2023-2024学年新疆阿勒泰地区高二下学期期末联考数学试卷（含解析）

2023-2024学年新疆阿勒泰地区高二下学期期末联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，若，则( )
A. B. C. D.
2.命题“”的否定是( )
A. B.
C. D.
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.某工厂的每月各项开支与毛利润单位：万元之间有如表关系，与的线性回归方程，则( )
A. B. C. D.
5.随机变量，若，则( )
A. B. C. D.
6.已知等差数列的前项之和为，则( )
A. B. C. D.
7.某市人民政府新招聘进名应届大学毕业生，分配给教育、卫生、医疗、文旅四个部门，每人只去一个部门，若教育部门必须安排人，其余部门各安排人，则不同的方案数为( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的右支上有一点与双曲线的左支交于点，线段的中点为，且满足，若，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若两直线与平行，则实数的值可以为( )
A. B. C. D.
10.下列函数求导正确的有( )
A. B.
C. D.
11.设是不同的直线，是不同的平面，则下列说法不正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，，则 D. 若，，则
12.已知数列，中，，则( )
A. 数列的前项和为 B. 的前项和为
C. 的前项和 D. 数列仍为等比数列
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数且图象恒过的定点坐标为
14.若向量，的夹角为，，，则 ．
15.的展开式中的系数为 ．
16.剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中国古老的民间艺术之一，已知某剪纸的裁剪工艺如下：取一张半径为的圆形纸片，记为，在内作内接正方形，接着在该正方形内作内切圆，记为，并裁剪去该正方形内多余的部分如图所示阴影部分，记为一次裁剪操作，重复上述裁剪操作次，最终得到该剪纸．则第次裁剪操作结束后，所有裁剪操作中裁剪去除的面积之和为 ．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在锐角的内角，，的对边分别为，，，且
求角的大小；
若，，求的面积．
18.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，，．
求证：平面平面；
求直线与平面所成角的余弦值．
19.本小题分
已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，离心率为．
求椭圆的方程；
过点作斜率为的直线交椭圆于两点，求弦中点坐标．
20.本小题分
某学校共有名学生参加知识竞赛，其中男生人，为了解该校学生在知识竞赛中的情况，采取分层抽样随机抽取了名学生进行调查，分数分布在分之间，根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图所示：
将分数不低于分的学生称为“高分选手”．
求的值，并估计该校学生分数的平均数、中位数和众数同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；
现采用分层抽样的方式从分数落在内的两组学生中抽取人，再从这人中随机抽取人，记被抽取的名学生中属于“高分选手”的学生人数为随机变量，求的分布列及数学期望；
21.本小题分
已知各项都不相等的等差数列的前六项和为，且为和的等比中项．
求数列的通项公式及前项和；
若数列满足，且，求数列的前项和．
22.本小题分
已知函数
若，求函数在处的切线方程；
若，求函数的极值
讨论函数的单调性．
答案解析
1.
【解析】解：因为集合，若，则，
即集合，所以．
故选：
2.
【解析】
解：根据存在量词命题的否定为全称量词命题，
即命题“”的否定为“”
故选：．
3.
【解析】解：因为，
所以．
故选：
4.
【解析】解：，．
因为与的线性回归方程为，
可得，
解得．
故选：．
5.
【解析】解：因为且，
所以，
则．
故选：
6.
【解析】解：，，
所以．
故选：．
7.
【解析】解： 名应届大学毕业生，分配给教育、卫生、医疗、文旅四个部门， 每人只去一个部门，
人数分配为，可得，
若教育部门必须安排 人，其余部门各安排 人，则可得
故选：．
8.
【解析】解：
因为是线段的中点，且，所以，
又，所以是等边三角形，
设的边长为，由双曲线的定义知，，，
所以，
又，所以，即，
所以，
在中，由余弦定理知，，
所以
即，所以离心率．
故选：
9.
【解析】解：若两直线与平行，
则，解得，经检验符合题意．
故选：．
10.
【解析】解：，不正确；
， B正确；
， C正确；
，不正确．
故选：
11.
【解析】解：对于，若，，则或，故 A错误；
对于，若，，，则，从而有，，但不满足，故 B错误；
对于，若，，，所以，因为是不同的平面，所以，故C正确；
对于，若，，则或与相交，故D错误．
故选：
12.
【解析】解：由数列，中，，
对于中，可得，可得数列前项的和为：
，所以 A正确；
对于中，由，可得，
则数列的前项和为：
，所以 B正确；
对于中，由，
则的前项和，所以 C正确；
对于中，由，则，
所以数列不是等比数列，所以不正确．
故选：．
13.
【解析】解：令，解得，所以，
所以函数且图象恒过的定点坐标为．
故答案为：．
14.
【解析】解：向量，的夹角为，，，有，
则．
故答案为：．
15.
【解析】解：的展开式通项公式，
当时，，
当时，，
故的展开式中的系数为．
故答案为：
16.
【解析】解：第次剪去正方形内多余部分的面积记为；
因为的半径为，由其内接正方形对角线为直径，所以内接正方形的边长为，
即，再作第一个内切圆，其直径为该正方形的边长，即，
所以第一次剪去部分的面积为，
同理：，，，
，，，
，，，
所以前四次裁剪操作中裁剪去除部分的面积之和为：，
故答案为：．
17.解：由，
利用正弦定理得：，
，
，又为锐角，
则；
由余弦定理得：，
即，
，
又，
则．
【解析】本题主要考查正弦定理和余弦定理以及三角面积公式，考查学生的思维转换能力，属基础题．
由正弦定理，得到，根据角为锐角，即可求出答案；
由余弦定理可以得到，由中的值，利用三角面积公式，即可求解．
18.解：证明：在直三棱柱中，，
，，
又，平面，平面，
平面，又平面，
平面平面；
连接交于，连接，
四边形为正方形，，
又由知平面平面，平面平面
又平面．
平面
是直线平面所成角，
在中，，

