2023-2024学年天津市五区县重点校联考高二下学期7月期末考试数学试题（含解析）

2023-2024学年天津市五区县重点校联考高二下学期7月期末考试
数学试题
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设函数的图象在点处的切线方程为，则( )
A. B. C. D.
3.若，函数为奇函数，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.通过随机抽样，我们绘制了如图所示的某种商品每千克价格单位：百元与该商品消费者年需求量单位：千克的散点图若去掉图中右下方的点后，下列说法正确的是( )
A. “每千克价格”与“年需求量”这两个变量由负相关变为正相关
B. “每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关程度不变
C. “每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大
D. “每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小
6.已知某厂甲、乙两车间生产同一批衣架，且甲、乙两车间的产量分别占全厂产量的，，甲、乙车间的优品率分别为现从该厂这批产品中任取一件，则取到优品的概率为( )
A. B. C. D.
7.某学校选派甲，乙，丙，丁，戊共位优秀教师分别前往，，，四所农村小学支教，用实际行动支持农村教育，其中每所小学至少去一位教师，甲，乙，丙不去小学但能去其他三所小学，丁，戊四个小学都能去，则不同的安排方案的种数是( )
A. B. C. D.
8.已知为上偶函数，且对时，都有成立，若则( )
A. B. C. D.
9.已知函数，若方程有个不同的实根，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.设命题，，则该命题的否定为 ．
11.某校高二年级一次数学考试的成绩服从正态分布若平均分为，分以下人数概率为，理论上说在分数段人数概率为 ．
12.已知为正数，的展开式中各项系数的和为，则常数项为 ．
13.已知，则的最小值是 ．
14.为了备战斯诺克世锦赛，丁俊晖与赵心童两人进行了热身赛，约定每局胜者得分，负者得分，热身进行到有一人比对方多分或打满局时停止．设丁俊晖在每局中获胜的概率为，赵心童在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，比赛停止时已打局数为，则 ．
15.设函数，若且，使得成立，则实数的取值范围为 ．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
计算下列各式的值：
；
；
若，，求的值．
17.本小题分
袋子中有大小相同的个白球个黑球，每次从袋子中随机摸出一个球．
若摸出的球不再放回，求在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到白球的概率；
若对摸出的球看完颜色后就放回，这样连续摸了次，求次摸球中摸到白球的次数的分布列和均值．
18.本小题分
“马街书会”是流行于河南省宝丰县的传统民俗活动，为国家级非物质文化遗产之一．每年农历正月十三来自省内外的说书艺人负鼓携琴，汇集于此，说书亮艺，河南坠子、道情、曲子、琴书等曲种应有尽有，规模壮观．为了解人们对该活动的喜爱程度，现随机抽取人进行调查统计，得到如下列联表：
不喜爱 喜爱 合计
男性
女性
合计
附：，其中．
完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别与对该活动的喜爱程度有关联？
为宣传曲艺文化知识，当地文化局在书会上组织了戏曲知识竞赛活动．活动规定从道备选题中随机抽取道题进行作答．假设在道备选题中，戏迷甲正确完成每道题的概率都是，且每道题正确完成与否互不影响；戏迷乙只能正确完成其中的道题．
求戏迷甲至少正确完成其中道题的概率；
设随机变量表示戏迷乙正确完成题的个数，求的分布列及数学期望．
19.本小题分
已知函数，．
若曲线在点处的切线斜率为，求的值；
讨论函数的单调性；
已知的导函数在区间上存在零点，求证：当时，．
20.本小题分
已知函数，为自然对数的底数，．
若时，求函数的极值；
若恒成立，求实数的值；
若直线是曲线的一条切线求证：对任意实数，都有．
答案解析
1.
【解析】解：因为，，
所以．
故选：．
2.
【解析】解：因为函数的图象在点处的切线方程为，则，
所以．
故选：
3.
【解析】解：因为，所以，
所以，
所以此时是奇函数，
所以是的充分条件．
若是奇函数，则，
即，所以，即
所以是的不必要条件．
综上得：是的充分不必要条件．
故选：．
4.
【解析】解：，
当时，，恒成立，排除；
，
令得：，此时在单调递增，
其中，排除；
故当时，取得最大值，故 A正确．
故选：
5.
【解析】解：对于：去掉图中右下方的点后，根据图象，两个变量还是负相关， A错误；
对于：去掉图中右下方的点后，相对来说数据会集中，相关程度会更高，
但因为是负相关，相关系数会更接近线性相关系数会变小，故 D正确，BC错误．
故选：．
6.
【解析】解：设分别表示产品由甲、乙车间生产；表示产品为优品，
由题可得：，
故．
故选：．
7.
