江苏省扬州市2024年中考数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024·扬州）实数的倒数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：实数2的倒数是
故答案为：D.
【分析】任意非零实数的倒数为.
2．（2024·扬州）“致中和，天地位焉，万物育焉”，对称之美随处可见．下列选项分别是扬州大学、扬州中国大运河博物馆、扬州五亭桥、扬州志愿服务的标识．其中的轴对称图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、B、D都不是轴对称图形，C是轴对称图形
故答案为：C.
【分析】本题考查的是轴对称图形的识别，主要依据轴对称图形的定义解决问题，轴对称图形指的是把一个图形沿着某条直线折叠，能够与自身重合.
3．（2024·扬州）下列运算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】整式的加减运算；同底数幂的除法；单项式乘单项式；完全平方式；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A错误
C、，故C错误
D、，故D错误
故答案为：B.
【分析】A考查的是完全平方差公式：，C考查的是幂的乘方，底数不变，指数相乘，D主要考查的是同底数幂相乘，底数不变，指数相加
4．（2024·扬州）第个全国近视防控宣传教育月的主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”某校积极响应，开展视力检查．某班名同学视力检查数据如下表：
视力
人数
这名同学视力检查数据的众数是．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】众数
【解析】【解答】解：这45个数据中，4.7出现的次数最多，因此，众数为4.7
故答案为：B.
【分析】众数是指一组数据中出现次数最多的数，本题掌握众数的定义是解决问题的关键.
5．（2024·扬州）在平面直角坐标系中，点P(1，2)关于原点的对称点P'的坐标是（ ）
A．(1，2) B．(-1，2) C．(1，-2) D．(-1，-2)
【答案】D
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解： 点P(1，2)关于原点的对称点P'的坐标是 （-1，-2）.
故答案为：D.
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点，即纵坐标和横坐标都互为相反数，解答即可.
6．（2024·扬州）如图是某几何体的表面展开后得到的平面图形，则该几何体是（ ）
A．三棱锥 B．圆锥 C．三棱柱 D．长方体
【答案】C
【知识点】由展开图判断几何体
【解析】【解答】解：根据这个几何体的表面展开图，可知，该几何体是三棱柱
故答案为：C.
【分析】通过该几何体的展开图可知，上下是两个三角形，侧面是矩形，符合三棱柱的特点.
7．（2024·扬州）在平面直角坐标系中，函数的图像与坐标轴的交点个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：令x=0时，y=2，因此， 函数的图像与y轴的交点(0，2)
又因为该图像与x轴没有交点，故该图像与坐标轴的交点个数为1个
故答案为：B.
【分析】本题考查了反比例函数与坐标轴的交点问题，与x轴的交点，令y=0，不存在，与y轴交点，令x=0，解出y=2，即得出答案.
8．（2024·扬州）年数学家斐波那契在计算之书中记载了一列数：，，，，，，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前个数中，奇数的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】探索规律-计数类规律
【解析】【解答】解：由题意知：该组数据为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……
可知，每3个数据中就有2个奇数，
2024÷3=674……2
674×2+2=1350
故答案为：D.
【分析】本题是规律题，先写出部分数字，观察发现：每3个数中有2个奇数，即3个作为一个循环，用2024÷3=674……2，循环了674次，多两个奇数，这样就得出了答案.
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
9．（2024·扬州）近年来扬州经济稳步发展：年月日，扬州市统计局、国家统计局扬州调查队联合发布一季度全市实现地区生产总值约万元，把这个数用科学记数法表示为 ．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：=
故答案为：.
【分析】绝对值大于10的数的科学记数法表示为：.
10．（2024·扬州）分解因式： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：
=
故答案为：.
【分析】先提公因式2，再根据完全平方公式进行因式分解，得出答案为：.
11．（2024·扬州）某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如表：
累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000
盖面朝上次数 28 54 106 158 264 527 1056 1587 2650
盖面朝上频率 0.5600 0.5400 0.5300 0.5267 0.5280 0.5270 0.5280 0.5290 0.530
随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近于 （精确到0.01）．
【答案】0.53
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：随着实验次数的增大，盖面朝上的频率接近于0.53 （精确到0.01），故随着实验次数的增大，盖面朝上的概率也接近于0.53 （精确到0.01），
故答案为：0.53.
【分析】因为随着实验次数的增大，盖面朝上的频率接近于0.53 （精确到0.01），故用频率估计概率可得随着实验次数的增大，盖面朝上的概率接近的数值 （精确到0.01）．
12．（2024·扬州）若二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】x≥2
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】根据题意，得
x-2≥0，
解得，x≥2；
故答案是：x≥2．
【分析】二次根式的被开方数x-2≥0．从而求出x的取值范围.
