广东省广州市2024年中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2024·广州） 四个数，，，中，最小的数是（ ）
A． B． C．0 D．10
2．（2024·广州） 下列图案中，点为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点对称的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·广州） 若，则下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·广州）若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·广州） 为了解公园用地面积（单位：公顷）的基本情况，某地随机调查了本地50个公园的用地面积，按照，，，，的分组绘制了如图所示的频数分布直方图，下列说法正确的是（ ）
A．的值为20
B．用地面积在这一组的公园个数最多
C．用地面积在这一组的公园个数最少
D．这50个公园中有一半以上的公园用地面积超过12公顷
6．（2024·广州） 某新能源车企今年5月交付新车35060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆．设该车企去年5月交付新车辆，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·广州） 如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（ ）
A．18 B． C．9 D．
8．（2024·广州） 函数与的图象如图所示，当（ ）时，，均随着的增大而减小．
A． B． C． D．
9．（2024·广州） 如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（ ）
A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定
10．（2024·广州） 如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的体积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11．（2024·广州） 如图，直线分别与直线，相交，，若，则的度数为 ．
12．（2024·广州） 如图，把，，三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则．当，，，时，的值为 ．
13．（2024·广州） 如图，中，，点在的延长线上，，若平分，则 ．
14．（2024·广州） 若，则 ．
15．（2024·广州） 定义新运算：例如：，．若，则的值为 ．
16．（2024·广州） 如图，平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B在函数 的图象上，A（1，0），C（0，2）．将线段AB沿x轴正方向平移得线段A'B'（点A平移后的对应点为A'），A'B'交函数 的图象于点D，过点D作DE⊥y轴于点E，则下列结论：
①k=2；
②△OBD的面积等于四边形ABDA'的面积；
③的最小值是；
④∠B'BD=∠BB'O．
其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号）
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（2024·广州） 解方程：．
18．（2024·广州） 如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：．
19．（2024·广州） 如图，中，．
（1）尺规作图：作边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，将中线绕点逆时针旋转得到，连接，．求证：四边形是矩形．
20．（2024·广州） 关于的方程有两个不等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）化简：．
21．（2024·广州） 善于提问是应用人工智能解决问题的重要因素之一．为了解同学们的提问水平，对，两组同学进行问卷调查，并根据结果对每名同学的提问水平进行评分，得分情况如下（单位：分）：
组 75 78 82 82 84 86 87 88 93 95
组 75 77 80 83 85 86 88 88 92 96
（1）求组同学得分的中位数和众数；
（2）现从、两组得分超过90分的4名同学中随机抽取2名同学参与访谈，求这2名同学恰好来自同一组的概率．
22．（2024·广州） 2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从点垂直下降到点，再垂直下降到着陆点，从点测得地面点的俯角为，米，米．
（1）求的长；
（2）若模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点，求模拟装置从点下降到点的时间．（参考数据：，，）
23．（2024·广州） 一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表：
脚长 … …
身高 … …
（1）在图1中描出表中数据对应的点；
（2）根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）；
（3）如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高．
24．（2024·广州） 如图，在菱形中，．点在射线上运动（不与点，点重合），关于的轴对称图形为．
（1）当时，试判断线段和线段的数量和位置关系，并说明理由；
（2）若，为的外接圆，设的半径为．
①求的取值范围；
②连接，直线能否与相切？如果能，求的长度；如果不能，请说明理由．
25．（2024·广州） 已知抛物线过点和点，直线过点，交线段于点，记的周长为，的周长为，且．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）求的值；
（3）直线绕点以每秒的速度顺时针旋转秒后得到直线，当时，直线交抛物线于，两点．
①求的值；
②设的面积为，若对于任意的，均有成立，求的最大值及此时抛物线的解析式．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：∵|-10|=10，|-1|=1，10＞1＞0，
∴-10＜-1＜0＜10，
∴ 四个数-10，-1，0，10中，最小的数是-10.
故答案为：A.
【分析】根据正数大于零，零大于负数，两个负数绝对值大的反而小，即可判断得出答案.
2．【答案】C
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、此选项中的图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、此选项中的图形是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、此选项中的图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】把一个平面图形，绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可一 一判断得出答案.
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；分式的乘法
【解析】【解答】解：A、∵，故此选项计算错误，不符合题意；
B、a3×a2=a3+2=a5，故此选项计算正确，符合题意；
C、，故此选项计算错误，不符合题意；
D、a3÷a2=a3-2=a，故此选项计算错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断B选项；根据分式的乘法法则“（b、d都不等于0）”可判断C选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断D选项.
4．【答案】D
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式变形
【解析】【解答】解：A、∵a＜b，∴a+3＜b+3，故此选项错误，不符合题意；
B、∵a＜b，∴a-2＜b-2，故此选项错误，不符合题意；
C、∵a＜b，∴-a＞-b，故此选项错误，不符合题意；
D、∵a＜b，∴2a＜2b，故此选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，据此逐一判断得出答案.
