2023-2024学年河南省周口市鹿邑县高一下学期7月期末数学试题（含解析）

2023-2024学年河南省周口市鹿邑县高一下学期7月期末数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.样本数据，，，，，，，的分位数为( )
A. B. C. D.
2.设事件，，已知，，，则，之间的关系一定为( )
A. 两个任意事件 B. 互斥事件 C. 非互斥事件 D. 对立事件
3.某圆台上底面圆半径为，下底面圆半径为，母线长为，则该圆台的体积为( )
A. B. C. D.
4.已知向量，满足，，且，的夹角为，则向量在向量方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.设为两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
6.样本的平均数为，样本的平均数为，那么样本的平均数为( )
A. B. C. D.
7.锐角中，角、、所对的 边分别为、、，若、，，，且，则的面积为( )
A. B. C. D.
8.如图，在梯形中，且，点为线段的靠近点的一个四等分点，点为线段的中点，与交于点，且，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.以下四种说法正确的是( )
A.
B. 若，则复平面内对应的点位于第二象限
C. 复数的虚部为
D. 复平面内，实轴上的点对应的复数是实数
10.某校为了落实“双减”政策，决定调查学生作业量完成情况．现随机抽取名学生进行完成率统计，发现抽取的学生作业完成比率均在至之间，进行适当地分组后，，，，，画出频率分布直方图如图，下列说法正确的是( )
A. 直方图中的值为
B. 在被抽取的学生中，作业完成比率在区间内的学生有人
C. 估计全校学生作业完成比率的中位数约为
D. 若各组数据用所在区间中点值代替，估计全校学生作业完成比率的平均值为
11.多选题从装有大小和形状完全相同的个红球和个白球的口袋内任取个球，那么下列各对事件中，互斥而不对立的是( )
A. 至少有个红球与都是红球 B. 至少有个红球与至少有个白球
C. 恰有个红球与恰有个红球 D. 至多有个红球与恰有个红球
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，，若与共线，则实数 ．
13.已知点，，，在同一个球的球表面上，平面，，，，则该球的表面积为 ．
14.某工厂的三个车间生产同一种产品，三个车间的产量分布如图所示，现在用分层随机抽样方法从三个车间生产的该产品中，共抽取件做使用寿命的测试，则车间应抽取的件数为 ；若，，三个车间产品的平均寿命分别为，，小时，方差分别为，，，则总样本的方差为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，，设、为实数．
求，的值；
若，，求．
16.本小题分
在正三棱柱中，已知它的底面边长为．
若该正三棱柱的高为，分别求其表面积与体积．
若直线与平面所成角的大小为，求三棱锥的体积．
17.本小题分
在中，内角的对边分别是，若，．
求；
若，点为边上一点，且，求的面积．
18.本小题分
质量监督局检测某种产品的三个质量指标，用综合指标核定该产品的等级若，则核定该产品为一等品现从一批该产品中，随机抽取件产品作为样本，其质量指标列表如下：
产品编号
质量指标
产品编号
质量指标
利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；
在该样品的一等品中，随机抽取件产品，设事件为“在取出的件产品中，每件产品的综合指标均满足”，求事件的概率．
19.本小题分
上饶某中学为了解该校高三年级学生数学学习情况，对一模考试数学成绩进行分析，从中抽取了名学生的成绩作为样本进行统计若该校全体学生的成绩均在分，按照，，，，，，，的分组作出频率分布直方图如图所示，若用分层抽样从分数在内抽取人，则抽得分数在的人数为人。
求频率分布直方图中的，的值并估计本次考试成绩的平均数以每一组的中间值为估算值
该高三数学组准备选取数学成绩在前的学生进行培优指导，若小明此次数学分数是，请你估算他能被选取吗
答案解析
1.
【解析】解：数据从小到大排序为，，，，，，，，
则，
所以分位数为．
故选：．
2.
【解析】解：因为，，
所以，
又，
所以，
所以与为互斥事件．
故选B．
3.
【解析】解：设圆台的母线长为，高为，
因为圆台上底面圆的半径为，下底面圆半径为，，
所以圆台的高为，
所以圆台的体积为．
故选：．
4.
【解析】向量在向量方向上的投影向量，
故选：．
5.
