、乙两人至少有一人通过面试的概率．
18.Ⅰ证明：连接，，
底面是平行四边形，
为中点，
是棱的中点．
在中，，
又平面，平面，
平面．
同理可证，平面．
又，，面，
平面平面，
平面，
平面；
Ⅱ证明：如图，连接，．
，，，
，．
又为的中点，
，，
即为二面角的平面角，
即，．
中，，
，同理，
而，且，平面，
平面，
平面，
平面平面；
解：由知，，，
，，
，
，，两两垂直，
以为坐标原点，分别以，，为，，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则有，，，
，，
，，
设平面的法向量为，
，
，
令，则，，
故，
，分别是棱，的中点，
，，
，
设直线与平面所成角为，
，
即直线与平面所成角的正弦值为．
【解析】Ⅰ要证明平面，可以先证明平面平面，而要证明面面平行则可用面面平行的判定定理来证；
Ⅱ要证明平面平面，可用面面垂直的判定定理，即只需证平面即可；
由知，，，两两垂直，建立空间直角坐标系，得到与平面法向量，其夹角的余弦值的绝对值即为所成角的正弦值．
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