5．【答案】B
【知识点】频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：A、由题意可得，a=50-4-16-12-8=10，故选项A不符合题意；
B、由频数分布直方图可知，用地面积在8C、 由频数分布直方图可知，用地面积在0D、由频数分布直方图可知，这50个公园中有20个公园用地面积超过12公烦，没有达到一半，故选项D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】用样本容量50分别减去其它四组的频数可得a的值；根据频数分布直方图可知用地面积在8 6．【答案】A
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：根据题意，可列方程为1.2x+1100=35060.
故答案为：A.
【分析】根据“ 今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆 ”列出方程即可.
7．【答案】C
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连接AD，
∵△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD=CD=BD，∠BAD=∠C=∠B=∠CAD=45°，
又∵AE=CF，
∴△AED≌△CFD，
∴S△AED=S△CFD，
∵S四边形AEDF=S△AED+S△ADF，
∴S四边形AEDF=S△CFD+S△ADF=S△ADC=S△ABC=××AB×AC=9.
故答案为：C.
【分析】连接AD，由等腰直角三角形性质得AD=CD=BD，∠BAD=∠C=∠B=∠CAD=45°，从而用SAS判断出△AED≌△CFD，由全等三角形的面积相等得S△AED=S△CFD，进而利用割补法及等量代换，根据S四边形AEDF=S△AED+S△ADF=S△CFD+S△ADF=S△ADC=S△ABC可算出答案.
8．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由函数图象可知，当x>1时，y1随着x的增大而减小； y2位于一、三象限内，且在每一象限内y2均随着x的增大而减小，
∴当x>1时，y1、y2均随着x的增大而减小.
故答案为：D.
【分析】由函数图象可知，当x>1时，y1随着x的增大而减小；y2图象的两支分别位于在一、三象限内，在每一个象限内y2均随着x的增大而减小，据此即可得到答案.
9．【答案】C
【知识点】垂径定理；圆周角定理；点与圆的位置关系；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，
∵∠ABC=30°，
∴∠AOC=2∠ABC=60°，
∵OC⊥AB，且，
∴∠ADO=90°，且，
∵sin∠AOC=sin60°=，
∴，
∵OP=5＞AO=4，
∴点P在圆O外部.
故答案为：C.
【分析】由同弧所对的圆周角等于圆心角的2倍得∠AOC=2∠ABC=60°，由垂径定理得∠ADO=90°，且，在Rt△AOD中，由∠AOC的正弦函数得，进而再比较OP与OA的大小即可得出结论.
10．【答案】D
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：设该圆锥底面圆的半径为r，由题意得，
解得r=1，
∴该圆锥的高为：，
∴该圆锥的体积为：
故答案为：D.
【分析】根据圆锥底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长列方程可求出底面圆得半径，进而根据底面圆的半径、高及母线长构成一个直角三角形可算出圆锥的高，最后根据圆锥的体积公式可算出答案.
11．【答案】109°
【知识点】邻补角；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵a∥b，∠1=71°，
∴∠3=∠1=71°，
∴∠2=180°-∠3=109°.
故答案为：109°.
【分析】由二直线平行，同位角相等，得∠3=∠1=71°，然后根据邻补角可求出∠2的度数.
12．【答案】220
【知识点】求代数式的值-化简代入求值
【解析】【解答】解：∵R1=20.3，R2=31.9，R3=47.8，I=2.2，
∴U=IR1+IR2+IR3=I(R1+R2+R3)=2.2(20.3+31.9+47.8)=220
故答案为：220.
【分析】将待求等式右边利用提取公因式法分解因式后，将R1、R2、R3及I的值代入计算即可.
13．【答案】5
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=2，AD∥BC，
∴∠CBA=∠BAE，
∵BA平分∠CBE，
∴∠CBA=∠EBA，
∴∠ABE=∠BAE，
∴AE=BE=3，
∴DE=AE+AD=3+2=5.
故答案为：5.
【分析】由平行四边形的性质得AD=BC=2，AD∥BC，由二直线平行，内错角相等，得∠CBA=∠BAE，结合角平分线的定义得∠ABE=∠BAE，由等角对等边得AE=BE=3，最后根据DE=AE+AD可算出答案.
14．【答案】11
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵a2-2a-5=0，
∴a2-2a=5，
∴2a2-4a+1=2(a2-2a)+1=2×5+1=11.
故答案为：11.
【分析】由已知等式得a2-2a=5，然后将待求式子含字母的项逆用乘法分配律变形后整体代入计算可得答案.
15．【答案】或
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；利用等式的性质解一元一次方程
【解析】【解答】解：当x≤0时，由新运算可得x2-1=，
∴x2=，
解得x1=(舍去)，x2=；
当x＞0时，由新运算可得-x+1=，
解得x=，
综上x的值为：或.
故答案为：或.
【分析】根据新运算定义，分当x≤0时与当x＞0时两种情况，分别列出方程，解方程再判断出符合题意的x的值即可.
