内蒙古自治区赤峰市2024年中考数学试卷
一、单选题
1．（2024·赤峰）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是( )
A． B．
C． D．
2．（2024·赤峰）央视新闻年5月日报道，世界最大清洁能源走廊今年一季度累计发电超度，为我国经济社会绿色发展提供了强劲动能.将数据用科学记数法表示为( )
A． B． C． D．
3．（2024·赤峰）将一副三角尺如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·赤峰）下列计算正确的是( )
A． B． C． D．
5．（2024·赤峰）在数据收集、整理、描述的过程中，下列说法错误的是( )
A．为了解1000只灯泡的使用寿命，从中抽取50只进行检测，此次抽样的样本容量是50
B．了解某校一个班级学生的身高情况，适合全面调查
C．了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，这种调查不具有代表性
D．甲、乙二人10次测试的平均分都是96分，且方差，，则发挥稳定的是甲
6．（2024·赤峰）解不等式组时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是( )
A． B．
C． D．
7．（2024·赤峰）如图，是正n边形纸片的一部分，其中l，m是正n边形两条边的一部分，若l，m所在的直线相交形成的锐角为，则n的值是( )
A．5 B．6 C．8 D．10
8．（2024·赤峰）某市为了解初中学生的视力情况，随机抽取200名初中学生进行调查，整理样本数据如下表.根据抽样调查结果，估计该市16000名初中学生中，视力不低于4.8的人数是( )
视力 4.7以下 4.7 4.8 4.9 4.9以上
人数 39 41 33 40 47
A．120 B．200 C．6960 D．9600
9．（2024·赤峰）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为( )
A．或 B．或 C． D．
10．（2024·赤峰）如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点E，，则的度数是( )
A． B． C． D．
11．（2024·赤峰）用1块A型钢板可制成3块C型钢板和4块D型钢板；用1块B型钢板可制成5块C型钢板和2块D型钢板.现在需要58块C型钢板、40块D型钢板，问恰好用A型钢板、B型钢板各多少块？如果设用A型钢板x块，用B型钢板y块，则可列方程组为( )
A． B．
C． D．
12．（2024·赤峰）如图，中，，.将绕点A顺时针旋转得到，点与点B是对应点，点与点C是对应点.若点恰好落在BC边上，下列结论：①点B在旋转过程中经过的路径长是；②；③；④.其中正确的结论是( )
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②④
13．（2024·赤峰） 如图， 数轴上点 A， M， B 分别表示数 ， 若 ， 则下列运算结果一定是正数的是（ ）
A． B． C．a b D．
14．（2024·赤峰）如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上.若A，C两点的横坐标分别为m，n（），下列结论正确的是( )
A． B． C． D．
二、填空题
15．（2024·赤峰）请写出一个比小的整数
16．（2024·赤峰）因式分解： .
17．（2024·赤峰）综合实践课上，航模小组用无人机测量古树的高度.如图，点C处与古树底部A处在同一水平面上，且米，无人机从C处竖直上升到达D处，测得古树顶部B的俯角为，古树底部A的俯角为，则古树AB的高度约为 米（结果精确到0.1米；参考数据：，，）.
18．（2024·赤峰）编号为A，B，C，D，E的五台收割机，若同时启动其中两台收割机，收割面积相同的田地所需时间如下表：
收割机编号 A，B B，C C，D D，E A，E
所需时间（小时） 23 19 20 22 18
则收割最快的一台收割机编号是 .
三、解答题
19．（2024·赤峰）（1）计算：；
（2）已知，求代数式的值.
20．（2024·赤峰）如图，在中，D是中点.
（1）求作：的垂直平分线l（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若l交于点E，连接并延长至点F，使，连接，，补全图形，并证明四边形是平行四边形.
21．（2024·赤峰）某校田径队为了调动队员体育训练的积极性，计划根据成绩情况对队员进行奖励.为确定一个适当的成绩目标，进行了体育成绩测试，统计了每个队员的成绩，数据如下：
收集数据 77 78 76 72 84 75 91 85 78 79
82 78 76 79 91 91 76 74 75 85
75 91 80 77 75 75 87 85 76 77
整理、描述数据
成绩/分 72 74 75 76 77 78 79 80 82 84 85 87 91
人数/人 1 1 a 4 3 3 b 1 1 1 3 1 4
分析数据样本数据的平均数、众数、中位数如下表：
平均数 众数 中位数
80 c 78
解决问题
（1）表格中的 ； ； ；
（2）分析平均数、众数、中位数这三个数据，如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，你认为成绩目标应定为 分，如果想确定一个较高的成绩目标，这个成绩目标应定为 分；
（3）学校要从91分的A，B，C，D四名队员中，随机抽取两名队员去市里参加系统培训.请利用画树状图法或列表法，求A，B两名队员恰好同时被选中的概率.
22．（2024·赤峰）一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等.
（1）求甲、乙两队平均每天修复公路分别多少千米；
（2）为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那么15天的工期，两队最多能修复公路多少千米？
23．（2024·赤峰）在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点，满足时，称点N是点M的等和点.
（1）已知点，在，，中，是点M等和点的有 ；
（2）若点的等和点N在直线上，求b的值；
（3）已知，双曲线和直线，满足的x取值范围是或.若点P在双曲线上，点P的等和点Q在直线上，求点P的坐标.
24．（2024·赤峰）如图，中，，，经过B，C两点，与斜边交于点E，连接并延长交于点M，交于点D，过点E作，交于点F.
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长.
