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第二十一章 一元二次方程 单元测试卷
考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．当方程的一般式为时，的值为（ ）
A．5 B． C．1 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确将原方程整理为一般形式是解题关键．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程，其一般形式为．将原方程整理为一般形式，即可获得答案．
【详解】解：将方程整理为一般形式，
可得，
所以，的值为．
故选：B．
2．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了解一元二次方程，先移项，再配方，即可得出结论．
【详解】解：，
，
，
，
故选：A．
3．若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了解一元二次方程．根据公式法解答，即可求解．
【详解】解：∵关于的一元二次方程的根为，
∴二次项系数为1，一次项系数为，常数项为，
∴这个方程为．
故选：D
4．鄞州是诗书之城，据鄞州图书馆年度数据报告，2021年到馆读者134万人次，2023年人数增长至289万，设这两年到馆人数的年平均增长率为，可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设这两年到馆人数的年平均增长率为，根据2021年到馆读者134万人次，2023年人数增长至289万，列出方程即可．
【详解】解：设这两年到馆人数的年平均增长率为，根据题意得：
，
故选：B．
5．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元二次方程有实数根的情况，一元二次方程的定义，解不等式，熟练地掌握根的判别式在不同情况下根的情况是解题的关键．当时，一元二次方程有实数根；否则，无实数根．
根据题意可得，然后解不等式即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，
解得：且．
故选：D．
6．某电商销售一款进价为80元/台的电吹风，若按每台120元出售，当月可销售50台，经调查发现这款电吹风的售价每下降3元，其销售数量增加10台．设售价为x元/台．若使该电商销售这款电吹风的利润为2500元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设售价为x元/台，根据利润销售量每台风扇的利润，列方程即可．
【详解】解：设售价为x元/台，
根据题意可得：，
故选：D．
7．如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用，正确寻找题目的等量关系是解题的关键．设矩形场地垂直于墙一边长为，可以得出平行于墙的一边的长为．根据矩形的面积公式建立方程即可．
【详解】解：设矩形场地垂直于墙一边长为，
则平行于墙的一边的长为，
由题意得，
解得：，，
当时，平行于墙的一边的长为；
当时，平行于墙的一边的长为，不符合题意；
∴该矩形场地长为米，
故选C．
8．如图所示的是一张月历表，在此月历表上用一个矩形任意圈出个数(如17，18，24，25)，如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为153，那么这四个数的和为（ ）
A．40 B．48 C．52 D．56
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．找出题中等量关系，并用方程表示出来是解题的关键．
根据题意，设最小数为x，则另外三个数为，根据题意可列方程，结合月历表的数据情况选出合适的数．
【详解】解：设最小数为x，则另外三个数为，
根据题意可列方程，得，
解得 (不符合题意，舍去)，
∴，，，，
∴四个数分别为9，10，16，17，
∵，
故选：C．
9．如图①，在矩形中，，对角线、相交于点，动点由点出发，沿运动，设点的运动路程为，的面积为，与的函数关系图像如图②所示，则边的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】由图②可知，当点到达点时，的面积为6，此时的高为，则，解得，而，由此即可求解．
【详解】解：由图②可知：当点到达点时，的面积为6，此时的高为，
∴的面积，
解得①，
而从图②还可知：②，
由②得：③，
将③代入①，得：，
解得：或，
当时，，
当时，，
∵在矩形中，，
∴，
∴，，
故选：D．
【点睛】本题考查的是动点问题的函数图象，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解，也考查了矩形的性质以及解一元二次方程．
10．如图，在矩形中，，，点E，F分别在边上．连接，若平分，四边形是平行四边形，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点F作于H，的延长线于的延长线交于T，连接，设，则，证明四边形为菱形，则，在中由勾股定理得，即，整理得，由此解出x即可得出答案．
【详解】解：过点F作于H，的延长线于的延长线交于T，连接，如下图所示：
设
∵四边形为矩形，，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴ ，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即为线段的垂直平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为菱形，
∴ ，
∴ ，
在中，由勾股定理得：，
即，
整理得：，