16．【答案】①②④
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；待定系数法求反比例函数解析式；平移的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；四边形的综合
【解析】【解答】解：如图，设AB于OD交于点F，AB与DE交于点G，BD与B'G交于点O，
∵矩形ABCO，
∴BC=OA，OC=AB
∵点A（1，0），点C（0，2），
∴OA=BC=1，OC=AB=2，
∴点B（1，2）
∵ 矩形OABC的顶点B在函数 的图象上，
∴k=1×2=2，故①正确；
∵将线段AB沿x轴正方向平移得线段A'B'（点A平移后的对应点为A'）， A'B'交函数 的图象于点D，DE⊥y轴，
∴S△AOB=S△ODA'，
∴S△OBF=S四边形AA'DF，
∴S△BOF+S△BDF=S四边形AA'DF+S△BDF即S△OBD=S四边形ABDA'，故②正确；
∵当点D在A'B'的中点处时，此时AGEO是正方形，G(1，1)，AE的最小值是 ，
∴A'E的最小值大于
∴将AB逐渐向右平移，点E向点O移动，与反比例函数的交点D也逐渐下移，向点A'靠近，
∴A'E的长逐渐趋于OA的长度，故③错误；
由题意可知四边形AOEG，四边形AA'DG，四边形EGBC，四边形BGDB'都是矩形，
∴向右平移的过程中，∠B'BD和∠BB'O刚好是矩形BBGD的对角线与边的夹角，
∴OB=OB'，
∴∠B'BD=∠BB'O，故④正确；
∴正确结论的序号为①②④
【分析】设AB于OD交于点F，AB与DE交于点G，BD与B'G交于点O，利用矩形的性质和点A、C的坐标，可求出BC，AB的长，可得到点B的坐标，将点B的坐标代入函数解析式求出k的值，可对①作出判断；利用反比例函数的几何意义可知S△AOB=S△ODA'，可推出S△OBF=S四边形AA'DF，据此可得到 △OBD的面积等于四边形ABDA'的面积，可对②作出判断；当点D在A'B'的中点处时，此时AGEO是正方形，可得到点G(1，1)，利用勾股定理可得到AE的最小值是，可推出A'E的最小值大于，利用平移可知A'E的长逐渐趋于OA的长度，可对③作出判断；由题意可知四边形AOEG，四边形AA'DG，四边形EGBC，四边形BGDB'都是矩形，向右平移的过程中，∠B'BD和∠BB'O刚好是矩形BBGD的对角线与边的夹角，利用矩形的性质可知OB=OB'，利用等边对等角可证得∠B'BD=∠BB'O，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
17．【答案】解：原方程去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
故原方程的解为．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】根据比例性质“两内项之积等于两外项之积”将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程根的情况.
18．【答案】证明：，，
，
四边形是正方形，
，，
，，
，
∽．
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】首先根据线段的和差求出BC=9，然后由正方形的性质得AB=BC=9，∠B=∠C=90°，进而根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可判断出△ABE∽△ECF.
19．【答案】（1）解：如图所示，线段BO为AC边上的中线；
.
（2）证明：点O是AC的中点，
AO=CO，
将中线BO绕点O逆时针旋转180°得到DO，
∴BO=DO，
四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC=90°，
四边形ABCD是矩形．
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定；旋转的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）分别以点A、C为圆心，大于AC的长度为半径画弧，两弧在AC的两侧分别相交，过两弧的交点作直线交AC于点O，点O就是AC的中点，再连接BO即可；
（2）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形，再根据有一个角为90°的平行四边形是矩形可得结论.
20．【答案】（1）解：∵关于x的方程x2-2x+4-m=0有两个不等的实数根，
∴，
解得；
（2）解：∵m＞3，
，
．
【知识点】分式的乘除法；一元二次方程根的判别式及应用；实数的绝对值
【解析】【分析】（1）对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此列出关于字母m的不等式，求解即可；
（2）首先根据m的取值判断出m-3＞0，然后根据绝对值的性质将第一个分式的分母去绝对值符号，同时将分子利用平方差公式分解因式，并根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，进而计算分式乘法，约分化简即可.
21．【答案】（1）解：将10名A组同学的得分按照从小到大的顺序排列，排在第5和第6名的成绩为84，86，
∴A组同学得分的中位数为（84=86）÷2=85（分）；
由表格可知，A组同学得分的众数为82分；
（2）解：将A组的两名同学分别记为甲、乙，将B组的两名同学分别记为丙，丁，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中这2名同学恰好来自同一组的结果有：甲乙，乙甲，丙丁，丁丙，共4种，
这2名同学恰好来自同一组的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；众数
【解析】【分析】（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可；
（2）此题是抽取不放回类型，将A组的两名同学分别记为甲、乙，将B组的两名同学分别记为丙，丁，根据题意画出树状图，由图可知：共有12种等可能的结果，其中这2名同学恰好来自同一组的结果有：甲乙，乙甲，丙丁，丁丙，共4种，从而根据概率公式计算即可.