25．（2024·赤峰）如图，是某公园的一种水上娱乐项目.数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究.下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池.以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系.他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分.根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决.
（1）如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为米，点C到点B的水平距离为3米，则水滑道所在抛物线的解析式为 ；
（2）如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离不少于3米.若某人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称.
①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线的解析式；
②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）；
（3）为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固.如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架.现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架上，另一端固定在地面上.请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）.
26．（2024·赤峰）数学课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组讨论，提出探究问题.如图1，在中，，点D是上的一个动点，过点D作于点E，延长交延长线于点F.
请你解决下面各组提出的问题：
（1）求证：；
（2）探究与的关系；
某小组探究发现，当时，；当时，.
请你继续探究：
①当时，直接写出的值；
②当时，猜想的值（用含m，n的式子表示），并证明；
（3）拓展应用：在图1中，过点F作，垂足为点P，连接，得到图2，当点D运动到使时，若，直接写出的值（用含m，n的式子表示）.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、 是轴对称图形，故符合题意；
B、不是轴对称图形，故不符合题意；
C、不是轴对称图形，故不符合题意；
D、不是轴对称图形，故不符合题意；
故答案为：A.
【分析】轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，据此判断即可.
2．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：=.
故答案为：D.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数，据此判断即可.
3．【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
由刻度线的两边互相平行，
∴
∴
故选：B．
【分析】利用平行线的性质即特殊直角三角尺的特殊角逐一表示角度向目标角推理即可．
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，故不符合题意；
B、，故不符合题意；
C、， 故不符合题意；
D、 ，正确， 故符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项，完全平方公式，同底数幂的除法，幂的乘方分别计算，再判断即可.
5．【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查；总体、个体、样本、样本容量；抽样调查的可靠性；方差
【解析】【解答】解： A、为了解1000只灯泡的使用寿命，从中抽取50只进行检测，此次抽样的样本容量是50，正确，故不符合题意；
B、了解某校一个班级学生的身高情况，适合全面调查，正确，故不符合题意；
C、了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，这种调查不具有代表性，正确，故不符合题意；
D、甲、乙二人10次测试的平均分都是96分，且方差，，则发挥稳定的是乙，故符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据样本容量，全面调查与抽样调查，抽样调查的可靠性，方差的意义逐项判断即可.
6．【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解： 组
解不等式①得：x＜2，
解不等式②得：x≥-3，
将两个解集在数轴上表示为：
故答案为：C.
【分析】分别求出每个不等式的解集，再将解集在数轴上表示即可.
7．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，由题意得∠A=60°，
∵正多边形的每个内角都相等，
∴正多边形的每个外角也相等，
∴∠1=∠2=（180°-60°）=60°，
∴n=360°÷60°=6.
故答案为：B.
【分析】求出正多边形每个外角的度数，再利用多边形外角和360°除以外角的度数即得结论.
8．【答案】D
【知识点】用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：16000×=9600（名）
∴该市16000名初中学生中，视力不低于4.8的人数估计为9600名.
故答案为：D.
【分析】用总人数乘以样本中视力不低于4.8的人数所占比例即得结论.
9．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：
（x-3）(x-7)=0，
解得x1=3 x2=7，
当等腰三角形的三边长是3，3，7时，
由3+3＜7， 则不符合三角形三边关系，故舍去；
当等腰三角形的三边长是3，7，7时，这个三角形的周长为3+7+7=17.
故答案为：C .
【分析】解方程求出x值，利用等腰三角形的性质分两种情况，再利用三角形的三边关系确定三边，继而求解.
10．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵ 半径，
∴，
∴∠AOC=∠BOC=42°，
∴∠D=∠AOC=21°，
∵OC=OD，
∴∠C=∠D=21°，
∴∠AOC=∠C+∠BOC=21°+42°=63°.
故答案为：B.
【分析】由垂径定理可得，则∠AOC=∠BOC=42°，由圆周角定理可得∠D=∠AOC=21°，再根据OC=OD，可得∠C=∠D=21°，最后利用三角形的外角的性质即可求解.
11．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设用A型钢板x块，用B型钢板y块，
依题意可得：
故答案为：C.
【分析】设用A型钢板x块，用B型钢板y块， 根据“ 需要58块C型钢板、40块D型钢板 ”列出方程组即可.
12．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴∠BAC=∠C=72°，∠ABC=180°-2∠C=36°
由旋转的性质得：∠AB'C'=∠ABC=36°，∠B'AC'=∠BAC=∠AC'B'=∠C=∠ADC=72°，AC'=AC，
∴∠AC'C=∠C=72°，
∴∠C'AC=36°，
∴∠C'AC=∠BAC'=36°，
∴∠B'AB=72°-36°=36°，
由旋转得AB=AB'，
∴∠ABB'=∠AB'B=(180°-36°）=72°，
① 点B在旋转过程中经过的路径长是，故正确；
②∠B'AB=∠ABC=36°，
∴，故②正确；
③∵∠DC'B=180°-∠AC'C-∠AC'B'=36°，
∴∠DC'B=∠ABC，
∴； 故③正确；
④∵∠BB'D=∠ABC=36°，∠DBB'=∠BAC=72°，
∴△BB'D∽△ABC
∴.故④正确.
综上可知： ①②③④ 都正确.
故答案为：A.
【分析】先求出点B旋转的角度，再利用弧长公式求解，即可判断①；易求∠B'AB=∠ABC=36°，可得，据此判断②；利用角度可得∠DC'B=∠ABC=36°，可得，据此判断③，利用“AA”证△BB'D∽△ABC，可得，据此判断④.