13．（2024·扬州）若用半径为的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为 ．
【答案】5
【知识点】弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：圆锥的底面圆的半径为R
，解得，R=5
故答案为：5.
【分析】根据半圆的弧长等于圆锥的底面周长，列出方程，解出R即可.
14．（2024·扬州）如图，已知一次函数的图象分别与、轴交于、两点，若，，则关于的方程的解为 ．
【答案】
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系
【解析】【解答】解：∵
∴ 一次函数的图象与交于（-2，0）
则关于的方程的解为 x=-2
故答案为：.
【分析】本题考查的是一次函数与一次方程的关系，一次函数与x轴交点的横坐标就是对应的一次方程的解.
15．（2024·扬州）九章算术是中国古代的数学专著，是算经十书中最重要的一部，书中第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追及问题，可理解为：速度快的人每分钟走米，速度慢的人每分钟走米，现在速度慢的人先走米，速度快的人去追他．问速度快的人追上他需要 分钟．
【答案】2.5
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解： 速度快的人追上他需要x分钟
60x+100=100x，解得x=2.5
因此速度快的人追上他需要2.5分钟
故答案为：2.5.
【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，根据等量关系：，列出方程即可.
16．（2024·扬州）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛竖直放置经小孔在屏幕竖直放置上成像设，小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ．
【答案】20
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应三线
【解析】【解答】解：设 小孔到的距离为 xcm
由题意知：
∴△ABC∽△A'B'C'
x=20
故答案为：20.
【分析】先根据题意得出△ABC∽△A'B'C'，再根据相似三角形对应高之比等于相似比，列出方程即可.
17．（2024·扬州）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在反比例函数的图像上，轴于点，，将沿翻折，若点的对应点落在该反比例函数的图象上，则的值为 ．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；含30°角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设CB=m，
∵A (1，0)，
AC=AD=
∴点B坐标为
由折叠可知：∠DAB=∠CAB =30°，
作DG⊥x轴，垂足为G
AG=
DG=
点D坐标为
∵B，D都在上
∴，解得
故答案为：.
【分析】设CB=m，，表示出点B的坐标，再根据折叠的性质，得出AD=AC，∠DAB=∠CAB =30°，Z再用m表示出点D的坐标，根据B，D都在反比例函数图象上，列出方程，求出m的值，再代入点B或点D的坐标，求出点B或D的坐标即可.
18．（2024·扬州）如图，已知两条平行线、，点是上的定点，于点，点、分别是、上的动点，且满足，连接交线段于点，于点，则当最大时，的值为 ．
【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质；切线的性质；圆-动点问题；求正弦值
【解析】【解答】
解：∵ACIBD，
∴四边形ACBD是平行四边形
∴AE=BE=AB
由题意知：AB为定长
∴BE为定长
∵
∴点H在以BE为直径的圆上运动
∴当AH与⊙O相切时，∠BAH最大
∴∠AHO=90°
∵AE=BE=2r
∴AO=3r
∴
故答案为：.
【分析】先根据已知条件，得出：四边形ACBD是平行四边形，根据平形四边形得出AE=BE，再根据定角定弦模型，得出，点H在以BE为直径的圆上运动，当AH与⊙O相切时，∠BAH最大，根据切线的性质，得出∠AHO=90°，从而求出 .
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
19．（2024·扬州）
（1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）
（2）．
【知识点】分式的混合运算；零指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】
(1)先去绝对值，再代入三角函数，去括号，最后合并同类项
(2)先把除法转化为乘法，再约分化简即可.
四、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20．（2024·扬州）解不等式组，并求出它的所有整数解的和．
【答案】解：
由得，，
解得，；
由得，，
移项得，，
解得，，
原不等式组的解为：，
所有整数解为：，
所有整数解的和为：．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】直接移项解出不等式①的解集，去分母，移项解不等式②的解集，再根据不等式组解集确定的口诀，确定不等式组的解集，写出所有整数解，再求和.
21．（2024·扬州）年月日，神舟十八号航天员叶光富、李聪、李广苏密切协同，完成出舱活动，活动时长达小时，刷新了中国航天员单次出舱活动时间纪录，进一步激发了青少年热爱科学的热情．某校为了普及“航空航天”知识，从该校名学生中随机抽取了名学生参加“航空航天”知识测试，将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表：
成绩统计表
组别 成绩分 百分比
组
组
组
组
组
成绩条形统计图
根据所给信息，解答下列问题：
（1）本次调查的成绩统计表中 ▲ ，并补全条形统计图；
（2）这名学生成绩的中位数会落在 组填、、、或；
（3）试估计该校名学生中成绩在分以上包括分的人数．
【答案】（1），
组人数为：，
补全条形统计图如图所示：
（2）D
（3）人
估计该校名学生中成绩在分以上包括分的人数为人．
【知识点】条形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】(1)先用100%减去A，B，D，E组所占的百分比，求出a值，并计算C组的人数，补全条形统计图即可.
