2023-2024学年广东省惠州市高一下学期期末质量检测数学试题（含解析）

2023-2024学年广东省惠州市高一下学期期末质量检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面中，复数对应的点的坐标在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.下列命题中正确的是( )
A. 零向量没有方向 B. 共线向量一定是相等向量
C. 若为实数，则向量与方向相同 D. 单位向量的模都相等
3.已知数据的平均数为，方差为，则的平均数和方差分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
4.已知向量，，则向量在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.某校有小学生、初中生和高中生，其人数比是，为了解该校学生的视力情况，采用按比例分层抽样的方法抽取一个样本量为的样本，已知样本中高中生的人数比小学生的人数少，则( )
A. B. C. D.
6.设，是两个不重合的平面，，是两条直线，则下列命题为真命题的是( )
A. 若，，，则 B. 若，，则
C. 若，，，，则 D. 若，，则
7.掷两颗骰子，观察掷得的点数．设事件表示“两个点数都是偶数”，事件表示“两个点数都是奇数”，事件表示“两个点数之和是偶数”，事件表示“两个点数的乘积是偶数”那么下列结论正确的是( )
A. 与是对立事件 B. 与是互斥事件
C. 与是相互独立事件 D. 与是相互独立事件
8.已知直三棱柱的体积为，二面角的大小为，且，，则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是( )
A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为
C. 圆柱的侧面积与球面面积相等 D. 三个几何体的表面积中，球的表面积最小
10.设为复数为虚数单位，下列命题正确的有( )
A. 若，则
B. 对任意复数，，有
C. 对任意复数，，有
D. 在复平面内，若，则集合所构成区域的面积为
11.在中，角所对的边分别是，，，下列命题正确的是( )
A. 若，，则面积的最大值为
B. 若，，则面积的最大值为
C. 若，，要使满足条件的三角形有且只有两个，则
D. 若，且，则该三角形内切圆面积的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.甲、乙两人独立的解同一道题，甲、乙解对题的概率分别是、，那么恰好只有人解对题的概率是 ．
13.已知频率分布直方图如图所示，记其平均数为，中位数为，则与的大小关系为 ．
14.如图，已知在直三棱柱中，为的中点，为棱上的动点，，，，当是棱的中点，则三棱锥体积为 ；当三棱锥的外接球的半径最小时，直线与所成角的余弦值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，已知，，点为线段中点，，设，．

用向量，表示；
若，求．
16.本小题分
已知有下面三个条件：
；；；
请从这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题：在中，角所对的边分别是，，，且________．
求角的大小；
若是的角平分线，且，，求线段的长．
17.本小题分
为了研究学生每天总结整理数学错题情况，某课题组在我市中学生中随机抽取了名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时总结整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图为学生一个星期内总结整理数学错题天数的扇形图若本次数学成绩在分及以上视为优秀，将一个星期有天及以上总结整理数学错题视为“经常总结整理”，少于天视为“不经常总结整理”已知数学成绩优秀的学生中，经常总结整理错题的学生占．
数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计
经常总结整理
不经常总结整理
合计
根据图、图中的数据，补全表格；
求图中的值及学生期中考试数学成绩的第百分位数；
抽取的名学生中按“经常总结整理错题”与“不经常总结整理错题”进行分层抽样，随机抽取名学生，再从这名学生中随机抽取人进行座谈；求这名同学均来自“经常总结整理错题”的概率．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，面面，是的中点．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值；
在棱上是否存在点使平面平面成立？如果存在，求出如果不存在，说明理由．
19.本小题分
将连续正整数，，，从小到大排列构成一个数，为这个数的位数如当时，此数为，共有个数字，，现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到的概率．
求．
当时，求的表达式．
令为这个数中数字的个数，为这个数中数字的个数，，，求当时的最大值．
答案解析
1.
【解析】，故对应的点为，
故对应的点位于第三象限，
故选：
2.