13．【答案】A
【知识点】数轴上两点之间的距离；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：∵ A， M， B 分别表示数 ，且由数轴可知，
∴，，
又∵，
∴，即a+b>0.
故答案为：A.
【分析】由数轴可判断数的大小，从而利用数与距离关系表示AM和BM的距离，得出a与b的关系即可.
14．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；二次函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点A作AM⊥y轴，过点C作CN⊥y轴，则∠DNC=∠AMD=90°
，当x=m时，y=-m2+4， 当x=n时，y=-n2+4，
∴A（m，-m2+4，），B（n，-n2+4），AM=m，MO=-m2+4，CN=n，NO=-n2+4，
在正方形ABCD中，AD=CD，∠ADC=90°，
∴∠CDN+∠ADM=∠ADM+∠DAM=90°，
∴∠CDN=∠DAM，
∴△CDN≌△DAM（AAS），
∴DM=CN=n，DN=AM=m，
∴MN=DM+DN=m+n，
∵MN=ON-OM=-n2+4-（-m2+4）=m2-n2，
∴m2-n2=m+n，即（m+n）（m-n）=m+n，
由题意知m+n≠0，
∴m-n=1.
故答案为：B.
【分析】过点A作AM⊥y轴，过点C作CN⊥y轴，由题意知A（m，-m2+4，），B（n，-n2+4），从而得出AM=m，MO=-m2+4，CN=n，NO=-n2+4， 可证△CDN≌△DAM（AAS），可得DM=CN=n，DN=AM=m，从而得出MN=m+n=m2-n2，据此即可求解.
15．【答案】1（或2）
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵2＜＜3，
∴ 比小的整数 可能为1.
故答案为：1（答案不唯一）.
【分析】由于2＜＜3，据此即可求解.
16．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：3a(m2-1)=.
故答案为：.
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解即可.
17．【答案】11.5
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB交齐延长线于点E，则四边形ACDE为矩形，
由题意得：∠EDB=45°，∠EDA=65°，ED=AC=10米，
在Rt△BDE中，则∠EBD=∠EDB=45°，
∴BE=DE=10米，
在Rt△ADE中，AE=DE·tan65°≈10×2.145=21.45米，
∴AB=AE-DE=21.45-10=11.45≈11.5米
故答案为：11.5.
【分析】过点D作DE⊥AB交齐延长线于点E，则四边形ACDE为矩形，可得ED=AC=10米，结合题意可得△BDE为等腰直角三角形，可得BE=DE=10米，在Rt△ADE中，由AE=DE·tan65°可求AE的长，利用AB=AE-DE即可求解.
18．【答案】C
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：∵A、B所需时间为23小时，C、B所需时间为19小时，
∴C比A快4小时，
∵C、D所需时间为20小时，C、B所需时间为19小时，
∴B比D快1小时，
∵C、D所需时间为20小时，D、E所需时间为22小时，
∴C比E快2小时，
∵A、E所需时间为18小时，D、E所需时间为22小时，
∴A比D快4小时，
∴C＞E＞A＞B＞D，
∴收割最快的一台收割机编号是 C.
故答案为：C.
【分析】由A、B所需时间为23小时，C、B所需时间为19小时，可得C比A快4小时，依次类推可得B比D快1小时，C比E快2小时，A比D快4小时，据此比较即可.
19．【答案】（1）原式
，
；
（2），
，
，
，
，
=2×3+1，
.
【知识点】求特殊角的三角函数值；利用整式的混合运算化简求值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）利用算术平方根、零指数幂、特殊角三角函数值及绝对值先化简，再计算加减即可；
（2）由，可得，然后利用完全平方公式，多项式乘多项式将原式展开，再去括号、合并即可化简，再整体代入计算即可.
20．【答案】（1）直线l如图所示，
；
（2）证明：补全图形，如图，
由（1）作图知，E为的中点，
D，E分别为，的中点，
，，
，即：，
，
，
四边形是平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定；尺规作图-垂直平分线；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图步骤作图即可；
（2）由题意先补图，由三角形中位线定理可得，，结合已知，可得EF=BC，利用一组对边平行且相等即证四边形是平行四边形.
21．【答案】（1）5；2；75
（2）78；80
（3）画树状图表示所有等可能结果如图所示，
共有种等可能结果，A，B两名队员恰好同时被选中的情况有种，
A，B两名队员恰好同时被选中的概率为，
答：A，B两名队员恰好同时被选中的概率为.
【知识点】统计表；用列表法或树状图法求概率；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）由统计表数据可得a=5，b=2，
成绩75出现了5次，次数最多，
∴这组数据的众数为75.
故答案为：5，2，75.
（2）∵样本数据的中位数为78，
∴如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标， 成绩目标应定为78分；
∵ 平均数、众数、中位数这三个数据中，平均数为80，最大，
∴ 如果想确定一个较高的成绩目标，这个成绩目标应定为80分.
故答案为：78，80.
【分析】（1）根据数据直接求解；
（2） 根据平均数、众数、中位数的意义解答即可；
（3）利用树状图列举出共有种等可能结果，A，B两名队员恰好同时被选中的情况有种，然后利用概率公式计算即可.
22．【答案】（1）设甲队平均每天修复公路x千米，则乙队平均每天修复公路千米，
由题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：甲队平均每天修复公路6千米，则乙队平均每天修复公路9千米；
（2）设甲队的工作时间为m天，则乙队的工作时间为天，15天的工期，两队能修复公路w千米，
由题意得，
，
解得，
，
w随m的增加而减少，
当时，w有最大值，最大值为，
答：15天的工期，两队最多能修复公路千米.
