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第11章 平面直角坐标系 单元模拟精选卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．已知：点与点关于x轴对称，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．下列条件中，能确定位置的是（ ）
A．影院座位位于一楼二排 B．某市位于北纬30°，东经120°
C．一只风筝飞到距A处20米处 D．甲地在乙地正东方向上
3．点关于轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．点P(2，－3)所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标是（0，2），以OA为边在右侧作等边三角形OAA1，过点A1作x轴的垂线，垂足为点O1，以O1A1为边在右侧作等边三角形O1A1A2，再过点A2作x轴的垂线，垂足为点O2，以O2A2为边在右侧作等边三角形O2A2A3，…，按此规律继续作下去，得到等边三角形O2022A2022A2023，则点A2023的纵坐标为（ ）
A．（）2021 B．（）2022 C．（）2023 D．（）2024
6．平面直角坐标系中，点A（﹣1，3），B（2，1），经过点A的直线ax轴，点C是直线a上的一个动点，当线段BC的长度最短时，点C的坐标为（ ）
A．（﹣1，1） B．（3，2） C．（2，3） D．（2，﹣1）
7．如图，在直角坐标系中，有若干个横、纵坐标分别为整数的点，其顺序按图中．“→方向排序，如（1，0）→（2，0）→（2，1）→（1，1）→（1，2）→（2，2） ……根据这个规律，第2020个点的横坐标为（ ）
A．44． B．45． C．46． D．47．
8．如图，在平面直角坐标系中，已知点 ，A2在x轴的正半轴上，且 ，过点A2作 交y轴于点A3；过点A3作 交x轴于点A4；过点A4作 交y轴于点A5；过点A5作 交x轴于点A6；…按此规律进行下去，则点A2019的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
9．直角坐标系中，我们定义横、纵坐标均为整数的点为整点在0A．8个 B．7个 C．6个 D．5个
10．在平面直角坐标系中，对于点，若点坐标为其中为常数，且，则称点是点的“属派生点”例如，点的“属派生点”为，即若点的“属派生点是点，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．已知点A（-2，-3），点A与点B关于y轴对称，则点B的坐标为 .
12．如图，是一片树叶标本，将其放在平面直角坐标系中，表示叶片尖端A，B两点的坐标分别为（-3，3）（-1，0），则叶柄底部点C的坐标为 ．
13．如图，点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2）……，按这样的运动规律，经过第2025次运动后动点P的坐标是 ．
14．已知M（2n－m，5）和N（13，m）关于x轴对称，则（m＋n）2022的值为 ．
15．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣4，0），B（2，0）在x轴上，若点P到两坐标轴的距离相等，且∠APO＝∠BPO，则点P的坐标为 ．
16．如图所示，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1(0，1)，A2(1，1)，A3(1，0)，A4(2，0)，…，那么点A4n＋1(n为自然数)的坐标为 (用n表示)．
三、综合题（本大题共9小题，共72分）
17．已知点 ，分别根据下列条件求出点P的坐标.
（1）点P在x轴上；
（2）点P在y轴上；
（3）点P到x轴、y轴的距离相等；
（4）点Q的坐标为 ，直线 轴.
18．在边长为1的小正方形网格中，△AOB的顶点均在格点上．
（1）B点关于y轴的对称点坐标为 ；
（2）将△AOB向左平移3个单位长度得到△A1O1B1，请画出△A1O1B1；
（3）在（2）的条件下，A1的坐标为 ．
19．已知点P（2a＋3，a－1）．试分别根据下列条件，求出点P的坐标．
（1）点P的纵坐标比横坐标大3；
（2）点P在过A（2，－3）点，且与x轴平行的直线上．
20．在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方
向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如下图所示．
（1）填写下列各点的坐标：A1( ， )、A3( ， )、A12( ， )；
（2）写出点A4n的坐标(n是正整数)；
（3）指出蚂蚁从点A100到点A101的移动方向．
21．已知 两点．
（1）若 两点关于 轴对称，求 的值.
（2）若点 到 轴的距离是3，且 轴，求点 的坐标．
22．在平面直角坐标系中，O为原点．
（1）点A的坐标为（3，﹣4），求线段OA的长；
（2）点B的坐标为（2，2），点C的坐标为（5，6），求线段BC的长．
23．操作与探究
（1）对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以 ，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P的对应点P′.