解得：，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，平行四边形的性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造菱形，灵活运用勾股定理构造一元二次方程是解决问题的难点．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．若a是一元二次方程的一个根，则的值是 ．
【答案】4
【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，整体思想的应用是本题的关键．
根据一元二次方程解的定义可得，再整体代入求代数式即可．
【详解】解：∵是一元二次方程的一个根，
把代入得，．即．
∴．
故答案为：4．
12．关于的一元二次方程的根的判别式的值为24，则 ．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．掌握一元二次方程的根的判别式为是解题关键．根据一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程的根的判别式的值为24，
∴，
解得：．
故答案为：．
13．《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，设甲、乙两人相遇的时间为，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，利用勾股定理即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，将其正值代入中即可求出结论．
【详解】解：设甲、乙两人相遇的时间为，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，则
依题意得：，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去），
∴．
故甲走的步数是．
故答案为：．
14．定义新运算：规定 例如 若 则x的值为 ．
【答案】或
【详解】本题考查一元二次方程的解法，借助于定义的新运算把所给的条件转化成一元二次方程，解方程即可求解．
【分析】解：由题意可得：
整理，得：
解得：
故答案为：或 ．
15．如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第 个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍．
【答案】12
【分析】本题主要考查了图形变化的规律、一元二次方程的应用等知识点，能根据所给图形发现“〇”和“●”的个数变化规律是解题的关键．
根据所给图形，依次求出“〇”和“●”的个数，发现规律，再利用规律列出一元二次方程求解即可．
【详解】解：由所给图形可知，
第1个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；
第2个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；
第3个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；
第4个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；
…，
所以第n个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；
由题知，解得，
又n为正整数，则，即第12个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍．
故答案为：12．
16．如图，在平面直角坐标系中，点点B在x轴正半轴上，且，则的长是 ．
【答案】/
【分析】本题考查坐标与图形，勾股定理，设，勾股定理求出，过点作，易得为等腰直角三角形，求出的长，等积法列出方程进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
过点作，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设，则：，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：或（舍去），
∴；
故答案为：．
三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
17．解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)，．
【分析】本题主要考查了用直接开平方法和公式法解一元二次方程．
（1）用直接开平方法，即可求解；
（2）利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：，
整理得：，
即，
∴．
（2）
整理得：，
，
∴，
∴，．
18．已知关于x的方程．
(1)求证：不论a取任何实数，该方程总有两个不相等的实数根；
(2)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一个根．
【答案】(1)见解析
(2)，该方程的另一个根
【分析】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况，以及一元二次方程的求解，熟记相关结论是解题关键．
（1）对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根．据此即可求解．
（2）将代入方程即可求得，据此即可求解；
【详解】（1）解： ，，
，
，
，
不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）解：将代入方程得：，
解得，
将代入方程，整理可得：，
即，
解得或，
该方程的另一个根．
19．有一人患了红眼病，经过两轮传染后共有64人患病．