【知识点】一次函数的实际应用-工程问题；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】（1）设甲队平均每天修复公路x千米，则乙队平均每天修复公路千米，根据“ 甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等. ”列方程并解之即可；
（2）设甲队的工作时间为m天，则乙队的工作时间为天，15天的工期，两队能修复公路w千米，从而得出，由“ 要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍 ”求出m的范围，利用一次函数的性质求解即可.
23．【答案】（1）和；
（2）解：设点N的横坐标为a，
点N是点的等和点，
点N的纵坐标为，
点N的坐标为，
点N在直线上，
a+5=a+b，
b=5；
（3）解：由题意可得，，双曲线分布在一、三象限内，设直线与双曲线的交点分别为点A、B，如图，
由时x的取值范围是或-2＜x＜0，可得点A的横坐标为4，点B的横坐标为，
把x=4代入得，y=4-2=2，
，
把代入得，，
，
反比例函数解析式为，
设，点Q的横坐标为n，
点Q是点P的等和点，
点Q的纵坐标为，
，
点Q在直线上，
，
整理得，，
去分母得，，
解得，，
经检验，，是原方程的解，
∴点P的坐标为或.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）由，得，，点是点M的等和点；由，得，，，，不是点M的等和点；由，得，，是点M的等和点；
故答案为：和；
【分析】（1）根据等和点的定义逐个验证即可；
（2）设点N的横坐标为a，由点N是点M为等和点，则点N的纵坐标为，故N，那点N的坐标代入直线中，即可求出b值；
（3）由题意可得，，双曲线分布在一、三象限内，设直线与双曲线的交点分别为点A、B，由时x的取值范围是或-2＜x＜0，可得点A的横坐标为4，点B的横坐标为，从而求出A（4，2），继而求出为，可设，点Q的横坐标为n，由点Q是点P的等和点，可求，把其坐标代入直线中，可得关于m的方程，解之即可.
24．【答案】（1）证明：连接，延长，交于点P，连接，，如图，
，
是等腰直角三角形，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
即，
是的半径，
是的切线；
（2），，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
在等腰直角三角形中，，
，
解得，，
，
，
在中，，
，
又，
，
，
，
.
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）连接，延长，交于点P，连接，，可得△ABC为等腰直角三角形，可得∠ABC=45°，由CD是的直径可得∠DBC=90°，从而求出∠DBE=45°，根据圆周角定理可得
∠DOE=2∠DPE=2∠DBE=90°，可证EF∥CD，利用平行线的性质可得∠FEO=∠DOE=90°，根据切线的判定定理即证；
（2）证明，可得，从而可求AM、AB的长，在等腰直角三角形中，由勾股定理求出AC的长，从而得出DB的长，在中，利用勾股定理求出CD=，即得，结合可求出DM，利用OM=OD-DM即可求解.
25．【答案】（1）
（2）①人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称，
则设人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为，
人腾空后的路径形成的抛物线的顶点坐标与抛物线的顶点坐标关于点成中心对称，
，
人腾空后的路径形成的抛物线的顶点坐标为，即，，
∴此人腾空后的最大高度是米，人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：；
由①知人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：，
令，则，即
或（舍去，不符合题意），
点，
，
，
，
此人腾空飞出后的落点D在安全范围内；
（3）根据题意可得M点的纵坐标为4，
令，即，
（舍去，不符合题意）或，
，
设所在直线的解析式为，
将代入得：，
解得：，
所在直线的解析式为，
如图，设这条钢架为，与交于点G，与地面交于H，
这条钢架与平行，
设该钢架所在直线的解析式为，
联立，即，
整理得：，
该钢架与水滑道有唯一公共点，
，
即该钢架所在直线的解析式为，
点H与点O重合，
，，，
，
这条钢架的长度为米.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）由题意得水滑道所在抛物线的顶点C（-3，），B（0，2），
可设y=a（x+3）2+，
把B（0，2）代入得2=a（0+3）2+，解得a=，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）由题意得水滑道所在抛物线的顶点C（-3，），B（0，2），利用待定系数法（顶点式）求解析式即可；
（2）①由题意知：抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称，可得抛物线的顶点与抛物线的顶点C关于点B成中心对称，则B是它们的中点，由B、C的坐标可求出的顶点为（3，），即得此人腾空后的最大高度；再利用待定系数法（顶点式）求解析式即可；
②由①知抛物线的解析式为：，令求出x值，即得OD的长，继而求出DE，再比较即可判断；
（3）由所在抛物线可求出，再求的解析式为，再画出图形找出所求这条钢架为，由GH∥BM，可设所在直线的解析式为，联立，可得方程，由于该钢架与水滑道有唯一公共点，可得△=0，可求出n=0，即得，可知点H与点O重合，先求出GN，再利用勾股定理求出GH即可.
26．【答案】（1）证明：，
，
，
，
，，且，
，
；
（2）①当时，；当时，，
总结规律得：是的2倍，
当时，；
②当时，猜想，
证明：作于点G，
，
，
，
，
，
由（1）知，又，
，即，
；
（3），理由如下：
过点D作，
，，
，
由（2）知，当时，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由（1）知，
.
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）由等边对等角可得∠B=∠C，由等角的余角相等及对顶角相等可得，利用等角对等边即证结论；
（2）①由题干信息可得是的2倍，继而求解；
②猜想，理由：作于点G，利用平行线可证，可得，由等腰三角形三线合一的性质可得，继而得解；
（3）过点D作，由角平分线的性质可得，由（2）知当时，，从而得出，利用余角的性质及等腰三角形的性质可推出，继而可得，可得，由AD=AF即可求解.