如图1，点A，B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段A′B′，其中点A，B的对应点分别为A′，B′.
若点A表示的数是﹣3，点A′表示的数是 ；若点B′表示的数是2，点B表示的数是 ；
已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对应点E′与点E重合，则点E表示的数是 .
（2）对平面直角坐标系中的每个点P进行如下操作：先把点P的横、纵坐标都乘以同一种实数a，将得到的点先向右平移b个单位，再向上平移4b个单位，得到点P的对应点P′.
如图2，正方形ABCD在平面直角坐标系中，对正方形ABCD及其内部的点进行上述操作后得到正方形A′B′C′D′及其内部的点，其中点A，B，C，D的对应点分别为A′，B′，C′，D′.
①若已知A（﹣3，0）、A′（﹣1，2）、C（5，4），求点C′的坐标；
②如果正方形ABCD内部的一个点F经过上述操作后得到的对应点F′与点F重合，求点F的坐标.
24．如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为(a，0)，点C的坐标为(0，b)，且a、b满足 ，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O-C-B-A-O的线路移动．
（1）a= ，b= ，点B的坐标为 ；
（2）当点P移动4秒时，请指出点P的位置，并求出点P的坐标；
（3）在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，求点P移动的时间．
25．对于平面直角坐标系xOy中的点 ，若点Р的坐标为 （其中k为常数，且 ），则称点 为点P的“k属派生点”．
例如： 的“2属派生点”为 ，即 ．
（1）点 的“3属派生点” 的坐标为 ；
（2）若点 的“5属派生点” 的坐标为 ，求x+y的值；
（3）若点P在x轴的正半轴上，点Р的“k属派生点”为点 ，且线段 的长座为线段OP长度的2倍，求k的值．
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第11章 平面直角坐标系 单元模拟精选卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．已知：点与点关于x轴对称，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A和点B关于x轴对称，
∴m-1=2，n-1+3=0，
m=3，n=-2，
∴．
【分析】关于x轴对称的点的坐标：横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可求出m、n的值，再代入计算即可.
2．下列条件中，能确定位置的是（ ）
A．影院座位位于一楼二排 B．某市位于北纬30°，东经120°
C．一只风筝飞到距A处20米处 D．甲地在乙地正东方向上
【答案】B
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：A、影院座位位于一楼二排，无法确定位置，故选项D不合题意；
B、 某市位于北纬30°，东经120° ，能确定具体位置，故选项B符合题意；
C、 一只风筝飞到距A处20米处 ，无法确定位置，故选项C不合题意；
D、 甲地在乙地正东方向上 ，无法确定位置，故选项D不合题意.
故答案为：B.
【分析】根据在平面内，要有两个有序数据才能清楚地表示出一个点的位置，即可逐项判断得答案.
3．点关于轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点关于轴对称点的坐标是.
故答案为：．
【分析】根据关于轴对称点的坐标特征：横坐标相等，纵坐标互为相反数，即可得解．
4．点P(2，－3)所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】点的坐标
【解析】【分析】应先判断出所求的点的横纵坐标的符号，进而判断点P所在的象限．
【解答】∵点P的横坐标为正，纵坐标为负，
∴点P（2，-3)所在象限为第四象限．
故选D．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+)；第二象限（-，+)；第三象限（-，-)；第四象限（+，-)．
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标是（0，2），以OA为边在右侧作等边三角形OAA1，过点A1作x轴的垂线，垂足为点O1，以O1A1为边在右侧作等边三角形O1A1A2，再过点A2作x轴的垂线，垂足为点O2，以O2A2为边在右侧作等边三角形O2A2A3，…，按此规律继续作下去，得到等边三角形O2022A2022A2023，则点A2023的纵坐标为（ ）
A．（）2021 B．（）2022 C．（）2023 D．（）2024
【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：根据题意得：A1的纵坐标为1，
A2的纵坐标为，
A3的纵坐标为（）2，
A4的纵坐标为（）3，
A5的纵坐标为（）4，
…
A2023的纵坐标为（）2022，
故答案为：B.
【分析】根据等边三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质得出A1的纵坐标为1，A2的纵坐标为，A3的纵坐标为（）2，A4的纵坐标为（）3，A5的纵坐标为（）4，观察规律，即可得出答案.
