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第1章 反比例函数 单元全优达标卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列函数中，y是关于x的反比例函数的是（ ）
A．y＝﹣3x+6 B．y=x2 C．y＝ D．y＝
2．关于反比例函数y＝，下列说法不正确的是（ ）
A．函数图象分别位于第二、四象限
B．函数图象关于原点成中心对称
C．函数图象经过点（1，1）
D．当x＞0时，y随x的增大而减小
3．如图，点A是反比例函数 图象上任意一点， 轴于B，点C是x轴上的动点，则 的面积为( )
A．1 B．2 C．4 D．不能确定
4． 若点均在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．点 (2，4) 在反比例函数 的图象上，下列各点也在此函数图象上的是（ ）
A． B． C． D．
6．在同一平面直角坐标系中，反比例函数 与一次函数 的图象可能是下面的（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，直线与双曲线交于两点，轴于点，连接交轴于点。下列结论：①；②的面积为定值；③是的中点；④．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，在以 为原点的平面直角坐标系中，矩形 的两边 、 分别在 轴、 轴的正半轴上，反比例函数 的图象与 相交于点 ，与 相交于点 ，若 ，且 的面积是 ，则 的值为（ ）.
A． B．8 C．6 D．
9．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点M是边BC上一动点（不与B、C重合）．过点M的双曲线 （x>0）交AB于点N，连接OM、ON．下列结论：
①△OCM与△OAN的面积相等；②矩形OABC的面积为2k；③线段BM与BN的长度始终相等；④若BM=CM，则有AN=BN．其中一定正确的是（ ）
A．①④ B．①② C．②④ D．①③④
10．如图，已知点 A 、B分别在反比例函数 的图象上，且OA ⊥OB ，则 的值为（ ）
A． B．2 C． D．4
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．反比例函数的图像在每个象限内，y随x的增大而增大，则a的取值范围是 ．
12．请写出一个过点（1，1），且与x轴无交点的函数表达式 ．
13．验光师通过检测发现近视眼镜的度数度与镜片焦距米成反比例，关于的函数图象如图所示经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了 度
14．已知函数 是反比例函数，且图象位于第一、三象限，则 ．
15．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（kPa） 是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图．当气球内的气压大于120kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应 ．
16．如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A、C分别在x、y轴上，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M、N，ND⊥x轴，垂足为D，连接OM、ON、MN．下列结论：①△OCN≌△OAM；②ON＝MN； ③四边形DAMN与△MON面积相等；④若∠MON＝45°，MN＝2，则点C的坐标为（0，+1）．其中正确结论的有 ．
17．如图，边长为n的正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点A1，A2…An﹣1为OA的n等分点，点B1，B2…Bn﹣1为CB的n等分点，连结A1B1，A2B2，…An﹣1Bn﹣1，分别交曲线 （x＞0）于点C1，C2，…，Cn﹣1．若C15B15=16C15A15，则n的值为 ．（n为正整数）
18．如图，正方形ABCD的两个顶点A，B分别在x轴，y轴上，对角线相交于点E， .若反比例函数 的图象经过D，E两点，则k的值是 .
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．如图是反比例函数 的图象，当 时， ．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若M、N分别在反比例函数图象的两个分支上，请直接写出线段MN长度的最小值．
20．某工厂生产化肥的总任务一定，平均每天化肥产量y（吨）与完成生产任务所需要的时间x（天）之间成反比例关系，如果每天生产化肥125吨，那么完成总任务需要7天.
（1）求y关于x的函数表达式，并指出比例系数；
（2）若要5天完成总任务，则每天产量应达到多少？
21．小丽家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热……，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题：
（1）当时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式；
（2）求图中t的值；
（3）若小丽在通电开机后即外出散步，请你预测小丽散步70分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？
22．1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈!这就是有趣的“嗐转圈”现象.经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y/米是其两腿迈出的步长之差x/厘米（）的反比例函数，y与x之间有如表关系：
厘米 1 2 3 5
米 14 7 2.8
请根据表中的信息解决下列问题：
（1）求出y与x之间的函数解析式；
（2）若某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为35米，则其两腿迈出的步长之差是多少厘米？
23．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于和两点.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求点的坐标.
（3）根据图象直接写出不等式的解集.
