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第21章 二次函数与反比例函数 单元试题调研卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．将抛物线y=﹣2x2+1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为（ ）
A．y=﹣2（x+1）2﹣1 B．y=﹣2（x+1）2+3
C．y=﹣2（x﹣1）2﹣1 D．y=﹣2（x﹣1）2+3
2．二次函数y=x2﹣2x﹣3图象与y轴的交点坐标是（ ）
A．（0，1） B．（1，0） C．（-3，0） D．（0，-3）
3．若反比例函数的图象经过点，则k的值是（ ）
A． B． C． D．
4．已知二次函数 的图象如图所示，有下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，在反比例函数 （x＞0）的图象上，有点P1，P2，P3，P4，它们的横坐标依次为1，2，3，4，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，则S1＋S2＋S3＝（ ）
A．1 B． C． D．2
6．关于反比例函数，下列说法错误的是（ ）
A．图象经过点(1，﹣3) B．y随x的增大而增大
C．图象关于原点对称 D．图象与坐标轴没有交点
7．如图，二次函数及一次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知二次函数y=（x-m+2）（x+m-4）+n，其中m，n为常数，则（ ）
A．m>1，n<0时，二次函数的最小值大于0
B．m=1，n>0时，二次函数的最小值大于0
C．m<1，n>0时，二次函数的最小值小于0
D．m=1，n<0时，二次函数的最小值小于0
9．抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限，其部分图像如图所示，给出以下判断：①且；②；③；④；⑤直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，则．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．3个 C．5个 D．2个
10．如图，函数的图象经过斜边OB的中点C，连结AC.如果，那么的周长为（ ）.
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11． 已知点和点都在同一个反比例函数图象上，则m的值为 ．
12．若函数是关于的二次函数，则满足条件的的值为 ．
13．反比例函数中自变量x的取值范围
14．抛物线的形状大小、开口方向都与y＝﹣12x2相同且顶点为（1，﹣2），则该抛物线的解析式为 ．
15．如图抛物线与轴交于，与轴交于点，点为顶点，线段上有一动点，以为底边向下作等腰三角形，且，则的最小值为 ．
16．如图，抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A(-1，p)，B(2，q)两点，则不等式ax2+mx+c>n的解集是 。
三、综合题（本大题共9小题，共72分）
17．如图，直线y=﹣x+2过x轴上的点A（2，0），且与抛物线y=ax2交于B，C两点，点B坐标为（1，1）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连结OC，求出△AOC的面积．
（3）当 -x+2＞ax2 时，请观察图像直接写出x的取值范围.
18．已知函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+2﹣2m．
（1）若这个函数是二次函数，求m的取值范围．
（2）若这个函数是一次函数，求m的值．
（3）这个函数可能是正比例函数吗？为什么？
19．泡茶需要将电热水壶中的水先烧到100℃，然后停止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温y(℃)与时间x(min)成一次函数关系；停止加热过了1分钟后，水壶中水的温度y(℃)与时间x(min)近似于反比例函数关系(如图)．已知水壶中水的初始温度是20℃，降温过程中水温不低于20℃．
（1）分别求出图中所对应的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围：
（2）从水壶中的水烧开(100℃)降到90℃就可以泡茶，问从水烧开到泡茶需要等待多长时间？
20．已知抛物线y1=ax2+bx+c的顶点A是直线y2=2x与y3= -2x+4的交点，且经过直线y3=-2x+4与y轴的交点B.
（1）求点A的坐标；
（2）求抛物线的表达式；
（3）当y1>y3时，写出x的取值范围.