6．平面直角坐标系中，点A（﹣1，3），B（2，1），经过点A的直线ax轴，点C是直线a上的一个动点，当线段BC的长度最短时，点C的坐标为（ ）
A．（﹣1，1） B．（3，2） C．（2，3） D．（2，﹣1）
【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：点，经过点A的直线ax轴，点C是直线a上的一个动点，
点的纵坐标为3，
根据垂线段最短可知，当BC⊥直线时，线段BC的长度最短，此时，BC⊥轴，
又，
点的横坐标为2，
点的坐标为，
故答案为：C．
【分析】由于ax轴可知点C与点A的纵坐标相同，再根据垂线段最短可知，当BC⊥直线时，线段BC的长度最短，此时，BC⊥轴，据此即可求解.
7．如图，在直角坐标系中，有若干个横、纵坐标分别为整数的点，其顺序按图中．“→方向排序，如（1，0）→（2，0）→（2，1）→（1，1）→（1，2）→（2，2） ……根据这个规律，第2020个点的横坐标为（ ）
A．44． B．45． C．46． D．47．
【答案】B
【知识点】点的坐标；探索图形规律
【解析】【解答】解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，
例如：右下角的点的横坐标为1，共有1个，1=12，
右下角的点的横坐标为2时，共有4个，4=22，
右下角的点的横坐标为3时，共有9个，9=32，
右下角的点的横坐标为4时，共有16个，16=42，
……
右下角的点的横坐标为n时，共有n2个，
∵452-=2025，45是奇数，
∴第2020个点的横坐标为45.
故答案为：B.
【分析】观察图形可知，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，并且右下角的点的横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，当右下角的点横坐标是偶数时，以横坐标为1，纵坐标为右下角横坐标的偶数减1的点结束，根据此规律解答即可.
8．如图，在平面直角坐标系中，已知点 ，A2在x轴的正半轴上，且 ，过点A2作 交y轴于点A3；过点A3作 交x轴于点A4；过点A4作 交y轴于点A5；过点A5作 交x轴于点A6；…按此规律进行下去，则点A2019的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；探索图形规律
【解析】【解答】解： ， ，
点 的坐标为 ， ，
同理， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
点 的坐标为 ， 为正整数）.
，
点 的坐标为 ， 即 ， .
故答案为：A.
【分析】通过解直角三角形可得出点 的坐标，同理可得出点 ， ， ， ， ， 的坐标，根据坐标的变化可得出变化规律“点 的坐标为 ， 为正整数）”，再结合 即可得出点 的坐标，此题得解.
9．直角坐标系中，我们定义横、纵坐标均为整数的点为整点在0A．8个 B．7个 C．6个 D．5个
【答案】A
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质
【解析】【解答】解：如图， 直线y=x+2与直线y=-x在0故答案为：A.
【分析】在平面直线坐标系中，画出直线y=x+2与直线y=-x的图象，利用图象法在010．在平面直角坐标系中，对于点，若点坐标为其中为常数，且，则称点是点的“属派生点”例如，点的“属派生点”为，即若点的“属派生点是点，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：根据新定义，得，解得， ∴Q的坐标为（-2，-1）．
故答案为：C.
【分析】根据新定义，列出关于待求字母的方程组求解，再写出点的坐标.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．已知点A（-2，-3），点A与点B关于y轴对称，则点B的坐标为 .
【答案】(2，-3)
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A（-2，-3）与点B关于y轴对称
∴点B(2，-3)
故答案为：(2，-3)
【分析】关于坐标轴对称，关于y轴对称，对应的纵坐标不变，横坐标变为相反数
12．如图，是一片树叶标本，将其放在平面直角坐标系中，表示叶片尖端A，B两点的坐标分别为（-3，3）（-1，0），则叶柄底部点C的坐标为 ．
【答案】（2，1）
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：∵A，B两点的坐标分别为（-3，3）（-1，0），
∴得出坐标轴如下图所示位置：
∴点C的坐标为（2，1）．
故答案为：（2，1）．
【分析】由A，B两点的坐标确定坐标轴的位置，根据点C的位置写出坐标即可.
13．如图，点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2）……，按这样的运动规律，经过第2025次运动后动点P的坐标是 ．
【答案】（2025，1）
【知识点】坐标与图形性质
【解析】【解答】解：∵点P第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2）……，
∴ 点P横坐标排列规律如下：1，2，3，4，5，6，7，8，9，···
点P纵坐标排列规律如下：1，0，2，0，1，0，2，0，···
则经过第2025次运动后动点P的横坐标是2025，纵坐标是1，2025÷2=1012···1
故答案为：（2025，1）.
