2023-2024学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学、大庆铁人中学高二下学期期末联考数学试卷（含解析）

2023-2024学年黑龙江省两校高二下学期期末联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“对，”为真命题的一个充分不必要条件可以是( )
A. B. C. D.
3.若满足，则( )
A. B. C. D.
4.某校安排甲、乙、丙三个班级同时到学校礼堂参加联欢晚会，已知甲班艺术生占比，乙班艺术生占比，丙班艺术生占比，学生自由选择座位，先到者先选．甲、乙、丙三个班人数分别占总人数的，，若主持人随机从场下学生中选一人参与互动，选到的学生是艺术生的概率为( )
A. B. C. D.
5.为了强化学生安全意识，落实“”安全教育，某学校让学生用这个数字再加一个来设定自己教室储物柜密码，若两个之间至少有一个数字，且两不都在首末两位，可以设置的密码共有( )
A. B. C. D.
6.已知函数，若，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.已知，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则下列说法中正确的有( )
A. 的展开式中的常数项为
B. 的展开式中不含的项
C. 的展开式中的各项系数之和与二项式系数之和相等
D. 的展开式中的二项式系数最大的项是第四项和第五项
10.若函数在上有最大值，则的取值可能为( )
A. B. C. D.
11.某校为了解学生对欧洲杯的关注度关注或不关注，对本校学生随机做了一次调查，结果显示被调查的男、女生人数相同，其中有的男生“关注”，有的女生“关注”，若依据小率值的独立性检验，认为学生对世界杯的关注度与性别有关联，则调查的总人数可能为( )
参考公式：，．
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数在点处的切线与两个坐标轴围成的三角形面积为 ．
13.某省计划在高考中对政治、地理、化学、生物四门选考科目进行赋分制度计分，即将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为、、、、共个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为，，，，，选考科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换原则，分别转换到，，、、五个分数区间，得到考生的赋分等级成绩，如果该省某次高考模拟考试政治科目的原始成绩，若一名学生想取得等的赋分等级，则他的原始分数最低为 分．分数保留整数附：若，，则；当时，．
14.设是函数的零点，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求函数的极值；
若曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，求的值．
16.本小题分
某歌手选秀节目，要求参赛歌手先参加初赛．歌手晋级与否由、、三名导师负责．首先由、两位导师对歌手表现进行初评，若两位老师均表示通过，则歌手晋级；若均表示不通过，则歌手淘汰；若只有一名导师表示通过，则由老师进行复合审查，复合合格才能通过；并晋级．已知每个歌手通过、、三位导师审核的概率分别为，，，且各老师的审核互不影响．
在某歌手通过晋级的条件下，求他她经过了复合审查的概率；
从参赛歌手中选出人，设其中通过晋级的人数为，求的分布列和数学期望．
17.本小题分
已知函数．
求函数的单调区间；
若对于任意的，且，恒有，求实数的取值范围．
18.本小题分
某校高一新生共人，男女比例为：，经统计身高大于的学生共人，其中女生人．该校为了解高一新生身高和体重的关系，在新生中随机抽测了人的身高单位：和体重单位：作为一个样本，所得样本数据如下表所示：
编号
身高
体重
在对这个学生组成的样本的检测过程中，采用不放回的方式，每次随机抽取人检测
(ⅰ)若已进行了三次抽取，求抽取的这三人中至少有两人体重大于的概率；
(ⅱ)求第一次抽取的学生体重大于且第二次抽取的学生身高大于的概率；
由表中数据的散点图和残差分析，编号为的数据残差过大，确定其为离群点，所以应去掉该数据后再求经验回归方程．已知未去掉离群点的样本相关系数约为，请用样本相关系数说明去掉离群点的合理性相关系数保留三位小数．
参考公式及数据：样本相关系数
，，，，．
19.本小题分
帕德近似是法国数学家亨利帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法，给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，注：，，，，，为的导数已知在处的阶帕德近似为．
求实数，的值，并估计的近似值保留三位小数；
求证：；
求不等式的解集，其中．
答案解析
1.
【解析】，，
所以．
故选：
2.
【解析】由命题“对，”为真命题，可知在上恒成立，
当时可得，当时不等式可化为：，
设，
因在上单调递减，故，则，故得；
又因在上单调递减，在上单调递增，故，
则有，故得．
综上，可得，即命题“对，”为真命题等价于，
依题意需使选项的 范围是的真子集，故 C正确．
故选：．
3.
【解析】由，得，所以，所以，所以错误；
令，此时与无意义，所以错误；
因为，所以由不等式的性质可得，所以正确；
令，则，所以错误．
故选：．
4.
【解析】设“任选一名学生恰好是艺术生”，
“所选学生来自甲班”，“所选学生来自乙班”，“所选学生来自丙班”．
由题可知：
，，，，， ，
．
故选：
5.
【解析】从左到右的个位置分别为，
若两个之间有一个数字，此时两个的位置有或或或四种情况，
在把剩余的个数进行全排列，此时共有种，
若两个之间有两个数字，此时两个的位置有或或三种情况，
剩余的个数进行全排列，此时有种，
若两个之间有三个数字，此时两个的位置有或两种情况，
剩余的个数进行全排列，此时有种，
综上，可以设置的密码共有个
故选：
6.
【解析】因为，可知函数在上单调递减，在上单调递增，
不妨设，则，
可得，则，
令，则，
令，则，令，则，
故在上单调递增，在上单调递减，
故，
故选：
7.
