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第1章 分式 单元综合巩固卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（ ）
A． B． C． D．
2．已知：，，，则a，b，c大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．将 中的 都扩大4倍，则分式的值（ ）
A．不变 B．扩大 倍 C．扩大 倍 D．扩大 倍
4．某校计划修建一条500米长的跑道，开工后每天比原计划多修15米，结果提前2天完成任务．如果设原计划每天修x米，那么根据题意可列出方程（ ）
A．﹣＝2 B．﹣＝2
C．﹣＝2 D．﹣＝2
5．数学文化《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．若分式 的值为负数，则x的取值范围是（ ）
A．x＜2 B．x＞2 C．x＞5 D．x＜﹣2
7．当x分别取﹣2015、﹣2014、﹣2013、…，、﹣2、﹣1、0、1、 、 、…、 、 、 时，计算分式 的值，再将所得结果相加，其和等于（ ）
A．﹣1 B．1 C．0 D．2015
8．若 是整数，则使分式 的值为整数的 值有（ ）个.
A．2 B．3 C．4 D．5
9．已知，，，，…，， 则y2021=（ ）
A． B．2-x C． D．1
10．将甲、乙、丙三个正分数化为最简分数后，其分子分别为6、15、10，其分母的最小公倍数为360．判断甲、乙、丙三数的大小关系为何？（ ）
A．乙＞甲＞丙 B．乙＞丙＞甲 C．甲＞乙＞丙 D．甲＞丙＞乙
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．若分式 的值为0，则x的值是 .
12．当x＝ 时，分式 的值为0.
13．如果等式，那么的值为 ．
14．若分式方程有增根，则k＝ ．
15．对于代数式，，定义运算“”：，例如：若，则 ．
16．重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆摊）三种方式经营，6月份该火锅店食、外卖、摆摊的三种方式之比为3：5：2．随着促进消费收策的出台，该火锅店老板预计7月份总营业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的，则摆摊的营业额将达到7月份总营业额的，为使堂食、外买7月份的营业的之比为8：5，则7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是 ．
17．若 ，则x= ．
18．当x分别取﹣ 、﹣ 、﹣ 、…、﹣ 、﹣2、﹣1、0、1、2、…、2015、2016、2017时，计算分式 的值，再将所得结果相加，其和等于 ．
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．计算下列各题：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
20．列方程解应用题：
初二（1）班组织同学乘大巴车前往爱国教育基地开展活动，基地离学校有60公里，队伍12：00从学校出发，张老师因有事情，12：15从学校自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达基地，问：
（1）大巴与小车的平均速度各是多少？
（2）张老师追上大巴的地点到基地的路程有多远？
21．列方程解应用问题：甲、乙两个小组同时开始登山.
（1）若山高 ，甲组的攀登速度（单位： ）是乙组的1.2倍，甲组比乙组早 到达山顶.求甲组的攀登速度；
（2）如果山高为 ，甲组的攀登速度（单位： ）是乙组的 倍，甲组比乙组早 到达山顶.求乙组的攀登速度.
22．（1）先化简 ，再解答下列问题：
（2）当a＝20210时，求原式的值；
（3）若原式的值是正整数，则求出对应的a的值.
23．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如，；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，．假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，如：＝＝1﹣．根据以上材料，解决下列问题：
（1）分式是 （填“真分式”或“假分式”）；
（2）将假分式化为整式与真分式的和的形式；
（3）当x取什么整数时的值为整数．
24．某礼品店从文化用品市场批发甲、乙、丙三种礼品(每种礼品都有)，各礼品的数量和批发单价列表如下：
甲 乙 丙
数量(个) m
批发单价(元)
（1）当时，若这三种礼品共批发个，甲礼品的总价不低于丙礼品的总价，求a的最小值．
（2）已知该店用元批发了这三种礼品，且．
当时，若批发这三种礼品的平均单价为元/个，求b的值．
当时，若该店批发了个丙礼品，且a为正整数，求a的值．
25．已知 ， ， ．
（1）当 ， ， 时，求 的值；
（2）当 时,求 的值．
26．数学课堂上，老师提出问题：可以通过通分将两个分式的和表示成一个分式的形式，是否也可以将一个分式 表示成两个分式和的形式？其中这两个分式的分母分别为x+1和x-1，小明通过观察、思考，发现可以用待定系数法解决上面问题.具体过程如下：
设
则有
故此 解得
所以 =
问题解决：
（1）设 ，求A、B．
（2）直接写出方程 的解.