【分析】本题考查图形坐标规律问题。根据题意，找出点P的横纵坐标的规律即可。
14．已知M（2n－m，5）和N（13，m）关于x轴对称，则（m＋n）2022的值为 ．
【答案】1
【知识点】代数式求值；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点M（2n－m，5）与点N（13，m）关于x轴对称，
∴2n－m＝13，m＝－5，
解得m＝－5，n＝4，
∵（m＋n）2022＝（－1）2022＝1，
故答案为：1．
【分析】根据关于x轴对称的点坐标的特征可得2n－m＝13，m＝－5，求出m、n的值，再将m、n的值代入计算即可。
15．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣4，0），B（2，0）在x轴上，若点P到两坐标轴的距离相等，且∠APO＝∠BPO，则点P的坐标为 ．
【答案】(4，4)或(4，-4)
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：如图所示：
当点P在第一象限时，设 ，
过点O作 于E， 于F，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 (舍弃)，
∴ ，
当点P在第四象限时，根据对称性可知：
，
故答案为： 或 ．
【分析】当点P在第一象限时，设 ，过点O作 于E， 于F，首先证明 ，可得出 ，得出 ，推出 ，由此构建方程求出m，可得出点P的坐标。
16．如图所示，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1(0，1)，A2(1，1)，A3(1，0)，A4(2，0)，…，那么点A4n＋1(n为自然数)的坐标为 (用n表示)．
【答案】(2n，1)
【知识点】坐标与图形性质；探索图形规律
【解析】【解答】由图可知，n=1时，4×1+1=5，点A5（2，1），
n=2时，4×2+1=9，点A9（4，1），
n=3时，4×3+1=13，点A13（6，1），
所以，点A4n+1（2n，1）．
【分析】根据图像可知，n=1时，4×1+1=5，点A5（2，1），n=2时，4×2+1=9，点A9（4，1），n=3时，4×3+1=13，点A13（6，1）···，根据规律得到点A4n＋1的坐标.
三、综合题（本大题共9小题，共72分）
17．已知点 ，分别根据下列条件求出点P的坐标.
（1）点P在x轴上；
（2）点P在y轴上；
（3）点P到x轴、y轴的距离相等；
（4）点Q的坐标为 ，直线 轴.
【答案】（1）解：∵点P(a 2,2a+8)，在x轴上，
∴2a+8=0，
解得：a= 4，
故a 2= 4 2= 6，
则P( 6,0)；
（2）解：∵点P(a 2,2a+8)，在y轴上，
∴a 2=0，
解得：a=2，
故2a+8=2×2+8=12，
则P(0,12)；
（3）解：∵点P到x轴、y轴的距离相等，
∴a 2=2a+8或a 2+2a+8=0，
解得：a = 10,a = 2，
故当a= 10则：a 2= 12，2a+8= 12，
则P( 12, 12)；
故当a= 2则：a 2= 4，2a+8=4，
则P( 4,4).
综上所述：P( 12, 12),( 4,4).
