2023-2024学年下学期湖南省永州市名校联盟期末联考高二数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年下学期湖南省永州市名校联盟期末联考高二数学试卷（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 2.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-17 19:19:16 | ||
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文档简介
2023-2024学年下学期期末自检
高二数学
一 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合则( )
A． B． C． D．
2．已知，则复数（ ）
A． B． C． D．
3．设均为单位向量，且，则+2的模长为（ ）
A． B． C． D．
4．已知锐角满足，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知等比数列是其前项和，，则（ ）
A． B．8 C．7 D．14
6．通辽是“最美中国文化旅游城市”，境内旅游资源丰富，自然景观优美，其中的大青沟，孝庄园文化旅游区，珠日河草原旅游区，库伦三大寺，孟家段国家湿地公园，银沙湾，可汗山都是风景宜人的旅游胜地，某班4个同学分别从7处风景点中选择一处进行旅游观光，则不同的选择方案是（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
7．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为“刍童”.如图，在刍童中，，平面与平面之间的距离为3，则此“刍童”的体积为（ ）
A．36 B．46 C．56 D．66
8．若，分别是双曲线：的右支和圆：上的动点，且是双曲线的右焦点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小繁给出的远项中，有多项待合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．不存在常数项 B．二项式系数和为1
C．第4项和第5项二项式系数最大 D．所有项的系数和为128
10．已知函数，则（ ）
A． B．有两个极值点
C．点是曲线的对称中心 D．有两个零点
11．如图，正方体的棱长为1，点在截面内，且，则（ ）
A．三棱锥的体积为 B．线段的长为
C．点的轨迹长为 D．的最大值为
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知函数为奇函数，则的值为 .
13．镇江西津渡的云台阁，是一座宋元风格的仿古建筑，始建于2010年，目前已成为镇江市的地标建筑之一.如图，在云台阁旁水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且米，则云台阁的高度为 米.
14．设，是双曲线：的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点，且，则双曲线C的离心率为 .若内切圆圆心I的横坐标为2，则的面积为 .
四 解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15．记内角，，的对边分别为，，，已知，．
(1)求的值；
(2)若，且，求的面积．
16．如图，四棱锥的底面是圆柱底面圆的内接矩形，是圆柱的母线，，.
(1)证明：平面平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
17．随着网络技术的迅速发展，各种购物群成为网络销售的新渠道.2023年11月某地脐橙开始采摘上市，一脐橙基地随机抽查了100个购物群的销售情况，各购物群销售脐橙的情况如下：
脐橙数量/盒
购物群数量/个 12 18 32 18
(1)求实数的值.并用组中值（每组的中点值）估计这100个购物群销售脐橙总量的平均数；
(2)假设所有购物群销售脐橙的数量，其中为（1）中的平均数，.若该脐橙基地参与销售的购物群约有1000个，销售的脐橙在（单位：盒）内的群为“级群”，销售数量小于256盒的购物群为“级群”，销售数量不小于616盒的购物群为“特级群”，该脐橙基地对每个“特级群”奖励600元，每个“级群”奖励100，对“级群”不奖励，则该脐橙基地大约需要准备多少奖金？（群的个数按四舍五入取整数）
附：若，则，，.
18．已知椭圆及直线．
(1)若直线与椭圆没有公共点，求实数的取值范围；
(2)为椭圆上一动点，若点到直线距离的最大值为，求直线的方程．
19．设函数．
(1)当，求在点处的切线方程；
(2)证明：当时，；
参考答案：
1-8 CCBDCDCA 9．AC 10．ABC 11．ACD
12． 13． 14． 6
15（1）因为，由余弦定理可得，
又，所以，
又因为，由正弦定理可得，则，所以为锐角，
又，所以，
所以
，
所以．
（2）由（1）可得，，且，
因为，
所以
，
所以，，
所以．
16．（1）证明：因为是圆柱的母线，所以平面，
而平面，所以.
因为底面是圆柱底面圆的内接矩形，
所以是直径，从而，
又因为，平面，平面，
所以平面，
而平面，所以平面平面.
（2）由题意平面，，
注意到平面，平面，
所以，
所以两两互相垂直，
以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设为平面的法向量，则，
令，可得，得平面的一个法向量为，
设为平面的法向量，则，
令，可得，得平面的一个法向量.
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
17．（1）由题意得，，解得.
则这100个购物群销售脐橙总量的平均数为.
（2）由题意，则，
故
，
故“级群”约有个；
，
故“特级群”约有个；
则依题意，需要资金为元，即该脐橙基地大约需要准备95700元.
18（1）解：联立方程组，整理得，
因为直线与椭圆没有公共点，所以，
解得或，所以实数t的取值范围为.
（2）解：由题意，点到直线距离的最大值，
等价于直线平行且与椭圆相切的直线与直线间的距离，
由（1）中，，解得或，
此时直线或直线与椭圆相切，
当与之间的距离为时，可得，解得或（舍去）；
当与之间的距离为时，可得，解得或（舍去），
综上可得，所求直线的方程为或.
19．（1）当时，，
则，即，
所以在点处的切线方程为，即.
