黑龙江省大庆六十九中2015-2016学年八年级上学期期中数学试卷【解析版】

2015-2016学年黑龙江省大庆六十九中八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A． B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
2．要使分式有意义，则x的取值范围是( )
A．x≠1 B．x＞1 C．x＜1 D．x≠﹣1
3．化简的结果是( )
A． B． C． D．
4．如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB=5，△OCD的周长为23，则平行四边形ABCD的两条对角线的和是( )
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A．18 B．28 C．36 D．46
5．若分式的值为0，则x的值为( )
A．x=﹣1 B．x=2 C．x=﹣2 D．x=﹣1或x=2
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6．如果把分式中的a、b都扩大5倍，那么分式的值一定( )
A．是原来的3倍 B．是原来的5倍 C．是原来的 D．不变
7．已知关于x的分式方程+=1的解是非负数，则m的取值范围是( )
A．m＞2 B．m≥2 C．m≥2且m≠3 D．m＞2且m≠3
8．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的 ( http: / / www.21cnjy.com )正方形ABCD中，AD边的中点处有一动点P，动点P沿P→D→C→B→A→P运动一周，则P点的纵坐标y与点P走过的路程s之间的函数关系用图象表示大致是( )
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A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
9．如图，直线EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是平行四边形ABCD面积的( )
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A． B． C． D．
10．如图，在△ABC中，AB=3，AC= ( http: / / www.21cnjy.com )4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为( )
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A．1 B．1.2 C．1.3 D．1.5
二、填空题（每题3分，共24分）
11．函数y=中，自变量x的取值范围是__________．
12．若，则=__________．
13．若m+n=8，mn=12，则mn2+m2n的值为__________．
14．一个多边形的内角和比外角和的3倍多180°，则它的边数是__________．
15．若关于x的方程产生增根，则m=__________．
16． ABCD的对角线相交于点O，点O到AB的距离为2，且AB=12，BC=8，则点O到BC的距离为__________．
17．如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥DC交BC于点E，若AD=8cm，则OE的长为__________cm．
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18．如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=2．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=__________．
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三、解答题（共66分）
19．化简：÷（x﹣）．
20．计算[来源:21世纪教育网]
已知：+=5，求的值．
21．解方程：+=1．
22．如图，已知平行四边形ABCD，DE是∠ADC的角平分线，交BC于点E．
（1）求证：CD=CE；
（2）若BE=CE，∠B=80°，求∠DAE的度数．
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23．如图， ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA、DC的延长线分别交于点E、F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）请连接EC、AF，则EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是矩形，并说明理由．
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24．佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售 ( http: / / www.21cnjy.com )，第一次用1200元购进若干千克，并以每千克8元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购买的数量比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果．
（1）求第一次水果的进价是每千克多少元？
（2）该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？
25．点O是三角形ABC所 ( http: / / www.21cnjy.com )在平面内一动点，连接OB、OC，并将AB、OB、OC、AC中点D、E、F、G，依次连接起来，设DEFG能构成四边形．
（1）如图，当点O在△ABC内时，求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）当点O在△ABC外时，（1）的结论是否成立？（画出图形，指出结论，不需说明理由；）
（3）若四边形DEFG是菱形，则点O的位置应满足什么条件？试说明理由．