1 / 1内蒙古自治区赤峰市2024年中考数学试卷
一、单选题
1．（2024·赤峰）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、 是轴对称图形，故符合题意；
B、不是轴对称图形，故不符合题意；
C、不是轴对称图形，故不符合题意；
D、不是轴对称图形，故不符合题意；
故答案为：A.
【分析】轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，据此判断即可.
2．（2024·赤峰）央视新闻年5月日报道，世界最大清洁能源走廊今年一季度累计发电超度，为我国经济社会绿色发展提供了强劲动能.将数据用科学记数法表示为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：=.
故答案为：D.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数，据此判断即可.
3．（2024·赤峰）将一副三角尺如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
由刻度线的两边互相平行，
∴
∴
故选：B．
【分析】利用平行线的性质即特殊直角三角尺的特殊角逐一表示角度向目标角推理即可．
4．（2024·赤峰）下列计算正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，故不符合题意；
B、，故不符合题意；
C、， 故不符合题意；
D、 ，正确， 故符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项，完全平方公式，同底数幂的除法，幂的乘方分别计算，再判断即可.
5．（2024·赤峰）在数据收集、整理、描述的过程中，下列说法错误的是( )
A．为了解1000只灯泡的使用寿命，从中抽取50只进行检测，此次抽样的样本容量是50
B．了解某校一个班级学生的身高情况，适合全面调查
C．了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，这种调查不具有代表性
D．甲、乙二人10次测试的平均分都是96分，且方差，，则发挥稳定的是甲
【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查；总体、个体、样本、样本容量；抽样调查的可靠性；方差
【解析】【解答】解： A、为了解1000只灯泡的使用寿命，从中抽取50只进行检测，此次抽样的样本容量是50，正确，故不符合题意；
B、了解某校一个班级学生的身高情况，适合全面调查，正确，故不符合题意；
C、了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，这种调查不具有代表性，正确，故不符合题意；
D、甲、乙二人10次测试的平均分都是96分，且方差，，则发挥稳定的是乙，故符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据样本容量，全面调查与抽样调查，抽样调查的可靠性，方差的意义逐项判断即可.
6．（2024·赤峰）解不等式组时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解： 组
解不等式①得：x＜2，
解不等式②得：x≥-3，
将两个解集在数轴上表示为：
故答案为：C.
【分析】分别求出每个不等式的解集，再将解集在数轴上表示即可.
7．（2024·赤峰）如图，是正n边形纸片的一部分，其中l，m是正n边形两条边的一部分，若l，m所在的直线相交形成的锐角为，则n的值是( )
A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，由题意得∠A=60°，
∵正多边形的每个内角都相等，
∴正多边形的每个外角也相等，
∴∠1=∠2=（180°-60°）=60°，
∴n=360°÷60°=6.
故答案为：B.
【分析】求出正多边形每个外角的度数，再利用多边形外角和360°除以外角的度数即得结论.
8．（2024·赤峰）某市为了解初中学生的视力情况，随机抽取200名初中学生进行调查，整理样本数据如下表.根据抽样调查结果，估计该市16000名初中学生中，视力不低于4.8的人数是( )
视力 4.7以下 4.7 4.8 4.9 4.9以上
人数 39 41 33 40 47
A．120 B．200 C．6960 D．9600
【答案】D
【知识点】用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：16000×=9600（名）
∴该市16000名初中学生中，视力不低于4.8的人数估计为9600名.
故答案为：D.
【分析】用总人数乘以样本中视力不低于4.8的人数所占比例即得结论.
9．（2024·赤峰）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为( )
A．或 B．或 C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：
（x-3）(x-7)=0，
解得x1=3 x2=7，
当等腰三角形的三边长是3，3，7时，
由3+3＜7， 则不符合三角形三边关系，故舍去；
当等腰三角形的三边长是3，7，7时，这个三角形的周长为3+7+7=17.
故答案为：C .
【分析】解方程求出x值，利用等腰三角形的性质分两种情况，再利用三角形的三边关系确定三边，继而求解.
10．（2024·赤峰）如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点E，，则的度数是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵ 半径，
∴，
∴∠AOC=∠BOC=42°，
∴∠D=∠AOC=21°，
∵OC=OD，
∴∠C=∠D=21°，
∴∠AOC=∠C+∠BOC=21°+42°=63°.
故答案为：B.
【分析】由垂径定理可得，则∠AOC=∠BOC=42°，由圆周角定理可得∠D=∠AOC=21°，再根据OC=OD，可得∠C=∠D=21°，最后利用三角形的外角的性质即可求解.
11．（2024·赤峰）用1块A型钢板可制成3块C型钢板和4块D型钢板；用1块B型钢板可制成5块C型钢板和2块D型钢板.现在需要58块C型钢板、40块D型钢板，问恰好用A型钢板、B型钢板各多少块？如果设用A型钢板x块，用B型钢板y块，则可列方程组为( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设用A型钢板x块，用B型钢板y块，
依题意可得：
故答案为：C.
【分析】设用A型钢板x块，用B型钢板y块， 根据“ 需要58块C型钢板、40块D型钢板 ”列出方程组即可.