22．【答案】（1）解：如图：
由题意得：AC⊥CD，BE∥CD，
，
在中，米，
米，
的长约为米；
（2）解：在中，米，，
米，
在中，米，米，
（米），
米，
模拟装置从点以每秒米的速度匀速下降到点，
模拟装置从点下降到点的时间秒，
模拟装置从点下降到点的时间约为秒．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）由题意得：AC⊥CD，BE∥CD，由二直线平行内错角相等，得∠EBD=∠BDC=36.87°，在Rt△BCD中，由∠BDC的余弦函数可求出CD的长；
（2）在Rt△BCD中，由∠BDC的正弦函数可求出BC的长，在Rt△ACD中，由勾股定理可算出AC的长，进而根据AB=AC-BC算出AB的长，最后根据路程、速度、时间三者的关系可求出点A下降到点B的时间.
23．【答案】（1）解：描点如图示：
（2）解：转化为，
与的函数不可能是，
故选一次函数，
将点、代入解析式得：
，
解得，
一次函数解析式为；
（3）解：当时，．
答：脚长约为，估计这个人的身高为．
【知识点】一次函数的实际应用；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）将表格中脚长x的值作为点的横坐标，身高y的值作为点的纵坐标，在坐标平面内描出各点即可；
（2）根据反比例函数图象上任意一点的横纵坐标的乘积都等于常数k，可判断出身高和脚长的函数关系不是反比例函数关系，是一次函数关系，进而利用待定系数法求出y关于x的函数关系式即可；
（3）将x=25.8代入（2）所求的函数关系式算出对应的函数值即可得出答案.
24．【答案】（1）解：AF=AD，AF⊥AD，理由如下，
四边形ABCD是菱形，
，，
和关于AE轴对称，
，
，
，
，
，
综上，，．
（2）解：（2）①如图，设△AEF的外接圆圆心为O，连接OA、OE，作OG⊥AE于点G，作AH⊥BC于点H．
∵四边形ABCD是菱形，且∠C=120°，
∴∠B=180°-∠C=60°，
∵△ABE与△AFE关于AE轴对称，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，且点不与、重合，
，且，
，且．
②能相切，此时BE=12，理由如下：
假设存在，如图画出示意图，设△AEF的外接圆圆心为O，连接OA、OF，作EH⊥AB于点H，
设，则弦切角，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
设，则，，
，
，
，
．
【知识点】解直角三角形—边角关系；圆与四边形的综合
【解析】【分析】（1）AF=AD，AF⊥AD，理由如下，由菱形性质得AB=AD，∠BAD=∠C=120°，由轴对称性质得AB=AF，从而由等量代换可得AF=AD；由角的和差，根据∠DAF=∠BAD-∠BAF可算出∠DAF=90°，从而可得AF⊥AD；
（2）①如图，设△AEF的外接圆圆心为O，连接OA、OE，作OG⊥AE于点G，作AH⊥BC于点H，由菱形性质及轴对称的性质可得∠AFE=∠ABE=60°，由圆周角定理得∠AOE=120°，由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠OAE=∠OEA=30°，在Rt△AOG中，由∠OAE的余弦函数及特殊锐角三角函数值可得，在Rt△ABH中，由∠B的正弦函数及特殊锐角三角函数值可得，由垂线段最短及点E不与B、C重合可求出r的取值范围；
②能相切，此时BE=12，理由如下：假设存在，如图画出示意图，设△AEF的外接圆圆心为O，连接OA、OF，作EH⊥AB于点H，设，根据弦切角定理可得∠AEF=∠AEB=，由轴对称性质及平角定理可得，等边对等角及三角形内角和定理得，由圆周角定理得∠CEF=∠CAF，则∠CAF=∠DAF，由菱形性质得∠CAD=60°，从而得∠CAF=∠DAF=30°，据此建立方程求出，即，进而推出∠AEH=∠EAH=45°，设BH=m，根据含30°角直角三角形的性质及等腰直角三角形的性质用含m得式子表示出EH、AH、BE，进而由AB=BH+AH建立方程可求出m，从而得到BE的长.
25．【答案】（1）解：由抛物线的表达式知，其对称轴为直线；
（2）解：直线：过点，则该直线的表达式为：，
当时，，
则，
，即，
其中，，上式变为：，
即，
而函数的对称轴为直线，由函数的对称性知，，
即，
则，
解得：；
（3）解：①当时，一次函数的表达式为：，
该直线和轴的夹角为，
则秒；
②由①知，为：，如下图：
则，
联立直线和抛物线的表达式得：，
即，
设点、的横坐标为，，
则，，
则，
则，
当时，等号成立，
即的最大值为：，，
则抛物线的表达式为：．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）由抛物线的对称轴直线公式“”可直接算出抛物线的对称轴直线；
（2）由题意可得直线l的解析式为y=m2(x-3)+1，由点的坐标与图形性质可得点D的纵坐标为2，故将y=2代入可得，由C1=C2+2，即AC+CD+AD=BC+CD+BD+2得到2xD=xA+xB+2，即可求解；
（3）①当m=±1时，一次函数的解析式为y=m2(x-3)+1=x-2，该直线和x轴的夹角为45°，即可求解；
②由①可得l为y=1，则，联立直线l与抛物线的解析式可得x2-6x-a2+2a=0，设E、F得横坐标为m、n，由根与系数的关系得m+n=6，mn=-a2+2a，根据两点间的距离公式得，从而代入即可求解.