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26．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为 ( http: / / www.21cnjy.com )a（a＞2）的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积．
小明发现，分别延长QE，MF，NG ( http: / / www.21cnjy.com )，PH交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）
请回答：
（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙不重叠），则这个新正方形的边长为__________；
（2）求正方形MNPQ的面积．21世纪教育网
（3）参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△RPQ．若S△RPQ=，则AD的长为__________．
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27．如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．
（1）求证：CE=CF；
（2）在图1中，若G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC=12，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，求DE的长．
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2015-2016学年黑龙江省大庆六十九中八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A． B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【专题】常规题型．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项错误；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称及轴对称 ( http: / / www.21cnjy.com )的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．要使分式有意义，则x的取值范围是( )
A．x≠1 B．x＞1 C．x＜1 D．x≠﹣1
【考点】分式有意义的条件．
【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零，可得出x的取值范围．
【解答】解：∵分式有意义，
∴x﹣1≠0，
解得：x≠1．
故选A．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，属于基础题，注意掌握分式有意义分母不为零．
3．化简的结果是( )
A． B． C． D．
【考点】约分．
【分析】将要化简的式子因式分解，然后将分子分母中都有的因数进行约分即可．
【解答】解：==﹣；
故选C．
【点评】此题考查了约分，两个整式相除时，把两整式中的公因式约去，达到化简的目的．
4．如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB=5，△OCD的周长为23，则平行四边形ABCD的两条对角线的和是( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A．18 B．28 C．36 D．46
【考点】平行四边形的性质．
【分析】由平行四边形的性质和已知条件计算即可，解题注意求平行四边形ABCD的两条对角线的和时要把两条对角线可作一个整体．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=5，
∵△OCD的周长为23，
∴OD+OC=23﹣5=18，
∵BD=2DO，AC=2OC，
∴平行四边形ABCD的两条对角线的和=BD+AC=2（DO+OC）=36，
故选C．
【点评】本题主要考查了平行四边形的基本性质， ( http: / / www.21cnjy.com )并利用性质解题．平行四边形的基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．
5．若分式的值为0，则x的值为( )
A．x=﹣1 B．x=2 C．x=﹣2 D．x=﹣1或x=2
【考点】分式的值为零的条件．
【分析】根据分式值为零的条件可得2x﹣4=0，且x+1≠0再解即可；
【解答】解：由题意得：2x﹣4=0，且x+1≠0，
解得：x=2；
故选：B．
【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不为零”这个条件不能少．
6．如果把分式中的a、b都扩大5倍，那么分式的值一定( )
A．是原来的3倍 B．是原来的5倍 C．是原来的 D．不变
【考点】分式的基本性质．
【分析】根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零数（或整式），分式的值不变，可得答案．
【解答】解：把分式中的a、b都扩大5倍，那么分式的值一定不变，
故选：D．
【点评】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零数（或整式），分式的值不变．
7．已知关于x的分式方程+=1的解是非负数，则m的取值范围是( )
A．m＞2 B．m≥2 C．m≥2且m≠3 D．m＞2且m≠3
【考点】分式方程的解．
【专题】计算题．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解表示出x，根据方程的解为非负数求出m的范围即可．
【解答】解：分式方程去分母得：m﹣3=x﹣1，
解得：x=m﹣2，
由方程的解为非负数，得到m﹣2≥0，且m﹣2≠1，
解得：m≥2且m≠3．
故选：C
【点评】此题考查了分式方程的解，时刻注意分母不为0这个条件．
8．如图，在平面直角坐标系 ( http: / / www.21cnjy.com )中，边长为1的正方形ABCD中，AD边的中点处有一动点P，动点P沿P→D→C→B→A→P运动一周，则P点的纵坐标y与点P走过的路程s之间的函数关系用图象表示大致是( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】数形结合．
【分析】将动点P的运动过程划分为PD、DC、CB、BA、AP共5个阶段，分别进行分析，最后得出结论．