21．某公司的商品进价每件60元，售价每件130元，为了支持“抗新冠肺炎”，每销售一件捐款4元．且未来30天，该商品将开展每天降价1元”的促销活动，即从第一天起每天的单价均比前一天降1元，市场调查发现，设第x天（1≤x≤30且x为整数）的销量为y件，y与x满足一次函数数关系，其对应数据如表：
X（天） …… 1 3 5 7 ……
Y（件） …… 35 45 55 65 ……
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）在这30天内，哪一天去掉捐款后的利润是6235元？
（3）设第x天去掉捐款后的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大，最大利润是多少元？
22．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，连接BC，点D是第四象限抛物线上一点，过点D作DE⊥x，轴于点E，交线段BC于点F，连接AD、AF、BD．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设点D的横坐标为m，求四边形ADBF面积的最大值；
（3）在（2）的条件下，将四边形ADBF沿直线DE向上平移得到四边形A1D1B1F1（A、D、B、F的对应点分别为A1、D1、B1、F1），直线A1D1与直线AF交于点H．点P在B点左侧的抛物线上，点Q在直线B1F1上，当以点P、Q、B、B1为顶点的四边形是平行四边形，且D1HA1H时，请直接写出点P的横坐标．
23．已知抛物线经过点．与y轴交于点A．其顶点为B．设k是抛物线与x轴交点的横坐标，
（1）求b的值．
（2）求的面积．
（3）求代数式的值．
24．如图，直线与双曲线交于A，两点，点A的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连结并延长交轴于点，且．
（1）求的值，并直接写出点的坐标；
（2）点是轴上的动点，连结，，求的最小值和点坐标；
（3）是坐标轴上的点，是平面内一点，是否存在点，，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
25．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．
（1）求每次下降的百分率．
（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
（3）在（2）的条件下，若使商场每天的盈利达到最大值，则应涨价多少元？此时每天的最大盈利是多少？
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第21章 二次函数与反比例函数 单元试题调研卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．将抛物线y=﹣2x2+1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为（ ）
A．y=﹣2（x+1）2﹣1 B．y=﹣2（x+1）2+3
C．y=﹣2（x﹣1）2﹣1 D．y=﹣2（x﹣1）2+3
【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解；将抛物线y=﹣2x2+1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为y=﹣2（x﹣1）2+3，
故答案为：D．
【分析】根据抛物线的平移规律直接得出新抛物线的解析式。
2．二次函数y=x2﹣2x﹣3图象与y轴的交点坐标是（ ）
A．（0，1） B．（1，0） C．（-3，0） D．（0，-3）
【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：由题意得：当x=0，y=02﹣2×0﹣3=-3，
∴图象与y轴的交点坐标为（0，-3）.
故答案为：D.
【分析】函数图象与y轴的交点坐标，即求当x=0时，y的值，则可得出答案。
3．若反比例函数的图象经过点，则k的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，解得，
故答案为：D．
【分析】将点代入，再求出k的值即可。
4．已知二次函数 的图象如图所示，有下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：抛物线与x轴有两个不同的交点，因此b2-4ac＞0，故①符合题意；
抛物线开口向上，因此a＞0，对称轴为x=1＞0，a、b异号，因此b＜0，抛物线与y轴交在负半轴，因此c＜0，所以abc＞0，故②符合题意；
由图象可知，当x=-2时，y=4a-2b+c＞0，故③符合题意；
∵对称轴x=- =1
∴-b=2a
当x=-1时，y=a-b+c＜0，
∴a+2a+c＜0，即 ，故④符合题意；
综上所述，符合题意结论有：①②③④
故答案为：D．
【分析】先根据二次函数的图象与其系数的关系求出a、b、c的正负，再利用二次函数性质及二次函数与一元二次方程的关系逐项判断即可。
5．如图，在反比例函数 （x＞0）的图象上，有点P1，P2，P3，P4，它们的横坐标依次为1，2，3，4，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，则S1＋S2＋S3＝（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；图形的平移；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：平移后如图，
当x=4时y=，
∴矩形AOCB的面积为1×=；
当x=1时y=2，
∴S1＋S2＋S3+S矩形AOCB=2
∴S1＋S2＋S3=2-=.