1 / 1广东省广州市2024年中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2024·广州） 四个数，，，中，最小的数是（ ）
A． B． C．0 D．10
【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：∵|-10|=10，|-1|=1，10＞1＞0，
∴-10＜-1＜0＜10，
∴ 四个数-10，-1，0，10中，最小的数是-10.
故答案为：A.
【分析】根据正数大于零，零大于负数，两个负数绝对值大的反而小，即可判断得出答案.
2．（2024·广州） 下列图案中，点为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、此选项中的图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、此选项中的图形是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、此选项中的图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】把一个平面图形，绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可一 一判断得出答案.
3．（2024·广州） 若，则下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；分式的乘法
【解析】【解答】解：A、∵，故此选项计算错误，不符合题意；
B、a3×a2=a3+2=a5，故此选项计算正确，符合题意；
C、，故此选项计算错误，不符合题意；
D、a3÷a2=a3-2=a，故此选项计算错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断B选项；根据分式的乘法法则“（b、d都不等于0）”可判断C选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断D选项.
4．（2024·广州）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式变形
【解析】【解答】解：A、∵a＜b，∴a+3＜b+3，故此选项错误，不符合题意；
B、∵a＜b，∴a-2＜b-2，故此选项错误，不符合题意；
C、∵a＜b，∴-a＞-b，故此选项错误，不符合题意；
D、∵a＜b，∴2a＜2b，故此选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，据此逐一判断得出答案.
5．（2024·广州） 为了解公园用地面积（单位：公顷）的基本情况，某地随机调查了本地50个公园的用地面积，按照，，，，的分组绘制了如图所示的频数分布直方图，下列说法正确的是（ ）
A．的值为20
B．用地面积在这一组的公园个数最多
C．用地面积在这一组的公园个数最少
D．这50个公园中有一半以上的公园用地面积超过12公顷
【答案】B
【知识点】频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：A、由题意可得，a=50-4-16-12-8=10，故选项A不符合题意；
B、由频数分布直方图可知，用地面积在8C、 由频数分布直方图可知，用地面积在0D、由频数分布直方图可知，这50个公园中有20个公园用地面积超过12公烦，没有达到一半，故选项D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】用样本容量50分别减去其它四组的频数可得a的值；根据频数分布直方图可知用地面积在8 6．（2024·广州） 某新能源车企今年5月交付新车35060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆．设该车企去年5月交付新车辆，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：根据题意，可列方程为1.2x+1100=35060.
故答案为：A.
【分析】根据“ 今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆 ”列出方程即可.
7．（2024·广州） 如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（ ）
A．18 B． C．9 D．
【答案】C
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连接AD，
∵△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD=CD=BD，∠BAD=∠C=∠B=∠CAD=45°，
又∵AE=CF，
∴△AED≌△CFD，
∴S△AED=S△CFD，
∵S四边形AEDF=S△AED+S△ADF，
∴S四边形AEDF=S△CFD+S△ADF=S△ADC=S△ABC=××AB×AC=9.
故答案为：C.
【分析】连接AD，由等腰直角三角形性质得AD=CD=BD，∠BAD=∠C=∠B=∠CAD=45°，从而用SAS判断出△AED≌△CFD，由全等三角形的面积相等得S△AED=S△CFD，进而利用割补法及等量代换，根据S四边形AEDF=S△AED+S△ADF=S△CFD+S△ADF=S△ADC=S△ABC可算出答案.
8．（2024·广州） 函数与的图象如图所示，当（ ）时，，均随着的增大而减小．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由函数图象可知，当x>1时，y1随着x的增大而减小； y2位于一、三象限内，且在每一象限内y2均随着x的增大而减小，
∴当x>1时，y1、y2均随着x的增大而减小.
故答案为：D.
【分析】由函数图象可知，当x>1时，y1随着x的增大而减小；y2图象的两支分别位于在一、三象限内，在每一个象限内y2均随着x的增大而减小，据此即可得到答案.
9．（2024·广州） 如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（ ）
A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定
【答案】C
【知识点】垂径定理；圆周角定理；点与圆的位置关系；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，
∵∠ABC=30°，
∴∠AOC=2∠ABC=60°，
∵OC⊥AB，且，
∴∠ADO=90°，且，
∵sin∠AOC=sin60°=，
∴，
∵OP=5＞AO=4，
∴点P在圆O外部.
故答案为：C.
【分析】由同弧所对的圆周角等于圆心角的2倍得∠AOC=2∠ABC=60°，由垂径定理得∠ADO=90°，且，在Rt△AOD中，由∠AOC的正弦函数得，进而再比较OP与OA的大小即可得出结论.
10．（2024·广州） 如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：设该圆锥底面圆的半径为r，由题意得，
解得r=1，
∴该圆锥的高为：，
∴该圆锥的体积为：
故答案为：D.
