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第二十一章 一元二次方程 单元综合题拓展训练
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考点一 一元二次方程的解法拓展
考点二 解一元二次方程的综合应用
考点三 一元二次方程的根的判别式的应用
考点四 与图形有关的一元二次方程应用
考点五 营销背景下的一元二次方程应用
考点六 动态几何背景下的一元二次方程应用
考点一 一元二次方程的解法拓展
1．定义[x]为不大于实数x的最大整数，如．函数的图象如图所示，则方程的根为（ ）
A．
B．
C．，
D． ，，
2．已知，则的值是（ ）
A．或1 B．或 C．或 D．或2
3．定义：我们把形如的数成为“无限连分数”．如果a是一个无理数，那么a就可以展成无限连分数，例如：，如果，则 ．
4．阅读理解
【学习新知】我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解．
①因式分解法求解特殊的三次方程：
将变形为，
．
．
．
．
或．
原方程有三个根：，，．
②换元法求解特殊的四次方程：
设，那么，于是原方程可变为，解得，，
当，时，；
当，时，；
原方程有四个根：，，，．
【应用新知】
（1）仿照以上方法，按照要求解方程：
①（因式分解法）；
②（换元法）；
【拓展延伸】
（2）已知：，且，请综合运用以上方法，通过“降次”求的值．
5．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“邻2根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻2根方程”．
(1)通过计算，判断方程是否是“邻2根方程”；
(2)已知关于x的一元二次方程（m是常数）是“邻2根方程”，求m的值．
考点二 解一元二次方程的综合应用
6．如图，正方形和正方形的边长分别为6和4，连接，H为的中点，连接．将正方形绕点A旋转一周，则的取值范围是 ；当C、F、G三点共线时，的长是 ．
7．如图，已知，C为线段上的一个动点，分别以，为边在的同侧作菱形和菱形，点C，E，F在一条直线上，．P、Q分别是对角线，的中点，当点C在线段上移动时，点P，Q之间的距离最短为 （结果保留根号）．
8．（1）当__________时，多项式的最小值为__________．
（2）当__________时，多项式的最大值为__________．
（3）当、为何值时，多项式取最小值？并求出这个最小值．
9．求最值问题有多种方法，既有代数法也有几何法．
例如：若代数式，利用配方法求M的最小值：，，当时，代数式M有最小值为2．再比如：正数a，b满足，用几何法求的最小值．如图，为线段DC的长度，为线段CE的长度，当的值最小时，D、C、E三点共线，所以最小值为．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)若代数式，求M的最小值；
(2)已知正数x，y满足，求的最小值．
10．在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点两点，直线与轴交于点，与直线交于点，且．
(1)如图1，求点的坐标及的值；
(2)如图2，点是直线上的一个动点，当的值最大时，求点的坐标；
(3)如图3，过点作轴的垂线，点是垂线上的一点，当以点为顶点的三角形是等腰三角形时直接写出点的坐标．
11．阅读材料：为实数，且，，因为，所以，从而，当时取等号．
阅读材料：若（，，为常数），由阅读材料的结论可知，所以当，即时，取最小值．
阅读上述内容，解答下列问题：
(1)已知，则当________时，取得最小值，且最小值为________；
(2)已知，，求的最小值．
(3)某大学学生会在月日举办了一个活动，活动支出总费用包含以下三个部分：一是前期投入元；二是参加活动的同学午餐费每人元；三是其他费用，等于参加活动的同学人数的平方的倍．求当参加活动的同学人数为多少时，该次活动人均投入费用最低．最低费用是多少元？（人均投入支出总费用/参加活动的同学人数）
12．综合与实践
【项目学习】
配方法是数学中重要的一种思想方法，利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求二次函数的顶点坐标等．所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义解决某些问题．
例1：把代数式进行配方．
解：原式．
例2：求代数式的最大值．
解：原式．
，，
，的最大值为．
【问题解决】
(1)若满足，求的值．
(2)若等腰的三边长均为整数，且满足，求的周长．
(3)如图，这是美国总统加菲尔德证明勾股定理的一个图形，其中是和的三边长，根据勾股定理可得，我们把关于的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．已知实数满足等式，且的最小值是“勾系一元二次方程”的一个根．四边形的周长为，试求的面积．
13．阅读理解
（一）阅读与思考：
通过解方程（组）使问题得到解决的思维方式就是方程思想，刚学过的《勾股定理》及《一次函数》都与它有着密切的联系，方程家族也将迎来《一元二次方程》这一新成员，它的求解方法之一“配方法”，例如，
解一元二次方程．
解 或．
∴或．
（二）解决问题：
如图1，矩形中，，，点G在上，且，点P以1单位每秒的速度在边上从点B到点C方向运动，设点P运动时间为x秒．
(1)记△APG的面积为y，求y关于x的函数关系式，并求时x的值；
(2)在点P从B向C运动的过程中，是否存在使的时刻？若存在，求出x的值，请说明理由；
(3)如图2，M，N分别是，的中点，线段所扫过的图形是什么形状 ，并直接写出它的面积 ．
考点三 一元二次方程的根的判别式的应用
14．若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，且使关于x的一元二次方程有实数根，则符合条件的整数m的和为 ．
15．若关于的一元二次方程至少有一个整数根，且为正整数，则满足条件的共有 个．
16．对于函数，若，则称为的“不动点”；若，则称为的“稳定点”．
(1)求证：若为的“不动点”，则为的“稳定点”；
(2)若．若函数存在“不动点”和“稳定点”，且函数的“不动点”和“稳定点”集合分别记为和，即，，且，求实数的取值范围．
17．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为，且为整数，求整数m所有可能的值．
18．在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与y轴交于点D．
(1)若关于x的一元二次方程有两个相等实数根，求点B的坐标；
(2)已知点，若直线与x轴交于点，，原点O到直线CD的距离为，求的面积．
19．如图1，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
(1)写出一个“勾系一元二次方程”；
(2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；
(3)如图1，若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求面积；
(4)如图2，的三边分别为a，b，c，，且．求证：关于x的一元二次方程必有实数根．
20．若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”，的两根均为整数，其“快乐数”，若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”．
(1)“快乐方程”的“快乐数”为________；
(2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“快乐方程”，求的值，并求该方程的“快乐数”；
(3)若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求的值．
考点四 与图形有关的一元二次方程应用
21．利用图形的分、和、移、补探索图形关系是我国传统数学的一种重要方法．如图1，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若，则矩形的面积是（ ）
A．42 B． C． D．21
22．【观察思考】
【规律发现】
第1个图案中有“★”的个数为：（个）；
第2个图案中有“★”的个数为：（个）；
第3个图案中有“★”的个数为：（个）；
第4个图案中有“★”的个数为：（个）；
第5个图案中有“★”的个数为 个；（填最简结果）
第个图案中有“★”的个数为 个．（用含的式子填空）
【规律应用】第个图案中有“★”有227个，求的值．
23．综合实践：如何用最少的材料设计花园？
【情境】如图，小王打算用篱笆围一个矩形花园，其中一边靠墙，墙长为10米，现可用的篱笆总长为20米，设的长为x米．
【项目解决】
目标1：确定面积与边长关系．
当篱笆全部用完，且围成矩形花园的面积为32平方米时，求的长．
目标2：探究最少的材料方案．
现要围面积为平方米的矩形花园，设所用的篱笆为m米．
（1）若米，能成功围成吗？若能，求出的长；若不能，请说明理由．
（2）若要成功围成，则m的最小值为______米，此时，______米．
24．项目化学习：