24．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若点在轴的正半轴上，且，求的面积；
（3）若点在轴上，且为锐角，直接写出的取值范围．
25．如图1，一次函数y＝kx﹣3（k≠0）的图象与y轴交于点B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（8，1）．
（1）求出一次函数与反比例函数的解析式；
（2）点C是线段AB上一点（不与A，B重合），过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D，连接OC，OD，AD，当CD等于6时，求点C的坐标和△ACD的面积；
（3）在（2）的前提下，将△OCD沿射线BA方向平移一定的距离后，得到△O'CD'，若点O的对应点O'恰好落在该反比例函数图象上（如图2），求出点O'，D'的坐标．
26．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程，小哲根据已学的函数知识对函数 的图象与性质进行了探究，其探究过程中的列表如下：
-2 -1 0 2 3 4 …
1 2 2 1 …
（1）请写出 和 的值；
（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出该函数的图象；
（3）直线 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式 的解集.
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第1章 反比例函数 单元全优达标卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列函数中，y是关于x的反比例函数的是（ ）
A．y＝﹣3x+6 B．y=x2 C．y＝ D．y＝
【答案】D
【知识点】反比例函数的概念
【解析】【解答】解：A、是一次函数，不符合题意；
B、y=x2，不符合题意；
C、中，未知数的次数是次，不是反比例函数，不符合题意；
D、是反比例函数，符合题意．
故答案为：D
【分析】根据反比例函数的定义逐项判断即可。
2．关于反比例函数y＝，下列说法不正确的是（ ）
A．函数图象分别位于第二、四象限
B．函数图象关于原点成中心对称
C．函数图象经过点（1，1）
D．当x＞0时，y随x的增大而减小
【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数图象的对称性；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：
A、k=1＞0，双曲线y=的两个分支分别位于第一、三象限，故A符合题意；
B、根据反比例函数的图象的对称性得出函数图象关于原点成中心对称，故B不符合题意；
C、当x=1时y=1， 函数图象经过点（1，1），故C不符合题意；
D、当x＞0时，y随x的增大而减小，故D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】反比例函数y＝的图象是双曲线，根据双曲线的性质逐项进行判断，即可得出答案.
3．如图，点A是反比例函数 图象上任意一点， 轴于B，点C是x轴上的动点，则 的面积为( )
A．1 B．2 C．4 D．不能确定
【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：设A的坐标是：（m，n）．则n= ，即mn=2，
∵AB=m，AB边上的高是n．
∴S△ABC= mn= ×2=1．
故答案为：A．
【分析】设A的坐标是：（m，n）．则n= ，即mn=2，根据三角形的面积公式即可求解．
4． 若点均在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵k＞0，4＞2＞0，
∴0＜y2＜y3，
∵-3＜0，
∴y1＜0，
∴y3＞y2＞y1.
故答案为：C。
【分析】根据反比例函数的性质，即可得出答案。
5．点 (2，4) 在反比例函数 的图象上，下列各点也在此函数图象上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点（2，4）在反比例函数y= 的图象上，
∴k=2×4=8．
A、∵4×（-2）=-8≠8，∴此点不在函数图象上；
B、∵（-1）×8=-8≠8，∴此点不在函数图象上；
C、∵（-2）×4=-8≠8，此点不在函数图象上；
D、∵4×2=8，此点在函数图象上．
故答案为：D．
【分析】先把点（2，4）代入反比例函数y= ，求出k的值，再根据k=xy为定值对各选项进行逐一检验即可．
6．在同一平面直角坐标系中，反比例函数 与一次函数 的图象可能是下面的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：当k＞0时， -k＜0，
∴反比例函数 的图象在第一、三象限，一次函数y=kx-k的图象经过第一、三、四象限；
当k＜0时， -k＞0，
∴反比例函数 的图象在第二、四象限，一次函数y=kx-k的图象经过第一、二、四象限．
故答案为：B．
【分析】由图象结合性质判断反比例函数中的k和一次函数中的k的值是否一致。
7．如图，直线与双曲线交于两点，轴于点，连接交轴于点。下列结论：①；②的面积为定值；③是的中点；④．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作于点E，
因为 A、B两点在双曲线的图象上，轴于点，轴于点E，
所以设A，B，则E（），C（），
因为A、B两点在直线y=kx（k>0）的图象上，
所以，，
所以，
所以，则，
所以，
所以，即，
因为OA>0，OB>0，
所以OA=OB，故结论 ① 对的；
根据上述证明得出，在中，
，
所以，BC=AE，
所以，
所以，
所以，即，
所以 的面积为定值 ，故结论 ② 对的；
由上述证明得出，OA=OB，即 O是的中点，
因为与点C，
所以BC//y轴，即BC//OD，
所以，
所以点D是AC的中点，故结论 ③ 对的；
因为于点E，
所以AE//OD，且D是AC的中点，
所以，
所以，且OE=，
所以，故结论 ④ 错的；
综上所述，正确的有 ①、②、③，共3个。
故选：C。
【分析】过点A作于点E，利用反比例函数图象上点坐标的特征，反比例函数与正比例函数图象交点的特征可得点A、B点坐标的关系，再利用“SAS”证出，可得BC=AE，再利用三角形的面积公式及等量代换求解，再利用平行线分线段成比例的性质逐项分析判断即可.
