2023-2024学年四川省内江市高一下学期期末考试数学试题（含解析）

2023-2024学年四川省内江市高一下学期期末考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某高中生创新能力大赛中位选手的面试得分分别为，其中位数和极差分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
2.若复数满足，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄的分布饼状图后从事互联网行业者的岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是( )
A. 互联网行业从事技术岗位的人数中，后比后多
B. 后互联网行业者中从事技术岗位的人数超过整个从事互联网行业者总人数的
C. 互联网行业中从事运营岗位的人数后比前多
D. 互联网行业从业人员中后占一半以上
4.已知函数，函数其中，，的部分图象如图所示，要得到的图象，只需将函数的图象( )
A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位
5.内江三元塔位于四川省内江市三元村三元山上，是一座具有千年历史的古塔它始建于唐代，明末倒毁，后在清嘉庆九年公元年得以重建，历时三年竣工三元塔的修建寓意着“天开文运，连中三元”，象征着文运昌盛和崇文重教的精神内江某中学数学兴趣小组准备运用解三角形知识测量塔高时，选取了两个测量基点与与塔底在同一水平面，并测得米，，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
6.在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，点在上，若，则( )
A. B. C. D.
7.暑假即将来临，某校为开展学生的社会实践活动，从甲乙丙丁戊人中随机选人去参加“敬老院志愿服务”活动，则乙和丙两人中只有人入选的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知向量，向量的模长均为，且若向量，且，则的最大值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，且，则( )
A.
B.
C. 向量在向量上的投影向量坐标是
D. 向量与向量的夹角是
10.一个袋子中有个球，标号分别为，，，，，除标号外没有其他差异．从中有放回的随机取两次，每次取个球．记事件“第一次取出的球的数字是”，事件“第二次取出的球的数字是”，事件“两次取出的球的数字之和是”，则( )
A. 事件和互斥 B. 事件和相互独立
C. 事件和互斥 D. 事件和相互独立
11.已知的三个内角，，的对边分别是，，，且，则下列说法正确的是( )
A. 若点在边上，为角平分线且长度为，则
B. 若为边的中点，且，则的面积的最大值为
C. 的取值范围是
D. 若，且只有一解，则的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某工厂生产了三种不同型号的产品，数量之比为，现采用分层抽样的方法抽取个产品进行分析，已知型号产品抽取了个，则型号产品被抽取的数量是 ．
13.已知，是方程的两个根，且，，则的值是 ．
14.已知函数最大值为，最小值为，且函数图象过点若在区间上只有一个零点和两个最大值点，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，我市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，满分分分及以上为“文明之星”，结果获得“文明之星”的有人，按年龄分成组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图．
根据频率分布直方图，求这人年龄的众数和平均数；
现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取人，担任本市的“创文”宣传使者若从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取名作为组长，求第四第五组各有一人被选上的概率．
16.本小题分
在中，点为线段上靠近点的三等分点，点为中点．
以为基底向量，分别表示向量；
若向量与平行，求的值．
17.本小题分
已知向量，函数，且．
求；
若，求的值．
18.本小题分
在锐角中，角的对边分别为，满足．
求角的大小；
若，求面积的取值范围；
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小，”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点若的面积为，是否在内部存在费马点，使得为定值，若存在请求出该定值并说明理由，若不存在也请说明理由．
19.本小题分
复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔棣莫弗欧拉高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受．
材料：形如的数称为复数的代数形式而任何一个复数都可以表示成的形式，即，其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作复数叫做复数的三角形式由复数的三角形式可得出，若，则其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角，再把它的模变为原来的倍
请根据所学知识，回答下列问题：
试将写成三角形式；
设复数，且若复数在复平面上对应的点分别为，且为复平面的坐标原点向量逆时针旋转后与向量重合，求实数，的值；
已知单位圆以坐标原点为圆心，点为该圆上一动点纵坐标大于，点，以为边作等边，且在上方求线段长度的最大值．
答案解析
1.
【解析】对这个数据按从小到大的顺序排列得：，，，，，，，，
则中位数，极差为．
故选：
2.
【解析】由已知，
所以，
则的虚部为，
故选：．
3.
【解析】选项A；设整个互联网行业总人数为，
互联网行业中从事技术岗位的后人数为，小于后的人数，
但后中从事技术岗位的人数比例未知，故A错误．
选项B：设整个互联网行业总人数为，后从事技术岗位人数为，
而后总人数的为，故 B正确；
选项C：设整个互联网行业总人数为，
互联网行业中从事运营岗位的后人数为，
超过前的人数，且前中从事运营岗位的人数比例未知，故C正确；
选项D：由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图得到互联网行业从业人员中后占，故 D正确．
故选：．
4.
【解析】由图象，且，可知，
又，即，
解得，又，则，
所以，
由函数图象过点，即，
解得，，
又，则，
所以，
所以要得到的图象，只需将函数的图象向左平移个单位，
故选：．
5.
【解析】因为，所以，
又因为米，所以在三角形中，由正弦定理得，解得米，
在直角三角形中，米
故选：．
6.
【解析】由题可知，
点在上，
则存在实数，使得，
，
，，
故选：
7.
【解析】甲乙丙丁戊人中随机选人去参加“敬老院志愿服务”活动，
所有可能的情况有甲乙丙、甲乙丁、甲乙戊、甲丙丁、甲丙戊、甲丁戊、乙丙丁、乙丙戊、乙丁戊、丙丁戊，共种，
其中，满足乙和丙两人中只有人入选的有甲乙丁、甲乙戊、甲丙丁、甲丙戊、乙丁戊、丙丁戊，共种，
所以乙和丙两人中只有人入选的概率为，
故选：．
8.