故答案为：
【分析】利用平移法，分别求出x=4，x=1时的y的值，可证得S1＋S2＋S3+S矩形AOCB=2，然后求出S1＋S2＋S3的值.
6．关于反比例函数，下列说法错误的是（ ）
A．图象经过点(1，﹣3) B．y随x的增大而增大
C．图象关于原点对称 D．图象与坐标轴没有交点
【答案】B
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、反比例函数，当x＝1时y＝﹣3，说法正确，故本选项不符合题意；
B、反比例函数中k＝﹣3＜0，则该函数图象经过第二、四象限，需要强调在每个象限内y随x的增大而增大，故说法错误，本选项符合题意；
C、反比例函数的图象关于原点对称，说法正确，故本选项不符合题意；
D、图象与坐标轴没有交点，说法正确，故本选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用函数解析式可知xy=-3，可对A作出判断；k=-3＜0，在每一个象限，y随x的增大而增大，可对B作出判断；反比例函数自变量的取值范围是x≠0，因此图象与坐标轴没有交点，可对D作出判断；反比例函数图象关于原点对称，可对C作出判断.
7．如图，二次函数及一次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：在中，
当，，
解得，，
，，
当时，，
∴原抛物线与轴交点坐标为，
∴翻折后与y轴的交点坐标为，
当直线经过点B时，直线与新图有3个交点，如图所示：
把代入中，得，
∵抛物线翻折到x轴下方的部分的解析式为：，
∴翻折后的部分解析式为：，
当直线与抛物线只有一个交点C时，
直线与图象有3个交点，
把代入中，
得到方程有两个相等的实数根，
整理得，
∴，
解得，
∴当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是．
故答案为：D．
【分析】令，代入可得，，如图，过点B作直线，代入可得，将直线往下平移，当直线与翻折后抛物线部分解析式只有一个交点C时，直线与图象有3个交点，结合图像可得，根据判别式即可求得，观察图像，可知一次函数在这两条直线间与新图象有4个交点，据此即可求解。
8．已知二次函数y=（x-m+2）（x+m-4）+n，其中m，n为常数，则（ ）
A．m>1，n<0时，二次函数的最小值大于0
B．m=1，n>0时，二次函数的最小值大于0
C．m<1，n>0时，二次函数的最小值小于0
D．m=1，n<0时，二次函数的最小值小于0
【答案】D
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝（x-m+2）（x+m-4）+n，其中m，n为常数，
∴当m＝1时，
y＝（x+1）（x-3）+n＝x2-2x-3+n＝（x-1）2-4+n
∴二次函数的最小值为y＝-4+n，
∴①当m＝1，n＞4时，-4+n＞0，
∴B选项不符合题意；
∴②当m＝1，n＜0时，二次函数的最小值为y＝-4+n＜0，
∴D选项符合题意；
当m＞1，n＜0时，
若m＝2，则y＝x（x-2）+n＝x2-2x+n＝（x-1）2-1+n，
∴此时二次函数的最小值为-1+n，小于0，
故A选项不符合题意；
当m＜1，n＞0时，
若m＝0，则y＝（x+2）（x-4）+n＝x2-2x-8+n＝（x-1）2-9+n，
∴此时二次函数的最小值为-9+n，
∴当0＜n＜9时，-9+n＜0，
∴C选项不符合题意.
故答案为：D．
【分析】先取m＝1时，代入二次函数解析式，化为顶点式，表示出二次函数的最小值，进而判断B、D选项即可；再取m=2，代入二次函数解析式，化为顶点式，表示出二次函数的最小值，进而判断A选项即可；再取m=0，代入二次函数解析式，化为顶点式，表示出二次函数的最小值，进而判断D选项即可.
