2023-2024学年海南省高二下学期学业水平诊断（二）数学试题（含解析）

2023-2024学年海南省高二下学期学业水平诊断（二）数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知随机变量，且，则( )
A. B. C. D.
3.以下关于一元线性回归模型的说法中，错误的是( )
A. 相关系数的绝对值越接近，则两个变量的线性相关程度越弱
B. 在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合效果越好
C. 点一定在经验回归直线上
D. 若经验回归方程为，则每增加个单位，的值就增加个单位
4.在复平面内，复数对应的点和对应的点关于虚轴对称，则( )
A. B. C. D.
5.的展开式中，的系数为( )
A. B. C. D.
6.记为等差数列的前项和，若，则( )
A. B. C. D.
7.若当时，不等式恒成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数若关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知为等比数列，，记是的前项和，则( )
A. 的公比为 B. 是等比数列
C. 为等差数列 D.
10.某种常见病分为甲乙丙三种类型，甲型病的患病率为，其中的患者出现症状，乙型病的患病率为，其中的患者出现症状，丙型病的患病率为，其中的患者出现症状若该病的患者只能得甲乙丙三种类型中的一种，且症状是该病的特有症状，则下列说法正确的是( )
A. 该病的患病率为
B. 从该病的患者中任选人，此人患乙型病的概率为
C. 从人群中任选人，此人出现症状的概率为
D. 若某人出现症状，则此人患丙型病的概率为
11.已知为双曲线的右焦点，过的直线与圆相切于点，且与及其渐近线在第二象限的交点分别为，则下列说法正确的是( )
A. 直线的斜率为
B. 直线是的一条渐近线
C. 若，则的离心率为
D. 若，则的渐近线方程为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，若且，则 ．
13.已知直线与抛物线在第一象限交于点，若点到的准线的距离为，则 ．
14.若函数的图象在点处的切线方程为，则 ；若方程有两个不等的实根，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
甲乙两名同学进行乒乓球比赛，比赛采用七局四胜制有一方先胜四局即获胜，比赛结束假设每局比赛甲获胜的概率都是，且各局比赛的结果相互独立．
求比赛结束时恰好打了局的概率；
若已知前局中甲已胜了局，记表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求的分布列及数学期望．
16.本小题分
已知各项均不为零的数列满足：．
证明是等差数列，并求的通项公式；
记数列的前项和为，证明：．
17.本小题分
如图，在四棱台中，平面，四边形为菱形．
证明：平面平面；
若是棱上靠近点的三等分点，求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知椭圆的长轴长与短轴长的差为，且离心率为为坐标原点．
求的方程．
过点且不与轴重合的动直线与相交于两点，的中点为．
证明：直线与的斜率之积为定值；
当的面积最大时，求直线的方程．
19.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程．
若，且存在两个极值点．
求的取值范围；
证明：．
答案解析
1.
【解析】则
故选：．
2.
【解析】先根据随机变量的对称性可知关于对称，
因为，
则
故选：．
3.
【解析】选项A：由相关系数的绝对值越接近，则两个变量的线性相关程度越弱，可知选项A正确；
选项B：由在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合效果越好可知选项B正确
选项C：由点一定在经验回归直线上知选项 C正确
选项D由回归方程的性质可知；若经验回归方程为，则每增加个单位，的值就平均增加个单位，可知选项C错误．
故选：．
4.
【解析】，
因为复数对应的点和对应的点关于虚轴对称，
所以．
故选：
5.
【解析】由，
当，解得，
所以系数为，
故选：．
6.
【解析】记为等差数列的前项和，则也是等差数列．
由于，则成等差数列．
则，解得．
则成等差数列．故，则．
故选：．
7.
【解析】
因为所以，则，
又因为不等式恒成立，
所以的取值范围
故选：．
8.
【解析】，则关于的方程有两个不同的实根，即关于的方程有两个不同的实根．
即与有两个不同的交点．
令，，解得．
递增，递减，
则有极大值．，
则可画出的草图．与有两个不同的交点．
则实数的取值范围是．
故选：．
9.
【解析】因为是等比数列设公比为，，选项错误；
，选项正确；
，选项正确；
，选项错误．
故选：．
10.