主题 “校庆主题”草坪设计
情境 为了迎接第60周年校庆，同学们参与一块长为40米，宽为30米的矩形“校庆主题”草坪设计．以下为小组对草坪设计的研究过程．
活动任务一 请设计两条相同宽度的小路连接矩形草坪两组对边．小组内同学们设计的方案主要有甲、乙、丙、丁四种典型的方案．
驱动问题一 （1）请直接写出小组设计出来的四种方案小路面积，，，的大小关系．
活动任务二 为施工方便，学校选择甲方案设计，并要求除小路后草坪面积约为1064平方米．
驱动问题二 （2）请计算两条小路的宽度是多少？
活动任务三 为了展示校庆元素，打算在草坪上的校庆宣传主题墙前，靠墙用篱笆围（三边）建成一个矩形，且，如图．
驱动问题三 （3）数学之星小聪查阅资料发现：短边为长边的倍的矩形称为黄金矩形．黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦．为了使长40米的篱笆恰好用完同时围住矩形的三面，且矩形的形状更接近黄金矩形．应设计成多少米？（参考数据，，结果取整数）
25．综合与实践：
用硬纸板制作无盖纸盒
背景 在一次劳动课中，老师准备了一些长为，宽为的长方形硬纸板，准备利用每张纸板制作两个大小完全相等的无盖长方体纸盒（接头处忽略不计）．
素材 配方法是求解二次多项式最值的常用方法，比如：求的最大值，过程如下： ∴当时，有最大值5．
方案1 甲活动小组将纸板均分为左右两块，每一块都在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再沿虚线折起来，其中一个纸盒的底面是正方形．
方案2 乙活动小组将纸板在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再在中间裁掉一块正方形，分别沿着虚线折起来，其中一个纸盒的底面是矩形．
任务1 在方案1中，制作的每个无盖纸盒的底面积为 （用含x的代数式表示），并判断底面积能否达到．
任务2 在方案2中，求制作无盖纸盒的底面边的长．
任务3 若利用两个方案制作的两种无盖纸盒高度相等，请比较两种纸盒体积的大小．
任务4 求方案2中制作的单个无盖纸盒体积的最大值．
26． 三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了用几何法对一元二次方程进行求解的方法，以为例，大致过程如下：
第一步：将原方程变形为．即．
第二步：构造一个长为x，宽为的长方形，长比宽大2，且面积为3，如图①所示．
第三步：用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，如图②所示．
第四步：将大正方形边长用含x的代数式表示为______．小正方形边长为常数______，长方形面积之和为常数______．由观察可得，大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，得方程__________，两边开方可求得，．
(1)单选题：这一过程体现的数学思想是（ ）
A．统计思想 B．化归思想 C．分类讨论思想 D．数形结合思想
(2)第四步中横线上应依次填入______，______，______，______；
(3)请参考古人的思考过程，画出示意图，写出步骤，解方程．
27．有两块长为100cm，宽为40cm的长方形硬纸板．
(1)如图1，把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．若该收纳盒的底面积为，求剪去的小正方形的边长．
(2)如图2，把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒．若和两边恰好重合且无重叠部分，该收纳盒的底面积为．有一个玩具机械狗，其尺寸大小如图3所示，请通过计算判断是否能把玩具机械狗完全放入该收纳盒．
28．教育部颁布的《义务教育劳动课程标准》中，要求以丰富开放的劳动项目为载体，培养学生的劳动价值观和良好的劳动品质．东北育才学校生态园新一年也有了新的规划，请你根据素材完成任务．
东北育才学校生态园年春季规划
素材一 市场调研，两种型号的劳动工具价格． （1）型劳动工具的单价比型劳动工具少3元． （2）用元购买型劳动工具的数量与用元购买型劳动工具的数量相等．
素材二 计划购买，两种型号的劳动工具 （1），两种型号的劳动工具共个． （2）型劳动工具的数量不少于型劳动工具数量的一半．
素材三 新规划一块矩形苗圃 （1）苗圃的一面靠墙（墙的最大可用长度为），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成两个区域，（2）如图所示，在两处各留宽的门（门不用木栏），修建所用木栏的总长为，
问题解决
任务一 求，两种型号劳动工具的单价各是多少元．
任务二 求购买这批劳动工具的最少费用．
任务三 设苗圃的一边长为． （1）用含的代数式表示苗圃靠墙一边的长是________； （2）若苗圃的面积为，求的值； （3）苗圃的面积能否为．________（直接回答“能或不能”．）
考点五 营销背景下的一元二次方程应用
29．一玩偶店销售“抱竹熊猫”、“打坐熊猫”两款玩偶，其中“抱竹熊猫”成本每件元，“打坐熊猫”成本每件元，“打坐熊猫”的售价是“抱竹熊猫”的倍，大运会开幕第一天“抱竹熊猫”比“打坐熊猫”多卖件，且两款玩偶当天销售额都刚好到达元．为更好地宣传国宝，第二天店家决定降价出售，但规定降价后的售价不低于成本价的，“抱竹熊猫”的售价降低了，当天“抱竹熊猫”的销量在第一天基础上增加了；“打坐熊猫”的售价打折，结果“打坐熊猫”的销量在第一天基础上增加了，最终第二天两款熊猫玩偶的总利润为元，求的值为（ ）
A． B． C． D．
30．某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元时，平均每天能售出200双；经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量y（双）与降低价格x（元）之间存在如图所示的函数关系．
(1)求出y与x的函数关系式；
(2)公司希望平均每天获得的利润达到8910元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少？
(3)为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价的50%，公司每天能否获得9000元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．
31．正月十五是中华民族传统的节日——元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习俗．位于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21天的时间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤圆需要0.3斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉（每天只能生产其中一种）．
(1)若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤圆？
(2)为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕．据统计，每袋手工汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．汤圆店按售价25元销售2天后，余下8天进行降价促销，第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？
32．2022年某地桑葚节于4月5日到4月20举行，热情的当地居民为游客准备了桑葚茶、桑葚酒、桑葚酱、桑葚膏等等，在当地举行的“桑葚会”上，游客不仅可以品尝纯正的桑葚茶、桑葚酒、桑葚酱、桑葚音，而且还能体验制作它们的过程．各类桑葚产品均对外销售，游客们可以买一些送给亲朋好友．已知桑葚酒是桑葚酱单价的，预计桑葚节期间全镇销售桑葚酒和桑葚酱共7500千克，桑葚酒销售额为200000元，桑葚酱销售额为125000元．
(1)求本次桑葚节预计销售桑葚酒和桑葚酱的单价；
(2)今年因受“新冠”疫情的影响，前来参加桑葚节的游客量比预计有所减少，当地镇府为了刺激经济，减少库存，将桑葚酒和桑葚酱降价促销．桑葚酱在预计单价的基础上降低销售，桑葚酒比预计单价降低元销售，这样桑葚酱的销量跟预计一样，桑葚酒的销量比预计减少了a%，桑葚酒和桑葚酱的销售总额比预计减少了3500a元．求a的值
33．随着武汉解封，湖北各地的复工复产正有序进行，经济复苏也按下了“重启键”．为助力湖北复苏，月日抖音发起了“湖北重启，抖来助力--抖音援鄂复苏计划”，通过直播或短视频助力推广湖北特色产品已知当天的直播活动中热干面和周黑鸭共销售万份，其中周黑鸭的销量是热干面的倍．
(1)求当天的直播活动中销售了多少万份周黑鸭？
(2)为刺激消费，直播中推出了优惠活动疫情前，疫情期间售价均为元一份的周黑鸭（一份里面有一盒锁骨，两盒鸭脖，一盒鸭掌），以折力度售卖．疫情前，疫情期间售价均为元一份的热干面（一份里面有包热干面），以折力度售卖．已知疫情前周黑鸭的日销售量比直播当天的销量少，疫情期间的日销售额比疫情前的日销售额减少了万元；疫情前热干面的日销量比直播当天热干面的销量少，疫情期间的日销售量比疫情前的日销售量减少了；疫情期间周黑鸭和热干面的总日销售额比直播当天的总销售额少，求的值．