9．抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限，其部分图像如图所示，给出以下判断：①且；②；③；④；⑤直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，则．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．3个 C．5个 D．2个
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与系数的关系；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向下，对称轴在y轴的左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴ab＞0，
∵抛物线交于y轴的正半轴，
∴c＞0，故①错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=-1，与x轴的一个交点坐标为（1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-3，0），
∴当x=-2时y＞0即4a-2b+c＞0，故②正确；
∵抛物线的对称轴为直线
∴b=2a，
∵当x=2时y＜0，
∴4a+2b+c＜0
∴4a+4a+c＜0即8a+c＜0，故③错误；
∵当x=1时a+b+c=0，b=2a，
∴c=-3a，
∴3a-3b=3a-6a=-3a，
∴c=3a-3b，故④正确；
∵ 直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，
∴ax2+bx+c=2x+2，
∴ax2+（b-2）x+c-2=0
∴
∴，故⑤正确；
∴正确结论的个数有3个.
故答案为：B
【分析】利用抛物线的开口方向可知a＜0，利用对称轴的位置：左同右异，可知b＜0，抛物线交于y轴的正半轴，可知c＞0，同时可得到ab的符号，可对①作出判断；利用二次函数的对称性可知抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-3，0），由此可得到当x=-2时y＞0，可对②作出判断；利用抛物线的对称轴可知b=2a，观察函数图象，可知当x=2时y＜0，即可得到4a+2b+c＜0，代入化简，可对③作出判断；由当x=1时a+b+c=0和b=2a，可得到c=-3a，再求出3a-3b=-3a，据此可对④作出判断；将两函数解析式联立方程组，可得到关于x的一元二次方程：ax2+（b-2）x+c-2=0，利用一元二次方程根与系数的关系，可表示出x1+x2及x1x2，由c=-3a，b=2a，将其代入x1+x2+x1x2，可求出x1+x2+x1x2的值，可对⑤作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
10．如图，函数的图象经过斜边OB的中点C，连结AC.如果，那么的周长为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，过点C作于E，
∵点C是BO的中点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴CE是的中位线，
∴，，
∵点在上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的周长为：.
故答案为：D.
【分析】过点C作CE⊥AO于E，根据直角三角形斜边上中线的性质可得AC=BC=CO=3，则BO=6，易得CE是△ABO的中位线，则AB=2CE，AO=2EO，根据点C在反比例函数图象上可得CE·OE=2，则AB·AO=8，由勾股定理可得AB2+AO2=BO2=36，然后结合(AB+AO)2=AB2+AO2+2AB·AO求出AB+AO，据此可得△ABO的周长.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11． 已知点和点都在同一个反比例函数图象上，则m的值为 ．
【答案】
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：点和点都在同一个反比例函数图象上，
2×（-3）=1×m，
m=-6.
故答案为：-6.
【分析】根据反比例函数图象上的点的坐标特征建立方程即可求得m的值.
12．若函数是关于的二次函数，则满足条件的的值为 ．
【答案】2
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：由题意，得，解得m=2
故答案为：2.
【分析】根据二次函数的定义可得x的指数为2，系数不能为0组成方程组，解方程得到m的值.
13．反比例函数中自变量x的取值范围
【答案】x≠0
【知识点】反比例函数的概念
【解析】【解答】解：∵自变量x在分母上，分式的分母不为0，
∴x≠0．
故答案为：x≠0．
【分析】根据分母不为0可得x的取值范围．
14．抛物线的形状大小、开口方向都与y＝﹣12x2相同且顶点为（1，﹣2），则该抛物线的解析式为 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：设抛物线的解析式为y=a（x-h）2+k，且该抛物线的形状与开口方向和抛物线y=-12x2相同，
∴a=-12，
∴y=-12（x-h）2+k，
∴y=-12（x-1）2-2，
故答案为：y＝﹣12（x﹣1）2﹣2．
【分析】先求出a=-12，再求出y=-12（x-h）2+k，最后求解即可。
15．如图抛物线与轴交于，与轴交于点，点为顶点，线段上有一动点，以为底边向下作等腰三角形，且，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；二次函数-动态几何问题
【解析】 【解答】解：令y=0得：解得：即 抛物线与轴交于与轴交于点又将抛物线的一般方程配成顶点方程可得：则抛物线的顶点P坐标为，对称轴直线方程为：设直线AP的方程为：将A、P两点代入得：解得：即直线AP的方程为：
∵为线段上一动点，∴可设点D的坐标为过点E作x轴的平行线交y轴于点N，交过D点的与y轴平行线于点M，
设点E的坐标为，则∵
∴又在和中，∴（AAS），
∴则解得故点E的坐标为：根据两点间的距离公式可得：,故当时，有最小值，即 的最小值为.