【解析】对于选项A：根据向量的定义可知：任意向量均有方向，且规定零向量的方向是任意的，故A错误；
对于选项B：例如，是非零向量，可知是共线向量但不是相等向量，故 B错误；
对于选项C：例如是非零向量，且，可知向量与方向相反，故 C错误；
对于选项D：根据定义可知：单位向量的模均为，所以单位向量的模都相等，故D正确；
故选：．
3.
【解析】因为的平均数是，方差是，
所以的平均数是，方差是．
故选：．
4.
【解析】根据题意得，
所以向量在方向上的投影向量为，
故选：．
5.
【解析】由题意可知：样本中高中生的人数为，小学生的人数为，
则，解得．
故选：．
6.
【解析】对于正方体，且分别为的中点，
对于选项A：例如平面，平面，，
但平面平面，故 A错误；
对于选项B：例如平面，平面，但，故 B错误；
对于选项C：例如平面，且均与平面平行，
但平面平面，故 C错误；
对于选项D：若，，由线面垂直的性质可知，故 D正确；
故选：．
7.
【解析】对于选项A，因为掷两颗骰子，两个点数可以都是偶数，也可以都是奇数，还可以一奇一偶，
即一次试验，事件和事件可以都不发生，所以选项 A错误；
对于选项B，因为即两个点数都是偶数，即与可以同时发生，所以选项 B错误，
对于选项C，因为，，又，所以，故选项 C错误，
对于选项D，因为，，所以，所以选项 D正确，
故选：．
8.
【解析】取的中点，连接，
，，则二面角的平面角为，
二面角的大小为，则，
所以，，
又直三棱柱的体积为，，
则，，
又平面平面，平面平面，
且平面，平面，
设点到平面的距离为，又，
，解得，
故选：．
9.
【解析】解：依题意球的表面积为，
圆柱的侧面积为，所以选项正确．
圆锥的侧面积为，所以选项正确．
圆锥的表面积为，
圆柱的表面积为，所以选项不正确．
故选：
10.
【解析】解：选项，因为，
所以，
所以，故A错误；
选项，设，
所以，
所以，
又，
所以对任意复数，，有，故B正确；
选项，设，
所以，
则，
又，
所以对任意复数，，有，故C正确；
选项，设，
则为，
所以复数在复平面内对应的点是以为圆心，以为半径的圆及圆的内部区域，
所以集合所构成区域的面积为，故D错误．
故选BC．
11.
【解析】对于选项A：由余弦定理可得，即，
可得，解得，当且仅当时，等号成立，
所以面积的最大值为，故 A正确；
对于选项B：由余弦定理可得，即，
可得，解得，当且仅当时，等号成立，
所以面积的最大值为，故 B错误；
对于选项C：由余弦定理可得，即，
整理可得，
由题意可知：关于的方程有个不相等的正根，
则，解得，
且，可得，故 C错误；
对于选项D，因为，即，
则，整理可得，
注意到，则，即，可知，
且，则该三角形内切圆半径．
又因为，
当且仅当时，等号成立，可得，
所以该三角形的内切圆面积的最大值是，故 D正确．
故选：．
方法点睛：与解三角形有关的交汇问题的关注点
根据条件恰当选择正弦、余弦定理完成边角互化；
结合内角和定理、面积公式等，灵活运用三角恒等变换公式；
对于最值问题，常常利用基本不等式或三角函数分析求解．
12.
【解析】设甲、乙解对题分别为事件，，
则，可得
所以恰好只有人解对题的概率．
故答案为：．
13.