34．葡萄不仅味美可口，营养价值很高，而且用途广泛，堪称“果中珍品”，它既可鲜食又可加工成各种产品，如葡萄干、葡萄酒、葡萄汁等．当下正值食用葡萄的好时节，经过市场调研顾客最喜欢“黑珍珠”、“仙粉黛”两个品种，某商店老板看准商机，决定购进这两种葡萄销售，商店原计划在6月购进“黑珍珠”、“仙粉黛”两种葡萄共200千克，其中“仙粉黛”的质量至少是“黑珍珠”质量的3倍．
（1）那么原计划今年6月至少购进“仙粉黛”多少千克？
（2）今年6月商店按照原计划购进并售完“黑珍珠”、“仙粉黛”两种葡萄，且“仙粉黛”的质量恰好是原计划的最小值．今年7月商店按照“黑珍珠”与“仙粉黛”的质量比为1∶3购进两种葡萄一共160千克，按照单价4∶3售出，共得销售额1040元．通过7月对市场的观察，商店老板决定增加两种葡萄的进货量，同时降价促销；8月商店购进“黑珍珠”、“仙粉黛”的质量在6月的基础上分别增加了，同时为了尽快全部售出，每千克售价在今年7月份的基础上分别降价（降价幅度不超过50%），最终8月的销售额比7月的销售额增加了535元．求的值．
35．美丽的鲜花为人们传递着各种各样的情感：桔梗象征着永恒；水仙象征着尊敬；康乃馨象征着母亲的爱；风铃草象征着知恩图报……3月里，花店里的桔梗、风铃草两种鲜花共销售了1000朵，其中风铃草和桔梗的销量之比为3：2，且风铃草的单价是桔梗单价的．
（1）若3月份两种鲜花的总销售额不低于3600元，则桔梗的单价至少为多少元？
（2）根据往年的经验，4月份的桔梗更美，它的进价也会有所提升，因此商家决定将桔梗的单价在（1）中的最少单价的基础上提高m%，预计桔梗的销量将比3月份提高4m%，则4月份枯梗的销售额将比（1）中总销售额最低时风铃草的销售额多192元，求m的值．
考点六 动态几何背景下的一元二次方程应用
36．如图，某数学兴趣小组在学完矩形的知识后一起探讨了一个纸片折叠问题：如何将一张平行四边形纸片的四个角向内折起，拼成一个无缝隙、无重叠的矩形．图中，，，表示折痕，折后的对应点分别是．若，，，则纸片折叠时的长应取 ．
37．如图，在矩形中，，，动点，分别从点、同时出发，点以厘米秒的速度向终点移动，点以厘米秒的速度向移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为秒，问：
(1)当为何值时，点和点距离是？
(2)当为何值时，以点、、为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形．
38．如图，是边长为的等边三角形．动点和动点分别从点和点同时出发，沿着逆时针运动，已知动点的速度为，动点的速度为．设动点、动点的运动时间为．
(1)当为何值时，两个动点第一次相遇；
(2)从出发到第一次相遇这一过程中，当为何值时，以，，为顶点的三角形的面积为？
39．如图，中，，，．
(1)如图1，点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动），点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动）．如果点，分别从，两点同时出发．
①经过多少秒钟，的面积等于；
②线段能否将分成面积为的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由；
(2)如图2，若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，，同时出发，直接写出几秒后，的面积为．
40．如图，在四边形中，，，，，，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以每秒2个单位的速度沿着折线先由A向D运动，再由D向C运动，点Q以每秒1个单位的速度由B向A运动，当其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒．
(1)两平行线与之间的距离是__________．
(2)当点P、Q与的某两个顶点围成一个平行四边形时，求t的值．
(3)，以，为一组邻边构造平行四边形，若的面积为，求t的值．
41．如图，在中，，，D为的中点，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点A运动．
(1)若点Q的运动速度与点P相同，经过后，与是否全等？请说明理由．
(2)若点Q的运动速度与点P不相同，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？
(3)若点Q以（2）中的速度从点C出发，点P以原来的速度从点B同时出发，都沿的三边逆时针运动，求经过多长时间，点P与点Q第一次在的什么位置上相遇．
42．如图，在中，，的面积为，是边上的高，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速向终点A运动，点P不与点A、B重合，连接、．设点P的运动时间为t秒．
(1)求的长；
(2)用含t的代数式表示的长；
(3)在点P运动的过程中，不再添加其他辅助线的情况下，当图中存在等腰直角三角形时，求的面积；
(4)点P在上运动，不再添加其他辅助线的情况下，当图中存在以点P为顶点的等腰三角形．且不是直角三角形时，直接写出t的值．
43．在中，，，动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动，到达点停止运动，设运动时间为秒．
(1)求的面积；
(2)如图①，过点作、交于点、若与的面积和是的面积的，求的值；
(3)如图②、点在射线上，且，以线段为边向上方作正方形．在运动过程中，若设正方形与重叠部分的面积为，求的值．
44．如图，在矩形中，，，点从点出发，每秒个单位长度的速度沿方向运动，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿对角线方向运动．已知点、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，连接，设运动时间为秒．
(1)_________，_________；
(2)当为何值时，；
(3)在运动过程中，是否存在一个时刻，使所得沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
(4)当点关于点的对称点落在的内部（不包括边上）时，请直接写出的取值范围．
试卷第2页，共74页中小学教育资源及组卷应用平台
第二十一章 一元二次方程 单元综合题拓展训练
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考点一 一元二次方程的解法拓展
考点二 解一元二次方程的综合应用
考点三 一元二次方程的根的判别式的应用
考点四 与图形有关的一元二次方程应用
考点五 营销背景下的一元二次方程应用
考点六 动态几何背景下的一元二次方程应用
考点一 一元二次方程的解法拓展
1．定义[x]为不大于实数x的最大整数，如．函数的图象如图所示，则方程的根为（ ）
A．
B．
C．，
D． ，，
【答案】B
【分析】本题考查了函数的图象，解一元二次方程．根据新定义和函数图象进行讨论是解题的关键．
根据新定义和函数图象分情况讨论：当时，；当时，；当时，；当时，；然后分别求关于x的一元二次方程即可．
【详解】解：由题意知，当时，，解得或，均不合题意；
当时，，解得或（舍去）；
当时，，方程没有实数解；
当时，，方程没有实数解；
∴方程的解为0，
故选：B．
2．已知，则的值是（ ）
A．或1 B．或 C．或 D．或2
【答案】C
【分析】设，则，根据题意得出关于m的分式方程，解方程求出m，然后用含x的式子表示出y，进而计算的值即可．
【详解】解：设，则，
∵，
∴，
整理得：，
解得：，，
经检验，，是分式方程的解，
当时，，
∴；
当时，，
∴；
综上，的值是或，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，解分式方程，解一元二次方程，分母有理化，设出未知数，用含x的式子表示出y是解答本题的关键．
3．定义：我们把形如的数成为“无限连分数”．如果a是一个无理数，那么a就可以展成无限连分数，例如：，如果，则 ．
【答案】或
【分析】根据题意，得，整理得，解方程即可．
本题考查了新定义问题，正确转化成分式方程，一元二次方程是是解题的关键．
【详解】根据题意，得，
整理得，
解得．
经检验，是原方程的根，
故答案为：或．
4．阅读理解
【学习新知】我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解．
①因式分解法求解特殊的三次方程：
将变形为，
．
．
．
．
或．
原方程有三个根：，，．
②换元法求解特殊的四次方程：
设，那么，于是原方程可变为，解得，，
当，时，；
当，时，；
原方程有四个根：，，，．
【应用新知】
（1）仿照以上方法，按照要求解方程：
①（因式分解法）；
②（换元法）；
【拓展延伸】
（2）已知：，且，请综合运用以上方法，通过“降次”求的值．
【答案】（1）①，，；②，；（2）
【分析】本题考查了解高次方程，理解题意，正确进行计算是解此题的关键．
（1）①仿照题中所给方法，利用因式分解法解方程即可；②仿照题中所给方法，利用换元法解方程即可；
（2）根据题意对所给代数式进行“降次”，再用整体思想即可解决问题．
【详解】（1）①将变形为，
∴，
∴，
∴，
.