【解答】解：动点P运动过程中：
①当0≤s≤时，动点P在线段PD上运动，此时y=2保持不变；
②当＜s≤时，动点P在线段DC上运动，此时y由2到1逐渐减少；
③当＜s≤时，动点P在线段CB上运动，此时y=1保持不变；
④当＜s≤时，动点P在线段BA上运动，此时y由1到2逐渐增大；
⑤当＜s≤4时，动点P在线段AP上运动，此时y=2保持不变．
结合函数图象，只有D选项符合要求．
故选：D．
【点评】本题考查了动点运动过程中的函数图象．把运动过程分解，进行分类讨论是解题的关键．
9．如图，直线EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是平行四边形ABCD面积的( )
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A． B． C． D．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】由平行四边形的性 ( http: / / www.21cnjy.com )质得到OA=OC，OB=OD，AB∥DC，证出△AOE和△COF全等，△AOB和△COD全等，得到面积相等，即可得到选项．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，AB∥DC，
∴△AOE≌△COF，
∴S△AOE=S△COF，
∵∠AOD=∠COB，
∴△COB≌△AOD，
∴S△AOD=S△BOC，21世纪教育网
同理S△AOB=S△DOC
∵0B=0D，
∴S△AOB=S△DOC，
∴阴影部分的面积是S△AOE+S△DOF=S△DOC=S平行四边形ABCD．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，解此题的关键是证明两个三角形全等．
10．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为( )
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A．1 B．1.2 C．1.3 D．1.5
【考点】勾股定理；矩形的性质．
【专题】几何综合题．
【分析】根据勾股定理的逆定理可以证明∠BAC=90°；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，则AM=EF，要求AM的最小值，即求EF的最小值；根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形AEPF是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF=AP，则EF的最小值即为AP的最小值，根据垂线段最短，知：AP的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高．
【解答】解：∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，
∴AB2+AC2=BC2，
即∠BAC=90°．
又PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF=AP．
∵M是EF的中点，
∴AM=EF=AP．
因为AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即2.4，
∴AM的最小值是1.2．
故选：B．
【点评】此题综合运用了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质、直角三角形的性质．
要能够把要求的线段的最小值转换为便于分析其最小值的线段．
二、填空题（每题3分，共24分）
11．函数y=中，自变量x的取值范围是x≠2．
【考点】函数自变量的取值范围；分式有意义的条件．
【专题】计算题．
【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不为0．
【解答】解：要使分式有意义，即：x﹣2≠0，
解得：x≠2．
故答案为：x≠2．
【点评】本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：分式有意义，分母不为0．
12．若，则=﹣2．
【考点】比例的性质；分式的值．
【专题】计算题．
【分析】由已知条件，可得y=3x．代入即可求得的值．
【解答】解：∵
∴y=3x
∴==﹣2．
【点评】能够根据已知条件由其中一个字母表示另一个字母，再代入达到约分的目的．
13．若m+n=8，mn=12，则mn2+m2n的值为96．
【考点】因式分解的应用．
【专题】计算题．
【分析】原式提取公因式mn变形后，将各自的值代入计算即可求出值．
【解答】解：∵m+n=8，mn=12，
∴原式=mn（m+n）=96．21世纪教育网
故答案为：96
【点评】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．21世纪教育网
14．一个多边形的内角和比外角和的3倍多180°，则它的边数是9．
【考点】多边形内角与外角．
【专题】计算题．
【分析】多边形的内角和比外角和的3倍多 ( http: / / www.21cnjy.com )180°，而多边形的外角和是360°，则内角和是3×360°+180°．n边形的内角和可以表示成（n﹣2） 180°，设这个多边形的边数是n，得到方程，从而求出边数．
【解答】解：根据题意，得
（n﹣2） 180°=3×360°+180°，
解得：n=9．
则这个多边形的边数是9．
故答案为：9．
【点评】考查了多边形内角与外角，此题只要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程即可求解．
15．若关于x的方程产生增根，则m=2．
【考点】分式方程的增根．
【专题】计算题．
【分析】增根是分式方程化为整式方程后产 ( http: / / www.21cnjy.com )生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母x﹣1=0，所以增根是x=1，把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．
【解答】解：方程两边都乘（x﹣1），得
x+2=m+1
∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣1=0，即增根是x=1，
把x=1代入整式方程，得m=2．
【点评】增根问题可按如下步骤进行：
