2023-2024学年下学期湖南省永州市名校联盟期末联考高一数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年下学期湖南省永州市名校联盟期末联考高一数学试卷（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 2.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-17 19:19:53 | ||
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文档简介
2023-2024学年下学期期末自检
高一数学
一 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数满足（为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，，若与共线，则（ ）
A． B．4 C． D．或4
4．设l是直线，α，β是两个不同平面，则下面命题中正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
5．如图，矩形是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中，，则原图形的面积是（ ）
A．20 B．10 C． D．
6．某市6月1日至14日的空气质量指数变化趋势如图所示，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，下列说法中不正确的是（ ）
A．该市14天空气质量指数的中位数为78.5
B．该市14天空气质量指数的第30百分位数为55
C．该市14天空气质量指数的平均值大于100
D．计算连续3天空气质量指数的方差，其中6日到8日的方差最大
7．八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形，其中.给出下列结论，其中正确的结论为（ ）
A．与的夹角为
B．
C．
D．在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量）
8．如图，在多面体中，四边形ABCD是边长为3的正方形，，E到平面ABCD的距离为3，，.若A，B，C，D，E，F在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小繁给出的远项中，有多项待合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．如图，在正方体中，点在线段上运动时，下列命题正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．直线与平面所成角的大小不变
C．直线与直线垂直
D．二面角的大小不变
10．一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有数字1，2，3，…，9.从袋中任意抽取1张卡片，记“抽出的卡片号为1，4，7”为事件A，“抽出的卡片号小于7”为事件，“抽出的卡片号大于7”记为事件.下列说法正确的是（ ）
A．事件A与事件是互斥事件 B．事件A与事件是互斥事件
C．事件A与事件相互独立 D．事件与事件是对立事件
11．已知的内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则．
B．若，，则三角形有一解．
C．若，则一定为等腰直角三角形．
D．若面积为，，则．
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知向量，，则在上的投影向量的坐标是 ．
13．若（为虚数单位）为方程（）的一个根，则 .
14．在圆台中，圆的半径是2，母线，圆是的外接圆，，，则三棱锥体积最大值为 ．
四 解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15．已知，，．
(1)求；
(2)若，求实数k的值．
16．已知向量，，设.
(1)求的最小正周期；
(2)若，，求的值.
17．“数学好玩”是国际著名数学家陈省身赠送给少年数学爱好者们的一句话某校为了更好地培养学生创新精神和实践能力，激发学生钻研数学的兴趣和热情，特举办数学节活动.在活动中，共有20道数学问题，满分100分在所有的答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成六段：，，……，，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中a的值，并估计该校全体学生这次数学成绩的中位数；
(2)活动中，甲、乙、丙三位同学独立参加竞赛，已知甲同学答对了12道，乙同学答对了8道，丙同学答对了n道，假设每道数学问题难度相当，被答对的可能性都相同.
（i）任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率；
（ii）任选一道数学问题，若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为，求n的值.
18．如图，在正三棱柱中，，分别为棱，的中点，.
(1)证明：平面；
(2)若三棱锥的体积为，求二面角的余弦值.
19．在锐角中，角，，的对边为，，，若，.
(1)求角的大小；
(2)若为的中点，且，求的面积；
(3)如图，过点在所在平面内作，且满足.求线段的最大值.
参考答案
1-8 BCDBACDD 9．ACD 10．AC 11．ABD
12． 13．5 14．/
15．（1）因为，，，
所以，
所以
.
（2）因为，
所以，即，
即，解得.
16．（1）因为
，
所以函数的最小正周期；
（2），
，
，
故
.
17．（1）由频率分布直方图有，
得，
因为，，
所以中位数在区间上，设为x，
则有，得，
所以估计该校全体学生这次数学成绩的中位数为75；
（2）设 “任选一道题，甲答对”，“任选一道题，乙答对”，
“任选一道题，丙答对”，
则由古典概型概率计算公式得：，，，
所以有，，，
（i）记 “甲、乙两位同学恰有一人答对”，
则有，且有与互斥，
因为每位同学独立作答，所以A，B互相独立，则A与，与B，与均相互独立，
所以
，
所以任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率；
（ii）记“甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对”，则，
所以
，
解得：.
18．（1）取的中点，连接，，因为，分别为棱，的中点，且三棱柱为正三棱柱，
所以且，且，
所以且，
所以为平行四边形，所以，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）因为，所以，，所以，
又在正三棱柱中平面，
所以，所以，
取的四等分点（靠近），连接，过点作交于点，连接，
因为为等边三角形，所以且，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，平面，
，又，平面，
所以平面，所以为二面角的平面角，
在平面中连接交于点，因为四边形为正方形，
所以，又，所以，又为的四等分点，所以为的四等分点，
所以，
所以，
所以，
所以二面角的余弦值为.
19．（1）因为，，
所以，即，
由余弦定理得，
又，∴．
（2）因为是的中点，所以，两边平方可得，
即，
又，所以，
面积为.
（3）设，当DC与外接圆相切时，可得，则，
则，
在中，由正弦定理得，
所以，
在中，由正弦定理得，
所以
因为，
所以
又，所以，
所以当，即时，有最大值，最大值为.