或.
解方程得.
解方程得，，
∴原方程的根为：，，；
②，
设，则，方程变形为，
∴，
解得：，
当，时，无实根，舍去，
当，时，解得或；
∴原方程有两个根：，；
（2）解：方程的解为：，
由于，
∴，
，
，，
，
当时，
原式
．
5．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“邻2根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻2根方程”．
(1)通过计算，判断方程是否是“邻2根方程”；
(2)已知关于x的一元二次方程（m是常数）是“邻2根方程”，求m的值．
【答案】(1)该方程不是“邻2根方程”
(2)或
【分析】本题以新定义题型为背景，考查了一元二次方程的求解．
（1）求解方程，即可进行判断．
（2）利用因式分解求解方程，根据该方程是“邻2根方程”即可求解．
【详解】（1）解：∵
∴
∴
∵，
故该方程不是“邻2根方程”．
（2）解：∵
∴．
∴．
由题意得：或，
解得：或．
考点二 解一元二次方程的综合应用
6．如图，正方形和正方形的边长分别为6和4，连接，H为的中点，连接．将正方形绕点A旋转一周，则的取值范围是 ；当C、F、G三点共线时，的长是 ．
【答案】 或
【分析】如图 1 中，在的上方作正方形， 连接，求出的取值范围，再利用三角形中位线定理求解即可； 的长分两种情形，分别画出图形求解即可．
【详解】解：如图1中，在的上方作正方形，
四边形和四边形是正方形，
，，
H为的中点，
，
，
，，
，
，
，
；
如图2中，当C，F，G三点共线时，连接， 过点D作于点J，交的延长线于点K，设交于点O，则，
四边形和四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
设，则，
，
，
或（舍），
，
，
，
，
，
，
如图3，当C，G，F三点共线时，
同理可得，，
则，
综上所述，的长为或，
故答案为：，或．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线，解一元二次方程等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题，学会用分类讨论的思考问题．
7．如图，已知，C为线段上的一个动点，分别以，为边在的同侧作菱形和菱形，点C，E，F在一条直线上，．P、Q分别是对角线，的中点，当点C在线段上移动时，点P，Q之间的距离最短为 （结果保留根号）．
【答案】
【分析】连接、，首先证明，设，则，，，得出，利用配方法即可解决问题．
【详解】解：连接、，
∵四边形，四边形是菱形，，
∴，，
∵P，Q分别是对角线，的中点，
∴，，，
∴，
设，则，
∵，
∴，，
∴，
∴当时，点P，Q之间的距离最短，最短距离是，
故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理、配方法的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，熟练应用相关知识．
8．（1）当__________时，多项式的最小值为__________．
（2）当__________时，多项式的最大值为__________．
（3）当、为何值时，多项式取最小值？并求出这个最小值．
【答案】（1）3，3
（2）1，
（3），，最小值是10
【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）由配方可知，然后根据非负数的性质，判断出的值，然后进行计算即可；
（2）由配方可知，然后根据非负数的性质，判断出的值，然后进行计算即可；
（3）由配方可知，然后根据非负数的性质，判断出和的取值，然后进行计算即可．
【详解】（1）
当时，多项式取最小值，且最小值为3；
故答案为：3，3
（2）
当时，多项式取最大值，且最大值为；
故答案为：1，；
（3）
，
当且，即时，多项式取最小值，并且最小值为．
，，最小值是10．
9．求最值问题有多种方法，既有代数法也有几何法．
例如：若代数式，利用配方法求M的最小值：，，当时，代数式M有最小值为2．再比如：正数a，b满足，用几何法求的最小值．如图，为线段DC的长度，为线段CE的长度，当的值最小时，D、C、E三点共线，所以最小值为．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)若代数式，求M的最小值；
(2)已知正数x，y满足，求的最小值．
【答案】(1)3
(2)
【分析】本题主要考查勾股定理的运用，两点之间线段最短的知识，掌握勾股定理的运算，最短路径的运用，合理作出图形是解题的关键．
（1）运用配方法解题即可；
（2）运用材料提示，构造图形，运用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：，
，
当，时，M有最小值为3；
（2）如图，为线段DC的长度，为线段CE的长度
当的值最小时，D、C、E三点共线，
所以最小值．
10．在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点两点，直线与轴交于点，与直线交于点，且．
(1)如图1，求点的坐标及的值；
(2)如图2，点是直线上的一个动点，当的值最大时，求点的坐标；
(3)如图3，过点作轴的垂线，点是垂线上的一点，当以点为顶点的三角形是等腰三角形时直接写出点的坐标．
【答案】(1),
(2)
(3)，，，
【分析】（1）利用坐标轴上点的特点求出点，坐标，由求出点的坐标，可得，联立两直线解析式求解即可得出点坐标；
（2）作点关于直线的对称点，则，连接，则，根据三角形的三边关系得，可得时值最大，即，，三点共线时值最大，利用待定系数法求出直线的解析式，联立直线即可求解；
（3）设点，分别求得，，，分三种情况，①当时，②当时，③当时，分别求解即可．
【详解】（1）直线与轴，轴分别交于点两点
当时，；当时，
，
，
即
联立：
解得：
（2）如图，作点关于直线的对称点连接并延长交直线于点，∵，
∴时值最大，即，，三点共线时值最大，即的值最大时
，
∴，
∴，
联立
解得：
∴当的值最大时，；
（3）过点作轴的垂线，点是垂线上的一点，
设点，
，，
，
，
，
分三种情况，
①当时，
，
解得，
点的坐标为；
②当时，
，
解得，
点的坐标为点的坐标为，；
③当时，
，
解得，
点的坐标为．
综上所述，，，，
【点睛】此题考查了坐标与图形的性质，解一元二次方程，待定系数法，轴对称的性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题．
11．阅读材料：为实数，且，，因为，所以，从而，当时取等号．
阅读材料：若（，，为常数），由阅读材料的结论可知，所以当，即时，取最小值．
阅读上述内容，解答下列问题：
(1)已知，则当________时，取得最小值，且最小值为________；
(2)已知，，求的最小值．
(3)某大学学生会在月日举办了一个活动，活动支出总费用包含以下三个部分：一是前期投入元；二是参加活动的同学午餐费每人元；三是其他费用，等于参加活动的同学人数的平方的倍．求当参加活动的同学人数为多少时，该次活动人均投入费用最低．最低费用是多少元？（人均投入支出总费用/参加活动的同学人数）
【答案】(1)，
(2)
(3)当参加活动的同学人数为人时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是元
【分析】（）由题意求出的最小值，即可求出的最小值；
（）把代入化成的 形式，即可求出最小值；
（）设参加活动的同学人数为人，人均投入为 ，化成的形式，即可求出答案；
本题考查了配方法的应用，解题的关键是要正确理解题意，把所求代数式化成公式中完全平方的形式．
【详解】（1）解：由题意得，当 即时，取最小值为，
∴的最小值为，
故答案为：，；
（2）解：∵，，
∴，
∴当，即时，取最小值为，
∴的最小值为；
（3）解：设参加活动的同学人数为人，则人均投入为，
当，即时，取最小值为，
∴最低费用是(元)，
