2023-2024学年福建省莆田市高二下学期期末质量监测数学试卷（含答案）

2023-2024学年福建省莆田市高二下学期期末质量监测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某质点的运动方程是，则该质点在时的瞬时速度是( )
A. B. C. D.
2.已知某次考试的成绩，若，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，若，，三点共线，则( )
A. B. C. D.
4.随机变量服从两点分布，其分布列如下
则( )
A. B. C. D. 或
5.斜三棱柱中，设，，，若，则( )
A. B. C. D.
6.函数，的图象大致为( )
A. B.
C. D.
7.，，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.在三棱锥中，，，两两垂直，且若为该三棱锥外接球上的一点，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于变量和变量，设经过随机抽样获得的成对样本数据为，，，，其中，，，和，，，的均值分别为和，方差分别为和( )
A. 该样本相关系数越接近时，其线性相关程度越弱
B. 假设一组数据是，，，，则该组数据的方差为
C. 该成对样本数据点均在直线上，则样本相关系数
D. 该成对样本数据满足一元线性回归方程，则其回归直线必过样本中心
10.甲箱中有个红球，个白球和个黑球，乙箱中有个红球，个白球和个黑球先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出一球用，，分别表示从甲箱取出的球是红球，白球，黑球；用表示从乙箱取出的球是红球则下列结论正确的是( )
A. B. C. D. 和相互独立
11.是棱长为的正方体表面上一点，则( )
A. 当在线段上运动时，三棱锥的体积为定值
B. 当在线段上运动时，与所成角的取值范围是
C. 设是的中点，若，则线段长度的最大值为
D. 若直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，在检验喜欢某种甜品与性别是否有关的过程中，某研究员搜集数据并计算得到，则我们至少有 把握认为喜欢某种甜品与性别有关．
13.已知，，三点，则到直线的 距离为 ．
14.已知和为上的可导函数，满足：，，且为奇函数写出函数图象的一个对称中心，可以为 若，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数，．
若，求在上的值域；
讨论的单调性．
16.本小题分
人均可支配收入的高低，直接影响到居民的生活质量水平，是衡量一个国家或地区经济发展状况的重要依据下图是某市年城镇居民人均可支配收入单位：万元的折线图，发现城镇居民人均可支配收入与年份具有线性相关关系．

注：年份代码分别对应年份
建立关于的经验回归方程系数精确到，并预测年该市城镇居民人均可支配收入；
为进一步对该市城镇居民人均可支配收入结构进行分析，某分析员从年中任取两年的数据进行分析，将选出的人均可支配收入超过万元的年份数记为，求随机变量的分布列与数学期望．
附注：参考数据：，参考公式：回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，，，，，，为等边三角形．
若为的中点，求证：平面；
求二面角的正弦值．
18.本小题分
甲、乙两人为了提升篮球的竞技水平，进行投篮比赛已知甲和乙每次进球的概率分别是和，且每人每次进球与否互不影响制定比赛规则如下：一轮比赛，甲、乙双方需各投篮次一轮比赛结束后，当一方的进球数比另一方的进球数至少多个时，则该方获胜并得分，另一方不得分其他情况，双方均不得分．
若，
假设甲、乙两人各投篮一次，求至少有一人进球的概率；
求在一轮比赛结束后，乙获得分的概率．
若，问至少进行多少轮比赛后，乙累计得分的期望值达到分？
19.本小题分
设是直角坐标平面上的一点，曲线是函数的图象若过点恰能作曲线的条切线，则称是函数的“度点”已知．
求证：；
设，判断为函数的“几度点”，并说明理由；
设，若为函数的“度点”，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.，答案不唯一
15.解：当时，，
又在区间恒成立，当且仅当时取等号，
所以在区间上单调递增，
得到在上的最小值为，最大值为，
所以在上的值域为．
易知定义域为，
因为，
当时，时，，时，，
当时，时，，时，，
当时，在区间上恒成立，当且仅当时取等号，
当时，时，，时，，
综上所述，当时，的减区间为，增区间为；
当时，的减区间为，增区间为；
当时，的增区间为，无减区间；
当时，的减区间为，增区间为．
16.解：依题意，，，而，，
则，
，
所以关于的经验回归方程为，
年即，，
所以预测年该市城镇居民人均可支配收入约为万元．
年中，人均可支配收入超过万元的 年份数有个，的可能取值为，
，，，
所以随机变量的分布列为：
数学期望．
17.解：取中点，连接，
因为为的中点，所以且，又且，
所以且，所以是平行四边形，
得到，又面，面，所以平面．
过作于，因为，，，，
所以，又为等边三角形，所以，
又，所以，得到，
又，，面，
所以面，
又面，所以面面，
取中点，连接，则，又面面，面面，面，所以面，
过作，以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由，，
知，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
由，得到，取，得到，所以，
设平面的一个法向量为，
由，得到，取，得到，所以，
设二面角的平面角为，，
因为，
所以．

18.解：因为甲和乙每次进球的概率分别是和，
所以甲、乙两人各投篮一次，至少有一人进球的概率为．
由题知甲进球个，乙进球个或个，或甲进球个，乙进球个，乙获得分，
记事件：甲进球个，乙进球个或个，事件：甲进球个，乙进球个，事件表示乙获得分，
则，，
易知互斥，所以．
因为一轮比赛结束后，乙获得分的概率为，
设轮比赛后，乙累计得分为，则，
由题知，又，函数在上单调递增，
所以，
由，得到，所以至少进行轮比赛后，乙累计得分的期望值达到分，此时．
19.解：令函数，求导得，
当时，，当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，，
所以．
设过点的直线与函数图象相切的切点，而，
因此该切线方程为，即有，
整理得，令，
函数有个零点，等价于过点恰能作图象的条切线，即是的“度点”，
求导得，当时，，当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，，
当时，，此时函数仅有一个零点，是的“度点”；
当时，，
当时，，则，
当时，，即是函数在的唯一零点，
因此函数仅有一个零点，是的“度点”；
当时，，
由，得，则，，
取，则
，于是，使得，
即函数在上有唯一零点，又是函数在上的唯一零点，
因此函数有两个零点，是的“度点”；
当时，，
取，则，
于是，使得，即函数在上有唯一零点，
显然是函数在上的唯一零点，
因此函数有两个零点，是的“度点”，
所以当或时，是的“度点”；
当或时，是的“度点”．
设过的直线与曲线相切的切点为，而，
因此该切线方程为，即有，整理得，
由为函数的“度点”，得方程有个不同的解，令，
求导得，当或时，，当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
函数在处取得极大值，在处取得极小值，
而当时，恒有，，
因此当且仅当，即时，直线与曲线有个不同交点，
即方程有个不同的解，则过点的切线条数为，
所以实数的取值范围是．
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