8．如图，在以 为原点的平面直角坐标系中，矩形 的两边 、 分别在 轴、 轴的正半轴上，反比例函数 的图象与 相交于点 ，与 相交于点 ，若 ，且 的面积是 ，则 的值为（ ）.
A． B．8 C．6 D．
【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设点D的横坐标为m
∵反比例函数 的图象与 相交于点
∴
∴
∵
∴
∵矩形
∴ ，
∴
∵反比例函数 的图象与 相交于点
∴
矩形 面积
∵矩形 面积
∵ 的面积是6
∴
∴
故答案为：D.
【分析】设点D的横坐标为m，根据反比例函数 的图象与 相交于点 ，得D点坐标；再根据矩形 的性质，并结合题意，可分别的点A、B、C、E的坐标；根据 矩形 面积 ，通过计算即可得到答案.
9．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点M是边BC上一动点（不与B、C重合）．过点M的双曲线 （x>0）交AB于点N，连接OM、ON．下列结论：
①△OCM与△OAN的面积相等；②矩形OABC的面积为2k；③线段BM与BN的长度始终相等；④若BM=CM，则有AN=BN．其中一定正确的是（ ）
A．①④ B．①② C．②④ D．①③④
【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：根据k的几何意义可得：△OCM的面积=△OAN的面积= ，故①符合题意；
∵矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，没有其它条件，
∴矩形OABC的面积不一定为2k，故②不符合题意
∵设点M的坐标（m， ），点N的坐标（n， ），则B(n， )，
∴BM=n-m，BN=
∴BM不一定等于BN，故③不符合题意；
若BM=CM，则n=2m，
∴AN= ，BN= ，
∴AN=BN，故④符合题意；
故答案为：A
【分析】根据k的几何意义对①②作出判断，根据题意对②作出判断，设点M的坐标（m， ），点N的坐标（n， ），从而得出B点的坐标，对③④作出判断即可
10．如图，已知点 A 、B分别在反比例函数 的图象上，且OA ⊥OB ，则 的值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】如下图：
过点A作AM⊥y轴于点M，过点B作BN⊥y轴于点N，
∴∠AMO=∠BNO=90°，
又∵∠AOM+∠MAO=90°，
且∠AOM+∠BON=180°-90°=90°，
∴∠MAO=∠BON，
在AOM和OBN中，
，
∴AOMOBN，
又∵点 A 、B分别在反比例函数（x>0）和（ x > 0 ）的图象上，
∴S△ AOM：S△ BON=1：4，
∴AO：BO=1：2，
∴=2.
故答案为：B.
【分析】根据题意作出辅助线，根据相似三角形的判定定理得出AOMOBN，再由反比例函数系数k的几何意义得到S△ AOM：S△ BON=1：4，进而得出=2.
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．反比例函数的图像在每个象限内，y随x的增大而增大，则a的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：由题意得a+3＜0，
∴
故答案为：
【分析】根据反比例函数的图象结合题意即可得到a+3＜0，进而即可求解。
12．请写出一个过点（1，1），且与x轴无交点的函数表达式 ．
【答案】答案不唯一，如：
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】首先与x轴无交点，则考虑反比例函数和开口向上且顶点在一、二象限的二次函数．然后设出解析式，把（1，1）代入即可求得解析式.