【解析】因为频率分布直方图在右侧“拖尾”，可知平均数大于中位数，即．
故答案为：．
14.或或
【解析】因为，，，
所以在中，由余弦定理，得，
所以，所以，
所以；
作，垂足为，作，垂足为，
易知棱在平面上的射影为，
则点在平面上的射影在线段上，
因为，故，解得，
故，则，
设的中点为，外接球的球心为，半径为，
则平面，即，
在中，，
又因为
由，可得，所以当取最小值时，最小，即最小，
此时，因为是的中点，则是的中点，则是棱的中点．
因为，所以直线与所成角即为直线与所成角．
因为，再由余弦定理，
得，
因为，所以．
故答案为：；．
关键点点睛：本题解决的关键是，分析得当三棱锥的外接球的半径最小时，为棱的中点，从而得解．
15.解：如图所示，

，
所以，
所以．
点为线段中点，用三点共线的向量表达式结论得，
由知，则，
，则则．
【解析】用三点共线的向量表达式结论可解；
将用基底表示出来，再用数量积运算性质可解．
16.解：选择：由，可得，
即，即，
因为，所以；
选择：因为，由正弦定理得，
可得，
因为，可得，所以，
即，可得，
因为，可得，所以；
选择：由，可得，
又由正弦定理得，再由余弦定理得，
因为，所以．
若是的角平分线，则，
且，即，
解得．
【解析】选择：利用三角形的面积公式和向量的数量积的运算公式，求得，得到，即可求解；选择：由正弦定理化简得到，得到，即可求解；选择，化简得到，即，由余弦定理求得，即可求解；
根据题意结合，列出方程，即可求解．
17.解：数学成绩优秀的有人，不优秀的人人，
经常整理错题的有人，
不经常整理错题的是人，经常整理错题且成绩优秀的有人，
所以表格为
数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计
经常整理
不经常整理
合计
由题意可知每组频率依次为，
则，解得；
因为，，
设第百分位数为，可知
则，解得，
所以学生期中考试数学成绩的第百分位数为．
由题意可知：样本中“经常总结整理错题”的人数为，设为，
“不经常总结整理错题”的人数为，设为，
从这名学生中随机抽取人，则样本空间，可知，
设这名同学均来自“经常总结整理错题”为事件，则，即，
所以．
【解析】根据题中数据补全表格；
根据频率和为求得，再结合百分位数的定义列式求解；
分别求相应的人数，利用列举法结合古典概型分析求解．
18.解：证明：设，连接，
因为底面是正方形，所以为的 中点，
因为是的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面
因为底面是正方形，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为为等边三角形，是的中点，所以，
因为，平面，所以平面，
所以直线与平面所成角为，
设正方形的边长为，则，
因为平面，平面，所以，
所以，
即直线与平面所成角的正弦值为；
存在，当时，平面平面，
因为平面，平面平面，所以，
因为，平面，
所以平面，
因为平面，所以平面平面，
设，则，所以，
由知平面，
因为平面，所以，所以，
因为，
，
所以，
所以，得，解得，
所以当时，平面平面．
【解析】设，连接，利用三角形的中位线定理可得，再利用线面平行的判定定理可证得结论；
由面面垂直的性质可证得平面，则，再由等边三角形的性质可得，然后由线面垂直的判定可得平面，则直线与平面所成角为，从而可求得答案；
当时，可证得平面平面，设，然后在等腰直角三角形中利用平面向量的知识计算即可．
19.解：当时，这个数中总共有个数字，其中数字的个数为，所以恰好取到的概率．
当时，
当时，表示不超过的最大整数，
当时，．
故
同理有
由可知，，，，，，，，，，
所以当时，．
当时，
当时，
当时，．
由于关于单调递增，
故当时，的最大值为．
又，所以当时，的最大值为．
【解析】这个数中总共有个数字，其中数字的个数为，结合古典概型即可求解；
首先需要按是几位数对进行分类，例如当是三位数时，共有个一位数、个两位数、个三位数，所以，其余类似可求得．
以数字的个数为例：当时，每个数就有个，故表示不超过的最大整数当时，前个数中，共有个，剩下的数每个数都有个，共有个，故当或时，同理可以求得的个数由可得，，，，，，，，，，进而求得的最大值．
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