①根据最简公分母确定增根的值；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
16． ABCD的对角线相交于点O，点O到AB的距离为2，且AB=12，BC=8，则点O到BC的距离为3．
【考点】平行四边形的性质．
【分析】利用平行四边形的对角线相互 ( http: / / www.21cnjy.com )平分推知OA=OC，则△AOB与△BOC是等底同高的两个三角形，它们的面积相等，所以利用面积法来求点O到BC的距离即可．
【解答】解：如图，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，则OE=2．
∵四边形ABCD为平行四边形，点O是对角线的交点，
∴OA=OC，
∴S△AOB=S△BOC，即AB OE=BC OF，
则OF===3，
所以点O到BC的距离为3．
故答案是：3．
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【点评】本题考查了平行四边形的性质．平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
17．如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥DC交BC于点E，若AD=8cm，则OE的长为4cm．
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【考点】菱形的性质；三角形中位线定理．
【专题】计算题．
【分析】根据已知可得OE是△ABC的中位线，从而求得OE的长．
【解答】解：∵OE∥DC，AO=CO
∴OE是△ABC的中位线
∵AB=AD=8cm
∴OE=4cm．
故答案为4．
【点评】本题考查菱形的性质和中位线的性质的综合运用．
18．如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=2．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=8．
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【考点】轴对称-最短路线问题．
【分析】MN表示直线a与直线b之间的距离 ( http: / / www.21cnjy.com )，是定值，只要满足AM+NB的值最小即可，作点A关于直线a的对称点A′，并延长AA′，过点B作BE⊥AA′于点E，连接A′B交直线b于点N，过点N作NM⊥直线a，连接AM，则可判断四边形AA′NM是平行四边形，得出AM=A′N，由两点之间线段最短，可得此时AM+NB的值最小．过点B作BE⊥AA′，交AA′于点E，在Rt△ABE中求出BE，在Rt△A′BE中求出A′B即可得出AM+NB．
【解答】解：作点A关于直线a的对称点 ( http: / / www.21cnjy.com )A′，并延长AA′，过点B作BE⊥AA′于点E，连接A′B交直线b于点N，过点N作NM⊥直线a，连接AM，
∵A到直线a的距离为2，a与b之间的距离为4，
∴AA′=MN=4，
∴四边形AA′NM是平行四边形，
∴AM+NB=A′N+NB=A′B，
过点B作BE⊥AA′，交AA′于点E，
易得AE=2+4+3=9，AB=2，A′E=2+3=5，
在Rt△AEB中，BE==，
在Rt△A′EB中，A′B==8．
故答案为：8．
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【点评】本题考查了轴对称﹣最小距离问题 ( http: / / www.21cnjy.com )，勾股定理的应用、平行线之间的距离，解答本题的关键是找到点M、点N的位置，难度较大，注意掌握两点之间线段最短．
三、解答题（共66分）
19．化简：÷（x﹣）．
【考点】分式的混合运算．
【专题】计算题．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【解答】解：原式=÷
=
=．
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．计算
已知：+=5，求的值．
【考点】分式的化简求值．
【专题】计算题；分式．
【分析】已知等式左边通分并利用同分母分式的加法法则计算，整理得到x+y=5xy，原式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：∵+=5，
∴=5，即x+y=5xy，
则原式===1．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．解方程：+=1．
【考点】解分式方程．
【专题】计算题．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：3﹣x﹣1=x﹣4，
移项合并得：2x=6，
解得：x=3，
经检验x=3是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
22．如图，已知平行四边形ABCD，DE是∠ADC的角平分线，交BC于点E．
（1）求证：CD=CE；
（2）若BE=CE，∠B=80°，求∠DAE的度数．
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【考点】平行四边形的性质．
【专题】计算题；证明题．
【分析】（1）根据DE是∠ADC的角平分线得到∠1=∠2，再根据平行四边形的性质得到∠1=∠3，所以∠2=∠3，根据等角对等边即可得证；
（2）先根据BE=CE结合CD ( http: / / www.21cnjy.com )=CE得到△ABE是等腰三角形，求出∠BAE的度数，再根据平行四边形邻角互补得到∠BAD=100°，所以∠DAE可求．
【解答】（1）证明：如图，在平行四边形ABCD中，
∵AD∥BC
∴∠1=∠3
又∵∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴CD=CE；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD∥BC，
又∵CD=CE，BE=CE，
∴AB=BE，
∴∠BAE=∠BEA．
∵∠B=80°，
∴∠BAE=50°，
∴∠DAE=180°﹣50°﹣80°=50°．
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【点评】（1）由角平分线得到相等的角，再利用平行四边形的性质和等角对等边的性质求解；