(1)每轮传染中平均一个人传染了几个人
(2)若不及时控制，按这样的传染速度，三轮传染后患病的共有多少人？
【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了7个人
(2)三轮传染后患病的共有512人
【分析】本题考查根据实际问题列出一元二次方程，先用含有x的代数式计算出第一轮感染后的人数，再在第一轮感染人数的基础上列出第二轮感染后的人数，列出等式，能够找到等量关系是解决本题的关键．
（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得，解方程即可．
（2）根据题意，得．
【详解】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得，
解方程，得（舍去），
答：每轮传染中平均一个人传染了7个人．
（2）根据题意，得 (人)
答：三轮传染后患病的共有512人．
20．禽流感病毒是一种传染速度比较快的传染性病毒，一般多发生在每年春、冬两季．如图，在出现禽流感前，某农场主拟建了两间矩形饲养室，饲养室的一面靠墙，墙长为米，中间用一道墙隔开，并在如图所示的二处各留米宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长为米．设边长为米．
(1)用含的代数式表示的长；
(2)饲养室总占地面积可能为平方米吗？若能，求出的长；若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)饲养室总占地面积能为平方米，此时的长为米
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，熟练运用矩形的面积公式建立方程是解题的关键．
（1）利用BC边长可建围墙的总长边长，可用含的代数式表示的长；
（2）根据饲养室总占地面积为平方米，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，结合墙长为米，即可确定结论．
【详解】（1）解：∵可建围墙（不包括门）的总长为米，且边长为米，
∴边长为：；
（2）根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：饲养室总占地面积能为平方米，此时的长为米．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．阅读以下材料：配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式；
再例如：求代数式的最小值，．可知当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)代数式的最大值为________；
(2)已知：，，求代数式的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查因式分解的应用、非负数的性质、完全平方公式的应用，
（1）先配方，然后根据完全平方式的非负性求最大值即可；
（2）由完全平方公式可得，代入可得，然后由完全平方式的非负性可得，，即可得解．
掌握非负数性质及完全平方公式是解题的关键，解题时要注意配方法的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值．
【详解】（1）解：∵
，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴代数式的最大值为，
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴代数式的值为．
22．在平面直角坐标系中，点在直线上．
(1)直线与轴的交点坐标为________；
(2)矩形的顶点分别轴，轴上．
①当，时，求矩形的面积；
②若使矩形的面积为4的点恰好有4个，试求的取值范围．
【答案】(1)
(2)①；②且
【分析】（1）在中，当时，，即可得出答案；
（2）①由题意得，，先求出，结合矩形的性质即可得出答案；②分两种情况：当时；当时，分别计算即可得出答案．
【详解】（1）解：在中，当时，，
∴直线与轴的交点坐标为；
（2）解：由题意得：，，
将代入得：，
解得：，
∴，
如图所示：
，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴矩形的面积为；
②当时，，此时矩形的面积为4的点只有两个；
当时，∵点在直线上，
∴，
∴，
∴矩形的面积为，即或，
∵矩形的面积为4的点恰好有4个，
∴或，
解得：，
综上所述，若使矩形的面积为4的点恰好有4个，的取值范围为且．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题、矩形的性质、一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
23．2024年端午节小长假恰巧遇上高考，元祖食品店特别推出“冰淇淋粽”礼盒和“事事高中”礼盒．甲公司从元祖店购买了这两种部分礼盒发给员工作为福利，甲公司采购人员发现，购买“事事高中”礼盒的单价是“冰淇淋粽”礼盒单价的1.5倍，且花费6000元购买的“冰淇淋粽”礼盒的数量比花费7200元购买的“事事高中”礼盒的数量多5盒．
(1)求“冰淇淋粽”和“事事高中”粽子礼盒的单价分别为多少元；
(2)两种粽子礼盒在市场上颇受欢迎，元祖食品店决定对这两种礼盒进行进一步促销．其中每盒“冰淇淋粽”礼盒降价元，每盒“事事高中”粽子礼盒降价元．乙公司也决定购买以上两种礼盒发放给员工作为福利，乙公司购买的“冰淇淋粽”礼盒的数量和甲公司购买的“冰淇淋粽”礼盒的数量一样，乙公司购买“事事高中”礼盒的数量比甲公司购买“事事高中”礼盒的数量多盒，最后乙公司的总花费与甲公司的总花费相同，求m的值．
【答案】(1)“冰淇淋粽”粽子礼盒的单价为240元，“事事高中”粽子礼盒的单价为360元
(2)12