(2)200名学生的成绩中，第100个数和第101个数的平均数就是这组数据的中位数，故落在D组.
(3)根据表格先得出200名学生中，成绩在90分以上的学生的 百分率，再计算该校 该校名学生中成绩在分以上包括分的人数 .
22．（2024·扬州）年“五一”假期，扬州各旅游景区持续火热．小明和小亮准备到东关街、瘦西湖、运河三湾风景区、个园、何园分别记作、、、、参加公益讲解活动．
（1）若小明在这个景区中随机选择个景区，则选中东关街的概率是 ；
（2）小明和小亮在、、三个景区中，各自随机选择个景区，请用画树状图或列表的方法，求小明和小亮选到相同景区的概率．
【答案】（1）
（2）列表如下：
小亮 小明
共有种等可能结果，其中小明和小亮选到相同景区的结果有种，
小明和小亮选到相同景区的概率：；
答：小明和小亮选到相同景区的概率．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式；等可能事件的概率
【解析】【解答】(1)小明在这个景区中随机选择个景区 ，共有5种结果，每种结果出现的可能性相等， 选中东关街的结果只有1种， 则选中东关街的概率是
故答案为.
【分析】(1)先求出总结果，再求出选中东关街的结果，再根据等可能事件的概率公式直接列举代入计算即可即
(2)先用树状图或表格列出事件的所有结果，共有9种，其中小明和小亮选到相同景区的结果有种，
根据概率公式计算即可.
23．（2024·扬州）为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进、两种机器，型机器比型机器每天多处理吨垃圾，型机器处理吨垃圾所用天数与型机器处理吨垃圾所用天数相等．型机器每天处理多少吨垃圾？
【答案】解：设型机器每天处理吨垃圾，则型机器每天处理吨垃圾，
根据题意，得，
解得．
经检验，是所列方程的解．
答：型机器每天处理吨垃圾．
【知识点】分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】本题考查的是分式方程的应用，设型机器每天处理吨垃圾，则型机器每天处理吨垃圾，
根据等量关系：，列出方程即可
24．（2024·扬州）如图，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）已知矩形纸条宽度为，将矩形纸条旋转至如图位置时，四边形的面积为，求此时直线所夹锐角的度数．
【答案】（1）解：四边形是菱形，理由如下．
如图所示，过点作于点，过点作于点，
根据题意，四边形，四边形是矩形，
，
，
四边形是平行四边形，
宽度相等，即，且，
，
，
平行四边形是菱形．
（2）解：如图所示，过点作于点，
根据题意，，
，
，
由可得四边形是菱形，
，
在中，，
即，
．
【知识点】菱形的性质；菱形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1)先根据两个矩形纸条的对边平行，得出四边形是平行四边形，过点作于点，过点作于点，因为等宽，再证明，推出即可得出结论.
(2)由 四边形的面积为， 列出方程，求出CD=4，根据菱形的性质，得出AD=4，又因为AR=2，得出即可求出的度数．
25．（2024·扬州）本小题分
如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点．
（1）求的值．
（2）若点在该二次函数的图象上，且的面积为，求点的坐标．
【答案】（1）解：二次函数的图像与轴交于，两点，
解得，
．
（2）解：由可知二次函数解析式为：，，，
，
设，
，
，
，
当时，，无解，不符合题意，舍去；
当时，，；
．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】(1)把A，B两点代入，列出方程组求出b，c
(2)设，先由A，B两点，求出AB的值，再根据三角形的面积公式：，求出n，再代入二次函数，求出x值即可.