答：当参加活动的同学人数为人时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是元．
12．综合与实践
【项目学习】
配方法是数学中重要的一种思想方法，利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求二次函数的顶点坐标等．所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义解决某些问题．
例1：把代数式进行配方．
解：原式．
例2：求代数式的最大值．
解：原式．
，，
，的最大值为．
【问题解决】
(1)若满足，求的值．
(2)若等腰的三边长均为整数，且满足，求的周长．
(3)如图，这是美国总统加菲尔德证明勾股定理的一个图形，其中是和的三边长，根据勾股定理可得，我们把关于的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．已知实数满足等式，且的最小值是“勾系一元二次方程”的一个根．四边形的周长为，试求的面积．
【答案】(1)
(2)等腰三角形的周长为13或14
(3)1
【分析】（1）将等式的右边展开，再对应相等得到，求出、的值即可；
（2）将式子配方可得，由偶次方的非负性可求出，再分两种情况：当为腰长时，当为腰长时，利用等腰三角形的性质进行计算即可；
（3）由两边同时加可得，求出的最小值，从而得出是的一个根，得到，由四边形的周长为求出，再由勾股定理可得，最后由，求出的值即可得到答案．
【详解】（1）解：，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，，
，，
，
当为腰时，，满足三角形的三边关系，
此时等腰三角形的周长为：；
当为腰时，，满足三角形的三边关系，
此时等腰三角形的周长为：，
等腰三角形的周长为13或14；
（3）解：，
，
，
的最小值为，
的最小值是“勾系一元二次方程”的一个根，
是的一个根，
，
，
四边形的周长为，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了配方法的应用、运用完全平方公式进行计算、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握以上知识点，准确进行计算是解题的关键．
13．阅读理解
（一）阅读与思考：
通过解方程（组）使问题得到解决的思维方式就是方程思想，刚学过的《勾股定理》及《一次函数》都与它有着密切的联系，方程家族也将迎来《一元二次方程》这一新成员，它的求解方法之一“配方法”，例如，
解一元二次方程．
解 或．
∴或．
（二）解决问题：
如图1，矩形中，，，点G在上，且，点P以1单位每秒的速度在边上从点B到点C方向运动，设点P运动时间为x秒．
(1)记△APG的面积为y，求y关于x的函数关系式，并求时x的值；
(2)在点P从B向C运动的过程中，是否存在使的时刻？若存在，求出x的值，请说明理由；
(3)如图2，M，N分别是，的中点，线段所扫过的图形是什么形状 ，并直接写出它的面积 ．
【答案】(1)，
(2)
(3)平行四边形；
【分析】（1）先根据题意得到，，由题意得，根据得到y关于x的函数关系式，即可得到，把带入函数解析式，得到，即可求出；
（2）若在点P从B向C运动的过程中，存在使，则有：，
据此得到方程，解方程得：；
（3）
如图所示：当点P与B点重合时，点M位于中点；当点与C点重合时，点位于中点；根据题意得到、'分别是、中位线，进而得到，从而得到四边形MM'NN'为平行四边形，扫过的区域为平行四边形，根据平行四边形面积公式即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形为矩形，
∴，，
由题意得，
∵
∴，
∴，
当时，，
解得：；
（2）解：若在点P从B向C运动的过程中，存在使，则有：，
在中，，
在中，，
在中，，
∴，
化简得：，
即，
解得：；
（3）解：如图所示：当点P与B点重合时，点M位于中点；当点与C点重合时，点位于中点；
∵M是的中点，是的中点，点是中点，
∴、'分别是、中位线，
∴且,且，
∴，
∴四边形MM'NN'为平行四边形，
∴扫过的区域为平行四边形，
．
故答案为：平行四边形；15．
【点睛】本题考查矩形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，平行四边形的判定，求一次函数，一元二次方程的应用等知识，熟知相关知识并灵活应用是解题关键，本题要注意方程思想的应用．
考点三 一元二次方程的根的判别式的应用
14．若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，且使关于x的一元二次方程有实数根，则符合条件的整数m的和为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解、一元二次方程根的判别式，解本题的关键在综合得出m的取值范围．把不等式组整理为，再根据不等式组有解，得出不等式组的解集为，再根据不等式组有4个整数解，得出关于的不等式组的整数解为：、、，0，进而得出，解出m的取值范围，再根据一元二次方程根的判别式与根的个数的关系，得出，解出m的取值范围，然后综合得出m的取值范围，进而得出符合条件的整数m为3、4、5、6，据此即可得出答案．
【详解】解：关于的不等式组，整理可得：，
∵关于的不等式组有解集，
∴不等式组的解集为：，
∵关于的不等式组有且仅有4个整数解，
∴关于的不等式组的整数解为：、、，0，
∴，
解得：，
∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，
解得：，
综上所述，m的取值范围为，
∴符合条件的整数m为3、4、5、6．
∴，
故答案为：
15．若关于的一元二次方程至少有一个整数根，且为正整数，则满足条件的共有 个．
【答案】3
【分析】若一元二次方程至少有一个整数根，则根的判别式，建立关于a的不等式，求出根的判别式和a的取值范围．还要注意二次项系数不为0．再根据根的判别式是完全平方数进行求解即可．本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系是解本题的关键．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有整数根，
∴且，
解得且，
∴方程的根为，
根据根与系数的关系可得，，且为正整数，
∴，
∵为完全平方数且为正整数，
∴或或，
解得或6或13，
即满足条件的共有3个，
故答案为：3．
16．对于函数，若，则称为的“不动点”；若，则称为的“稳定点”．
(1)求证：若为的“不动点”，则为的“稳定点”；
(2)若．若函数存在“不动点”和“稳定点”，且函数的“不动点”和“稳定点”集合分别记为和，即，，且，求实数的取值范围．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】（1）根据新定义，将代入即可证明；
（2）先计算函数有实数根时，的取值范围；再根据，得方程，讨论和时方程根的情况，即可得到此时的取值范围；最后将所有的取值范围综合考虑，即可作答．
【详解】（1）证明：为的“不动点”
为的“稳定点”
（2）且
集合中的是方程的实数根
当时，将代入方程：中，
解得：
当时，由于方程有实数根，即有实数根
可得：
解得：
且
集合中的是方程的实数根，即的实数根
存在“不动点”和“稳定点”且“不动点”为方程的实数根
方程必然含有一个因式
即：
由于，要使方程有解，则分情况讨论：
第一种：有实数根，无实数根
即：，解得：
第二种：有实数根，也有实数根，且两根相等
等式两边同乘以，得：
将代入，得：
解得：
将代入中，得：
解得：
所以综上所述，的取值范围为：．
【点睛】本题考查了函数的概念、根据判别式判断一元二次方程根的情况、解不等式以及新定义的理解和运用，解题的关键在于理解新定义．
17．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为，且为整数，求整数m所有可能的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)，，，