（2）根据“BE=CE”得出AB=BE是解决问题的关键．
23．如图， ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA、DC的延长线分别交于点E、F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）请连接EC、AF，则EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是矩形，并说明理由．
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【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定．
【专题】压轴题．
【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的证明方法证明即可；
（2）请连接EC、AF，则EF与AC满 ( http: / / www.21cnjy.com )足EF=AC时，四边形AECF是矩形，首先证明四边形AECF是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形即可证明．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=OC，AB∥CD．
∴∠E=∠F．
∵在△AOE与△COF中，，
∴△AOE≌△COF（AAS）；
（2）连接EC、AF，则EF与AC满足EF=AC时，四边形AECF是矩形，
理由如下：
由（1）可知△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
∵AO=CO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EF=AC，
∴四边形AECF是矩形．
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【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判 ( http: / / www.21cnjy.com )定、平行四边形的性质以及矩形的判定，首先利用平行四边形的性质构造全等条件，然后利用全等三角形的性质解决问题
24．佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，并以每千克8元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购买的数量比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果．
（1）求第一次水果的进价是每千克多少元？
（2）该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？
【考点】分式方程的应用．
【分析】（1）设第一次购买的单价为x元，则第二次的单价为1.1x元，第一次购买用了1200元，第二次购买用了1452元，第一次购水果千克，第二次购水果千克，根据第二次购水果数多20千克，可得出方程，解出即可得出答案；
（2）先计算两次购水果数量，赚钱情况：卖水果量×（实际售价﹣当次进价），两次合计，就可以回答问题了．
【解答】解：（1）设第一次购买的单价为x元，则第二次的单价为1.1x元，
根据题意得：﹣=20，
解得：x=6，
经检验，x=6是原方程的解，
（2）第一次购水果1200÷6=200（千克）．
第二次购水果200+20=220（千克）．
第一次赚钱为200×（8﹣6）=400（元）．
第二次赚钱为100×（9﹣6.6）+120×（9×0.5﹣6×1.1）=﹣12（元）．
所以两次共赚钱400﹣12=388（元），
答：第一次水果的进价为每千克6元，该老板两次卖水果总体上是赚钱了，共赚了388元．
【点评】本题具有一定的综合性 ( http: / / www.21cnjy.com )，应该把问题分成购买水果这一块，和卖水果这一块，分别考虑，掌握这次活动的流程．分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
25．点O是三角形ABC所在平面内一动 ( http: / / www.21cnjy.com )点，连接OB、OC，并将AB、OB、OC、AC中点D、E、F、G，依次连接起来，设DEFG能构成四边形．
（1）如图，当点O在△ABC内时，求证：四边形DEFG是平行四边形；[来源:21世纪教育网]
（2）当点O在△ABC外时，（1）的结论是否成立？（画出图形，指出结论，不需说明理由；）
（3）若四边形DEFG是菱形，则点O的位置应满足什么条件？试说明理由．
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【考点】菱形的判定；三角形中位线定理；平行四边形的判定．
【专题】证明题．
【分析】（1）（2）根据平行四边形的判定性质求证．
（3）把结论当做已知条件，由结论推出已知．
【解答】证明：（1）∵AB、OB、OC、AC中点分别为D、E、F、G
∴DG、EF分别为△ABC和△OBC的中位线
∴DG∥BC EF∥BC DG=BC EF=BC
∴DG∥EF且DG=EF
∴四边形DEFG是平行四边形；
（2）解：成立，
理由是：如图所示，
∵由（1）知，DG∥BC EF∥BC DG=BC EF=BC
∴DG∥EF且DG=EF
∴四边形DEFG是平行四边形；
（3）当点O满足OA=BC，四边形DEFG是菱形．
由三角形中位线性质得DE=EF，
所以平行四边形DEFG是菱形．
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( http: / / www.21cnjy.com )21世纪教育网
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【点评】菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：
①定义；21世纪教育网
②四边相等；
③对角线互相垂直平分．
26．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为 ( http: / / www.21cnjy.com )a（a＞2）的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积．