26．（2024·扬州）如图，已知及边上一点．
（1）用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使得；保留作图痕迹，不写作法
（2）在的条件下，以点为圆心，以为半径的圆交射线于点，用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使点到点的距离与点到射线的距离相等；保留作图痕迹，不写作法
（3）在、的条件下，若，，求的长．
【答案】（1）解：如图所示，
；
点即为所求
（2）解：如图所示，
连接，以点为圆心，以为半径画弧交于点，以点为圆心，以任意长为半径画弧交于点，分别以点为圆心，以大于为半径画弧，交于点，连接并延长交于点，
是直径，
，即，
根据作图可得，
，即，是点到的距离，
，
，
，
点即为所求点的位置；
（3）解：如图所示，
根据作图可得，，连接，
在中，，
，
，
是直径，
，
，
设，则，
在中，，
解得，负值舍去，
，
在中，．
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；尺规作图-直线、射线、线段；已知正弦值求边长；尺规作图-作高
【解析】【分析】
(1)先通过尺规作图，作∠ACO=∠A，再利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，得出
（2）先以点为圆心，以为半径画弧交于点，截取CB=BB1，再过点B1作AQ的垂线，交AP于点M，连接BM，再证明即可
（3）由（1）（2）可知：CM=WM=12，再由，求出AM=20，通过AC=AM-CM=20-12=8，根据直径所对的圆周角是直角，可以得出∠ACB为直角，再根据求出BC，最后根据勾股定理得出BM.
27．（2024·扬州）如图，点依次在直线上，点固定不动，且，分别以为边在直线同侧作正方形、正方形，，直角边恒过点，直角边恒过点．
（1）如图，若，，求点与点之间的距离；
（2）如图，若，当点在点之间运动时，求的最大值；
（3）如图，若，当点在点之间运动时，点随之运动，连接，点是的中点，连接，则的最小值为 ．
【答案】（1）解：设，则，
四边形、是正方形，
，，，
，，
，
，
，
，
，即，则，
解得：或，
或；
（2）设，则，
四边形、是正方形，
，，，
，，
，
，
，
，
，即，
，
当时，有最大，最大值为；
（3）
【知识点】正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；相似三角形的应用；等腰直角三角形；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：（3）∵点是的中点，
∴CH=2OM
∴=CH+BH
如图，点H在正方形对角线HF上运动，作点B关于FH的对称点B’连接CB’交FH为点H’
∴CH+BH=CH+B'H
∴当C，H，B'三点共线时，=CH+BH=CH+B'H=B'C最小
过点C作CQ⊥B'F，垂足为Q
∵∠BFH=∠B'FH=45°
∴BF=CQ=B'Q=22
∴B'Q=B'F-FQ=22-2=20
在Rt△B‘CQ中，
因此：
的最小值为
故答案为.
【分析】(1)设，则，根据一线三垂直，得出，再根据对应边成比例，得出：，代入数值，求出x的值即可
（2）同（1）得：，即：，推出：得出：HE是x的二次函数，根据二次函数的最值，求出HE的最大值
（3）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出CH=2OM，将转化为CH+BH，再根据将军饮马得出的最小值为B'C，最后根据勾股定理：即可.
28．（2024·扬州）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论．
如图，已知，，是的外接圆，点在上，连接、、．
（1）【特殊化感知】如图，若，点在延长线上，则与的数量关系为 ；
（2）【一般化探究】如图，若，点、在同侧，判断与的数量关系并说明理由；
（3）【拓展性延伸】若，直接写出、、满足的数量关系．用含的式子表示
【答案】（1）
（2）如图所示，在上截取，
是等边三角形，
，则
四边形是圆内接四边形，
；
，，
是等边三角形，则
，
又
在中
，
即；
（3）解：如图所示，当在上时，
在上截取，
又
，则
即
又
如图所示，作于点，
在中，，
，即
当在上时，如图所示，延长至，使得，连接，
四边形是圆内接四边形，
又
，则
即，
又
，
同可得
综上所述，当在上时，；当在上时，．
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA；等边三角形的概念
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴为等边三角形
∵AD为的直径，∠ADB=
∴∠BAD=30°
∴BD==r，
∴∠DAC=
同理：CD==r，
∴=2r-r=r=CD
故答案为：.
【分析】
(1)由已知条件推出为等边三角形，从而得出两个30°的直角三角形，根据30°的角所对的直角边等于斜边的一半，得出CD=DB=r即可.
(2)本题利用的截长补短法证明线段关系.
先根据同弧所对的圆周角相等，得出∠ADB=，截取AF=CD，证明得出FB=BD，从而证明是等边三角形，把BD转化成DF，这样AD-DB=AF=CD
（3）
当在上时，在上截取，证明，得出了，，从而证明：，根据对应边成比例，变形得出，这样把问题转化成求，在等腰三角形ACB中，通过作垂直，构造直角三角形，利用正弦，求出即可
当在上时，延长至，使得，连接，根据圆内接四边形外角等于内对角得出，证明，得出再根据对应边成比例，得出：，证明，得出，又因为得出：，从而得出即可.
