2023-2024学年广西钦州市高二下学期期末教学质量监测数学试题（含解析）

2023-2024学年广西钦州市高二下学期期末教学质量监测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.变量与的成对样本数据的散点图如下图所示，据此可以推断变量与之间( )
A. 可能存在负相关 B. 可能存在正相关 C. 一定存在正相关 D. 一定存在负相关
2.在等比数列中，，则( )
A. B. C. D.
3.已知随机变量服从二项分布，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数，是的导函数，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.甲、乙两人同时去乘坐一列有节车厢的地铁，则两人乘坐的车厢相邻的方案共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.某班举办知识竞赛，已知题库中有两种类型的试题，类试题的数量是类试题数量的两倍，且甲答对类试题的概率为，答对类试题的概率为，从题库中任选一题作答，甲答对题目的概率为( )
A. B. C. D.
7.九章算术是我国古代数学名著，其中记载了关于家畜偷吃禾苗的问题假设有羊、骡子、马、牛吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求羊的主人、骡子的主人、马的主人、牛的主人共赔偿斗粟羊的主人说：“羊吃得最少，羊和骡子吃的禾苗总数只有马和牛吃的禾苗总数的一半”骡子的主人说：“骡子吃的禾苗只有羊和马吃的禾苗总数的一半”马的主人说：“马吃的禾苗只有骡子和牛吃的禾苗总数的一半”若按照此比率偿还，则羊的主人应赔偿的粟的斗数为( )
A. B. C. D.
8.已知定义域均为的函数的导函数分别为，且，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量服从正态分布，且，则( )
A. B.
C. D.
10.已知函数有个极值点，则的解析式可能为( )
A. B.
C. D.
11.已知数列满足，且，，则下列说法正确的是( )
A. 数列可能为常数列
B. 数列可能为等比数列
C. 若，则
D. 若，记是数列的前项积，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某一电路中，流过的电荷量单位：关于时间单位：的函数为，则在第秒时该电路的电流为 A.
13.袋子中有个大小相同的小球，其中个黑球，个白球，每次从袋子中随机摸出个球，摸出的球不再放回．在第次、第次均摸到黑球的条件下，第次摸到黑球的概率为 ．
14.若函数的定义域为，对任意，，，都有，则称为单射函数．已知集合，且，，则函数是单射函数的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列是等差数列，且．
求的通项公式；
设，求数列的前项和．
16.本小题分
某学校随机调查了名学生，将所得数学和语文期末考试成绩的样本观测数据整理得到如下列联表：
数学成绩 语文成绩 合计
优秀 不优秀
优秀
不优秀
合计
判断是否有的把握认为数学成绩与语文成绩有关联？
按数学成绩是否优秀用分层随机抽样的方法从名学生中选取人，再从这人中任选人，求恰有名数学成绩优秀的学生被选中的概率．
附：，其中当时，有的把握判断变量，有关联．
17.本小题分
在二项式的展开式中，所有偶数项的二项式系数之和为．
求；
求第项的系数；
求的展开式的常数项．
18.本小题分
某种资格证考试分为笔试和面试两部分，考试流程如下：每位考生一年内最多有两次笔试的机会，最多有两次面试的机会．考生先参加笔试，一旦某次笔试通过，不再参加以后的笔试，转而参加面试；一旦某次面试通过，不再参加以后的面试，便可领取资格证书，否则就继续参加考试．若两次笔试均未通过或通过了笔试但两次面试均未通过，则考试失败．甲决定参加考试，直至领取资格证书或考试失败，他每次参加笔试通过的概率均为，每次参加面试通过的概率均为，且每次考试是否通过相互独立．
求甲在一年内考试失败的概率；
求甲在一年内参加考试次数的分布列及期望．
19.本小题分
已知函数的图象在点处的切线方程为．
求的值；
证明：．
答案解析
1.
【解析】解：从散点图看，这些点在一条线的附近，且从左上角到右下角呈递减的趋势，所以据此可以推断变量与之间可能存在负相关，
故选：．
2.
【解析】解：由题意得，得．
故选：
3.
【解析】解：由题意得．
故选：．
4.
【解析】解：由题意得，则．
注意到在上单调递增，在上单调递减．
则，所以，即的最小值为．
故选：
5.