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程等知识．
（1）计算一元二次方程根的判别式，即可得到无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）利用公式法求出方程的解为或，根据得到，把变形为，根据为整数， m为整数即可得到或，即可求出m的值．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）解：，
∵，
∴方程都有两个不相等的实数根，
∴，
∴或，
∵，
∴，
∴，
∵为整数，
∴也为整数，
∵m为整数，
∴或，
∴整数m所有可能的值为，，，．
18．在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与y轴交于点D．
(1)若关于x的一元二次方程有两个相等实数根，求点B的坐标；
(2)已知点，若直线与x轴交于点，，原点O到直线CD的距离为，求的面积．
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）根据方程有两个相等实数根得出，求出k，m，进而求出一次函数解析式，即可求出点B的坐标；
（2）将，分别代入后，可求，结合，求出，，然后根据等面积法可求出，然后根据面积公式即可求解．
【详解】（1）解：关于x的一元二次方程，
整理得，
∵方程有两个相等实数根，
∴，
∴，，
∴，，
∴一次函数为，
∵点B的纵坐标为，
∴点B的横坐标为2，
∴点B的坐标为
（2）解：将，分别代入，得
，
化简得，
又，
∴，，
∴，，
又，
∴，，，，
又原点O到直线CD的距离为，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了根的判别式以及一次函数图象上点的坐标特征，灵活运用判别式以及转化点的坐标是解题的关键．
19．如图1，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
(1)写出一个“勾系一元二次方程”；
(2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；
(3)如图1，若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求面积；
(4)如图2，的三边分别为a，b，c，，且．求证：关于x的一元二次方程必有实数根．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
(4)证明见解析
【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可；
（2）通过判断根的判别式的正负来证明结论；
（3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得的值，再根据完全平方公式求得的值，从而可求得面积．
（4）如图，由，，过作于，可得，，D在线段上，利用勾股定理可得，由，再证明即可．
【详解】（1）解：当，，时勾系一元二次方程为；
（2）证明：，
∴，
∵，
∴
∴，
∴勾系一元二次方程必有实数根；
（3）当时，有，即，
∵四边形的周长是，
∴，即，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴
∴，
∴．
（4）如图，∵，，过作于，
∴，，D在线段上，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
，
∴关于x的一元二次方程必有实数根．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式的变形求值，配方法的应用，一元二次方程的解和一元二次方程根的判别式，正确读懂题意是解题的关键．
20．若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”，的两根均为整数，其“快乐数”，若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”．
(1)“快乐方程”的“快乐数”为________；
(2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“快乐方程”，求的值，并求该方程的“快乐数”；
(3)若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求的值．
【答案】(1)
(2)，
(3)n的值为0或3或
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式以及“快乐方程”的定义，读懂题目中“快乐方程”， “快乐数”的定义是解题的关键．
（1）根据“快乐数”的定义即可求出“快乐方程”的“快乐数”；
（2）先计算，根据“快乐方程”的定义，得到为完全平方数，根据，得到，即可求出或36，根据m为整数，即可求出m的值，即可求其“快乐数”；
（3）关于x的一元二次方程是“快乐方程”，即可求出m的值，求出方程的“快乐数”，根据“开心数”的定义即可求出n的值．
【详解】（1）解：方程的“快乐数为：，
故答案为：；
（2）解：方程，
∴，
∵，
∴，
又方程是“快乐方程”，
∴或36，
∴，（舍去），
∴方程为：，
则，
故其“快乐数”数是；
（3）解：，
∴，
设，
则，
又与同奇偶，
∴或或或
解得或，
∴方程为：或；
，
∴，
，
当时，
∵两方程的“快乐数”互为“开心数”，
∴，
解得：或，
当时，，
∵两方程的“快乐数”互为“开心数”，
∴，
解得，
综上，n的值为0或3或．
考点四 与图形有关的一元二次方程应用
21．利用图形的分、和、移、补探索图形关系是我国传统数学的一种重要方法．如图1，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若，则矩形的面积是（ ）
A．42 B． C． D．21
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方应用，设小正方形的边长为，则矩形的长为，宽为，根据图1的面积列出关于、、的关系式，代入求出，即可得出矩形的面积．
【详解】解：设小正方形的边长为，则矩形的长为，宽为，
由图1可得：，
整理得：，
∵，
∴，
∴，
∴矩形的面积为，
故选：A．
22．【观察思考】
【规律发现】
第1个图案中有“★”的个数为：（个）；
第2个图案中有“★”的个数为：（个）；
第3个图案中有“★”的个数为：（个）；
第4个图案中有“★”的个数为：（个）；
第5个图案中有“★”的个数为 个；（填最简结果）
第个图案中有“★”的个数为 个．（用含的式子填空）
【规律应用】第个图案中有“★”有227个，求的值．
【答案】规律发现：38，；规律应用：14
【分析】本题考查了图形类规律，解一元二次方程．
规律发现：根据前几个图案的规律，可得规律：每个式子的第一个数为；底个个数字为，第三个式数字为2，即第个图案中有“★”的个数为个．据此即可求解．
规律应用：根据规律，列出一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】解：规律发现：第1个图案中有“★”的个数为：（个）；
第2个图案中有“★”的个数为：（个）；
第3个图案中有“★”的个数为：（个）；
第4个图案中有“★”的个数为：（个）；
；
第5个图案中有“★”的个数为（个）；,
第个图案中有“★”的个数为个．
规律应用：根据题意：，即，
，即，
（负值舍去）．
23．综合实践：如何用最少的材料设计花园？
【情境】如图，小王打算用篱笆围一个矩形花园，其中一边靠墙，墙长为10米，现可用的篱笆总长为20米，设的长为x米．
【项目解决】
目标1：确定面积与边长关系．
当篱笆全部用完，且围成矩形花园的面积为32平方米时，求的长．
目标2：探究最少的材料方案．
现要围面积为平方米的矩形花园，设所用的篱笆为m米．
（1）若米，能成功围成吗？若能，求出的长；若不能，请说明理由．