1 / 1江苏省扬州市2024年中考数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024·扬州）实数的倒数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·扬州）“致中和，天地位焉，万物育焉”，对称之美随处可见．下列选项分别是扬州大学、扬州中国大运河博物馆、扬州五亭桥、扬州志愿服务的标识．其中的轴对称图形是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·扬州）下列运算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·扬州）第个全国近视防控宣传教育月的主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”某校积极响应，开展视力检查．某班名同学视力检查数据如下表：
视力
人数
这名同学视力检查数据的众数是．
A． B． C． D．
5．（2024·扬州）在平面直角坐标系中，点P(1，2)关于原点的对称点P'的坐标是（ ）
A．(1，2) B．(-1，2) C．(1，-2) D．(-1，-2)
6．（2024·扬州）如图是某几何体的表面展开后得到的平面图形，则该几何体是（ ）
A．三棱锥 B．圆锥 C．三棱柱 D．长方体
7．（2024·扬州）在平面直角坐标系中，函数的图像与坐标轴的交点个数是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·扬州）年数学家斐波那契在计算之书中记载了一列数：，，，，，，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前个数中，奇数的个数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
9．（2024·扬州）近年来扬州经济稳步发展：年月日，扬州市统计局、国家统计局扬州调查队联合发布一季度全市实现地区生产总值约万元，把这个数用科学记数法表示为 ．
10．（2024·扬州）分解因式： ．
11．（2024·扬州）某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如表：
累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000
盖面朝上次数 28 54 106 158 264 527 1056 1587 2650
盖面朝上频率 0.5600 0.5400 0.5300 0.5267 0.5280 0.5270 0.5280 0.5290 0.530
随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近于 （精确到0.01）．
12．（2024·扬州）若二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
13．（2024·扬州）若用半径为的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为 ．
14．（2024·扬州）如图，已知一次函数的图象分别与、轴交于、两点，若，，则关于的方程的解为 ．
15．（2024·扬州）九章算术是中国古代的数学专著，是算经十书中最重要的一部，书中第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追及问题，可理解为：速度快的人每分钟走米，速度慢的人每分钟走米，现在速度慢的人先走米，速度快的人去追他．问速度快的人追上他需要 分钟．
16．（2024·扬州）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛竖直放置经小孔在屏幕竖直放置上成像设，小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ．
17．（2024·扬州）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在反比例函数的图像上，轴于点，，将沿翻折，若点的对应点落在该反比例函数的图象上，则的值为 ．
18．（2024·扬州）如图，已知两条平行线、，点是上的定点，于点，点、分别是、上的动点，且满足，连接交线段于点，于点，则当最大时，的值为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
19．（2024·扬州）
（1）计算：；
（2）化简：．
四、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20．（2024·扬州）解不等式组，并求出它的所有整数解的和．
21．（2024·扬州）年月日，神舟十八号航天员叶光富、李聪、李广苏密切协同，完成出舱活动，活动时长达小时，刷新了中国航天员单次出舱活动时间纪录，进一步激发了青少年热爱科学的热情．某校为了普及“航空航天”知识，从该校名学生中随机抽取了名学生参加“航空航天”知识测试，将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表：
成绩统计表
组别 成绩分 百分比
组
组
组
组
组
成绩条形统计图
根据所给信息，解答下列问题：
（1）本次调查的成绩统计表中 ▲ ，并补全条形统计图；
（2）这名学生成绩的中位数会落在 组填、、、或；
（3）试估计该校名学生中成绩在分以上包括分的人数．
22．（2024·扬州）年“五一”假期，扬州各旅游景区持续火热．小明和小亮准备到东关街、瘦西湖、运河三湾风景区、个园、何园分别记作、、、、参加公益讲解活动．
（1）若小明在这个景区中随机选择个景区，则选中东关街的概率是 ；
（2）小明和小亮在、、三个景区中，各自随机选择个景区，请用画树状图或列表的方法，求小明和小亮选到相同景区的概率．
23．（2024·扬州）为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进、两种机器，型机器比型机器每天多处理吨垃圾，型机器处理吨垃圾所用天数与型机器处理吨垃圾所用天数相等．型机器每天处理多少吨垃圾？
24．（2024·扬州）如图，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）已知矩形纸条宽度为，将矩形纸条旋转至如图位置时，四边形的面积为，求此时直线所夹锐角的度数．
25．（2024·扬州）本小题分
如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点．
（1）求的值．
（2）若点在该二次函数的图象上，且的面积为，求点的坐标．
26．（2024·扬州）如图，已知及边上一点．
（1）用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使得；保留作图痕迹，不写作法
（2）在的条件下，以点为圆心，以为半径的圆交射线于点，用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使点到点的距离与点到射线的距离相等；保留作图痕迹，不写作法
（3）在、的条件下，若，，求的长．
27．（2024·扬州）如图，点依次在直线上，点固定不动，且，分别以为边在直线同侧作正方形、正方形，，直角边恒过点，直角边恒过点．
（1）如图，若，，求点与点之间的距离；
（2）如图，若，当点在点之间运动时，求的最大值；
（3）如图，若，当点在点之间运动时，点随之运动，连接，点是的中点，连接，则的最小值为 ．
28．（2024·扬州）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论．
如图，已知，，是的外接圆，点在上，连接、、．
（1）【特殊化感知】如图，若，点在延长线上，则与的数量关系为 ；
（2）【一般化探究】如图，若，点、在同侧，判断与的数量关系并说明理由；
（3）【拓展性延伸】若，直接写出、、满足的数量关系．用含的式子表示
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：实数2的倒数是
故答案为：D.