12．（2024·赤峰）如图，中，，.将绕点A顺时针旋转得到，点与点B是对应点，点与点C是对应点.若点恰好落在BC边上，下列结论：①点B在旋转过程中经过的路径长是；②；③；④.其中正确的结论是( )
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②④
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴∠BAC=∠C=72°，∠ABC=180°-2∠C=36°
由旋转的性质得：∠AB'C'=∠ABC=36°，∠B'AC'=∠BAC=∠AC'B'=∠C=∠ADC=72°，AC'=AC，
∴∠AC'C=∠C=72°，
∴∠C'AC=36°，
∴∠C'AC=∠BAC'=36°，
∴∠B'AB=72°-36°=36°，
由旋转得AB=AB'，
∴∠ABB'=∠AB'B=(180°-36°）=72°，
① 点B在旋转过程中经过的路径长是，故正确；
②∠B'AB=∠ABC=36°，
∴，故②正确；
③∵∠DC'B=180°-∠AC'C-∠AC'B'=36°，
∴∠DC'B=∠ABC，
∴； 故③正确；
④∵∠BB'D=∠ABC=36°，∠DBB'=∠BAC=72°，
∴△BB'D∽△ABC
∴.故④正确.
综上可知： ①②③④ 都正确.
故答案为：A.
【分析】先求出点B旋转的角度，再利用弧长公式求解，即可判断①；易求∠B'AB=∠ABC=36°，可得，据此判断②；利用角度可得∠DC'B=∠ABC=36°，可得，据此判断③，利用“AA”证△BB'D∽△ABC，可得，据此判断④.
13．（2024·赤峰） 如图， 数轴上点 A， M， B 分别表示数 ， 若 ， 则下列运算结果一定是正数的是（ ）
A． B． C．a b D．
【答案】A
【知识点】数轴上两点之间的距离；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：∵ A， M， B 分别表示数 ，且由数轴可知，
∴，，
又∵，
∴，即a+b>0.
故答案为：A.
【分析】由数轴可判断数的大小，从而利用数与距离关系表示AM和BM的距离，得出a与b的关系即可.
14．（2024·赤峰）如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上.若A，C两点的横坐标分别为m，n（），下列结论正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；二次函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点A作AM⊥y轴，过点C作CN⊥y轴，则∠DNC=∠AMD=90°
，当x=m时，y=-m2+4， 当x=n时，y=-n2+4，
∴A（m，-m2+4，），B（n，-n2+4），AM=m，MO=-m2+4，CN=n，NO=-n2+4，
在正方形ABCD中，AD=CD，∠ADC=90°，
∴∠CDN+∠ADM=∠ADM+∠DAM=90°，
∴∠CDN=∠DAM，
∴△CDN≌△DAM（AAS），
∴DM=CN=n，DN=AM=m，
∴MN=DM+DN=m+n，
∵MN=ON-OM=-n2+4-（-m2+4）=m2-n2，
∴m2-n2=m+n，即（m+n）（m-n）=m+n，
由题意知m+n≠0，
∴m-n=1.
故答案为：B.
【分析】过点A作AM⊥y轴，过点C作CN⊥y轴，由题意知A（m，-m2+4，），B（n，-n2+4），从而得出AM=m，MO=-m2+4，CN=n，NO=-n2+4， 可证△CDN≌△DAM（AAS），可得DM=CN=n，DN=AM=m，从而得出MN=m+n=m2-n2，据此即可求解.
二、填空题
15．（2024·赤峰）请写出一个比小的整数
【答案】1（或2）
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵2＜＜3，
∴ 比小的整数 可能为1.
故答案为：1（答案不唯一）.
【分析】由于2＜＜3，据此即可求解.
16．（2024·赤峰）因式分解： .
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：3a(m2-1)=.
故答案为：.
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解即可.
17．（2024·赤峰）综合实践课上，航模小组用无人机测量古树的高度.如图，点C处与古树底部A处在同一水平面上，且米，无人机从C处竖直上升到达D处，测得古树顶部B的俯角为，古树底部A的俯角为，则古树AB的高度约为 米（结果精确到0.1米；参考数据：，，）.
【答案】11.5
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB交齐延长线于点E，则四边形ACDE为矩形，
由题意得：∠EDB=45°，∠EDA=65°，ED=AC=10米，
在Rt△BDE中，则∠EBD=∠EDB=45°，
∴BE=DE=10米，
在Rt△ADE中，AE=DE·tan65°≈10×2.145=21.45米，
∴AB=AE-DE=21.45-10=11.45≈11.5米
故答案为：11.5.
【分析】过点D作DE⊥AB交齐延长线于点E，则四边形ACDE为矩形，可得ED=AC=10米，结合题意可得△BDE为等腰直角三角形，可得BE=DE=10米，在Rt△ADE中，由AE=DE·tan65°可求AE的长，利用AB=AE-DE即可求解.
18．（2024·赤峰）编号为A，B，C，D，E的五台收割机，若同时启动其中两台收割机，收割面积相同的田地所需时间如下表：
收割机编号 A，B B，C C，D D，E A，E
所需时间（小时） 23 19 20 22 18
则收割最快的一台收割机编号是 .
【答案】C
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：∵A、B所需时间为23小时，C、B所需时间为19小时，
∴C比A快4小时，
∵C、D所需时间为20小时，C、B所需时间为19小时，
∴B比D快1小时，
∵C、D所需时间为20小时，D、E所需时间为22小时，
∴C比E快2小时，
∵A、E所需时间为18小时，D、E所需时间为22小时，
∴A比D快4小时，
∴C＞E＞A＞B＞D，
∴收割最快的一台收割机编号是 C.
故答案为：C.