小明发现，分别延长QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC， ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）
请回答：
（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙不重叠），则这个新正方形的边长为a；
（2）求正方形MNPQ的面积．
（3）参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△RPQ．若S△RPQ=，则AD的长为．
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【考点】四边形综合题．
【分析】（1）四个等腰直角三角形的斜边长为a，其拼成的正方形面积为a2，边长为a；
（2）如题图2所示，正方形MNPQ的面积等于四个虚线小等腰直角三角形的面积之和，据此求出正方形MNPQ的面积；
（3）参照小明的解题思路，对问题做同样的 ( http: / / www.21cnjy.com )等积变换．如答图1所示，三个等腰三角形△RSF，△QET，△PDW的面积和等于等边三角形△ABC的面积，故阴影三角形△PQR的面积等于三个虚线等腰三角形的面积之和．据此列方程求出AD的长度．
【解答】解：（1）四个等腰直角三角形的斜边长为a，则斜边上的高为a，
每个等腰直角三角形的面积为：a a=a2，
则拼成的新正方形面积为：4×a2=a2，即与原正方形ABCD面积相等，
∴这个新正方形的边长为a；
（2）∵四个等腰直角三角形的面积和为a2，正方形ABCD的面积为a2，
∴S正方形MNPQ=S△ARE+S△DWH+S△GCT+S△SBF=4S△ARE=4××12=2；
（3）如答图1所示，分别延长RD，QF，PE，交FA，EC，DB的延长线于点S，T，W．
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由题意易得：△RSF，△QET，△PDW均为底角是30°的等腰三角形，其底边长均等于△ABC的边长．
不妨设等边三角形边长为a，则SF=AC=a．
如答图2所示，过点R作RM⊥SF于点M，则MF=SF=a，
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在Rt△RMF中，RM=MF tan30°=a×=a，
∴S△RSF=a a=a2．
过点A作AN⊥SD于点N，设AD=AS=x，
则AN=AD sin30°=x，SD=2ND=2ADcos30°=x，
∴S△ADS=SD AN= x x=x2．
∵三个等腰三角形△RSF，△QET，△PDW的面积和=3S△RSF=3×a2=a2，
∴S△RPQ=S△ADS+S△CFT+S△BEW=3S△ADS，
∴=3×x2，得x2=，
解得x=或x=（不合题意，舍去）
∴x=，即AD的长为．
故答案为：a；．
【点评】本题考查了几何图形的等积变换，涉及正 ( http: / / www.21cnjy.com )方形、等腰直角三角形、等腰三角形、正三角形、解直角三角形等多个知识点，是一道好题．通过本题我们可以体会到，运用等积变换的数学思想，不仅简化了几何计算，而且形象直观，易于理解，体现了数学的魅力．
27．如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．
（1）求证：CE=CF；
（2）在图1中，若G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥ ( http: / / www.21cnjy.com )BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC=12，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，求DE的长．
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【考点】等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的判定．
【专题】证明题；压轴题；探究型．
【分析】（1）利用已知条件，可证出△BCE≌△DCF（SAS），即CE=CF．
（2）借助（1）的全等得出∠BCE=∠DCF，∴∠GCF=∠BCE+∠DCG=90°﹣∠GCE=45°，即∠GCF=∠GCE，又因为CE=CF，CG=CG，∴△ECG≌△FCG，∴EG=GF，∴GE=DF+GD=BE+GD．
（3）过C作CG⊥AD，交AD延长线于G，先证四边形ABCG是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．
再设DE=x，利用（1）、（2）的结论，在Rt△AED中利用勾股定理可求出DE．
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，
∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，
∴△CBE≌△CDF．
∴CE=CF．
（2）解：GE=BE+GD成立．
∵△CBE≌△CDF，
∴∠BCE=∠DCF．
∴∠ECD+∠ECB=∠ECD+∠FCD．
即∠ECF=∠BCD=90°．
又∠GCE=45°，
∴∠GCF=∠GCE=45°．
∵CE=CF，∠GCF=∠GCE，GC=GC，
∴△ECG≌△FCG．
∴EG=GF．
∴GE=DF+GD=BE+GD．
（3）解：过C作CG⊥AD，交AD延长线于G，
在直角梯形ABCD中，
∵AD∥BC，∠A=∠B=90°，
又∠CGA=90°，AB=BC，
∴四边形ABCG为正方形．
∴AG=BC=12．
已知∠DCE=45°，根据（1）（2）可知，ED=BE+DG，
设DE=x，则DG=x﹣4，
∴AD=AG﹣DG=16﹣x，AE=AB﹣BE=12﹣4=8．
在Rt△AED中
∵DE2=AD2+AE2，即x2=（16﹣x）2+82
解得：x=10．
∴DE=10．
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【点评】本题是一道几何综合题，内容涉及 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的全等、图形的旋转以及勾股定理的应用，重点考查学生的数学学习能力，是一道好题．本题的设计由浅入深，循序渐进，考虑到学生的个体差异．从阅卷的情况看，本题的得分在4﹣8分的学生居多．前两个小题学生做得较好，第三小题，因为学生不懂得用前面积累的知识经验答题，数学学习能力不强，造成本小题得分率较低．