【解析】设患甲型病为事件，患乙型病为事件，患丙型病为事件，出现症状为事件，
由题意知，，，，，，，
对，因为该病的患者只能得甲乙丙三种类型中的一种，所以互斥，所以该病患病率为，故 A正确；
对，该病的患者中任选人，此人患乙型病的概率为，故 B错误；
对，从人群中任选人，此人出现症状的概率为，故 C正确；
对，所求概率为，故 D正确；
故选：．
11.
【解析】对于，根据题意，，设直线，
又因为直线与圆相切于点，
所以， A正确；
对于，根据题意可知，可得，
所以直线是的一条渐近线， B正确；
对于，若，根据题意，联立，解得，
同理联立，解得，
由于，故，即，
化简得，则的离心率为， C错误；
对于，设，依题意知，则，
故，得，
故，代入，得，
所以，则，
得，则的渐近线方程为， D正确；
故选：
12.
【解析】
又因为，所以．
故答案为：
13.
【解析】抛物线的准线方程为，
由，得，即，
解得或，
所以点的横坐标为，
因为点到的准线的距离为，
所以，解得．
故答案为：
14.或
【解析】由，得，
所以切线的斜率为，，
所以切线方程，即，
因为切线方程为，所以，
所以；
由，得，所以，
令，则直线与的图象有两个交点，
，
由，得，由，得，
所以在上递增，在上递减，
所以的极大值为，
当时，，当时，，
所以的大致图象如图所示，
由图可知当时，直线与的图象有两个交点，
此时，即实数的取值范围为．
故答案为：，
15.
第一种情况：比赛结束时恰好打了局且甲获胜，
则概率为；
第二种情况：比赛结束时恰好打了局且乙获胜，
则概率为．
所以比赛结束时恰好打了局的概率为；
依题意得的所有可能取值为，
，
的分布列为
．
【解析】分甲获胜、乙获胜两种情况，由互斥事件的概率加法公式可得答案；
求出的所有可能取值及相应概率，根据期望公式计算的答案．
16.
因为，故由，
可得，
又，所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以，故．
易得，
所以
易知在时是递增的，所以，
因此．
【解析】通过构造法，利用等差数列的定义和等差数列的概念求解通项公式．
通过裂项法求解，并结合数列的单调性求证不等式．
17.
证明：因为平面平面，所以．
因为四边形为菱形，所以．
因为平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面．
在平面内，过点作的垂线交于点，以所在直线分别为轴轴轴，
建立如图所示的空间直角坐标系．
不妨设，则，因为，所以是等边三角形，
故是的中点，于是．
因为是棱上靠近点的三等分点，所以．
故，
所以．
记平面的法向量为，
则
令，则，即．
易知平面一个法向量为，
则，
故平面与平面夹角的余弦值为．
【解析】由平面，得，再由四边形为菱形，得，然后利用线面垂直的判定定理可证得平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论；
在平面内，过点作的垂线交于点，以所在直线分别为轴轴轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可．
18.
设的半焦距为，
由已知，得解得
故方程为．
由题可设．
将，消去，得．
当，即时，有．
所以，即，
可得，所以，即直线与的斜率之积为定值．
由可知
又点到直线的距离，
所以的面积．
设，则，
当且仅当，即时等号成立，且满足．
所以当的面积最大时，直线的方程为或．
【解析】待定系数法求椭圆方程；
设方程，直线与椭圆联立消去利用韦达定理和斜率公式证明直线与的斜率之积为定值；根据弦长公式和三角形面积公式求得直线斜率最后得到直线方程．
19.
，则，则
又，
所以曲线在点处的切线方程为．
的定义域为，
设，则，令，得．
由，得，由，得，
所以在上单调递减，在上单调递增．
所以．
因为存在两个极值点，所以有两个零点，
所以，得．
又当时，，当时，，
所以满足有两个零点，有两个极值点，故的取值范围是．
不妨设，由知，
两式相减，可得，得．
要证，只需证，
即证，
即证．
令，则需证，即证．
设，则当时，，
所以在上单调递增，所以，
所以在上单调递增，所以．
综上，
【解析】求导后可得再计算，则可得切线方程．
令，利用导数求其单调性及最值，由条件列不等式可求的范围，并检验所得结果．
设，由知要证，只需证，令，则需证，设，利用导数求出的最小值即可证明．
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