【分析】反比例函数图象与坐标轴无交点。
13．验光师通过检测发现近视眼镜的度数度与镜片焦距米成反比例，关于的函数图象如图所示经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了 度
【答案】200
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间的函数关系式为，
则由函数图象可得：，即：，
∴，
当时，，
当时，，
∴400-200=200，即度数减少了200度．
故答案为：200.
【分析】本题主要考查反比例函数的实际运用，求得反比例函数解析式并将矫正治疗后所配镜片焦距调整为0.5m代入反比例函数求出矫正后的度数是解题的关键．先求出近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间的函数关系式，再根据矫正治疗后所配镜片焦距调整为米，可求出现在小宇佩戴的眼镜度数，两次比较即可求解．
14．已知函数 是反比例函数，且图象位于第一、三象限，则 ．
【答案】2
【知识点】反比例函数的概念；反比例函数的图象
【解析】【解答】根据反比函数的解析式y= （k≠0），故可知n+1≠0，即n≠-1，且n2－5=-1，解得n=±2，然后根据函数的图象在第一、三象限，可知n＞0，所以可求得n=2.
故答案为2.
【分析】根据反比函数的定义n2－5=-1，又因为图象再第一、三象限，可知n＞0，即可求出n的值。
15．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（kPa） 是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图．当气球内的气压大于120kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应 ．
【答案】不小于 m3
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设球内气体的气压P（kPa）和气体体积V（m3）的关系式为P= ，
∵图象过点（1.6，60）
∴k=96
即P= 在第一象限内，P随V的增大而减小，
∴当P≤120时，V= ≤ ．
故答案为：不小于 m3．
【分析】根据题意可知温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，且过点（1.6，60）故P V=96；故当P≤120，可判断V≤ ．
16．如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A、C分别在x、y轴上，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M、N，ND⊥x轴，垂足为D，连接OM、ON、MN．下列结论：①△OCN≌△OAM；②ON＝MN； ③四边形DAMN与△MON面积相等；④若∠MON＝45°，MN＝2，则点C的坐标为（0，+1）．其中正确结论的有 ．
【答案】①③④
【知识点】正方形的性质；反比例函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：设正方形的边长为，
得到，，，，，，
在和中，
，
，结论①正确；
根据勾股定理，，，
和不一定相等，结论②错误；
，
，结论③正确；
过点作于点，如图所示，
，
，，
，，
，，
，
，
，即，
由得，，
整理得：，
解得：（舍去负值），
点的坐标为，结论④正确，
则结论正确的为①③④，
故答案为：①③④
【分析】先设正方形OABC 的面积为a，可表示出A、B、C、M、N的坐标，可得到，再利用SAS即可证明△OCN ≌△OAM，①正确；通过勾股定理分别表示出ON、MN，可知，②不正确；由结论①正确易知，根据，等量代换即可得到四边形DAMN 与△MON 面积相等，③正确；过点O作MN的垂线交MN于点H，利用ASA可证，根据全等三角形的性质可得到CN=HN=1，所以，即a=k，再根据点M、N的坐标表示出MN，MN=2，建立方程求出a的值，即可确定点C的坐标为，④正确.
17．如图，边长为n的正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点A1，A2…An﹣1为OA的n等分点，点B1，B2…Bn﹣1为CB的n等分点，连结A1B1，A2B2，…An﹣1Bn﹣1，分别交曲线 （x＞0）于点C1，C2，…，Cn﹣1．若C15B15=16C15A15，则n的值为 ．（n为正整数）
【答案】17
【知识点】探索图形规律；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵正方形OABC的边长为n，点A1，A2…An﹣1为OA的n等分点，点B1，B2…Bn﹣1为CB的n等分点，
∴OA15=15，OB15=15
∵C15B15=16C15A15，∴C15（15，）
∵点C15在曲线（x＞0）上，
∴，解得n=17
故答案为：17．
【分析】线根据正方形OABC的边长为n，点A1，A2…An﹣1为OA的n等分点，点B1，B2…Bn﹣1为CB的n等分点，可知OA15=15，OB15=15，在根据C15B15=16C15A15，得出C15的坐标，代入反比例函数的解析式求出n的值。
18．如图，正方形ABCD的两个顶点A，B分别在x轴，y轴上，对角线相交于点E， .若反比例函数 的图象经过D，E两点，则k的值是 .