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第1章 分式 单元综合巩固卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据可得，再利用分式的减法计算方法求解即可。
2．已知：，，，则a，b，c大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数的大小比较-其他方法
【解析】【解答】解：，
，
，
∴ 1＜4＜8
∴ c＜b＜a
故答案为 ： C
【分析】本题考查负整数指数幂、偶次幂、0次幂及实数比较大小。根据a-n=（a≠0）得a值，再根据a0=1（a≠0）计算出c的值，根据实数比较大小的方法（正数大于0，0大于负数）得出结论即可。
3．将 中的 都扩大4倍，则分式的值（ ）
A．不变 B．扩大 倍 C．扩大 倍 D．扩大 倍
【答案】B
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：∵将 中的a 、b都扩大4倍
∴
∴将 中的a 、b都扩大4倍，分式的值扩大4倍．
故答案为：B
【分析】利用分式的基本性质求解即可。
4．某校计划修建一条500米长的跑道，开工后每天比原计划多修15米，结果提前2天完成任务．如果设原计划每天修x米，那么根据题意可列出方程（ ）
A．﹣＝2 B．﹣＝2
C．﹣＝2 D．﹣＝2
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设原计划每天修米，则实际每天修米，
由题意得，原计划需用的时间为天，实际用的时间为天，
∴可列得方程为：﹣＝2.
故答案为：A.
【分析】根据工程问题的基本关系式：工作时间=工作总量工作效率，根据题意，利用工作时间来列等量关系即可.
5．数学文化《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设规定时间为x天，由题意得，
故答案为：A
【分析】设规定时间为x天，根据“把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍”即可列出分式方程，进而即可求解。
6．若分式 的值为负数，则x的取值范围是（ ）
A．x＜2 B．x＞2 C．x＞5 D．x＜﹣2
【答案】A
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：若分式 的值为负数，
则2﹣x＞0，解得x＜2．
则x的取值范围是x＜2．
故答案为：A．
【分析】根据分式的值为负数，分子为-5，得到分母2﹣x＞0，求出x的取值范围.
7．当x分别取﹣2015、﹣2014、﹣2013、…，、﹣2、﹣1、0、1、 、 、…、 、 、 时，计算分式 的值，再将所得结果相加，其和等于（ ）
A．﹣1 B．1 C．0 D．2015
【答案】A
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：设a为负整数．
∵当x=a时，分式的值= ，当x= 时，分式的值= = ，
∴当x=a时与当x= 时两分式的和= + =0．
∴当x的值互为负倒数时，两分式的和为0．
∴所得结果的和= =﹣1．
故答案为：A．
【分析】算几个特殊值，可观察出规律，最中间的x=0时，值为-1，其他项合并为0.
8．若 是整数，则使分式 的值为整数的 值有（ ）个.
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：
由题意可知， 是6的整数约数，
∴
解得： ，
其中x的值为整数有： 共4个.
故答案为：C.
【分析】先将假分式 分离可得出 ，根据题意只需 是6的整数约数即可.
9．已知，，，，…，， 则y2021=（ ）
A． B．2-x C． D．1
【答案】A
【知识点】分式的混合运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵，
∴，
，
，
∴这列式子的结果以、、为周期，每3个数一循环，
∵2021÷3=673…2，
∴，
故答案为：A.
【分析】分式的混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的；
（1）分式的加减法：①同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；②异分母分式相加减，先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后按照同分母分式加减法运算；
（2）分式的乘法：用分母的积做分母，分子的积做分子；
（3）分式的除法：除以一个数，等于乘以这个数的倒数，再按照分式的乘法法则进行运算；
本题先化简前几个式子，即可发现规律：这列式子的结果以、、为周期，每3个数一循环，从而利用2021÷3，看余数即可得出答案.