故答案为：.
【分析】本题主要考查二次函数与几何问题得综合运用、三角形全等的判定与性质、两点间的距离公式，根据已知条件分别求得点A、B、P的坐标，然后在运用待定系数法求得直线AP的方程，进而可设出点D的坐标，设点E的坐标为，再证明，得到得出a、b关于m的表达式，再运用两点式表示出，运用二次函数的性质即可求出的最小值，进而求出答案.
16．如图，抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A(-1，p)，B(2，q)两点，则不等式ax2+mx+c>n的解集是 。
【答案】
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：如图， y=mx+n图象与 y=-mx+n图象关于y轴对称，
由题意得：-m+n=p， 2m+n=q ，
∴抛物线y=ax2+c与直线y=-mx+n交于P(1，p)， (-2，q)，
看图象可知：当-2抛物线y=ax2+c在直线y=-mx+n在上方，
∴不等式ax2+mx+c>n的解集为-2故答案为：-2【分析】因为y=mx+n图象与 y=-mx+n图象关于y轴对称，结合A(-1，p)，B(2，q)两点， 则抛物线y=ax2+c与直线y=-mx+n交于P(1，p)， (-2，q)， 看图象即可得出：当-2n的解集为-2三、综合题（本大题共9小题，共72分）
17．如图，直线y=﹣x+2过x轴上的点A（2，0），且与抛物线y=ax2交于B，C两点，点B坐标为（1，1）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连结OC，求出△AOC的面积．
（3）当 -x+2＞ax2 时，请观察图像直接写出x的取值范围.
【答案】（1）解：∵点B在抛物线上，
∴1=a×1，
∴a=1，
∴ y=x2 .
（2）由题意得：-x+2=x2
得 -2
∴C(-2，4)
∴
（3）-2＜x＜1
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】(1)利用待定系数法抛物线解析式即可；
(2)联立直线和抛物线的函数式求出C点坐标，然后根据三角形面积公式计算即可；
(3)看图象，找出直线在抛物线上方部分，读出这时的x范围即可.
18．已知函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+2﹣2m．
（1）若这个函数是二次函数，求m的取值范围．
（2）若这个函数是一次函数，求m的值．
（3）这个函数可能是正比例函数吗？为什么？
【答案】（1）函数y=(m2-m)x2+(m-1)x+2-2m，
若这个函数是二次函数，则m2-m≠0，解得：m≠0且m≠1。
（2）若这个函数是一次函数，则m2-m=0，m-1≠0，解得m=0.
（3）这个函数不可能是正比例函数，
∵当此函数是一次函数时，m=0，而此时2-2m≠0.