【分析】根据圆锥底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长列方程可求出底面圆得半径，进而根据底面圆的半径、高及母线长构成一个直角三角形可算出圆锥的高，最后根据圆锥的体积公式可算出答案.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11．（2024·广州） 如图，直线分别与直线，相交，，若，则的度数为 ．
【答案】109°
【知识点】邻补角；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵a∥b，∠1=71°，
∴∠3=∠1=71°，
∴∠2=180°-∠3=109°.
故答案为：109°.
【分析】由二直线平行，同位角相等，得∠3=∠1=71°，然后根据邻补角可求出∠2的度数.
12．（2024·广州） 如图，把，，三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则．当，，，时，的值为 ．
【答案】220
【知识点】求代数式的值-化简代入求值
【解析】【解答】解：∵R1=20.3，R2=31.9，R3=47.8，I=2.2，
∴U=IR1+IR2+IR3=I(R1+R2+R3)=2.2(20.3+31.9+47.8)=220
故答案为：220.
【分析】将待求等式右边利用提取公因式法分解因式后，将R1、R2、R3及I的值代入计算即可.
13．（2024·广州） 如图，中，，点在的延长线上，，若平分，则 ．
【答案】5
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=2，AD∥BC，
∴∠CBA=∠BAE，
∵BA平分∠CBE，
∴∠CBA=∠EBA，
∴∠ABE=∠BAE，
∴AE=BE=3，
∴DE=AE+AD=3+2=5.
故答案为：5.
【分析】由平行四边形的性质得AD=BC=2，AD∥BC，由二直线平行，内错角相等，得∠CBA=∠BAE，结合角平分线的定义得∠ABE=∠BAE，由等角对等边得AE=BE=3，最后根据DE=AE+AD可算出答案.
14．（2024·广州） 若，则 ．
【答案】11
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵a2-2a-5=0，
∴a2-2a=5，
∴2a2-4a+1=2(a2-2a)+1=2×5+1=11.
故答案为：11.
【分析】由已知等式得a2-2a=5，然后将待求式子含字母的项逆用乘法分配律变形后整体代入计算可得答案.
15．（2024·广州） 定义新运算：例如：，．若，则的值为 ．
【答案】或
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；利用等式的性质解一元一次方程
【解析】【解答】解：当x≤0时，由新运算可得x2-1=，
∴x2=，
解得x1=(舍去)，x2=；
当x＞0时，由新运算可得-x+1=，
解得x=，
综上x的值为：或.
故答案为：或.
【分析】根据新运算定义，分当x≤0时与当x＞0时两种情况，分别列出方程，解方程再判断出符合题意的x的值即可.
16．（2024·广州） 如图，平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B在函数 的图象上，A（1，0），C（0，2）．将线段AB沿x轴正方向平移得线段A'B'（点A平移后的对应点为A'），A'B'交函数 的图象于点D，过点D作DE⊥y轴于点E，则下列结论：
①k=2；
②△OBD的面积等于四边形ABDA'的面积；
③的最小值是；
④∠B'BD=∠BB'O．
其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；待定系数法求反比例函数解析式；平移的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；四边形的综合
【解析】【解答】解：如图，设AB于OD交于点F，AB与DE交于点G，BD与B'G交于点O，
∵矩形ABCO，
∴BC=OA，OC=AB
∵点A（1，0），点C（0，2），
∴OA=BC=1，OC=AB=2，
∴点B（1，2）
∵ 矩形OABC的顶点B在函数 的图象上，
∴k=1×2=2，故①正确；
∵将线段AB沿x轴正方向平移得线段A'B'（点A平移后的对应点为A'）， A'B'交函数 的图象于点D，DE⊥y轴，
∴S△AOB=S△ODA'，
∴S△OBF=S四边形AA'DF，
∴S△BOF+S△BDF=S四边形AA'DF+S△BDF即S△OBD=S四边形ABDA'，故②正确；
∵当点D在A'B'的中点处时，此时AGEO是正方形，G(1，1)，AE的最小值是 ，
∴A'E的最小值大于
∴将AB逐渐向右平移，点E向点O移动，与反比例函数的交点D也逐渐下移，向点A'靠近，
∴A'E的长逐渐趋于OA的长度，故③错误；
由题意可知四边形AOEG，四边形AA'DG，四边形EGBC，四边形BGDB'都是矩形，
∴向右平移的过程中，∠B'BD和∠BB'O刚好是矩形BBGD的对角线与边的夹角，
∴OB=OB'，
∴∠B'BD=∠BB'O，故④正确；
∴正确结论的序号为①②④
【分析】设AB于OD交于点F，AB与DE交于点G，BD与B'G交于点O，利用矩形的性质和点A、C的坐标，可求出BC，AB的长，可得到点B的坐标，将点B的坐标代入函数解析式求出k的值，可对①作出判断；利用反比例函数的几何意义可知S△AOB=S△ODA'，可推出S△OBF=S四边形AA'DF，据此可得到 △OBD的面积等于四边形ABDA'的面积，可对②作出判断；当点D在A'B'的中点处时，此时AGEO是正方形，可得到点G(1，1)，利用勾股定理可得到AE的最小值是，可推出A'E的最小值大于，利用平移可知A'E的长逐渐趋于OA的长度，可对③作出判断；由题意可知四边形AOEG，四边形AA'DG，四边形EGBC，四边形BGDB'都是矩形，向右平移的过程中，∠B'BD和∠BB'O刚好是矩形BBGD的对角线与边的夹角，利用矩形的性质可知OB=OB'，利用等边对等角可证得∠B'BD=∠BB'O，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（2024·广州） 解方程：．
【答案】解：原方程去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
故原方程的解为．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】根据比例性质“两内项之积等于两外项之积”将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程根的情况.