10．将甲、乙、丙三个正分数化为最简分数后，其分子分别为6、15、10，其分母的最小公倍数为360．判断甲、乙、丙三数的大小关系为何？（ ）
A．乙＞甲＞丙 B．乙＞丙＞甲 C．甲＞乙＞丙 D．甲＞丙＞乙
【答案】A
【知识点】最简分式的概念
【解析】【解答】解：360=2×2×2×3×3×5；
因为6=2×3，
所以化简后的甲的分母中不含有因数2、3，只能为5，
即化简后的甲为 ；
因为15=3×5，
所以化简后的乙的分母中不含有因数3、5，只能为2，4或8；
因为10=2×5，
所以化简后的丙的分母中不含有因数2、5，只能为3或9；
因为化简后的三个数的分母的最小公倍数为360，甲的分母为5，
所以乙、丙的最小公倍数是360÷5=72，
⑴当乙的分母是2时，丙的分母是9时，
乙、丙的最小公倍数是：2×9=18，
它不满足乙、丙的最小公倍数是72；
⑵当乙的分母是4时，丙的分母是9时，
乙、丙的最小公倍数是：4×9=36，
它不满足乙、丙的最小公倍数是72；
所以乙的分母只能是8，丙的分母只能是9，
此时乙、丙的最小公倍数是：8×9=72，
所以化简后的乙是 ，丙是 ，
因为 ，
所以乙＞甲＞丙．
故答案为：A．
【分析】首先将360分解质因数，根据甲，乙和丙化为最简分数后的分子，可以对他们的分母情况进行假设排除，即甲的分母只能为5；乙为2，4或8；丙为3和9。根据化简之后的乙和丙的分母情况进行分来讨论，从而得出三个数的具体数值，进行大小的比较即可。
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．若分式 的值为0，则x的值是 .
【答案】0
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式 的值为0，
∴x＝0.
将x＝0代入x+1＝1≠0.
当x＝0时，分式分式 的值为0.
故答案为：0.
【分析】分式值为0的条件：分子为0且分母不为0，据此解答即可.
12．当x＝ 时，分式 的值为0.
【答案】2
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式 的值为0，
∴x﹣2＝0，2x-3≠0
解得：x＝2。
故答案为：2。
【分析】根据分式的分子等于0且分母不为0的时候，分式的值为0，从而列出混合组，求解即可。
13．如果等式，那么的值为 ．
【答案】0或-2或2
【知识点】零指数幂；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解： ，
当 时，原式 ，
当 时，原式 ，
当 时，原式 ，
故 的值为：0或-2或2．
故答案为：0或-2或2.
【分析】根据有理数的乘方法则可得a-1=±1且a+2为偶数，由0次幂的运算法则可得a+2=0且a-1≠0，求解可得a的值.
14．若分式方程有增根，则k＝ ．
【答案】
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解： ，
去分母得2k+3=x-1，
解得x=2k+4，
∵原分式方程有增根，
∴x-1=0，
∴x=1，
∴2k+4=1，
解得k=.
故答案为：.
【分析】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值，据此可求解．
15．对于代数式，，定义运算“”：，例如：若，则 ．
【答案】-5
【知识点】分式的化简求值；定义新运算
【解析】【解答】解：由题意可得：（x-1）※（x+2）＝=，
又∵（x-1）※（x+2）＝+，
∴＝+===，
∴2x-5=（A+B）x+2A-B，
∴2A-B=-5.
故答案为：-5．
【分析】（x-1）※（x+2）＝=，从而得（x-1）※（x+2）＝+，将等式右边同分后得2x-5=（A+B）x+2A-B，进而可得到2A-B=-5.
16．重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆摊）三种方式经营，6月份该火锅店食、外卖、摆摊的三种方式之比为3：5：2．随着促进消费收策的出台，该火锅店老板预计7月份总营业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的，则摆摊的营业额将达到7月份总营业额的，为使堂食、外买7月份的营业的之比为8：5，则7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是 ．
【答案】
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：由6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊的三种方式之比为3：5：2，设6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊营业额分别为3m，5m，2m，
设7月份总营业额增加x，则摆摊增加的营业额为x，
∵摆摊的营业额将达到7月份总营业额的，
∴，
解得x＝30m，
∴7月份摆摊增加的营业额为×30m＝12m，堂食、外买增加的营业额之和为30m﹣12m＝18m，
设7月份堂食增加的营业额为y，则外买增加的营业额为18m﹣y，
∵堂食、外买7月份的营业额之比为8：5，
∴，
解得y＝13m，
∴7月份外卖增加的营业额为18m﹣y＝5m，
∴7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是＝；
故答案为：．
【分析】根据由6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊的三种方式之比为3：5：2，设6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊营业额分别为3m，5m，2m，设7月份总营业额增加x，则摆摊增加的营业额为x，摆摊的营业额将达到7月份总营业额的，列出分式方程解得7月份摆摊增加的营业额为12m，堂食、外买增加的营业额之和为18m，设7月份堂食增加的营业额为y，则外买增加的营业额为18m﹣y，根据堂食、外买7月份的营业额之比为8：5，列出分式方程求出7月份外卖增加的营业额，进而得到7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比，从而求解.