【解析】本题考查了面面垂直的判定以及直线与平面所成角的计算，属于中档题
先证得，，即可得平面，从而可得证；
利用垂直关系找出直线与平面所成的角，求解即可
19.解：依题意得：
，即，解得
，解得
椭圆的方程为
如图所示：

设，中点为，
所以
则
又两点在椭圆上，可得
两式相减可得，整理得
，．
过点斜率为的直线为．
因为在直线上，故，
联立，解得
所以中点坐标为．
【解析】根据抛物线的焦点求出的值，然后由椭圆的离心率计算，再由平方关系得到，可写出椭圆的方程；
设的坐标，点差法计算出坐标之间的关系，再根据中点所在直线可求出点的坐标．
20.解：由题意知，
解得，
样本平均数为，
由于，故中位数，
众数．
由题意，从中抽取人，从中抽取人，
随机变量的所有可能取值有，，，．
，
所以随机变量的分布列为：
随机变量的数学期望．
【解析】由频率分布直方图中频率和为可求得，由频率分布直方图数据求解
由频率分布直方图知从中抽取人，从中抽取人，随机变量的所有可能取值有，，，，求出各概率得分布列，然后由期望公式得期望；
21.解：设等差数列的公差为，
则
解得．
；
由，
，
当时，也符合上式
．
．

【解析】根据等差数列的前项和公式及等比中项的概念，可建立首项和公差的方程组，解出首项和公差，写出通项公式及前项和；
因为，故可采取累加法，求得，从而，采用裂项相消的办法求和即可．
22.解：因为，所以
所以，
函数在处的切线方程为：即．
若，则，
，
令，所以，
当时，在单调递增；
当时，，在单调递减，
当时，有极小值，无极大值．
因为，定义域．
所以，因为，
当时，恒成立，在上单调递增，
当时，令，所以，
当时，在单调递增；当时，，在单调递减．

【解析】求出，由可得结果；
求得，由可得，判断左右两边导函数的符号，从而可得结果．
求得在定义域内，讨论，两种情况，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间．
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