（2）若要成功围成，则m的最小值为______米，此时，______米．
【答案】目标1：； 目标2：（1）不能，理由见解析； （2）18，；
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用问题，根据题干找到等量关系，列出方程是解题的关键．
目标1：设的长为x米，根据矩形花园的面积为32平方米，则，由于篱笆全部用完，则，即，解方程即可；
目标2：（1）设的长为x米，根据矩形花园面积为平方米，，所用的篱笆为米，列方程，即，判别式小于零，无解，故不能围成；（2）设所用的篱笆为米，则，即，根据判别式大于等于零，可求得最小值，由此可求出此时的值；
【详解】解：目标1：设的长为x米，
当篱笆全部用完，矩形花园的面积为32平方米，
，
现可用的篱笆总长为20米，且篱笆全部用完，
，即，
解得，，
或，
又 墙长为10米，，不合题意，舍去，
．
目标2：（1） 设的长为x米，
矩形花园面积为平方米，
，
所用的篱笆为米，
，即，
，
方程无解，故不能成功围成．
（2）设所用的篱笆为米，
则，即，
，
，
解得，或（舍去），
故m的最小值为18米，
此时，
解得．
故米．
24．项目化学习：
主题 “校庆主题”草坪设计
情境 为了迎接第60周年校庆，同学们参与一块长为40米，宽为30米的矩形“校庆主题”草坪设计．以下为小组对草坪设计的研究过程．
活动任务一 请设计两条相同宽度的小路连接矩形草坪两组对边．小组内同学们设计的方案主要有甲、乙、丙、丁四种典型的方案．
驱动问题一 （1）请直接写出小组设计出来的四种方案小路面积，，，的大小关系．
活动任务二 为施工方便，学校选择甲方案设计，并要求除小路后草坪面积约为1064平方米．
驱动问题二 （2）请计算两条小路的宽度是多少？
活动任务三 为了展示校庆元素，打算在草坪上的校庆宣传主题墙前，靠墙用篱笆围（三边）建成一个矩形，且，如图．
驱动问题三 （3）数学之星小聪查阅资料发现：短边为长边的倍的矩形称为黄金矩形．黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦．为了使长40米的篱笆恰好用完同时围住矩形的三面，且矩形的形状更接近黄金矩形．应设计成多少米？（参考数据，，结果取整数）
【答案】（1）；（2）小路的宽为2m；（3）应设计成
【分析】（1）通过计算面积然后比较即可；
（2）根据草坪的面积列方程求解；
（3）设矩形宽，长．根据题意列得，由代入求出y，即可得到x的值．
【详解】解：（1）设小路的宽度为a米，
，
，
，
，
∴；
（2）设小路的宽为，则，
解得：或（不合题意，舍去），
答：小路的宽为2m；
（3）设矩形宽，长．
∴,
∵，
∴，
解得：，
∴，
答：应设计成60米．
【点睛】此题考查了平移的知识，列代数式，解一元二次方程，解一元一次方程，正确理解题意掌握各知识点是解题的关键．
25．综合与实践：
用硬纸板制作无盖纸盒
背景 在一次劳动课中，老师准备了一些长为，宽为的长方形硬纸板，准备利用每张纸板制作两个大小完全相等的无盖长方体纸盒（接头处忽略不计）．
素材 配方法是求解二次多项式最值的常用方法，比如：求的最大值，过程如下： ∴当时，有最大值5．
方案1 甲活动小组将纸板均分为左右两块，每一块都在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再沿虚线折起来，其中一个纸盒的底面是正方形．
方案2 乙活动小组将纸板在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再在中间裁掉一块正方形，分别沿着虚线折起来，其中一个纸盒的底面是矩形．
任务1 在方案1中，制作的每个无盖纸盒的底面积为 （用含x的代数式表示），并判断底面积能否达到．
任务2 在方案2中，求制作无盖纸盒的底面边的长．
任务3 若利用两个方案制作的两种无盖纸盒高度相等，请比较两种纸盒体积的大小．
任务4 求方案2中制作的单个无盖纸盒体积的最大值．
【答案】任务1：；能达到；
任务2：；
任务3：故当时，方案一的纸盒体积大；当时，方案一与方案二的纸盒体积一样大；当时，方案二的纸盒体积大；
任务4：
【分析】任务1：根据题意用含的代数式表示出，即可表示出底面的面积；
任务2：首先用的代数式表示出，根据中间的四边形为正方形可表示出；
任务3：因为两个方案制作的两种无盖纸盒高度相等，故底面积大的方案的纸盒的体积就大．因此比较两种方案种底盒的底面积即可，首先由任务1，2表示出两种方案纸盒的底面积，然后分三种情况进行比较即可得到答案；
任务4：首先表示出方案2中纸盒的体积为含的二次多项式，然后用配方法求二次多项式的最值即可．
【详解】解：任务1：根据题意得：
在方案1中，制作的每个无盖纸盒的底面积为，
故答案为：；
令，
解得：(不符合题意，舍去)，
则此时底面积能达到；
任务2：根据题意得：；
任务3：因为两个方案制作的两种无盖纸盒高度相等，故底面积大的方案的纸盒的体积就大；
由任务1可知：方案1的底面积为：；
由任务2可知：方案2的底面积为：；
根据题意知：，解得，
当时，解得，
当时，解得，
当时，解得；
故当时，方案一的纸盒体积大；
当时，方案一与方案二的纸盒体积一样大；
当时，方案二的纸盒体积大．
任务4：方案二中纸盒的体积为：；
当时，纸盒体积有最大值为．
【点睛】本题考查了列代数式以及一元二次方程的应用，配方法求最值问题等知识的实际应用，根据题意列出代数式是本题的关键．
26． 三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了用几何法对一元二次方程进行求解的方法，以为例，大致过程如下：
第一步：将原方程变形为．即．
第二步：构造一个长为x，宽为的长方形，长比宽大2，且面积为3，如图①所示．
第三步：用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，如图②所示．
第四步：将大正方形边长用含x的代数式表示为______．小正方形边长为常数______，长方形面积之和为常数______．由观察可得，大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，得方程__________，两边开方可求得，．
(1)单选题：这一过程体现的数学思想是（ ）
A．统计思想 B．化归思想 C．分类讨论思想 D．数形结合思想
(2)第四步中横线上应依次填入______，______，______，______；
(3)请参考古人的思考过程，画出示意图，写出步骤，解方程．
【答案】(1)D
(2)，2，12，
(3)图见解析，，
【分析】（1）根据题意求解即可；
（2）根据题意，表示出大正方形的边长，小正方形的边长，长方形面积之和，再由大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和列出方程即可得到答案；
（3）先将原方程变形，构造出一个长为，宽为的长方形，长比宽大1，且面积为3，再用四个这样的长方形围城一个大正方形，中间是一个小正方形，然后根据大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，得出一个方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）∵用几何法对一元二次方程进行求解的方法，
∴这一过程体现的数学思想是数形结合思想
故选：D；
（2）解：根据题意可得：
大正方形的边长为：，
小正方形的边长为：，
长方形面积之和为：，
大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，
；
（3）解：第一步：将原方程变形为，即，
第二步：构造成一个长为，宽为的长方形，长比宽大1，且面积为3，
第三步：用四个这样的长方形围城一个大正方形，中间是一个小正方形，如图所示，
第四步：将大正方形边长用含的代数式表示为，
小正方形边长为常数，
长方形面积之和为常数，
由观察可得，大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，