17．若 ，则x= ．
【答案】2或-1
【知识点】零指数幂；乘方的相关概念
【解析】【解答】当x+1=0，即x=-1时，原式=（-2） 0 =1；
当x-1=1，x=2时，原式=1 3 =1；
当x-1=-1时，x=0，（-1） 1 =-1，舍去．
故答案为：2或-1．
【分析】根据乘方的意义及零指数的意义分类讨论：当x+1=0，即x=-1时 ；当x-1=1，x=2时 ；当x-1=-1时，x=0，（-1） 1 =-1，舍去．再将x的值代入计算即可。
18．当x分别取﹣ 、﹣ 、﹣ 、…、﹣ 、﹣2、﹣1、0、1、2、…、2015、2016、2017时，计算分式 的值，再将所得结果相加，其和等于 ．
【答案】﹣ ．
【知识点】分式的化简求值；探索数与式的规律
【解析】【解答】解： = =﹣ =﹣（1﹣ ）= ﹣1，
= =1﹣ ，
则当x=﹣ 、﹣ 、﹣ 、…、﹣ 时，代入后所得结果的和是【 ﹣1】+【 ﹣1】+…+【 ﹣1】= + +…+ ﹣2016，
x=﹣2、﹣1、0、1时，代入所得的式子的和是：【1﹣ 】+【1﹣ 】+【1﹣ 】+【1﹣ 】= +0﹣1﹣0=﹣ ．
当x=2、…、2015、2016、2017时，代入所得结果的和是【1﹣ 】+…+【1﹣ 】+【1﹣ 】= +0+0﹣0﹣（ + +…+ + ）+2016=2016﹣（ + +…+ ）
则x分别取﹣ 、﹣ 、﹣ 、…、﹣ 、﹣2、﹣1、0、1、2、…、2015、2016、2017时，计算分式 的值，再将所得结果相加是﹣ ．
故答案是：﹣ ．
【分析】先将分式进行变形，然后将x的值是正数与分数的情况分别代入，再将所得结果相加即可。
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．计算下列各题：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【知识点】同底数幂的除法；有理数的乘方法则；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：（1） ；
故答案为：x3；
（2） ；
故答案为：a2b2；
（3） ；
故答案为：m6；
（4） .
故答案为： x4.
【分析】（1）同底数幂的相乘，底数不变，指数相加，依此计算即可；
（2）积的乘方等于乘方的积，依此计算即可；
（3）根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，依此计算即可；
（4）同底数幂的相除，底数不变，指数相减，依此计算即可.
20．列方程解应用题：
初二（1）班组织同学乘大巴车前往爱国教育基地开展活动，基地离学校有60公里，队伍12：00从学校出发，张老师因有事情，12：15从学校自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达基地，问：
（1）大巴与小车的平均速度各是多少？
（2）张老师追上大巴的地点到基地的路程有多远？
【答案】（1）解：设大巴的平均速度是x公里/小时，则小车的平均速度是1.5x公里/小时，
根据题意得： ，
解得：x=40，
经检验：x=40是原方程的解，
1.5x=1.5×40=60．
答：大巴的平均速度是40公里/小时，小车的平均速度是60公里/小时
（2）解：设张老师追上大巴的地点到基地的路程有y公里，根据题意得：
，
解得：y=30，
答：张老师追上大巴的地点到基地的路程有30公里．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）根据“大巴车行驶全程所需时间=小车行驶全程所需时间+小车晚出发的时间+小车早到的时间”列分式方程求解可得；（2）根据“从学校到相遇点小车行驶所用时间+小车晚出发时间=大巴车从学校到相遇点所用时间”列方程求解可得．
21．列方程解应用问题：甲、乙两个小组同时开始登山.
（1）若山高 ，甲组的攀登速度（单位： ）是乙组的1.2倍，甲组比乙组早 到达山顶.求甲组的攀登速度；
（2）如果山高为 ，甲组的攀登速度（单位： ）是乙组的 倍，甲组比乙组早 到达山顶.求乙组的攀登速度.
【答案】（1）解：设乙组的攀登速度是xm/min，则甲组的攀登速度是1.2xm/min，根据题意得：
，
解得x＝5.
经检验，x＝5是原分式方程的解.
则1.2x＝1.2×5＝6（m/min）.
答：甲组的攀登速度是6m/min.
（2）解：设乙组的攀登速度是ym/min，则甲组的攀登速度是kym/min，根据题意得：
，
解得 .
经检验， 是原分式方程的解.