试卷第1页，共3页
高一数学
一 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数满足（为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，，若与共线，则（ ）
A． B．4 C． D．或4
4．设l是直线，α，β是两个不同平面，则下面命题中正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
5．如图，矩形是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中，，则原图形的面积是（ ）
A．20 B．10 C． D．
6．某市6月1日至14日的空气质量指数变化趋势如图所示，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，下列说法中不正确的是（ ）
A．该市14天空气质量指数的中位数为78.5
B．该市14天空气质量指数的第30百分位数为55
C．该市14天空气质量指数的平均值大于100
D．计算连续3天空气质量指数的方差，其中6日到8日的方差最大
7．八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形，其中.给出下列结论，其中正确的结论为（ ）
A．与的夹角为
B．
C．
D．在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量）
8．如图，在多面体中，四边形ABCD是边长为3的正方形，，E到平面ABCD的距离为3，，.若A，B，C，D，E，F在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小繁给出的远项中，有多项待合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．如图，在正方体中，点在线段上运动时，下列命题正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．直线与平面所成角的大小不变
C．直线与直线垂直
D．二面角的大小不变
10．一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有数字1，2，3，…，9.从袋中任意抽取1张卡片，记“抽出的卡片号为1，4，7”为事件A，“抽出的卡片号小于7”为事件，“抽出的卡片号大于7”记为事件.下列说法正确的是（ ）
A．事件A与事件是互斥事件 B．事件A与事件是互斥事件
C．事件A与事件相互独立 D．事件与事件是对立事件
11．已知的内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则．
B．若，，则三角形有一解．
C．若，则一定为等腰直角三角形．
D．若面积为，，则．
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知向量，，则在上的投影向量的坐标是 ．
13．若（为虚数单位）为方程（）的一个根，则 .
14．在圆台中，圆的半径是2，母线，圆是的外接圆，，，则三棱锥体积最大值为 ．
四 解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15．已知，，．
(1)求；
(2)若，求实数k的值．
16．已知向量，，设.
(1)求的最小正周期；
(2)若，，求的值.
17．“数学好玩”是国际著名数学家陈省身赠送给少年数学爱好者们的一句话某校为了更好地培养学生创新精神和实践能力，激发学生钻研数学的兴趣和热情，特举办数学节活动.在活动中，共有20道数学问题，满分100分在所有的答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成六段：，，……，，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中a的值，并估计该校全体学生这次数学成绩的中位数；
(2)活动中，甲、乙、丙三位同学独立参加竞赛，已知甲同学答对了12道，乙同学答对了8道，丙同学答对了n道，假设每道数学问题难度相当，被答对的可能性都相同.
（i）任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率；
（ii）任选一道数学问题，若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为，求n的值.
18．如图，在正三棱柱中，，分别为棱，的中点，.
(1)证明：平面；
(2)若三棱锥的体积为，求二面角的余弦值.
19．在锐角中，角，，的对边为，，，若，.
(1)求角的大小；
(2)若为的中点，且，求的面积；
(3)如图，过点在所在平面内作，且满足.求线段的最大值.
参考答案
1-8 BCDBACDD 9．ACD 10．AC 11．ABD
12． 13．5 14．/
15．（1）因为，，，
所以，
所以
.
（2）因为，
所以，即，
即，解得.
16．（1）因为
，
所以函数的最小正周期；
（2），
，
，
故
.
17．（1）由频率分布直方图有，
得，
因为，，
所以中位数在区间上，设为x，
则有，得，
所以估计该校全体学生这次数学成绩的中位数为75；
（2）设 “任选一道题，甲答对”，“任选一道题，乙答对”，
“任选一道题，丙答对”，
则由古典概型概率计算公式得：，，，
所以有，，，
（i）记 “甲、乙两位同学恰有一人答对”，
则有，且有与互斥，
因为每位同学独立作答，所以A，B互相独立，则A与，与B，与均相互独立，
所以
，
所以任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率；
（ii）记“甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对”，则，
所以
，
解得：.
18．（1）取的中点，连接，，因为，分别为棱，的中点，且三棱柱为正三棱柱，
所以且，且，
所以且，
所以为平行四边形，所以，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）因为，所以，，所以，
又在正三棱柱中平面，
所以，所以，
取的四等分点（靠近），连接，过点作交于点，连接，
因为为等边三角形，所以且，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，平面，
，又，平面，
所以平面，所以为二面角的平面角，
在平面中连接交于点，因为四边形为正方形，
所以，又，所以，又为的四等分点，所以为的四等分点，
所以，
所以，
所以，
所以二面角的余弦值为.
19．（1）因为，，
所以，即，
由余弦定理得，
又，∴．
（2）因为是的中点，所以，两边平方可得，
即，
又，所以，
面积为.
（3）设，当DC与外接圆相切时，可得，则，
则，
在中，由正弦定理得，
所以，
在中，由正弦定理得，
所以
因为，
所以
又，所以，
所以当，即时，有最大值，最大值为.
试卷第1页，共3页