【分析】任意非零实数的倒数为.
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、B、D都不是轴对称图形，C是轴对称图形
故答案为：C.
【分析】本题考查的是轴对称图形的识别，主要依据轴对称图形的定义解决问题，轴对称图形指的是把一个图形沿着某条直线折叠，能够与自身重合.
3．【答案】B
【知识点】整式的加减运算；同底数幂的除法；单项式乘单项式；完全平方式；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A错误
C、，故C错误
D、，故D错误
故答案为：B.
【分析】A考查的是完全平方差公式：，C考查的是幂的乘方，底数不变，指数相乘，D主要考查的是同底数幂相乘，底数不变，指数相加
4．【答案】B
【知识点】众数
【解析】【解答】解：这45个数据中，4.7出现的次数最多，因此，众数为4.7
故答案为：B.
【分析】众数是指一组数据中出现次数最多的数，本题掌握众数的定义是解决问题的关键.
5．【答案】D
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解： 点P(1，2)关于原点的对称点P'的坐标是 （-1，-2）.
故答案为：D.
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点，即纵坐标和横坐标都互为相反数，解答即可.
6．【答案】C
【知识点】由展开图判断几何体
【解析】【解答】解：根据这个几何体的表面展开图，可知，该几何体是三棱柱
故答案为：C.
【分析】通过该几何体的展开图可知，上下是两个三角形，侧面是矩形，符合三棱柱的特点.
7．【答案】B
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：令x=0时，y=2，因此， 函数的图像与y轴的交点(0，2)
又因为该图像与x轴没有交点，故该图像与坐标轴的交点个数为1个
故答案为：B.
【分析】本题考查了反比例函数与坐标轴的交点问题，与x轴的交点，令y=0，不存在，与y轴交点，令x=0，解出y=2，即得出答案.
8．【答案】D
【知识点】探索规律-计数类规律
【解析】【解答】解：由题意知：该组数据为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……
可知，每3个数据中就有2个奇数，
2024÷3=674……2
674×2+2=1350
故答案为：D.
【分析】本题是规律题，先写出部分数字，观察发现：每3个数中有2个奇数，即3个作为一个循环，用2024÷3=674……2，循环了674次，多两个奇数，这样就得出了答案.
9．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：=
故答案为：.
【分析】绝对值大于10的数的科学记数法表示为：.
10．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：
=
故答案为：.
【分析】先提公因式2，再根据完全平方公式进行因式分解，得出答案为：.
11．【答案】0.53
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：随着实验次数的增大，盖面朝上的频率接近于0.53 （精确到0.01），故随着实验次数的增大，盖面朝上的概率也接近于0.53 （精确到0.01），
故答案为：0.53.
【分析】因为随着实验次数的增大，盖面朝上的频率接近于0.53 （精确到0.01），故用频率估计概率可得随着实验次数的增大，盖面朝上的概率接近的数值 （精确到0.01）．
12．【答案】x≥2
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】根据题意，得
x-2≥0，
解得，x≥2；
故答案是：x≥2．
【分析】二次根式的被开方数x-2≥0．从而求出x的取值范围.
13．【答案】5
【知识点】弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：圆锥的底面圆的半径为R
，解得，R=5
故答案为：5.
【分析】根据半圆的弧长等于圆锥的底面周长，列出方程，解出R即可.
14．【答案】
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系
【解析】【解答】解：∵
∴ 一次函数的图象与交于（-2，0）
则关于的方程的解为 x=-2
故答案为：.
【分析】本题考查的是一次函数与一次方程的关系，一次函数与x轴交点的横坐标就是对应的一次方程的解.
15．【答案】2.5
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解： 速度快的人追上他需要x分钟
60x+100=100x，解得x=2.5
因此速度快的人追上他需要2.5分钟
故答案为：2.5.