【分析】由A、B所需时间为23小时，C、B所需时间为19小时，可得C比A快4小时，依次类推可得B比D快1小时，C比E快2小时，A比D快4小时，据此比较即可.
三、解答题
19．（2024·赤峰）（1）计算：；
（2）已知，求代数式的值.
【答案】（1）原式
，
；
（2），
，
，
，
，
=2×3+1，
.
【知识点】求特殊角的三角函数值；利用整式的混合运算化简求值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）利用算术平方根、零指数幂、特殊角三角函数值及绝对值先化简，再计算加减即可；
（2）由，可得，然后利用完全平方公式，多项式乘多项式将原式展开，再去括号、合并即可化简，再整体代入计算即可.
20．（2024·赤峰）如图，在中，D是中点.
（1）求作：的垂直平分线l（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若l交于点E，连接并延长至点F，使，连接，，补全图形，并证明四边形是平行四边形.
【答案】（1）直线l如图所示，
；
（2）证明：补全图形，如图，
由（1）作图知，E为的中点，
D，E分别为，的中点，
，，
，即：，
，
，
四边形是平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定；尺规作图-垂直平分线；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图步骤作图即可；
（2）由题意先补图，由三角形中位线定理可得，，结合已知，可得EF=BC，利用一组对边平行且相等即证四边形是平行四边形.
21．（2024·赤峰）某校田径队为了调动队员体育训练的积极性，计划根据成绩情况对队员进行奖励.为确定一个适当的成绩目标，进行了体育成绩测试，统计了每个队员的成绩，数据如下：
收集数据 77 78 76 72 84 75 91 85 78 79
82 78 76 79 91 91 76 74 75 85
75 91 80 77 75 75 87 85 76 77
整理、描述数据
成绩/分 72 74 75 76 77 78 79 80 82 84 85 87 91
人数/人 1 1 a 4 3 3 b 1 1 1 3 1 4
分析数据样本数据的平均数、众数、中位数如下表：
平均数 众数 中位数
80 c 78
解决问题
（1）表格中的 ； ； ；
（2）分析平均数、众数、中位数这三个数据，如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，你认为成绩目标应定为 分，如果想确定一个较高的成绩目标，这个成绩目标应定为 分；
（3）学校要从91分的A，B，C，D四名队员中，随机抽取两名队员去市里参加系统培训.请利用画树状图法或列表法，求A，B两名队员恰好同时被选中的概率.
【答案】（1）5；2；75
（2）78；80
（3）画树状图表示所有等可能结果如图所示，
共有种等可能结果，A，B两名队员恰好同时被选中的情况有种，
A，B两名队员恰好同时被选中的概率为，
答：A，B两名队员恰好同时被选中的概率为.
【知识点】统计表；用列表法或树状图法求概率；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）由统计表数据可得a=5，b=2，
成绩75出现了5次，次数最多，
∴这组数据的众数为75.
故答案为：5，2，75.
（2）∵样本数据的中位数为78，
∴如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标， 成绩目标应定为78分；
∵ 平均数、众数、中位数这三个数据中，平均数为80，最大，
∴ 如果想确定一个较高的成绩目标，这个成绩目标应定为80分.
故答案为：78，80.
【分析】（1）根据数据直接求解；
（2） 根据平均数、众数、中位数的意义解答即可；
（3）利用树状图列举出共有种等可能结果，A，B两名队员恰好同时被选中的情况有种，然后利用概率公式计算即可.
22．（2024·赤峰）一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等.
（1）求甲、乙两队平均每天修复公路分别多少千米；
（2）为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那么15天的工期，两队最多能修复公路多少千米？
【答案】（1）设甲队平均每天修复公路x千米，则乙队平均每天修复公路千米，
由题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：甲队平均每天修复公路6千米，则乙队平均每天修复公路9千米；
（2）设甲队的工作时间为m天，则乙队的工作时间为天，15天的工期，两队能修复公路w千米，
由题意得，
，
解得，
，
w随m的增加而减少，
当时，w有最大值，最大值为，
答：15天的工期，两队最多能修复公路千米.
【知识点】一次函数的实际应用-工程问题；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】（1）设甲队平均每天修复公路x千米，则乙队平均每天修复公路千米，根据“ 甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等. ”列方程并解之即可；
（2）设甲队的工作时间为m天，则乙队的工作时间为天，15天的工期，两队能修复公路w千米，从而得出，由“ 要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍 ”求出m的范围，利用一次函数的性质求解即可.
23．（2024·赤峰）在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点，满足时，称点N是点M的等和点.
（1）已知点，在，，中，是点M等和点的有 ；
（2）若点的等和点N在直线上，求b的值；
（3）已知，双曲线和直线，满足的x取值范围是或.若点P在双曲线上，点P的等和点Q在直线上，求点P的坐标.
【答案】（1）和；
（2）解：设点N的横坐标为a，
点N是点的等和点，
点N的纵坐标为，
点N的坐标为，
点N在直线上，
a+5=a+b，
b=5；
（3）解：由题意可得，，双曲线分布在一、三象限内，设直线与双曲线的交点分别为点A、B，如图，
由时x的取值范围是或-2＜x＜0，可得点A的横坐标为4，点B的横坐标为，
把x=4代入得，y=4-2=2，
，
把代入得，，
，
反比例函数解析式为，
设，点Q的横坐标为n，
点Q是点P的等和点，
点Q的纵坐标为，
，
点Q在直线上，
，
整理得，，
去分母得，，
解得，，
经检验，，是原方程的解，
∴点P的坐标为或.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）由，得，，点是点M的等和点；由，得，，，，不是点M的等和点；由，得，，是点M的等和点；
故答案为：和；
【分析】（1）根据等和点的定义逐个验证即可；
（2）设点N的横坐标为a，由点N是点M为等和点，则点N的纵坐标为，故N，那点N的坐标代入直线中，即可求出b值；
（3）由题意可得，，双曲线分布在一、三象限内，设直线与双曲线的交点分别为点A、B，由时x的取值范围是或-2＜x＜0，可得点A的横坐标为4，点B的横坐标为，从而求出A（4，2），继而求出为，可设，点Q的横坐标为n，由点Q是点P的等和点，可求，把其坐标代入直线中，可得关于m的方程，解之即可.