【知识点】一次函数的概念；二次函数的定义
【解析】【分析】（1）根据二次函数的二次项系数不能为0，列出不等式，求解得出m的取值范围；
（2）根据一次函数的定义，一次项的系数不为零，二次项的系数等于0，列出混合组，求解得出m的值。
19．泡茶需要将电热水壶中的水先烧到100℃，然后停止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温y(℃)与时间x(min)成一次函数关系；停止加热过了1分钟后，水壶中水的温度y(℃)与时间x(min)近似于反比例函数关系(如图)．已知水壶中水的初始温度是20℃，降温过程中水温不低于20℃．
（1）分别求出图中所对应的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围：
（2）从水壶中的水烧开(100℃)降到90℃就可以泡茶，问从水烧开到泡茶需要等待多长时间？
【答案】（1）解：停止加热时，设 ，
由题意得：50＝ ，
解得：k＝900，
∴y＝ ，
当y＝100时，解得：x＝9，
∴C点坐标为(9，100)，
∴B点坐标为(8，100)，
当加热烧水时，设y＝ax+20，
由题意得：100＝8a+20，
解得：a＝10，
∴当加热烧水，函数关系式为y＝10x+20(0≤x≤8)；
当停止加热，得y与x的函数关系式 为y＝100(8＜x≤9)；y＝ (9＜x≤45)；
（2）解：把y＝90代入y＝ ，得x＝10，
因此从烧水开到泡茶需要等待10﹣8＝2分钟．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）将点D的坐标代入反比例函数的一般式利用待定系数法求出反比例函数解析式，然后求出点C和点B的坐标，从而用待定系数法确定一次函数的解析式即可；
（2）将y=80代入反比例函数的解析式，从而求得答案。
20．已知抛物线y1=ax2+bx+c的顶点A是直线y2=2x与y3= -2x+4的交点，且经过直线y3=-2x+4与y轴的交点B.
（1）求点A的坐标；
（2）求抛物线的表达式；
（3）当y1>y3时，写出x的取值范围.
【答案】（1）解：∵点A是直线y2=2x与y3= -2x+4的交点，
∴2x=-2x+4
解之：x=1
∴y=2
∴点A（1，2）.
（2）解：∵ 直线y3=-2x+4与y轴的交点B.
∴当x=0时y=4
∴点B（0，4）
∵二次函数的顶点坐标为（1，2）
∴设二次函数解析式为y1=a（x-1）2+2.
∴a（0-1）2+2=4
解之：a=2.
∴二次函数的解析式为y1=2（x-1）2+2.
（3）解：x>1或x<0
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（3）如图
∵直线y1=2（x-1）2+2与直线y3= -2x+4的交点坐标为（1，2）和（0，4）
∴当y1>y3时，x>1或x<0.
【分析】（1）由点A是直线y2=2x与y3= -2x+4的交点，将两函数解析式联立方程组，解方程组可得到点A的坐标.
（2）根据直线y3=-2x+4与y轴的交点B，求出点B的坐标；设二次函数解析式为y1=a（x-1）2+2，将点B的坐标代入函数解析式可求出a的值，即可得到二次函数的解析式.
（3）画出两函数图象，可得到直线y1=2（x-1）2+2与直线y3= -2x+4的交点坐标为（1，2）和（0，4），根据图象，可得到当y1>y3时，x的取值范围.
21．某公司的商品进价每件60元，售价每件130元，为了支持“抗新冠肺炎”，每销售一件捐款4元．且未来30天，该商品将开展每天降价1元”的促销活动，即从第一天起每天的单价均比前一天降1元，市场调查发现，设第x天（1≤x≤30且x为整数）的销量为y件，y与x满足一次函数数关系，其对应数据如表：
X（天） …… 1 3 5 7 ……
Y（件） …… 35 45 55 65 ……
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）在这30天内，哪一天去掉捐款后的利润是6235元？
（3）设第x天去掉捐款后的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大，最大利润是多少元？
【答案】（1）解：设y与x满足的一次函数数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（1，35），（3，45）分别代入y＝kx+b中，得： ，
解得： ，
∴y与x的函数关系式为y＝5x+30；
（2）解：设第x天去掉捐款后的利润为6235元
根据题意得：（130﹣x﹣60﹣4）（5x+30）＝6235，
整理得：x2﹣60x+851＝0，
解得：x＝23或x＝37（舍），
∴在这30天内，第23天去掉捐款后的利润是6235元；