（4）解：∵点Q的坐标为(1,5),直线PQ∥y轴；，
∴a 2=1，
解得：a=3，
故2a+8=14，
则P(1,14)；
【知识点】坐标与图形性质
【解析】【分析】（1）利用x轴上点的坐标性质纵坐标为0，进而得出a的值，即可得出答案；（2）利用y轴上点的坐标性质横坐标为0，进而得出a的值，即可得出答案；（3）利用点P到x轴、y轴的距离相等，得出横纵坐标相等或相反数进而得出答案；（4）利用平行于y轴直线的性质，横坐标相等，进而得出a的值，进而得出答案；
18．在边长为1的小正方形网格中，△AOB的顶点均在格点上．
（1）B点关于y轴的对称点坐标为 ；
（2）将△AOB向左平移3个单位长度得到△A1O1B1，请画出△A1O1B1；
（3）在（2）的条件下，A1的坐标为 ．
【答案】（1）（-3，2）
（2）解：如图所示，将A向左移三个格得到A1，O向左平移三个单位得到O1，B向左平移三个单位得到B1，再连线得到△A1O1B1．
（3）（-2，3）．
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】（1）因为B的坐标是（3，2），所以B关于y轴对称的点的坐标是（-3，2）；
（3）因为A的坐标是（1，3），左平移三个单位的坐标变化规律是纵坐标不变，横坐标减3，所以A1是（-2，3）．
【分析】（1）关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等，B（3，2）关于y轴对称的点的坐标是（-3，2）；（2）先根据点的平移确定点A、O、B向左平移3个单位后的点的坐标A1、O1、B1，连接A1、O1、B1得到△A1O1B1；（3）根据（2）平移的图象直接写出A1点的坐标是（-2，3）。
19．已知点P（2a＋3，a－1）．试分别根据下列条件，求出点P的坐标．
（1）点P的纵坐标比横坐标大3；
（2）点P在过A（2，－3）点，且与x轴平行的直线上．
【答案】（1）解：∵点P（2a＋3，a－1），且点P的纵坐标比横坐标大3，
∴a-1=2a+3+3，
解得a=-7，
∴点P（-11，-8）
（2）解：∵点P在过A（2，－3）点，且与x轴平行的直线上，
∴a-1=-3，
解得a=-2，
∴点P（-1，-3）．
【知识点】点的坐标
【解析】【分析】（1）根据横纵坐标的大小关系得出a-1=2a+3+3，即可得出a的值进而得出P点坐标；
（2）根据平行于X轴点的坐标性质得出a-1=-3，进而得出A的值进而得出P点坐标。
20．在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方
向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如下图所示．
（1）填写下列各点的坐标：A1( ， )、A3( ， )、A12( ， )；
（2）写出点A4n的坐标(n是正整数)；
（3）指出蚂蚁从点A100到点A101的移动方向．
【答案】（1）0；1；1；0；6；0
（2）解：当n=1时，A4（2，0），
当n=2时，A8（4，0），
当n=3时，A12（6，0），
所以A4n（2n，0）；
（3）解：点A100中的n正好是4的倍数，所以点A100和A101的坐标分别是A100（50，0），A101的（50，1），所以蚂蚁从点A100到A101的移动方向是从下向上．
【知识点】点的坐标
【解析】【分析】根据平面直角坐标系及点的移动规律求出点的坐标即可作答。
21．已知 两点．
（1）若 两点关于 轴对称，求 的值.
（2）若点 到 轴的距离是3，且 轴，求点 的坐标．
【答案】（1）解：因为 两点关于 轴对称，
所以 ， ，
解得： ， ，
所以
（2）解：因为点P到 轴的距离是3，
所以P点横坐标是 ，
因为 轴，
所以P、Q两点纵坐标相等，即点P纵坐标是3，即点P坐标是 或
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【分析】(1)根据点关于 轴对称特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得： ， ，解得： ， ，即 ； (2)根据点P到 轴的距离是3， 可得：P点横坐标是 ，根据 轴，可得：P、Q两点纵坐标相等则 ，即点P纵坐标是3，即可求得点P坐标.
22．在平面直角坐标系中，O为原点．
（1）点A的坐标为（3，﹣4），求线段OA的长；
（2）点B的坐标为（2，2），点C的坐标为（5，6），求线段BC的长．
【答案】（1）解：
（2）解：如图，
CM=|6﹣2|=4，
BM=|5﹣2|=3，则由勾股定理，得
【知识点】坐标与图形性质
【解析】【分析】（1）根据A点的坐标即可得出A点到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，然后根据勾股定理即可算出OA的长；
（2）过点C向x轴引垂线，再过点B向y轴引垂线，两线相交于点M，根据B，C两点的坐标，即可得出CM，BM的长度，然后由勾股定理即可算出BC的长。
23．操作与探究
（1）对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以 ，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P的对应点P′.
如图1，点A，B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段A′B′，其中点A，B的对应点分别为A′，B′.
若点A表示的数是﹣3，点A′表示的数是 ；若点B′表示的数是2，点B表示的数是 ；
已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对应点E′与点E重合，则点E表示的数是 .
（2）对平面直角坐标系中的每个点P进行如下操作：先把点P的横、纵坐标都乘以同一种实数a，将得到的点先向右平移b个单位，再向上平移4b个单位，得到点P的对应点P′.
如图2，正方形ABCD在平面直角坐标系中，对正方形ABCD及其内部的点进行上述操作后得到正方形A′B′C′D′及其内部的点，其中点A，B，C，D的对应点分别为A′，B′，C′，D′.