【解析】解：先把人分到四个小学，排除小学安排了甲，乙，丙的情况分为小学只去人是甲，乙，丙中的一个，小学去了人，其中人是甲，乙，丙中的一个，或人都是甲，乙，丙中的一个，因此方法数为：
，
故选：．
8.
【解析】解：因为，又为上偶函数，所以，
所以，
又，，
因为对时，都有成立，
设，因为，，
即自变量小时函数值大，所以为减函数，
所以即，
故选：．
9.
【解析】解：作出函数的大致图象，如图所示．
由，得，
得或．
由图象可知直线与的图象有个公共点，所以方程有个不同的实根，
因为方程有个不同的实根，
所以直线与的图象有个公共点，
故，故，则实数的取值范围是．
故选：．
10.，
【解析】解：命题，，为存在量词命题，
其否定为：，．
故答案为：，
11.或
【解析】解：由题意得，，
所以
所以，
故答案为：
12.
【解析】解：因为的展开式中各项系数的和为，且为正数，
当时，，则，
故的展开式的通项为：，
令，解得，
所以的展开式中常数项为：．
故答案为：．
13.
【解析】解：由，
得，
则
，
当且仅当时等号成立，
此时或；
则的最小值是．
故答案为：．
14.
【解析】解：依题意知，的所有可能值为，，，
设每两局比赛为一轮，可以得到该轮结束时比赛停止的概率为，
如果该轮结束时比赛还将继续，那么丁俊晖赵心童在该轮中必是各得一分，
此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响，
从而有，
故，
故答案为：．
15.
【解析】解：由题意的图象上存在两点关于直线对称，
又是对称轴为的抛物线，
所以当时，显然满足题意，
当时，是增函数，不存在关于直线的对称点，
所以不妨设，由得，解得，
所以，即，即，
综上，，
故答案为：．
16.解：
；
；
，又，
所以．
【解析】根据幂的运算法则计算；
利用换底公式后计算；
指数式与对数式互化后，由对数运算法则、换底公式求解．
17.解：方法一：第一次摸到白球，第二次摸球时袋子中有个白球，个黑球，所求概率．
方法二：设“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球”，
则， ．
所求概率；
的所有可能取值为．
，，
，，
的分布列为：
，
的均值．
【解析】根据条件概率公式的定义或者公式，即可求解；
首先写出随机变量的取值，再根据取值的意义，写出概率，即可求出分布列和数学期望．
18.解：补全的列联表如下：
不喜爱 喜爱 合计
男性
女性
合计
根据表中数据，计算得到，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此我们可以认为成立，即认为对该场活动的喜爱程度与性别无关．
记“戏迷甲至少正确完成其中道题”为事件，则
．
的可能取值为，
，
，
的分布列为；
数学期望．
【解析】计算出卡方，与比较后得到结论；
利用二项分布求概率公式求出概率；得到的可能取值及对应的概率，得到分布列，求出数学期望．
19.解：，
则，
由题意可得，解得；
由可得：，
当时，则恒成立，
令，解得；令，解得；
故在上单调递减，在上单调递增；
当时，令，解得或，
当，即时，令，解得或；
令，解得；
故在，上单调递增，在上单调递减；
当，即时，则在定义域内恒成立，
故在上单调递增；
当，即时，令，解得或；
令，解得；
故在，上单调递增，在上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增；
当，在，上单调递增，在上单调递减；
当，在上单调递增；
当，在，上单调递增，在上单调递减；
由知：若在区间上存在零点，则，解得．
由知：在上单调递增，在上单调递减，
则，
构建，，则，
令，则当时恒成立，
故在上单调递减，则，
即当时恒成立，
则在上单调递减，则，
故．
【解析】由可求得；
求出导函数，分类讨论确定和的解得单调区间；
根据的求解，先确定的导函数在区间上存在零点时的范围，确定单调性后得的最小值，引入新函数后，由导数得新函数的最小值，从而证得结论．
20.解：当时，，则．
令，得，
当时，，当时，，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为．
所以的极小值为，无极大值．
若恒成立，即恒成立，
即恒成立，
设，则，
当时，恒成立，所以是上的增函数
注意到，所以时，，不合题意：
当时，若，则，若，则，
所以是上的减函数，是上的增函数，
故只需，
令．
则，
当时，，若时，，
所以是上的减函数，是上的增函数，
故，当且仅当时取等号，
所以时，即，从而．
设直线与曲线相切于点，
因为，所以切线的斜率为，
所以切线方程为，
即，
所以解得，
所以，则
令，得，当时，；
当时，．
所以在区间内单调递减，在区间内单调递增．
所以，即．
所以，
所以
．
【解析】求出导函数，确定单调性后可得极值；
不等式转化为恒成立，利用导数求得的最小值，则最小值大于或等于求得参数的值；
由导数的几何意义求得值，再利用导数证明恒成立，即从而有，化简后利用刚才所得不等式可得证．
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