【答案】8
【知识点】勾股定理；正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点D作DF⊥x轴于F，则∠AOB=∠DFA=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，BE=DE，
∴∠OAB+∠DAF=90°，又∠OAB+∠ABO=90°，
∴∠ABO=∠DAF，
在△AOB和△DFA中，
∴△AOB≌△DFA（AAS），
∴AF=OB，DF=OA，
设A(a，0)，B(0，b)，
则AF=OB=b，DF=OA=a，
∴点D的坐标为（a+b，a），
∴点E的坐标为（ ， ），
∵反比例函数 的图象经过D，E两点，
∴k=a(a+b)= · ，
∵a+b≠0，
∴4a=a+b，即b=3a，
在Rt△AOB中，由勾股定理得： ，
∴ ，
解得：a= ，b=3 ，
∴k= ×4 =8.
故答案为：8.
【分析】过点D作DF⊥x轴于F，则∠AOB=∠DFA=90°，由正方形的性质可得AB=AD，∠BAD=90°，BE=DE，由同角的余角相等可得∠ABO=∠DAF，证明△AOB≌△DFA，得到AF=OB，DF=OA，设A（a，0），B（0，b），则D（a+b，a），E（，），将点D、E代入y=中可得b=3a，然后在Rt△AOB中，由勾股定理求出a的值，进而得到b的值，据此不难求出k的值.
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．如图是反比例函数 的图象，当 时， ．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若M、N分别在反比例函数图象的两个分支上，请直接写出线段MN长度的最小值．
【答案】（1）解： 在反比例函数的图象中，当 时， ，
反比例函数经过坐标 ，
，
，
反比例函数的解析式为 ；
（2）解：当M，N为一，三象限角平分线与反比例函数图象的交点时，线段MN最短．
将 代入 ，
解得 或 ，
即 ， ．
．
则 ．
线段MN的最小值为 ．
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【分析】用待定系数法求反比例函数的解析式， 将 代入 ，求出M和N点的坐标，再求线段MN的最值即可。
20．某工厂生产化肥的总任务一定，平均每天化肥产量y（吨）与完成生产任务所需要的时间x（天）之间成反比例关系，如果每天生产化肥125吨，那么完成总任务需要7天.
（1）求y关于x的函数表达式，并指出比例系数；
（2）若要5天完成总任务，则每天产量应达到多少？
【答案】（1）解：设y= ，
根据题意得：k=xy=125×7=875，
∴每天生产化肥产量y（吨）与完成生产任务所需要的时间x（天）之间的函数解析式为y= ，比例系数为875
（2）解：当x=5时，y= =175（吨），
即若要5天完成总任务，则每天产量应达到175吨.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）设出y与x的函数关系式为 y= ，再将x=7,与y=125代入即可算出比例系数k的值，从而求出反比例函数的解析式；
（2）将x=5代入（1）所求的函数解析式即可算出对应的函数值，得出答案。
21．小丽家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热……，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题：
（1）当时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式；
（2）求图中t的值；
（3）若小丽在通电开机后即外出散步，请你预测小丽散步70分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？
【答案】（1）解：当时，设．
将点，代入上式，
得，解得．
（2）解：当时，设，
将点代入上式，
得，解得，
，
将点代入，
得，解得．
（3）解：由题可知，开机分钟与开机分钟时饮水机的水温相等，
当时，．
小丽散步分钟回到家时，饮水机内的温度约为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再将代入解析式求出t的值即可；
（3）将代入求出y的值即可。
22．1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈!这就是有趣的“嗐转圈”现象.经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y/米是其两腿迈出的步长之差x/厘米（）的反比例函数，y与x之间有如表关系：
厘米 1 2 3 5
米 14 7 2.8
请根据表中的信息解决下列问题：
（1）求出y与x之间的函数解析式；
（2）若某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为35米，则其两腿迈出的步长之差是多少厘米？
【答案】（1）解：设y与x之间的函数解析式为，
将代入得，
∴，
∴y与x之间的函数解析式为.
（2）解：当时，即，解得，
∴某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为35米，其两腿迈出的步长之差是0.4厘米.
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）设y与x之间的函数解析式为y=，将（2，7）代入求出k的值，进而可得函数解析式；
（2）令y=35，求出x的值即可.
23．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于和两点.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求点的坐标.
（3）根据图象直接写出不等式的解集.