①若已知A（﹣3，0）、A′（﹣1，2）、C（5，4），求点C′的坐标；
②如果正方形ABCD内部的一个点F经过上述操作后得到的对应点F′与点F重合，求点F的坐标.
【答案】（1）；4；
（2）解：∵A（﹣3，0）的对应点为A′（﹣1，2），
根据题意得： ，
解得： ，
∵C（5，4），
∴ ×5+ ＝3， ×4+4× ＝4，
∴点 （3，4）；
设F（m，n），
∵点F的对应点F′与点F重合，
∴ ，
解得： ，
∴F（1，4）.
【知识点】无理数在数轴上表示；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：（1）∵A、B的对应点分别为A′、B′，点A表示的数是﹣3，点B′表示的数是2，
∴﹣3× +1＝ ，（2﹣1）÷ ＝4，
∴A′表示的数为 ；B表示的数为4；
∵E的对应点E′与点E重合，
设E表示的数为x，
根据题意得： x+1＝x，
解得：x＝ ，
∴E′表示的数为 .
故答案为： ，4， ；
【分析】（1）先把点P表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移1个单位，根据变换的关系即可得到点P的对应点P′，即可求得点A′与点B表示的数；然后设E表示的数为x，根据题意得：x＋1＝x，即可求得答案；
（2）①先把点P的横、纵坐标都乘以同一种实数a，将得到的点先向右平移b个单位，再向上平移4b个单位，得到点P的对应点P′，与A（ 3，0）、A′（ 1，2），即可得方程组： ， 从而得到变换关系，继而求得答案；
②设F（m，n），由点F的对应点F′与点F重合可得m+=m，n+2=n，求解可得m、n，据此可得点F的坐标.
24．如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为(a，0)，点C的坐标为(0，b)，且a、b满足 ，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O-C-B-A-O的线路移动．
（1）a= ，b= ，点B的坐标为 ；
（2）当点P移动4秒时，请指出点P的位置，并求出点P的坐标；
（3）在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，求点P移动的时间．
【答案】（1）4；6；（4，6）
（2）当点P运动4秒时，距离=4×2=8，
所以点P在线段BC上，且坐标为（2，6）。
（3）根据题意可知，OC=AB=6
所以点P到x轴距离为5时，点P在线段OC或在AB上。
所以点P移动的时间=5÷2=2.5或(6+4+1)÷2=5.5。
【知识点】坐标与图形性质
【解析】【解答】解：（1）∵+|b-6|=0
∴a=4，b=6，点B（4，6）
故答案为：4；6；（4，6）。
【分析】（1）根据题目中所给的+|b-6|=0，即可求出a和b的数值，进而得出点B的坐标。
（2）根据点P的运动轨迹和运动时间，即可求得点P在矩形ABCD的位置以及点P的坐标。
（3）在矩形ABCD中，当点P到x轴的距离为5时，在矩形上存在两个符合条件的点，根据时间=距离÷速度，即可表示两种情况下的时间。
25．对于平面直角坐标系xOy中的点 ，若点Р的坐标为 （其中k为常数，且 ），则称点 为点P的“k属派生点”．
例如： 的“2属派生点”为 ，即 ．
（1）点 的“3属派生点” 的坐标为 ；
（2）若点 的“5属派生点” 的坐标为 ，求x+y的值；
（3）若点P在x轴的正半轴上，点Р的“k属派生点”为点 ，且线段 的长座为线段OP长度的2倍，求k的值．
【答案】（1）(7，-3)
（2）依题意，得
点 的“5属派生点” 的坐标为 ，
即 ，
∵ 的坐标为
∴ ，
∴ ，
∴ 的值为-11
（3）∵点 在x轴的正半轴上，
∴ ， ．
∴点Р的坐标为 ，点 的坐标为 ，
∴线段 的长为点 到x轴距离为 ，
∵P在x轴正半轴，线段OP的长为a，
根据题意，有 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
从而 ．
【知识点】点的坐标；线段上的两点间的距离；定义新运算
【解析】【解答】（1）点P（-2，3）的“3属派生点”P′的坐标为（-2+3×3，-2×3+3），即（7，-3），
故答案为：（7，-3）；
【分析】（1）根据“k属派生点”计算可得；（2）根据“k属派生点”定义及P′的坐标列出关于x、y的方程组，解之可得；（3）先得出点P′的坐标为（a，ka），由线段PP′的长度为线段OP长度的2倍列出方程，解之可得．
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