【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，根据等量关系：，列出方程即可.
16．【答案】20
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应三线
【解析】【解答】解：设 小孔到的距离为 xcm
由题意知：
∴△ABC∽△A'B'C'
x=20
故答案为：20.
【分析】先根据题意得出△ABC∽△A'B'C'，再根据相似三角形对应高之比等于相似比，列出方程即可.
17．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；含30°角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设CB=m，
∵A (1，0)，
AC=AD=
∴点B坐标为
由折叠可知：∠DAB=∠CAB =30°，
作DG⊥x轴，垂足为G
AG=
DG=
点D坐标为
∵B，D都在上
∴，解得
故答案为：.
【分析】设CB=m，，表示出点B的坐标，再根据折叠的性质，得出AD=AC，∠DAB=∠CAB =30°，Z再用m表示出点D的坐标，根据B，D都在反比例函数图象上，列出方程，求出m的值，再代入点B或点D的坐标，求出点B或D的坐标即可.
18．【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质；切线的性质；圆-动点问题；求正弦值
【解析】【解答】
解：∵ACIBD，
∴四边形ACBD是平行四边形
∴AE=BE=AB
由题意知：AB为定长
∴BE为定长
∵
∴点H在以BE为直径的圆上运动
∴当AH与⊙O相切时，∠BAH最大
∴∠AHO=90°
∵AE=BE=2r
∴AO=3r
∴
故答案为：.
【分析】先根据已知条件，得出：四边形ACBD是平行四边形，根据平形四边形得出AE=BE，再根据定角定弦模型，得出，点H在以BE为直径的圆上运动，当AH与⊙O相切时，∠BAH最大，根据切线的性质，得出∠AHO=90°，从而求出 .
19．【答案】（1）
（2）．
【知识点】分式的混合运算；零指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】
(1)先去绝对值，再代入三角函数，去括号，最后合并同类项
(2)先把除法转化为乘法，再约分化简即可.
20．【答案】解：
由得，，
解得，；
由得，，
移项得，，
解得，，
原不等式组的解为：，
所有整数解为：，
所有整数解的和为：．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】直接移项解出不等式①的解集，去分母，移项解不等式②的解集，再根据不等式组解集确定的口诀，确定不等式组的解集，写出所有整数解，再求和.
21．【答案】（1），
组人数为：，
补全条形统计图如图所示：
（2）D
（3）人
估计该校名学生中成绩在分以上包括分的人数为人．
【知识点】条形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】(1)先用100%减去A，B，D，E组所占的百分比，求出a值，并计算C组的人数，补全条形统计图即可.
(2)200名学生的成绩中，第100个数和第101个数的平均数就是这组数据的中位数，故落在D组.
(3)根据表格先得出200名学生中，成绩在90分以上的学生的 百分率，再计算该校 该校名学生中成绩在分以上包括分的人数 .
22．【答案】（1）
（2）列表如下：
小亮 小明
共有种等可能结果，其中小明和小亮选到相同景区的结果有种，
小明和小亮选到相同景区的概率：；
答：小明和小亮选到相同景区的概率．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式；等可能事件的概率
【解析】【解答】(1)小明在这个景区中随机选择个景区 ，共有5种结果，每种结果出现的可能性相等， 选中东关街的结果只有1种， 则选中东关街的概率是
故答案为.
【分析】(1)先求出总结果，再求出选中东关街的结果，再根据等可能事件的概率公式直接列举代入计算即可即
(2)先用树状图或表格列出事件的所有结果，共有9种，其中小明和小亮选到相同景区的结果有种，
根据概率公式计算即可.
23．【答案】解：设型机器每天处理吨垃圾，则型机器每天处理吨垃圾，
根据题意，得，
解得．
经检验，是所列方程的解．
答：型机器每天处理吨垃圾．
【知识点】分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】本题考查的是分式方程的应用，设型机器每天处理吨垃圾，则型机器每天处理吨垃圾，
根据等量关系：，列出方程即可
24．【答案】（1）解：四边形是菱形，理由如下．
如图所示，过点作于点，过点作于点，
根据题意，四边形，四边形是矩形，
，
，
四边形是平行四边形，
宽度相等，即，且，
，
，
平行四边形是菱形．
（2）解：如图所示，过点作于点，
根据题意，，
，
，
由可得四边形是菱形，
，
在中，，
即，
．
【知识点】菱形的性质；菱形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1)先根据两个矩形纸条的对边平行，得出四边形是平行四边形，过点作于点，过点作于点，因为等宽，再证明，推出即可得出结论.