答：乙组的攀登速度是 m/min.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）根据题意得出等量关系为：乙组的攀登时间-甲组的攀登时间= ，设乙组的攀登速度是xm/min，则甲组的攀登速度是1.2xm/min，则可以用路程与速度表示出时间，列出相应的分式方程，本题得解；
（2）根据题意可得与（1）相同的等量关系，设乙组的攀登速度是ym/min，则甲组的攀登速度是kym/min，则可以用路程与速度表示出时间，列出相应的分式方程，求解后即可得出结果.
22．（1）先化简 ，再解答下列问题：
（2）当a＝20210时，求原式的值；
（3）若原式的值是正整数，则求出对应的a的值.
【答案】（1）解：原式=
=
=
=
=
=
（2）解：因为a＝20210=1，代入原式= =3
（3）解：因为要使值为正整数，故分母要为负数且能够被6整除
所以a-3的值可以是-6，-3，-2，-1
故a=-3，0，1或2.
当a=-3或2的时候，原分式没有意义
故a的值取0或1.
【知识点】分式的值；分式的化简求值；零指数幂
【解析】【分析】先将各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式，同时将除法转变为乘法，然后计算分式的乘法，接着通分计算异分母分式的加减法得出结果；
（1）根据0指数幂的意义求出a的值，将a的值代入化简后的式子求解出答案即可；
（2）要使值为正整数，故分母要为负数且能够被6整除，能得出答案，再结合分式有意义就可得出最终答案.
23．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如，；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，．假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，如：＝＝1﹣．根据以上材料，解决下列问题：
（1）分式是 （填“真分式”或“假分式”）；
（2）将假分式化为整式与真分式的和的形式；
（3）当x取什么整数时的值为整数．
【答案】（1）真分式
（2）解：
＝
＝
＝x+2-；
（3）解：
＝
＝
＝
＝
＝
＝﹣2+，
∵x≠±1且x≠0，x≠2，
∴当x＝3时，原式＝﹣2+1＝﹣1．
【知识点】分式的混合运算；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）分式是真分式，
故答案为：真分式；
【分析】（1）根据题干中的定义求解即可；
（2）根据题干中的计算方法求解即可；
（3）利用分式的混合运算和题干中的化简方法求解即可。
24．某礼品店从文化用品市场批发甲、乙、丙三种礼品(每种礼品都有)，各礼品的数量和批发单价列表如下：
甲 乙 丙
数量(个) m
批发单价(元)
（1）当时，若这三种礼品共批发个，甲礼品的总价不低于丙礼品的总价，求a的最小值．
（2）已知该店用元批发了这三种礼品，且．
当时，若批发这三种礼品的平均单价为元/个，求b的值．
当时，若该店批发了个丙礼品，且a为正整数，求a的值．
【答案】（1）解：由题意得：，解得，
∴，
解得：，
答：a的最小值为30；
（2）解：①由题意得，
解得，
经检验，是分式方程的解且符合题意，
∴，
把代入解得；
当时，由题意得，
把代入上式，化简得，即，
由于都为正整数，
所以当时，；
当时，由题意得，
把代入上式，化简得，即，
由于都为正整数，
所以当时，．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）根据题意列出不等式，再求出a的取值范围即可；
（2）①根据题意列出方程，再求解即可；
②分情况求解：当时，由题意得；当时，由题意得，再分别求解即可。
25．已知 ， ， ．
（1）当 ， ， 时，求 的值；
（2）当 时,求 的值．
【答案】（1）解： ，
当 时，
（2）解： ，
，
，
∵ ，
∴
=1.
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】（1）分别对x、y进行化简，然后求值即可；(2)分别求出 、 、和 值，然后代入化简即可.
26．数学课堂上，老师提出问题：可以通过通分将两个分式的和表示成一个分式的形式，是否也可以将一个分式 表示成两个分式和的形式？其中这两个分式的分母分别为x+1和x-1，小明通过观察、思考，发现可以用待定系数法解决上面问题.具体过程如下：
设
则有
故此 解得
所以 =
问题解决：
（1）设 ，求A、B．
（2）直接写出方程 的解.
【答案】（1）解：∵ ，
∴ ，
解得 ；
（2）解：设 ，
则有 ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
由（1）知， ，
∴原方程可化为 ，
解得 ，
经检验， 是原方程的解.
【知识点】分式的加减法；分式方程的解及检验；定义新运算
【解析】【分析】（1）根据题目所给方法进行求解即可；（2）根据题目所给方法先对等号左边各式进行变形化简，最后再解分式方程即可.
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