【解析】解：先选出节相邻的车厢有种方法，
再将甲、乙两人排列有种方法，
所以，两人乘坐的车厢相邻的方案共有种．
故选：
6.
【解析】解：设“选出类试题”为事件，“选出类试题”为事件，“甲答对题目”为事件，
则，
所以．
故选：．
7.
【解析】解：设羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次为，由题意得
通过等差中项可判断羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次成等差数列，
设该数列为，公差为，则．由题意得
即解得
故选：．
8.
【解析】解：令，则，所以单调递减．
由，
得，所以．
故选：．
9.
【解析】解：随机变量服从正态分布，
所以正态分布的对称轴为，
根据对称性可知：，得， A正确，B错误；
则， C错误，D正确．
故选：
10.
【解析】解：由题意得的导函数有两个变号零点．
由，得恒成立，单调递增，无极值点， A错误．
由，得，令，得，而且是导函数的变号零点，所以有个极值点，B正确．
由，得，令，得，因为，所以有两个异号零点，所以函数有个极值点，C正确．
由，得，令，得，是唯一的变号零点，所以函数只有个极值点，D错误．
故选：
11.
【解析】解：假设数列为常数列，设，
则由，可得
，
则或，
因为，所以，
此时数列为常数列，故A正确；
由，且，
可得，
，
若，即，
此时数列是公比为的等比数列，故B正确；
若，则，
由选项可知数列是公比为的等比数列，
则，故C错误；
若，则，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，数列单调递减，
，
当时，，
当时，，
所以的最大值为，故D正确．
故选：．
12.
【解析】解：由题意得，则，即第秒时该电路的电流为．
故答案为：
13.或
【解析】解：在第次、第次均摸到黑球的条件下，第次摸到黑球的概率为．
故答案为：
14.或
【解析】解：当，时，在上单调递减，在上单调递增，不是单射函数．
当，时，在上单调递增，在上单调递减，不是单射函数．
当，或，时，，不是单射函数．
当，时，不是单射函数．
当，时，是单射函数．
当，时，是单射函数．
故是单射函数的概率为．
故答案为：
15.解：设等差数列的公差为，解得．
，可得，解得．
所以．
，
所以
【解析】由题可得，从而求出，，进而得到数列的通项公式；
由得，采用裂项相消法求出．
16.解：根据列联表中的数据，计算得到．
因为，所以有的把握判断数学成绩与语文成绩有关联．
由题意得选取的人中数学成绩优秀的学生人数为，
不优秀的学生人数为，
则恰有名数学成绩优秀的学生被选中的概率为．
【解析】首先计算，再和比较大小，即可判断是否有关联；
首先确定人中优秀和不优秀的人数，再利用组合数公式和古典概型概率公式，即可求解．
17.解：由题意得所有偶数项的二项式系数之和为，
得，即．
由题意得第项为，
所以第项的系数为．
，
在的展开式中，含的项为，
常数项为，
所以的展开式的常数项为
【解析】根据二项式系数和的性质即可求解，
根据二项式展开式的通项特征即可求解，
利用分配律，结合通项特征即可求解．
18.解：甲每次参加笔试未通过的概率均为，每次参加面试未通过的概率均为．
甲两次笔试均未通过的概率为，
甲通过了第一次笔试，但两次面试均未通过的概率为，
甲未通过第一次笔试，通过了第二次笔试，但两次面试均未通过的概率为
所以甲在一年内考试失败的概率为．
由题意得的可能取值为，
所以的分布列为
故．
【解析】由一年内考试失败对应的笔试面试结果，分类讨论考试失败的概率；
由可能的取值，计算相应的概率，写出分布列，由公式计算期望
19.解：由题意得，
由切线的斜率为，得，
则切线方程为，
当时，，所以，得．
证明：由可知，
要证，即证．
设，则．
令，则，
所以在上递减，
因为，
所以存在唯一，使得，即．
当时，单调递增，当时，单调递减，
所以．
设，则．
当时，单调递减，当时，单调递增，
所以．
因为两个不等式中的等号不能同时成立，所以，
即．
【解析】先利用导数的几何意义求出切线方程，再利用切点是公共点结合斜率可求出的值；
将问题转化为证，然后构造函数和，分别利用导数求出的最大值和的最小值，只需即可．
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