18．（2024·广州） 如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：．
【答案】证明：，，
，
四边形是正方形，
，，
，，
，
∽．
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】首先根据线段的和差求出BC=9，然后由正方形的性质得AB=BC=9，∠B=∠C=90°，进而根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可判断出△ABE∽△ECF.
19．（2024·广州） 如图，中，．
（1）尺规作图：作边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，将中线绕点逆时针旋转得到，连接，．求证：四边形是矩形．
【答案】（1）解：如图所示，线段BO为AC边上的中线；
.
（2）证明：点O是AC的中点，
AO=CO，
将中线BO绕点O逆时针旋转180°得到DO，
∴BO=DO，
四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC=90°，
四边形ABCD是矩形．
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定；旋转的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）分别以点A、C为圆心，大于AC的长度为半径画弧，两弧在AC的两侧分别相交，过两弧的交点作直线交AC于点O，点O就是AC的中点，再连接BO即可；
（2）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形，再根据有一个角为90°的平行四边形是矩形可得结论.
20．（2024·广州） 关于的方程有两个不等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）化简：．
【答案】（1）解：∵关于x的方程x2-2x+4-m=0有两个不等的实数根，
∴，
解得；
（2）解：∵m＞3，
，
．
【知识点】分式的乘除法；一元二次方程根的判别式及应用；实数的绝对值
【解析】【分析】（1）对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此列出关于字母m的不等式，求解即可；
（2）首先根据m的取值判断出m-3＞0，然后根据绝对值的性质将第一个分式的分母去绝对值符号，同时将分子利用平方差公式分解因式，并根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，进而计算分式乘法，约分化简即可.
21．（2024·广州） 善于提问是应用人工智能解决问题的重要因素之一．为了解同学们的提问水平，对，两组同学进行问卷调查，并根据结果对每名同学的提问水平进行评分，得分情况如下（单位：分）：
组 75 78 82 82 84 86 87 88 93 95
组 75 77 80 83 85 86 88 88 92 96
（1）求组同学得分的中位数和众数；
（2）现从、两组得分超过90分的4名同学中随机抽取2名同学参与访谈，求这2名同学恰好来自同一组的概率．
【答案】（1）解：将10名A组同学的得分按照从小到大的顺序排列，排在第5和第6名的成绩为84，86，
∴A组同学得分的中位数为（84=86）÷2=85（分）；
由表格可知，A组同学得分的众数为82分；
（2）解：将A组的两名同学分别记为甲、乙，将B组的两名同学分别记为丙，丁，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中这2名同学恰好来自同一组的结果有：甲乙，乙甲，丙丁，丁丙，共4种，
这2名同学恰好来自同一组的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；众数
【解析】【分析】（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可；
（2）此题是抽取不放回类型，将A组的两名同学分别记为甲、乙，将B组的两名同学分别记为丙，丁，根据题意画出树状图，由图可知：共有12种等可能的结果，其中这2名同学恰好来自同一组的结果有：甲乙，乙甲，丙丁，丁丙，共4种，从而根据概率公式计算即可.
22．（2024·广州） 2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从点垂直下降到点，再垂直下降到着陆点，从点测得地面点的俯角为，米，米．
（1）求的长；
（2）若模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点，求模拟装置从点下降到点的时间．（参考数据：，，）
【答案】（1）解：如图：
由题意得：AC⊥CD，BE∥CD，
，
在中，米，
米，
的长约为米；
（2）解：在中，米，，
米，
在中，米，米，
（米），
米，
模拟装置从点以每秒米的速度匀速下降到点，
模拟装置从点下降到点的时间秒，
模拟装置从点下降到点的时间约为秒．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）由题意得：AC⊥CD，BE∥CD，由二直线平行内错角相等，得∠EBD=∠BDC=36.87°，在Rt△BCD中，由∠BDC的余弦函数可求出CD的长；
（2）在Rt△BCD中，由∠BDC的正弦函数可求出BC的长，在Rt△ACD中，由勾股定理可算出AC的长，进而根据AB=AC-BC算出AB的长，最后根据路程、速度、时间三者的关系可求出点A下降到点B的时间.