【解析】对于，若，则或与相交故A不正确；
对于，若，则或故B不正确；
对于，若，则或故C不正确；
对于，若，则，命题正确，证明如下：
如图：
假设与不平行，则必相交，设，
设直线与和分别交于点，在上取一点，连、，
因为，，所以，
因为，，所以，
又直线、直线、直线在同一平面内，所以，这与相矛盾，故假设不成立，所以故D正确．
故选：
6.
【解析】由题意可知，所以所求平均数为
考点：样本平均数
7.
【解析】由题意得：，故，
因为，
所以，
由余弦定理得：，
解得：或，
当时，最大值为，其中，故为钝角，不合题意，舍去；
当时，最大值为，其中，故为锐角，符合题意，
此时．
故选：
8.
【解析】解：根据向量的线性运算，
，
由于、、三点共线，
所以，整理得；
又由
；
由于、、三点共线，
所以，整理得；
故，解得
所以．
故选：．
9.
【解析】选项，，选项正确．
选项，，对应点，对应点在虚轴上，选项错误．
选项，复数的虚部为，选项错误．
选项，复平面内，实轴上的点，对应的复数是实数，选项正确．
故选：
10.
【解析】解：由频率分布直方图可得，解得，故选项A正确；
作业完成比率在区间的频率为，
所以作业完成比率在区间的学生有人，故选项B错误；
作业完成比率在区间的频率为，作业完成比率在区间的频率为，
作业完成比率在区间的频率为，作业完成比率在区间的频率为，
因为，所以，全校学生作业完成比率的中位数在区间内，设中位数为，则解得，
所以，估计全校学生作业完成比率的中位数约为，故选项C正确；
由频率分布直方图可得，，
所以，估计全校学生作业完成比率的平均值为，故选项D正确．
故选ACD．
11.
【解析】根据互斥事件与对立事件的定义判断．
中两事件不是互斥事件，事件“个球都是红球”是两事件的交事件
中两事件能同时发生，如“恰有个红球和个白球”，故不是互斥事件
中两事件是互斥而不对立事件至多有个红球，即有个或个红球，与恰有个红球互斥，除此还有个都是红球的情况，因此它们不对立，
符合题意．
故选：
12.
【解析】解：向量，，，
，
与共线，
，解得实数．
故答案为：．
13.
【解析】由于平面，所以，而，
所以是长方体一个顶点引出的三条棱，
设球的半径为，则，所以，
所以球的表面积为．
故答案为：
14.
【解析】解：由分层抽样方法可得：抽取车间应抽取的件数为；
样本的总体平均数为：，
样本的总体方差为：，
故答案为：；．
15.解：，，
，．
由得，，
．
【解析】利用向量的线性运算可得，从而可求得，的值；
利用向量的坐标运算及数量积的坐标运算即可求解．
16.解：正三棱柱的两个底面积之和为，
正三棱柱的侧面积为，
故正三棱柱的表面积为；
正三棱柱的体积为；
因为平面，所以即为直线与平面所成角，
故，
所以，故，
．
【解析】求出三棱柱的侧面积和底面积，求出表面积，利用体积公式求出体积；
先根据线面角求出棱柱的高，进而利用等体积法求出三棱锥的体积．
17.解：，，
在中，由正弦定理得，，
又，，；
，，，
由余弦定理得，，则，
化简得，，解得或负值舍去，
，，，，，
的面积．
【解析】根据二倍角以及正弦定理可得，即可根据余弦的二倍角公式求解，
根据余弦定理可得，即可根据同角关系得，由面积公式即可求解．
18.解：计算件产品的综合指标，如下表：
产品编号
其中的有共件，故该样本的一等品率为，
从而估计该批产品的一等品率为．
在该样本的一等品中，随机抽取件产品的所有可能结果为：
共种．
在该样本的 一等品中，综合指标均满足的产品编号分别为，
则事件发生的所有可能结果为共种，
所以．
【解析】分别计算件产品的综合指标，找出满足条件的件数，除以总的件，即可估计总的一等品率；
写出所有的基本事件并得其种数，找出满足条件综合指标均有的基本事件数，由古典概型概率计算公式求得答案．
19.解：设由分层抽样可得分数在的人数与分数在的人数之比为，
所以，则．
由频率分布直方图可知，分数在的频率为，
．
则平均数为分．
由题意可知分数在的频率为，所以前在该组，不妨设第百分位数对应的分数为，则可得等式为
，
，
，故小明能被选取．
【解析】根据频率分布直方图的性质即可得出，，再求平均数即可；
不妨设第百分位数对应的分数为，由题知，，求解再进行比较即可．
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