（3）解：由题意得：W＝（130﹣x﹣60﹣4）（5x+30）＝﹣5x2+300x+1980
即W与x之间的函数关系式为W＝﹣5x2+300x+1980
∵W＝﹣5x2+300x+1980＝﹣5（x﹣30）2+6480，且a＝﹣5＜0，
∴当x＝30时，W有最大值，最大值为6480元．
∴W与x之间的函数关系式是W＝﹣5x2+300x+1980，第30天的利润最大，最大利润是6480元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出 x2﹣60x+851＝0， 再计算求解即可；
（3）根据题意求出W ＝﹣5（x﹣30）2+6480， 再求解即可。
22．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，连接BC，点D是第四象限抛物线上一点，过点D作DE⊥x，轴于点E，交线段BC于点F，连接AD、AF、BD．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设点D的横坐标为m，求四边形ADBF面积的最大值；
（3）在（2）的条件下，将四边形ADBF沿直线DE向上平移得到四边形A1D1B1F1（A、D、B、F的对应点分别为A1、D1、B1、F1），直线A1D1与直线AF交于点H．点P在B点左侧的抛物线上，点Q在直线B1F1上，当以点P、Q、B、B1为顶点的四边形是平行四边形，且D1HA1H时，请直接写出点P的横坐标．
【答案】（1）解：把A（1，0）、B（3，0）代入y＝x2＋bx＋c
得
解得
∴y＝x2-4x＋3；
（2）解：令x=0，得y＝3
∴C（0，3）
设直线BC的解析式为y=kx+b
把B（3，0）、C（0，3）代入得
解得
∴直线BC的解析式为y=-x+3
∵点D的横坐标为m，
∴D（m，m2-4m＋3）、F （m，-m＋3）
∴FD=（-m＋3）-（m2-4m＋3）=- m2+3m
∵A（1，0）、B（3，0）
∴AB=2
∵四边形ADBF面积为=- m2+3m=-（m-）2+
∴当m=时，四边形ADBF面积的最大值为；
（3）0或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（3）如图，
由（2）可得D（，）、F（，）
将四边形ADBF沿直线DE向上平移得到四边形A1D1B1F1，设沿直线DE向上平移h个单位
故A1（1，h）、B1（3，h）、D1（，+h）、F1（，+h）
∵直线A1D1与直线AF交于点H，D1HA1H，AA1DF
∴△AA1H∽△FD1H
∴=
∴
∵F=-（+h）=-h，A1A=h
∴
解得h=
∴A1（1，）、B1（3，）、D1（，）、F1（，3）
设直线B1F1的解析式为y=px+q
把B1（3，）、F1（，3）代入得，解得
∴直线B1F1的解析式为y=-x+
设P点的坐标为（x，x2-4x＋3），
∵点P、Q、B、B1为顶点的四边形是平行四边形
∴PQBB1，PQ=BB1=，
∴Q点坐标为（x，-x+）
∵PQ=，
故
解得x1=0，x2=3，x3=，x4=
∵点P在B点左侧的抛物线上，
∴x1=0，x3=
故点P的横坐标为0或．
【分析】（1） 把A（1，0）、B（3，0）代入y＝x2＋bx＋c ，即可得出抛物线的表达式；
（2） 令x=0，得y＝3，得出C（0，3），设直线BC的解析式为y=kx+b，把B（3，0）、C（0，3）代入得k、b的值，可得出 直线BC的解析式 ，根据点D的横坐标为m，得出 D（m，m2-4m＋3）、F （m，-m＋3） ，由FD =（-m＋3）-（m2-4m＋3）=- m2+3m ，故 四边形ADBF面积为=- m2+3m=-（m-）2+ ， 当m=时，四边形ADBF面积的最大值为；
（3）由（2）可得D（，）、F（，），将四边形ADBF沿直线DE向上平移得到四边形A1D1B1F1，设沿直线DE向上平移h个单位，故A1（1，h）、B1（3，h）、D1（，+h）、F1（，+h），证出△AA1H∽△FD1H，设直线B1F1的解析式为y=px+q，把B1（3，）、F1（，3）代入即可得出直线B1F1的解析式，设P点的坐标为（x，x2-4x＋3），从而得出x的值，即可得出点P的横坐标。
23．已知抛物线经过点．与y轴交于点A．其顶点为B．设k是抛物线与x轴交点的横坐标，
（1）求b的值．
（2）求的面积．
（3）求代数式的值．
【答案】（1）解：将点代入中，
得，
解得．
（2）解：如图，
由（1）知抛物线的表达式为，
将代入中，得，
∴点，
∴．
∵顶点的横坐标为，
∴，
∴．
（3）解：∵k是抛物线与轴交点的横坐标，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴．
∴
．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点坐标代入抛物线解析式即可求出答案.