【解析】，，
，
，
，
，
当且仅当，即，时等号成立，
故选：
8.
【解析】令，则，，，
当，，
设，则，
，
在单调递减，
，
，
当，，
设，
则，
在单调递增，，，，
故选：．
9.
【解析】解：对于因为的展开式中，
所以由得，因此的展开式中的常数项为，故A正确
对于由选项A知：由得，
因此的展开式中含的项为，故不正确
对于由选项A知：的展开式中各项系数和二项式系数都是，
因此的展开式中的各项系数之和与二项式系数之和相等，故C正确
对于的展开式中的二项式系数最大的项是第五项和第六项，故D错误．
故选：．
10.
【解析】解：因为函数，
所以，
令，
得，，
当时，，在单调递减；
当或时，，在，单调递增，
从而在处取得极大值．
令，得，
解得或．
在上有最大值，
，
．
故选ABC．
11.
【解析】设男、女生人数均为，可得如下列联表：
对卡塔尔世界杯关注 对卡塔尔世界杯不关注 合计
男生
女生
合计
由题意可得，所以，所以，
则，因为为的倍数，则为的倍数，则满足题意．
故选：
12.
【解析】由题意可得，则曲线在处的切线斜率为，
切点为，故切线方程为．
令，得；令，得．
则该切线与坐标轴分别交于点，，
故该切线与坐标轴围成的三角形的面积为．
故答案为：．
13.
【解析】由题意知：从高到低，即等级人数所占比例为，
若等级的原始分最低为，又原始成绩，
，令，则，
又，所以，
即，可得分，
则他的原始分数最低为．
故答案为：．
14.
【解析】由题意，．
注意到，
所以，
在两边同时加上，
即，
即，
设函数，显然该函数是实数集上的增函数，
由，
即即，
所以，
故答案为：
关键点点睛：本题的关键是利用对数式与指数式的恒等式，由得到，然后通过构造函数，利用函数的单调性进行求解．
15.解：易知定义域为，，
当时，，当时，．
在上单调递增，在上单调递减，
故在处取得极大值且极大值，无极小值．
由知，则，又．
曲线在点处的切线为，
把切线方程代入曲线方程，
得有唯一解，
当时，方程为，有唯一解，符合题意；
且，即，
解得或．
所以或或．
【解析】求导得，分析单调性可得极值点．
由和可得切线方程，把切线方程代入曲线方程，因为切线与曲线只有一个公共点，可得有唯一解，对二次项系数分类讨论即可求解．
16.解：设事件老师表示通过，事件老师表示通过，事件老师表示通过，事件歌手通过晋级，事件歌手经过复审，
则，，，
，因此，
所以在某歌手通过晋级的条件下，求他她经过了复合审查的概率为．
依题意，的可能取值为，，，，显然，，
则，
，
所以的分布列如下：
数学期望为．
【解析】根据给定条件，利用互斥事件、相互独立事件的概率公式求出概率，再利用条件概率公式计算得解．
求出的可能取值，利用二项分布求出求出分布列及期望．
17.解：的定义域为，
当时，在恒成立，
当时，令，得，单调递增；
令，得，单调递减，
综上所述：当时，的单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．
不妨设，则不等式等价于，
即，
令，则函数在上单调递减，
则在上恒成立，
所以在上恒成立，所以，
因为在上单调递减，在递增，所以，
所以实数的取值范围为．
【解析】求导后，根据导函数的正负情况对实数进行分类讨论；
不妨设，原不等式分离得到，进而转化为，则函数在上单调递减，然后利用导数研究函数的单调性求得实数的取值范围．
18.解：记抽取的这三人中至少有两人体重大于为事件，则，得
(ⅱ)记第一次抽取的学生体重大于为事件，第二次抽取的学生身高大于为事件．
因为样本中学生身高大于的有人，身高大于且体重大于的有人，
身高小于且体重大于的有人，
所以．
设未去离群点的样本相关系数为，去掉离群点后的样本相关系数为，则．
去掉离群点后，，，
，，

，
由
得
因为，且相比更接近，所以与的线性相关性更强，所以去掉离群点是合理的．
【解析】由超几何分布的概率公式计算得出；(ⅱ)记第一次抽取的学生体重大于为事件，第二次抽取的学生身高大于为事件，由乘法公式计算得出；
根据题设公式计算去掉离群点后的样本相关系数，由相比更接近得出去掉离群点的合理性．
19.解：因为，所以，；
因为，所以，
由题意知，，
所以解得，
由知，即证，令，且．
即证时，有
设，，则
所以在上单调递增，在上单调递增
当时，，
可得，即成立，
当时，，
可得，即成立，
综上可得当时，
所以成立，即成立；
由题意知，欲使得不等式成立，
则至少有，即或
首先考虑，该不等式等价于，
即．
由知成立，
所以使成立的的取值范围为或
再考虑，
该不等式等价于，
不妨令，函数定义域为．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，
即当时，，
则当时，有
当时，由可得成立；
当时，由可得不成立，
所以使成立的的取值范围为，
综上可得不等式的解集为．
【解析】根据二阶求导及定义得出近似值；
构造函数结合函数的单调性证明不等式；
化简不等式分别构造函数，求出导函数结合函数的单调性得出最值进而解出不等式．
第1页，共1页