【答案】（1）解：由题意可知：在上，
∴，即，
∵也在，
∴，
∴反比例函数的解析式为：
（2）解：联立与可得：，解得：或
∵，
∴；
（3）解：由图象可知：的解集为：或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）将A（2，m）代入直线解析式中可得m的值，据此可得点A的坐标，然后代入y=中求出k的值，进而可得反比例函数的解析式；
（2）联立直线与反比例函数解析式求出x、y的值，据此可得点B的坐标；
（3）根据图象，找出一次函数在反比例函数图象下方部分所对应的x的范围即可.
24．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若点在轴的正半轴上，且，求的面积；
（3）若点在轴上，且为锐角，直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：将得
．
将点得．
则反比例函数的表达式为
（2）解：依题意可得：点和点关于原点对称，则有点是的中点
点
则点
则的面积为
（3）解：的取值范围是：或
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：（3）在x轴上原点的两旁取两点P1，P2，使得∠AP1B=∠AP2B=90°，
则OP1=OP2=AB=4，
∴P1的坐标为（-4，0），P2的坐标为（4，0），
∵点在轴上，且为锐角，
∴或 ，
故答案为： 或.
【分析】（1）先求出点A的坐标，再将点A的坐标代入求出k的值即可；
（2）先求出点C的坐标，再结合三角形的面积公式求出即可；
（3）先求出OP1=OP2=AB=4，再结合点在轴上，且为锐角，求出n的取值范围即可.
25．如图1，一次函数y＝kx﹣3（k≠0）的图象与y轴交于点B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（8，1）．
（1）求出一次函数与反比例函数的解析式；
（2）点C是线段AB上一点（不与A，B重合），过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D，连接OC，OD，AD，当CD等于6时，求点C的坐标和△ACD的面积；
（3）在（2）的前提下，将△OCD沿射线BA方向平移一定的距离后，得到△O'CD'，若点O的对应点O'恰好落在该反比例函数图象上（如图2），求出点O'，D'的坐标．
【答案】（1）解：∵点A（8，1）在直线y=kx3上，
∴1=8k3，
解得：k=，
∴一次函数解析式为，
∵A（8，1）在y=（x＞0）的图象上，
∴1=，
解得：m=8，
则反比例函数解析式为y=；
（2）解：设C（a，）（0＜a＜8），则有D（a，），
∴CD=（）=，
∵CD=6，
∴，
解得：a=8（舍去）或a=2，
∴，
∴C（2，-2），
过A作AE⊥CD于点E，则AE=8-2=6，
∴S△ACD=CD AE=×6×6=18；
（3）解：连接OO'，由平移可得：OO'∥AC，
∴直线OO'的解析式为y=，
联立得：，
解得：或（不合题意，舍去），
∴O'（4，2），
即O（0，0）通过往右平移4个单位，往上平移2个单位得到O'（4，2），
又由（2）中知D坐标为（2，4），
∴点D（2，4）往右平移4个单位，往上平移2个单位得到D'（6，6）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求出一次函数解析式以及反比例函数解析式；
（2）设C（a，）（0＜a＜8），则有D（a，），得出CD的值，列出方程解答即可得出a的值，从而得出点C的坐标，过A作AE⊥CD于点E，则AE=8-2=6，根据三角形面积公式求解即可；
（3）连接OO'，由平移可得：OO'∥AC，根据两直线平行时的k的值相同确定出直线OO'的解析式，与反比例函数解析式联力求出交点O'的坐标，根据平移的性质由O平移到O'的路径，确定出D平移到D'的路径，进而确定出坐标即可。
26．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程，小哲根据已学的函数知识对函数 的图象与性质进行了探究，其探究过程中的列表如下：
-2 -1 0 2 3 4 …
1 2 2 1 …
（1）请写出 和 的值；
（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出该函数的图象；
（3）直线 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式 的解集.
【答案】（1）解：将（0，1）代入
， ，
∴ ，
将（3，b）代入
；
（2）函数图象如下：
（3）函数 图象在 的图象上面（或重合）的部分对应的x的取值范围为： 或 .
∴ 的解集为： 或 .
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；描点法画函数图象
【解析】【分析】（1）将（0，1）代入中，求出a值，再将（3，b）代入解析式中，可求出b值；
（2）利用描点法画图即可；
（3）由图象知当 或 时，函数 图象在 的图象上面（或重合） ，据此即得结论.
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