（2）根据抛物线解析式可求出点A坐标为，则，根据点B是抛物线的顶点可得的横坐标为，再根据三角形面积公式即可求出答案.
（3）由k是抛物线与x轴交点的横坐标可得，变形后，利用整体代入即可求出答案.
24．如图，直线与双曲线交于A，两点，点A的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连结并延长交轴于点，且．
（1）求的值，并直接写出点的坐标；
（2）点是轴上的动点，连结，，求的最小值和点坐标；
（3）是坐标轴上的点，是平面内一点，是否存在点，，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将点A的坐标为代入直线中，
得，
解得：，
，
，
B的坐标为
（2）解：如图，作轴于点E，轴于点F，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
作点B关于y轴的对称点，连接交y轴于点G，则即为的最小值，
，
，
，
设的解析式为，
，
，
解得： ，
解析式为，
当时，，
；
（3）解：存在．理由如下：
当点P在x轴上时，如图，
设点 的坐标为 ，过点B作轴于点M，
四边形是矩形，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
经检验符合题意，
∴点 的坐标为；
当点P在y轴上时，过点B作轴于点N，如图2，
设点 的坐标为，
四边形是矩形，
，
，，
，
，
即，
，
经检验符合题意，
∴点的坐标为，
综上所述，点P的坐标为或．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）把A的坐标代入直线得 ，接着把代入可得k的值，由反比例函数和正比例函数的两个交点关于原点成中心对称可得B的坐标；
（2） 作轴于点E，轴于点F，则， 易得，已知，求得C的坐标，根据将军饮马模型，作点B关于y轴的对称点B'，连接B'C交y轴于点G，则B'C即为BG +GC的最小值，运用勾股定理即可求得BG +GC的最小值，利用待定系数法结合点C和点B'的坐标求出直线B'C的解析式，令x=0，代入解析式，即可求得G的坐标；
（3）分两种情况：①当点P在x轴上时，设点 的坐标为 ，过点B作轴于点M， 通过△OBM∽△OP1B，利用对应边成比例，建立方程求解即可，②当点P在y轴上时，过点B作轴于点N，设点 的坐标为，利用△BON∽△P2OB，利用对应边成比例，建立方程求解即可.
25．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．
（1）求每次下降的百分率．
（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
（3）在（2）的条件下，若使商场每天的盈利达到最大值，则应涨价多少元？此时每天的最大盈利是多少？
【答案】（1）解：设每次下降的百分率是x，则由题意列方程得：
解之得：（舍去），，
故每次下降的百分率是；
（2）解：设每千克应涨价a元，利润为W，则由题意列方程得：
令，解方程得：或，
∵要尽快减少库存，
∴取，即每千克应涨价5元
（3）解：由（2）可得，
当时，W取最大值为6125元，
∴应涨价7.5元，此时每天的最大盈利是6125元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每次下降的百分率是x，根据题意列出方程，再求解即可；
（2）设每千克应涨价a元，利润为W，根据题意列方程，再将W=6000代入求解即可；
（3）将二次函数变形为，再求解即可。
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