保密☆启用前
2023-2024学年第二学期六校期末联考
高二数学试卷
（十二师高级中学、十一师一中、六十九中、十一师四中、六十一中、行知学校）
范围：选择性必修第二册、第三册 时间：120分钟 分值：150分
注意事项：
答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题（每题5分，共40分）
1．在等比数列中，已知，，则（ ）
A． B．27 C． D．64
2．若，则（ ）
A．2 B．3 C．2或4 D．3或4
3．设是可导函数，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．若随机变量X服从正态分布，，则（ ）
A．0.45 B．0.55 C．0.1 D．0.9
5．的展开式中的系数是（ ）
A． B． C．120 D．210
月份 1 2 3 4 5
每公斤平均价格 77 109 137 168 199
6．白术是常见的大宗药材，最早记载于《神龙本草经》，又叫于术、片术，具有补脾健胃，燥湿利水等功效．今年白术从1月份到5月份每公斤的平均价格（单位：元）的数据如右表：根据上表可得回归方程，则实数的值为（ ）
0 1 2 3 4 5
0.2 0.1 0.3 0.2 0.1
A．46 B．47 C．48 D．49
7．已知随机变量的分布列如表：（其中为常数）则等于（ ）
A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7
8．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．已知函数，则（ ）
A．在处的切线为轴 B．是上的减函数
C．为的极值点 D．最小值为0
10．下列说法正确的是（ ）
A．设有一个经验回归方程＝3－5x，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位
B．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则样本相关系数r的值越接近于1
C．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高
D．在一元线性回归模型中，决定系数R2越接近于1，说明回归的效果越好
11．下列说法正确的有（ ）
A．已知事件，且，，，则
B．设火箭发射失败的概率为0.01，若发射10次，其中失败的次数为，则
C．若从名男生、名女生中选取人，则其中至少有名女生的概率为
D． 设甲乘汽车、动车前往某目的地的概率分别为0.3、0.5，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.6、0.8，则甲正点到达目的地的概率为0.58
三、填空题（每题5分，共15分）
12．已知函数，则 ．
13．已知随机变量，则 .
14．唐宋八大家，又称唐宋散文八大家，是中国唐代韩愈、柳宗元，宋代苏洵、苏轼、苏辙、王安石、曾巩、欧阳修八位散文家的合称，其中江西独占三家，分别是：王安石、曾巩、欧阳修，他们掀起的古文革新浪潮，使诗文发展的陈旧面貌焕然一新.为弘扬中国传统文化，某校决定从唐宋八大家中挑选五位，于某周末开展他们的散文赏析课，五位散文家的散文赏析课各安排一节，连排五节.若在来自江西的三位散文家中至少选出两人，且他们的散文赏析课互不相邻，则不同的排课方法共有 种.（用数字作答）
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四、解答题（第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分）
15．已知数列前项和满足
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
16．已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若恒成立，求的取值范围.
17．某特色餐馆开通了美团外卖服务，在一周内的某特色外卖份数（份）与收入（元）之间有如下的对应数据：
外卖份数（份）
收入（元）
画出散点图；
（2）求经验回归直线方程；
（3）据此估计外卖份数为份时，收入为多少元.
注：参考公式： ； 参考数据：.
18．为了进一步推动智慧课堂的普及和应用，市现对全市中小学智慧课堂的应用情况进行抽样调查，统计数据如表：
经常应用 偶尔应用或者不应用 总计
农村
城市
总计
从城市学校中任选一个学校，偶尔应用或者不应用智慧课堂的概率是.
(1)补全列联表，根据小概率值α=0.005的独立性检验能否认为智慧课堂的应用与区域有关；
(2)在经常应用智慧课堂的学校中，按照农村和城市的比例抽取5个学校进行分析，然后再从这5个学校中随机抽取2个学校所在的地域进行核实，记其中农村学校有个，求的分布列和数学期望.
附：
.
19．北宋数学家沈括博学多才、善于观察．据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢？”，沈括“用刍童（长方台）法求之，常失于数少”，他想堆积的酒坛、棋子等虽然看起来像实体，但中间是有空隙的，应该把他们看成离散的量．经过反复尝试，沈括提出对上底有ab个，下底有cd个，共n层的堆积物（如图），可以用公式求出物体的总数．这就是所谓的“隙积术”，相当于求数列ab， 的和，“隙积术”给出了二阶等差数列的一个求和公式．现已知数列为二阶等差数列，其通项，其前n项和为，数列的前n和为，且满足．
(1)求数列的前n项和；
(2)记，求数列的前n项和．保密☆启用前
2023-2024学年第二学期六校期末联考
高二数学答案
1．B
【分析】根据等比数列的性质即可求解.
【详解】由题意可知公比所以，
故选：B
2．C
【分析】根据组合数公式的性质求解即可
【详解】因为，
所以或，
故选：C
3．C
【分析】根据导数的定义即可得到答案.
【详解】.
故选：C.
4．B
【分析】利用正态分布的对称性可求答案.
【详解】因为随机变量X服从正态分布，所以；
所以.
故选：B.
5．B
【分析】用二项式定理中展开式的通项公式，再令x的指数等于4，即可求得含的项为第几项，从而求得系数.