23．（2024·广州） 一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表：
脚长 … …
身高 … …
（1）在图1中描出表中数据对应的点；
（2）根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）；
（3）如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高．
【答案】（1）解：描点如图示：
（2）解：转化为，
与的函数不可能是，
故选一次函数，
将点、代入解析式得：
，
解得，
一次函数解析式为；
（3）解：当时，．
答：脚长约为，估计这个人的身高为．
【知识点】一次函数的实际应用；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）将表格中脚长x的值作为点的横坐标，身高y的值作为点的纵坐标，在坐标平面内描出各点即可；
（2）根据反比例函数图象上任意一点的横纵坐标的乘积都等于常数k，可判断出身高和脚长的函数关系不是反比例函数关系，是一次函数关系，进而利用待定系数法求出y关于x的函数关系式即可；
（3）将x=25.8代入（2）所求的函数关系式算出对应的函数值即可得出答案.
24．（2024·广州） 如图，在菱形中，．点在射线上运动（不与点，点重合），关于的轴对称图形为．
（1）当时，试判断线段和线段的数量和位置关系，并说明理由；
（2）若，为的外接圆，设的半径为．
①求的取值范围；
②连接，直线能否与相切？如果能，求的长度；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）解：AF=AD，AF⊥AD，理由如下，
四边形ABCD是菱形，
，，
和关于AE轴对称，
，
，
，
，
，
综上，，．
（2）解：（2）①如图，设△AEF的外接圆圆心为O，连接OA、OE，作OG⊥AE于点G，作AH⊥BC于点H．
∵四边形ABCD是菱形，且∠C=120°，
∴∠B=180°-∠C=60°，
∵△ABE与△AFE关于AE轴对称，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，且点不与、重合，
，且，
，且．
②能相切，此时BE=12，理由如下：
假设存在，如图画出示意图，设△AEF的外接圆圆心为O，连接OA、OF，作EH⊥AB于点H，
设，则弦切角，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
设，则，，
，
，
，
．
【知识点】解直角三角形—边角关系；圆与四边形的综合
【解析】【分析】（1）AF=AD，AF⊥AD，理由如下，由菱形性质得AB=AD，∠BAD=∠C=120°，由轴对称性质得AB=AF，从而由等量代换可得AF=AD；由角的和差，根据∠DAF=∠BAD-∠BAF可算出∠DAF=90°，从而可得AF⊥AD；
（2）①如图，设△AEF的外接圆圆心为O，连接OA、OE，作OG⊥AE于点G，作AH⊥BC于点H，由菱形性质及轴对称的性质可得∠AFE=∠ABE=60°，由圆周角定理得∠AOE=120°，由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠OAE=∠OEA=30°，在Rt△AOG中，由∠OAE的余弦函数及特殊锐角三角函数值可得，在Rt△ABH中，由∠B的正弦函数及特殊锐角三角函数值可得，由垂线段最短及点E不与B、C重合可求出r的取值范围；
②能相切，此时BE=12，理由如下：假设存在，如图画出示意图，设△AEF的外接圆圆心为O，连接OA、OF，作EH⊥AB于点H，设，根据弦切角定理可得∠AEF=∠AEB=，由轴对称性质及平角定理可得，等边对等角及三角形内角和定理得，由圆周角定理得∠CEF=∠CAF，则∠CAF=∠DAF，由菱形性质得∠CAD=60°，从而得∠CAF=∠DAF=30°，据此建立方程求出，即，进而推出∠AEH=∠EAH=45°，设BH=m，根据含30°角直角三角形的性质及等腰直角三角形的性质用含m得式子表示出EH、AH、BE，进而由AB=BH+AH建立方程可求出m，从而得到BE的长.
25．（2024·广州） 已知抛物线过点和点，直线过点，交线段于点，记的周长为，的周长为，且．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）求的值；
（3）直线绕点以每秒的速度顺时针旋转秒后得到直线，当时，直线交抛物线于，两点．
①求的值；
②设的面积为，若对于任意的，均有成立，求的最大值及此时抛物线的解析式．
【答案】（1）解：由抛物线的表达式知，其对称轴为直线；
（2）解：直线：过点，则该直线的表达式为：，
当时，，
则，
，即，
其中，，上式变为：，
即，
而函数的对称轴为直线，由函数的对称性知，，
即，
则，
解得：；
（3）解：①当时，一次函数的表达式为：，
该直线和轴的夹角为，
则秒；
②由①知，为：，如下图：
则，
联立直线和抛物线的表达式得：，
即，
设点、的横坐标为，，
则，，
则，
则，
当时，等号成立，
即的最大值为：，，
则抛物线的表达式为：．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）由抛物线的对称轴直线公式“”可直接算出抛物线的对称轴直线；
（2）由题意可得直线l的解析式为y=m2(x-3)+1，由点的坐标与图形性质可得点D的纵坐标为2，故将y=2代入可得，由C1=C2+2，即AC+CD+AD=BC+CD+BD+2得到2xD=xA+xB+2，即可求解；
（3）①当m=±1时，一次函数的解析式为y=m2(x-3)+1=x-2，该直线和x轴的夹角为45°，即可求解；
②由①可得l为y=1，则，联立直线l与抛物线的解析式可得x2-6x-a2+2a=0，设E、F得横坐标为m、n，由根与系数的关系得m+n=6，mn=-a2+2a，根据两点间的距离公式得，从而代入即可求解.
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