24．（2024·赤峰）如图，中，，，经过B，C两点，与斜边交于点E，连接并延长交于点M，交于点D，过点E作，交于点F.
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长.
【答案】（1）证明：连接，延长，交于点P，连接，，如图，
，
是等腰直角三角形，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
即，
是的半径，
是的切线；
（2），，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
在等腰直角三角形中，，
，
解得，，
，
，
在中，，
，
又，
，
，
，
.
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）连接，延长，交于点P，连接，，可得△ABC为等腰直角三角形，可得∠ABC=45°，由CD是的直径可得∠DBC=90°，从而求出∠DBE=45°，根据圆周角定理可得
∠DOE=2∠DPE=2∠DBE=90°，可证EF∥CD，利用平行线的性质可得∠FEO=∠DOE=90°，根据切线的判定定理即证；
（2）证明，可得，从而可求AM、AB的长，在等腰直角三角形中，由勾股定理求出AC的长，从而得出DB的长，在中，利用勾股定理求出CD=，即得，结合可求出DM，利用OM=OD-DM即可求解.
25．（2024·赤峰）如图，是某公园的一种水上娱乐项目.数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究.下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池.以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系.他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分.根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决.
（1）如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为米，点C到点B的水平距离为3米，则水滑道所在抛物线的解析式为 ；
（2）如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离不少于3米.若某人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称.
①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线的解析式；
②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）；
（3）为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固.如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架.现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架上，另一端固定在地面上.请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）.
【答案】（1）
（2）①人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称，
则设人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为，
人腾空后的路径形成的抛物线的顶点坐标与抛物线的顶点坐标关于点成中心对称，
，
人腾空后的路径形成的抛物线的顶点坐标为，即，，
∴此人腾空后的最大高度是米，人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：；
由①知人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：，
令，则，即
或（舍去，不符合题意），
点，
，
，
，
此人腾空飞出后的落点D在安全范围内；
（3）根据题意可得M点的纵坐标为4，
令，即，
（舍去，不符合题意）或，
，
设所在直线的解析式为，
将代入得：，
解得：，
所在直线的解析式为，
如图，设这条钢架为，与交于点G，与地面交于H，
这条钢架与平行，
设该钢架所在直线的解析式为，
联立，即，
整理得：，
该钢架与水滑道有唯一公共点，
，
即该钢架所在直线的解析式为，
点H与点O重合，
，，，
，
这条钢架的长度为米.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）由题意得水滑道所在抛物线的顶点C（-3，），B（0，2），
可设y=a（x+3）2+，
把B（0，2）代入得2=a（0+3）2+，解得a=，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）由题意得水滑道所在抛物线的顶点C（-3，），B（0，2），利用待定系数法（顶点式）求解析式即可；
（2）①由题意知：抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称，可得抛物线的顶点与抛物线的顶点C关于点B成中心对称，则B是它们的中点，由B、C的坐标可求出的顶点为（3，），即得此人腾空后的最大高度；再利用待定系数法（顶点式）求解析式即可；
②由①知抛物线的解析式为：，令求出x值，即得OD的长，继而求出DE，再比较即可判断；
（3）由所在抛物线可求出，再求的解析式为，再画出图形找出所求这条钢架为，由GH∥BM，可设所在直线的解析式为，联立，可得方程，由于该钢架与水滑道有唯一公共点，可得△=0，可求出n=0，即得，可知点H与点O重合，先求出GN，再利用勾股定理求出GH即可.
26．（2024·赤峰）数学课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组讨论，提出探究问题.如图1，在中，，点D是上的一个动点，过点D作于点E，延长交延长线于点F.
请你解决下面各组提出的问题：
（1）求证：；
（2）探究与的关系；
某小组探究发现，当时，；当时，.
请你继续探究：
①当时，直接写出的值；
②当时，猜想的值（用含m，n的式子表示），并证明；
（3）拓展应用：在图1中，过点F作，垂足为点P，连接，得到图2，当点D运动到使时，若，直接写出的值（用含m，n的式子表示）.
【答案】（1）证明：，
，
，
，
，，且，
，
；
（2）①当时，；当时，，
总结规律得：是的2倍，
当时，；
②当时，猜想，
证明：作于点G，
，
，
，
，
，
由（1）知，又，
，即，
；
（3），理由如下：
过点D作，
，，
，
由（2）知，当时，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由（1）知，
.
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）由等边对等角可得∠B=∠C，由等角的余角相等及对顶角相等可得，利用等角对等边即证结论；
（2）①由题干信息可得是的2倍，继而求解；
②猜想，理由：作于点G，利用平行线可证，可得，由等腰三角形三线合一的性质可得，继而得解；
（3）过点D作，由角平分线的性质可得，由（2）知当时，，从而得出，利用余角的性质及等腰三角形的性质可推出，继而可得，可得，由AD=AF即可求解.
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