【详解】由二项展开式，知其通项为，
令解得，
所以的系数为，
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故选：B．
6．C
【分析】求出，，根据回归直线方程必过样本中心点计算可得.
【详解】依题意，，
又回归直线方程必过样本中心点，
所以，解得.
故选：C
7．B
【分析】根据分布列概率和为1求得a,再根据互斥事件的概率和公式计算即可.
【详解】根据分布列概率和为1，可得,
.
故选：B.
8．D
【分析】根据导数和单调性的关系，得到在区间上恒成立，再利用参变分离，转化为最值问题，即可求解.
【详解】由已知，在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，即，，
所以
故选：D
9．ACD
【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义可判断A；结合函数的单调性与导数的关系，判断B;根据导数的正负与函数极值的关系，判断C,继而判断D.
【详解】由题意知，故，
故在处的切线的斜率为，而，
故在处的切线方程为，即，
所以在处的切线为轴，A正确；
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，B错误；
由此可得为的极小值点，C正确；
由于在上只有一个极小值点，故函数的极小值也为函数的最小值，
最小值为，D正确，
故选：
10．CD
【分析】根据线性回归方程的含义即可判断A，由相关系数以及决定系数的定义即可判断BD，由残差的含义即可判断C.
【详解】A选项，因为＝3－5x，所以变量x增加一个单位时，y平均减少5个单位，故A错误；B选项，线性相关性具有正负，相关性越强，则样本相关系数r的绝对值越接近于1，故B错误；
C选项，在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明波动越小，即模型的拟合精度越高，故C正确；
D选项，在一元线性回归模型中，决定系数R2越接近于1，说明模型拟合的精度越高，即回归的效果越好，故D正确.
故选：CD
11．ABD
【分析】由条件概率判断出选项A正确，由二项分布即可判断选项B正确，由超几何分布求解概率即可判断选项C错误，由概率分布列的性质求解判断选项D正确.
【详解】对于A，由条件概率公式知：，
则，故A正确；
对于B，因为，∴故B正确；
对于C，至少有一名女生的概率，故C错误；
对于D，设事件表示甲正点到达目的地，事件表示甲乘动车到达目的地，事件表示甲乘汽车到达目的地，
由题意知，，，．
由全概率公式得．
，故D正确．
故选：ABD.
12．
【分析】求出函数的导函数，再代入计算可得.
【详解】因为，所以，所以.
故答案为：
13．10
【分析】利用二项分布的方差公式求出，然后再利用其性质可求出.
【详解】因为随机变量，
所以，
所以，
故答案为：10
14．
【分析】根据题意，分两种情况讨论，第一种情况是来自江西的三位散文家中选出两人，第二种情况是来自江西的三位散文家中选出三人，然后再结合插空法即可得到结果.
【详解】由题意可得，若挑选来自江西的三位散文家中选出两人，则另外五位中挑选三人，
则有种情况，且他们互不相邻，则有种情况，即；
若挑选来自江西的三位散文家中选出三人，则另外五位中挑选两人，且他们互不相邻，
则有种情况；
故不同的排课方法共有种情况.
故答案为：.
15．(1)
(2)
【分析】（1）利用与的关系即可求解；
（2）用裂项相消法即可求解.
【详解】（1）当时，，
时，也满足上式，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）可知，，所以，
则.
16．(1)函数单调递减区间为，单调递增区间为；
(2).
【分析】（1）求导根据导函数正负得到单调区间；
（2）由题可知，进而可得，即得.
【详解】（1）∵，
∴，
令，解得：，
所以，函数在上单调递减，，函数在上单调递增，
即函数单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）由题可知，
由（1）可知，当时，函数有最小值，
∴，即，
故的取值范围为.
17．（1）见解析（2）（3）外卖份数为份时，收入大约为元.
【详解】试题分析：（1）根据题中所给数据作出散点图即可；（2）利用最小二乘法进行求解；（3）利用（2）的回归方程进行预测.
试题解析：(1)作出散点图如图所示：
(2)，已知，由公式, ，可求得， ，因此经验回归直线方程为 .
（3）时， ，即外卖份数为份时，收入大约为元.
18．(1)列联表见解析，有的把握认为认为智慧课堂的应用与区域有关，理由见解析
(2)分布列见解析，数学期望为
【分析】（1）先根据题意补全列联表，然后根据公式计算，根据表格判断即可；
（2）先确定可能取值为，分别求出概率，然后求期望.
【详解】（1）补全列联表如下：
经常应用 偶尔应用或者不应用 总计
农村 40 40 80
城市 60 20 80
总计 100 60 160
.
所以根据小概率值α=0.005的独立性检验可以认为智慧课堂的应用与区域有关.
（2）在经常应用智慧课堂的学校中，农村和城市的比例是，所以抽取的5个样本有2个是农村学校，3个是城市学校，抽取2个，则可能取值为.
所以的分布列为：
0 1 2
的数学期望
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据公式，求出数列中的,,,代入公式求解.
（2）根据的关系求数列的通项公式，由（1）求得的通项公式，通过错位相减法求得前n项和.
【详解】（1）数列的通项，
因为在数列，，，…，中，，，项数为，，，
所以．
即
（2）因为数列的前n和为，且满足．
所以当时，，
两式相减可得，即，
令，则，解得，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以.
所以
①，
②
①—②得：
，
所以