(2)由 四边形的面积为， 列出方程，求出CD=4，根据菱形的性质，得出AD=4，又因为AR=2，得出即可求出的度数．
25．【答案】（1）解：二次函数的图像与轴交于，两点，
解得，
．
（2）解：由可知二次函数解析式为：，，，
，
设，
，
，
，
当时，，无解，不符合题意，舍去；
当时，，；
．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】(1)把A，B两点代入，列出方程组求出b，c
(2)设，先由A，B两点，求出AB的值，再根据三角形的面积公式：，求出n，再代入二次函数，求出x值即可.
26．【答案】（1）解：如图所示，
；
点即为所求
（2）解：如图所示，
连接，以点为圆心，以为半径画弧交于点，以点为圆心，以任意长为半径画弧交于点，分别以点为圆心，以大于为半径画弧，交于点，连接并延长交于点，
是直径，
，即，
根据作图可得，
，即，是点到的距离，
，
，
，
点即为所求点的位置；
（3）解：如图所示，
根据作图可得，，连接，
在中，，
，
，
是直径，
，
，
设，则，
在中，，
解得，负值舍去，
，
在中，．
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；尺规作图-直线、射线、线段；已知正弦值求边长；尺规作图-作高
【解析】【分析】
(1)先通过尺规作图，作∠ACO=∠A，再利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，得出
（2）先以点为圆心，以为半径画弧交于点，截取CB=BB1，再过点B1作AQ的垂线，交AP于点M，连接BM，再证明即可
（3）由（1）（2）可知：CM=WM=12，再由，求出AM=20，通过AC=AM-CM=20-12=8，根据直径所对的圆周角是直角，可以得出∠ACB为直角，再根据求出BC，最后根据勾股定理得出BM.
27．【答案】（1）解：设，则，
四边形、是正方形，
，，，
，，
，
，
，
，
，即，则，
解得：或，
或；
（2）设，则，
四边形、是正方形，
，，，
，，
，
，
，
，
，即，
，
当时，有最大，最大值为；
（3）
【知识点】正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；相似三角形的应用；等腰直角三角形；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：（3）∵点是的中点，
∴CH=2OM
∴=CH+BH
如图，点H在正方形对角线HF上运动，作点B关于FH的对称点B’连接CB’交FH为点H’
∴CH+BH=CH+B'H
∴当C，H，B'三点共线时，=CH+BH=CH+B'H=B'C最小
过点C作CQ⊥B'F，垂足为Q
∵∠BFH=∠B'FH=45°
∴BF=CQ=B'Q=22
∴B'Q=B'F-FQ=22-2=20
在Rt△B‘CQ中，
因此：
的最小值为
故答案为.
【分析】(1)设，则，根据一线三垂直，得出，再根据对应边成比例，得出：，代入数值，求出x的值即可
（2）同（1）得：，即：，推出：得出：HE是x的二次函数，根据二次函数的最值，求出HE的最大值
（3）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出CH=2OM，将转化为CH+BH，再根据将军饮马得出的最小值为B'C，最后根据勾股定理：即可.
28．【答案】（1）
（2）如图所示，在上截取，
是等边三角形，
，则
四边形是圆内接四边形，
；
，，
是等边三角形，则
，
又
在中
，
即；
（3）解：如图所示，当在上时，
在上截取，
又
，则
即
又
如图所示，作于点，
在中，，
，即
当在上时，如图所示，延长至，使得，连接，
四边形是圆内接四边形，
又
，则
即，
又
，
同可得
综上所述，当在上时，；当在上时，．
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA；等边三角形的概念
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴为等边三角形
∵AD为的直径，∠ADB=
∴∠BAD=30°
∴BD==r，
∴∠DAC=
同理：CD==r，
∴=2r-r=r=CD
故答案为：.
【分析】
(1)由已知条件推出为等边三角形，从而得出两个30°的直角三角形，根据30°的角所对的直角边等于斜边的一半，得出CD=DB=r即可.
(2)本题利用的截长补短法证明线段关系.
先根据同弧所对的圆周角相等，得出∠ADB=，截取AF=CD，证明得出FB=BD，从而证明是等边三角形，把BD转化成DF，这样AD-DB=AF=CD
（3）
当在上时，在上截取，证明，得出了，，从而证明：，根据对应边成比例，变形得出，这样把问题转化成求，在等腰三角形ACB中，通过作垂直，构造直角三角形，利用正弦，求出即可
当在上时，延长至，使得，连接，根据圆内接四边形外角等于内对角得出，证明，得出再根据对应边成比例，得出：，证明，得出，又因为得出：，从而得出即可.
1 / 1