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是：
（1）设“冰淇淋粽”粽子礼盒的单价为x元，则“事事高中”粽子礼盒的单价为元，根据“花费6000元购买的“冰淇淋粽”礼盒的数量比花费7200元购买的“事事高中”礼盒的数量多5盒”列方程求解即可；
（2）根据“乙公司的总花费与甲公司的总花费相同”列方程求解即可．
【详解】（1）解∶ 设“冰淇淋粽”粽子礼盒的单价为x元，则“事事高中”粽子礼盒的单价为元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴，
答：“冰淇淋粽”粽子礼盒的单价为240元，“事事高中”粽子礼盒的单价为360元；
（2）解：由（1）知：甲公司购买“冰淇淋粽”粽子礼盒盒，“事事高中”粽子礼盒元，
根据题意，得，
整理得
解得或（舍去），
∴m的值为12．
五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
24．博物馆是一座城市重要的公共文化窗口，“博物馆热”背后是人们对精神文化多样化的需求、对中华优秀传统文化的认同．潼南博物馆位于潼南区大佛街道石碾社区，毗邻潼南大佛景区．馆内设有恐龙、历史文化、石刻文化、建筑文化、人文文化大展厅．是了解潼南历史的新窗口．一学习小组计划利用周末到潼南博物馆参观学习．
(1)为达到更佳的参观学习效果，他们原计划花元请私家讲解人员，后又临时增加名同学，实际的团费虽然增加了元，但实际的人均费用比原来的人均费用少了元，求该学习小组实际参观博物馆的同学人数；
(2)该博物馆的步行参观路线全长米，分为“亚洲最大恐龙展区”“潼南历史、石刻、建筑、人文展区”两个部分，参观“亚洲最大恐龙展区”部分的平均速度是米每分钟，若“亚洲最大恐龙展区”的步行路线长米，加上周末参观人数多，在“亚洲最大恐龙展区”部分需排队分钟，若小组整个参观学习过程计划最多花费小时，求“潼南历史、石刻、建筑、人文展区”部分参观路线的速度最少为多少米每分钟？
【答案】(1)该学习小组实际参观博物馆的同学人数为人；
(2)“潼南历史、石刻、建筑、人文展区”部分参观路线的速度最少为米分钟．
【分析】（）设该学习小组实际参观博物馆的同学人数为人，则原计划参观博物馆的同学人数为人，根据题意得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（）设“潼南历史、石刻、建筑、人文展区”部分参观路线的速度为米分钟，
根据题意得出关于的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论；
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式应用，解题的关键读懂题意列出方程和不等式．
【详解】（1）设该学习小组实际参观博物馆的同学人数为人，则原计划参观博物馆的同学人数为人，
根据题意得：，整理得：，
解得：，，
经检验，，，均是所列方程的解，
∴符合题意，不符合题意，舍去，
答：该学习小组实际参观博物馆的同学人数为人；
（2）设“潼南历史、石刻、建筑、人文展区”部分参观路线的速度为米分钟，
根据题意得：，
解得：，
答：“潼南历史、石刻、建筑、人文展区”部分参观路线的速度最少为米分钟．
25．已知是等腰直角三角形，．
(1)当时，
①如图①，将直角的顶点D放至的中点处，与两条直角边分别交于点E、F，请说明为等腰直角三角形；
②如图②，将直角顶点D放至边的某处，与另两边的交点分别为点E、F，若为等腰直角三角形且面积为4，求的长．
(2)若等腰直角三个顶点分别在等腰直角的三边上，等腰直角的直角边长为1时，求等腰直角的直角边长的最大值．
【答案】(1)①见解析；②2或
(2)
【分析】（1）①过点D作于G，于 H， 连接．是等腰直角三角形，点是的中点，可得， ，，，
由“”可证，可得，即可求解；
②过点 F作于 N．由“”可证，可得，设， 则．根据勾股定理得再列出方程即可求解；
（2）当点在上时，当C、Q、D共线时， 最长，当D在直角边上，过点E分别作于点E，于H．设．则 即可求解．
【详解】（1）① 如图， 过点D作于G，于 H， 连接．
是等腰直角三角形，，点是的中点，
，，，
，，
，
，
，
，
，
又，
，
，
是等腰直角三角形；
② 如图， 过点 F作于 N．
∵，
∴．
又∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵
∴，
∴．
设， 则．
，
，
或
∴或 ，
（2）设等腰的直角顶点为 D，
若 D 在上， 如图3．
取的中点Q， 连接， 则
∵是直角边长为1的等腰直角三角形()．
∴当C、Q、D共线时， 最长， 则
∴在等腰中， 当时，的长最大．
最大为2．
若D在直角边上， 如图4， 过点E分别作于点E，于H．
由知
设．
则
解得
当s取最大值时，
∴的最大值为 ．
综上，的最大值为 ．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
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第二十一章 一元二次方程 单元测试卷
考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．当方程的一般式为时，的值为（ ）
A．5 B． C．1 D．
2．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（ ）
A． B． C． D．
4．鄞州是诗书之城，据鄞州图书馆年度数据报告，2021年到馆读者134万人次，2023年人数增长至289万，设这两年到馆人数的年平均增长率为，可列方程（ ）
A． B．
C． D．
5．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