【解析】因为向量，向量的模长均为，且，所以，
解得，
不妨设，
所以，
因为，
所以，整理得，
设，
所以
，其中，
所以，等号成立当且仅当，
综上所述，的最大值是．
故选：．
9.
【解析】因为，所以，
因为，所以，解得，
所以，
对于，因为，，所以，
所以，所以 A错误，
对于，由，知 B错误，
对于，向量在向量上的投影向量坐标为，所以 C正确，
对于，，
因为，所以，所以 D正确，
故选：
10.
【解析】对，事件和可以同时发生，如两次取的小球为，故 A错误；
对，记两次取出的小球为其中，共有个，
由古典概型知，，，，则，故事件和相互独立，故 B正确；
对，事件和可以同时发生，例如事件，故 C错误；
对，由知，，，所以，故事件和相互独立，故 D正确．
故选：．
11.
【解析】由已知，
根据余弦定理可知，即，
再由正弦定理可得，
又，即，所以，
即，又，，
所以，，
选项：为角平分线，则，所以，
即，
即，则，选项正确；
选项：由为边的中点，则，
即，
所以，即，
又，即，，
即，当且仅当时等号成立，选项正确；
选项：由三角形可知
，
又在中，，，即，
所以，即选项正确；
选项：，且只有一解，则或，即或，选项错误；
故选：．
12.
【解析】由题意得，解得，
所以型号产品被抽取的数量为．
故答案为：
13.
【解析】由根与系数关系可得，，
所以，，
又，，
所以，，，
则，
所以，
故答案为：．
14.
【解析】由函数的最大值为，最小值为，得，解得，
则，由，得，而，解得，
因此，由，得，
则函数的零点和最大值点分别为的最小值点和最大值点，
依题意，在区间上一个最小值点和两个最大值点，
当时，，则，解得，
所以的取值范围是．
故答案为：
15.解：众数岁；
平均数：岁
由频率分布直方图可知各组的频率之比为，
则第四组抽取人，记为，第五组抽取人，记为
对应的样本空间为
，共个样本点．
分设事件“第四五小组各一人被选上”，则
，共有个样本点，
所以
【解析】根据频率分布直方图结合众数和平均数的定义求解；
根据分层抽样的定义结合频率分面上直方图求出第四组和第五组抽取的人数，然后利用列举法求解即可．
16.解：因为在中，点为线段上靠近点的三等分点，点为中点，
所以，
因为，则，
所以．
因为，
且向量与共线，
所以存在，使得，
所以，
所以，解得，
所以．
【解析】根据向量和加减法法则和平向量基本定理结合题意求解即可；
利用共线向量定理列方程求解即可．
17.解：
，
因为，所以，
所以，得，
因为，所以，
所以；
因为，所以
所以
【解析】利用数量积的坐标运算和三角函数恒等变换公式对函数化简，然后由结合可求出的值，从而可求出；
由得，然后利用诱导公式和余弦的二倍角公式可求得结果．
18.解：，
，
即，
即，
．
方法一【最优解：利用锐角三角形求得的范围，然后由面积函数求面积的取值范围】
因为是锐角三角形，又，所以，
又，则，
则，
因为，所以，则，
从而，故面积的取值范围是．
方法二【由题意求得边的取值范围，然后结合面积公式求面积的取值范围】
由题设及知．
因为为锐角三角形，且，
所以，即
又由余弦定理得，所以，即，
所以，故面积的取值范围是．
方法三【数形结合，利用极限的思想求解三角形面积的取值范围】
如图，在中，过点作，垂足为，作与交于点．
由题设及知，因为为锐角三角形，且，
所以点位于在线段上且不含端点，从而，
即，即，所以，
故面积的取值范围是．
的面积为，所以，所以，
设，则，
在中，由正弦定理得，
所以，
在中，由正弦定理得，
所以，
所以．
【解析】先利用同角三角函数的关系将已知等式统一成正弦，然后利用正弦定理将其统一成边的形式，再利用余弦定理可求得答案；
方法一：利用锐角三角形求得的范围，然后由面积函数求面积的取值范围；方法二：由题意求得边的取值范围，然后结合面积公式求面积的取值范围；方法三：数形结合，过点作，垂足为，作与交于点，利用极限的思想求解三角形面积的取值范围；
设，在和中分别利用正弦定理表示出，然后代入化简即可．
19.解：由于，故，所以，
所以，
因为，所以
所以；
法一：由题意知
得，解得或
因为逆时针旋转后与重合，所以；
法二：由材料一复数的乘法几何意义可知，复数乘以一个模长为，辐角为的复数，
即为复数故，
故，所以．
解法一：设，
所表示的复数为所表示的复数为，则，
，
故，
得
，
所以当时，取得最大值，
故线段长度的最大值为．
解法二：连接，设，
由，在中可得，
在中可得，于是，
在中可得，于是，
在中可得，
化简得．
故的最大值为．
．

【解析】根据复数的三角形式的定义直接求解即可；
解法一：由题意得，解方程组即可，解法二：根据所给材料中的复数的乘法几何意义求解即可；
解法一：设，所表示的复数为所表示的复数为，根据复数的三角形式求出的坐标，从而可表示出，化简变形后可求出其最大值；解法二：连接，设，然后利用正余弦定理求解即可．
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