（2）因为，
因为为单调递增函数，也为单调递增函数，
所以为单调递增函数，又，且，
所以在上存在唯一零点，设为，
当时，，为单调递减函数；当时，，为单调递增函数；
所以，
由可得，即，
所以，
当且仅当时取等号，
所以当时，
试卷第1页，共3页
高二数学
一 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合则( )
A． B． C． D．
2．已知，则复数（ ）
A． B． C． D．
3．设均为单位向量，且，则+2的模长为（ ）
A． B． C． D．
4．已知锐角满足，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知等比数列是其前项和，，则（ ）
A． B．8 C．7 D．14
6．通辽是“最美中国文化旅游城市”，境内旅游资源丰富，自然景观优美，其中的大青沟，孝庄园文化旅游区，珠日河草原旅游区，库伦三大寺，孟家段国家湿地公园，银沙湾，可汗山都是风景宜人的旅游胜地，某班4个同学分别从7处风景点中选择一处进行旅游观光，则不同的选择方案是（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
7．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为“刍童”.如图，在刍童中，，平面与平面之间的距离为3，则此“刍童”的体积为（ ）
A．36 B．46 C．56 D．66
8．若，分别是双曲线：的右支和圆：上的动点，且是双曲线的右焦点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小繁给出的远项中，有多项待合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．不存在常数项 B．二项式系数和为1
C．第4项和第5项二项式系数最大 D．所有项的系数和为128
10．已知函数，则（ ）
A． B．有两个极值点
C．点是曲线的对称中心 D．有两个零点
11．如图，正方体的棱长为1，点在截面内，且，则（ ）
A．三棱锥的体积为 B．线段的长为
C．点的轨迹长为 D．的最大值为
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知函数为奇函数，则的值为 .
13．镇江西津渡的云台阁，是一座宋元风格的仿古建筑，始建于2010年，目前已成为镇江市的地标建筑之一.如图，在云台阁旁水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且米，则云台阁的高度为 米.
14．设，是双曲线：的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点，且，则双曲线C的离心率为 .若内切圆圆心I的横坐标为2，则的面积为 .
四 解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15．记内角，，的对边分别为，，，已知，．
(1)求的值；
(2)若，且，求的面积．
16．如图，四棱锥的底面是圆柱底面圆的内接矩形，是圆柱的母线，，.
(1)证明：平面平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
17．随着网络技术的迅速发展，各种购物群成为网络销售的新渠道.2023年11月某地脐橙开始采摘上市，一脐橙基地随机抽查了100个购物群的销售情况，各购物群销售脐橙的情况如下：
脐橙数量/盒
购物群数量/个 12 18 32 18
(1)求实数的值.并用组中值（每组的中点值）估计这100个购物群销售脐橙总量的平均数；
(2)假设所有购物群销售脐橙的数量，其中为（1）中的平均数，.若该脐橙基地参与销售的购物群约有1000个，销售的脐橙在（单位：盒）内的群为“级群”，销售数量小于256盒的购物群为“级群”，销售数量不小于616盒的购物群为“特级群”，该脐橙基地对每个“特级群”奖励600元，每个“级群”奖励100，对“级群”不奖励，则该脐橙基地大约需要准备多少奖金？（群的个数按四舍五入取整数）
附：若，则，，.
18．已知椭圆及直线．
(1)若直线与椭圆没有公共点，求实数的取值范围；
(2)为椭圆上一动点，若点到直线距离的最大值为，求直线的方程．
19．设函数．
(1)当，求在点处的切线方程；
(2)证明：当时，；
参考答案：
1-8 CCBDCDCA 9．AC 10．ABC 11．ACD
12． 13． 14． 6
15（1）因为，由余弦定理可得，
又，所以，
又因为，由正弦定理可得，则，所以为锐角，
又，所以，
所以
，
所以．
（2）由（1）可得，，且，
因为，
所以
，
所以，，
所以．
16．（1）证明：因为是圆柱的母线，所以平面，
而平面，所以.
因为底面是圆柱底面圆的内接矩形，
所以是直径，从而，
又因为，平面，平面，
所以平面，
而平面，所以平面平面.
（2）由题意平面，，
注意到平面，平面，
所以，
所以两两互相垂直，
以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设为平面的法向量，则，
令，可得，得平面的一个法向量为，
设为平面的法向量，则，
令，可得，得平面的一个法向量.
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
17．（1）由题意得，，解得.
则这100个购物群销售脐橙总量的平均数为.
（2）由题意，则，
故
，
故“级群”约有个；
，
故“特级群”约有个；
则依题意，需要资金为元，即该脐橙基地大约需要准备95700元.
18（1）解：联立方程组，整理得，
因为直线与椭圆没有公共点，所以，
解得或，所以实数t的取值范围为.
（2）解：由题意，点到直线距离的最大值，
等价于直线平行且与椭圆相切的直线与直线间的距离，
由（1）中，，解得或，
此时直线或直线与椭圆相切，
当与之间的距离为时，可得，解得或（舍去）；
当与之间的距离为时，可得，解得或（舍去），
综上可得，所求直线的方程为或.
19．（1）当时，，
则，即，
所以在点处的切线方程为，即.
（2）因为，
因为为单调递增函数，也为单调递增函数，
所以为单调递增函数，又，且，
所以在上存在唯一零点，设为，
当时，，为单调递减函数；当时，，为单调递增函数；
所以，
由可得，即，
所以，
当且仅当时取等号，
所以当时，
试卷第1页，共3页