6．某电商销售一款进价为80元/台的电吹风，若按每台120元出售，当月可销售50台，经调查发现这款电吹风的售价每下降3元，其销售数量增加10台．设售价为x元/台．若使该电商销售这款电吹风的利润为2500元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为（ ）
A．或 B．或 C． D．
8．如图所示的是一张月历表，在此月历表上用一个矩形任意圈出个数(如17，18，24，25)，如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为153，那么这四个数的和为（ ）
A．40 B．48 C．52 D．56
9．如图①，在矩形中，，对角线、相交于点，动点由点出发，沿运动，设点的运动路程为，的面积为，与的函数关系图像如图②所示，则边的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．如图，在矩形中，，，点E，F分别在边上．连接，若平分，四边形是平行四边形，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．若a是一元二次方程的一个根，则的值是 ．
12．关于的一元二次方程的根的判别式的值为24，则 ．
13．《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是 ．
14．定义新运算：规定 例如 若 则x的值为 ．
15．如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第 个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍．
16．如图，在平面直角坐标系中，点点B在x轴正半轴上，且，则的长是 ．
三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
17．解方程：
(1)；
(2)．
18．已知关于x的方程．
(1)求证：不论a取任何实数，该方程总有两个不相等的实数根；
(2)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一个根．
19．有一人患了红眼病，经过两轮传染后共有64人患病．
(1)每轮传染中平均一个人传染了几个人
(2)若不及时控制，按这样的传染速度，三轮传染后患病的共有多少人？
20．禽流感病毒是一种传染速度比较快的传染性病毒，一般多发生在每年春、冬两季．如图，在出现禽流感前，某农场主拟建了两间矩形饲养室，饲养室的一面靠墙，墙长为米，中间用一道墙隔开，并在如图所示的二处各留米宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长为米．设边长为米．
(1)用含的代数式表示的长；
(2)饲养室总占地面积可能为平方米吗？若能，求出的长；若不能，请说明理由．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．阅读以下材料：配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式；
再例如：求代数式的最小值，．可知当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)代数式的最大值为________；
(2)已知：，，求代数式的值．
22．在平面直角坐标系中，点在直线上．
(1)直线与轴的交点坐标为________；
(2)矩形的顶点分别轴，轴上．
①当，时，求矩形的面积；
②若使矩形的面积为4的点恰好有4个，试求的取值范围．
23．2024年端午节小长假恰巧遇上高考，元祖食品店特别推出“冰淇淋粽”礼盒和“事事高中”礼盒．甲公司从元祖店购买了这两种部分礼盒发给员工作为福利，甲公司采购人员发现，购买“事事高中”礼盒的单价是“冰淇淋粽”礼盒单价的1.5倍，且花费6000元购买的“冰淇淋粽”礼盒的数量比花费7200元购买的“事事高中”礼盒的数量多5盒．
(1)求“冰淇淋粽”和“事事高中”粽子礼盒的单价分别为多少元；
(2)两种粽子礼盒在市场上颇受欢迎，元祖食品店决定对这两种礼盒进行进一步促销．其中每盒“冰淇淋粽”礼盒降价元，每盒“事事高中”粽子礼盒降价元．乙公司也决定购买以上两种礼盒发放给员工作为福利，乙公司购买的“冰淇淋粽”礼盒的数量和甲公司购买的“冰淇淋粽”礼盒的数量一样，乙公司购买“事事高中”礼盒的数量比甲公司购买“事事高中”礼盒的数量多盒，最后乙公司的总花费与甲公司的总花费相同，求m的值．
五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
24．博物馆是一座城市重要的公共文化窗口，“博物馆热”背后是人们对精神文化多样化的需求、对中华优秀传统文化的认同．潼南博物馆位于潼南区大佛街道石碾社区，毗邻潼南大佛景区．馆内设有恐龙、历史文化、石刻文化、建筑文化、人文文化大展厅．是了解潼南历史的新窗口．一学习小组计划利用周末到潼南博物馆参观学习．
(1)为达到更佳的参观学习效果，他们原计划花元请私家讲解人员，后又临时增加名同学，实际的团费虽然增加了元，但实际的人均费用比原来的人均费用少了元，求该学习小组实际参观博物馆的同学人数；
(2)该博物馆的步行参观路线全长米，分为“亚洲最大恐龙展区”“潼南历史、石刻、建筑、人文展区”两个部分，参观“亚洲最大恐龙展区”部分的平均速度是米每分钟，若“亚洲最大恐龙展区”的步行路线长米，加上周末参观人数多，在“亚洲最大恐龙展区”部分需排队分钟，若小组整个参观学习过程计划最多花费小时，求“潼南历史、石刻、建筑、人文展区”部分参观路线的速度最少为多少米每分钟？
25．已知是等腰直角三角形，．
(1)当时，
①如图①，将直角的顶点D放至的中点处，与两条直角边分别交于点E、F，请说明为等腰直角三角形；
②如图②，将直角顶点D放至边的某处，与另两边的交点分别为点E、F，若为等腰直角三角形且面积为4，求的长．
(2)若等腰直角三个顶点分别在等腰直角的三边上，等腰直角的直角边长为1时，求等腰直角的直角边长的最大值．
试卷第22页，共23页