得方程，
两边开方可求得，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，用到的知识点是长方形、正方形的面积公式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．
27．有两块长为100cm，宽为40cm的长方形硬纸板．
(1)如图1，把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．若该收纳盒的底面积为，求剪去的小正方形的边长．
(2)如图2，把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒．若和两边恰好重合且无重叠部分，该收纳盒的底面积为．有一个玩具机械狗，其尺寸大小如图3所示，请通过计算判断是否能把玩具机械狗完全放入该收纳盒．
【答案】(1)2cm
(2)不能，详见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设剪去的小正方形的边长为，则折成的无盖收纳盒的底面为长，宽为的长方形，根据该无盖收纳盒的底面积为，可列出关于的一元二次方程求解；
（2）设剪去小长方形的宽为，则折成的有盖的长方体收纳盒的底面为长，宽为，根据盒子的底面积为，可列出关于的一元二次方程，解之可得出值，将其符合题意的值代入及中，可得出折成的有盖的长方体收纳盒的长、宽、高，再结合玩具机械狗的尺寸大小，即可得出玩具机械狗不能完全放入该收纳盒．
【详解】（1）解：（1）设剪去的小正方形的边长为，则该收纳盒的底面是长为，宽为的长方形，
根据题意得，
整理得：，
解得（不合题意，舍去），
答：剪去的小正方形的边长为．
（2）（2）不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒．
理由如下：
设剪去的小长方形的宽为，则该收纳盒的底面是长为，宽为，
根据题意得，
整理得，
解得（不合题意，舍去），
，
折成的有盖的长方体收纳盒的长为，宽为，高为，
，
不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒．
28．教育部颁布的《义务教育劳动课程标准》中，要求以丰富开放的劳动项目为载体，培养学生的劳动价值观和良好的劳动品质．东北育才学校生态园新一年也有了新的规划，请你根据素材完成任务．
东北育才学校生态园年春季规划
素材一 市场调研，两种型号的劳动工具价格． （1）型劳动工具的单价比型劳动工具少3元． （2）用元购买型劳动工具的数量与用元购买型劳动工具的数量相等．
素材二 计划购买，两种型号的劳动工具 （1），两种型号的劳动工具共个． （2）型劳动工具的数量不少于型劳动工具数量的一半．
素材三 新规划一块矩形苗圃 （1）苗圃的一面靠墙（墙的最大可用长度为），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成两个区域，（2）如图所示，在两处各留宽的门（门不用木栏），修建所用木栏的总长为，
问题解决
任务一 求，两种型号劳动工具的单价各是多少元．
任务二 求购买这批劳动工具的最少费用．
任务三 设苗圃的一边长为． （1）用含的代数式表示苗圃靠墙一边的长是________； （2）若苗圃的面积为，求的值； （3）苗圃的面积能否为．________（直接回答“能或不能”．）
【答案】任务一：型号劳动工具的单价为元，种型号劳动工具的单价为元
任务二；购买这批劳动工具的最少费用为元
任务三；（1）；（2）8；（3）不能
【分析】任务一；设型号劳动工具的单价为元，则种型号劳动工具的单价为元，依题意得，，计算求解，然后作答即可；
任务二；设种型号的劳动工具个，则种型号的劳动工具 个，总费用为元，依题意得， ，可求，，根据一次函数的图象与性质求解作答即可；
任务三；（1）依题意得，的长是，计算求解即可；（2）由题意知，，可求，依题意得，，计算求出满足要求的解即可；（3）令，整理得，，由，判断作答即可．
【详解】任务一；解：设型号劳动工具的单价为元，则种型号劳动工具的单价为元，
依题意得，，
解得，，
经检验，是原分式方程的解，
∴，
∴型号劳动工具的单价为元，种型号劳动工具的单价为元；
任务二；解：设种型号的劳动工具个，则种型号的劳动工具 个，总费用为元，
依题意得， ，
解得，，
，
∵，
∴当时，总费用最少，元，
∴购买这批劳动工具的最少费用为元；
任务三；（1）解：依题意得，的长是（），
故答案为：；
（2）解：由题意知，，
解得，，
依题意得，，
解得，或（舍去），
∴的值为8；
（3）解：令，整理得，，
∵，
∴方程无实数解，
故答案为：不能．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式等知识．熟练掌握分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式是解题的关键．
考点五 营销背景下的一元二次方程应用
29．一玩偶店销售“抱竹熊猫”、“打坐熊猫”两款玩偶，其中“抱竹熊猫”成本每件元，“打坐熊猫”成本每件元，“打坐熊猫”的售价是“抱竹熊猫”的倍，大运会开幕第一天“抱竹熊猫”比“打坐熊猫”多卖件，且两款玩偶当天销售额都刚好到达元．为更好地宣传国宝，第二天店家决定降价出售，但规定降价后的售价不低于成本价的，“抱竹熊猫”的售价降低了，当天“抱竹熊猫”的销量在第一天基础上增加了；“打坐熊猫”的售价打折，结果“打坐熊猫”的销量在第一天基础上增加了，最终第二天两款熊猫玩偶的总利润为元，求的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，设第一天“抱竹熊猫”的售价为元，则“打坐熊猫”的售价为元，列分式方程先求出“抱竹熊猫”和“打坐熊猫”的售价，再根据第二天两款熊猫玩偶的总利润，列出一元二次方程求出的值即可，根据题意，找到等量关系，正确列出方程是解题的关键．
【详解】解：设第一天“抱竹熊猫”的售价为元，则“打坐熊猫”的售价为元，
由题意可得，，
解得，
经检验，是原方程的解，符合题意，
∴，
∴第一天“抱竹熊猫”的售价为元，则“打坐熊猫”的售价为元，
∴根据第二天总利润为元可得，
，
整理得，，
解得，，
当时，，，
∵，
∴符合题意；
当，，
∵，
∴不合题意，舍去；
∴，
故选：．
30．某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元时，平均每天能售出200双；经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量y（双）与降低价格x（元）之间存在如图所示的函数关系．
(1)求出y与x的函数关系式；
(2)公司希望平均每天获得的利润达到8910元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少？
(3)为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价的50%，公司每天能否获得9000元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．
【答案】(1)y与x的函数关系式为y=10x＋200；
(2)当每双运动鞋的售价为87元时，企业每天获得的销售利润达到8910元并且优惠力度最大.
(3)降价10元时，公司每天能获得9000元的利润，且每双运动鞋的利润不低于成本价的50%.
【分析】（1）由题意，设y与x的函数关系式为y＝kx＋b，然后由待定系数法求解析式，即可得到答案；
（2）根据题意，列出一元二次方程，然后解方程，即可求出方程的解；
（3）由题意，列出一元一次不等式，求出不等式的解集，然后列一元二次方程，即可求出答案．
【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为y＝kx＋b (k≠0)，
由图可知其函数图象经过点（0 , 200）和（10 , 300），
将其代入y=kx+b 得
解得
∴ y与x的函数关系式为y=10x＋200；
（2）解：由题意得 （10x＋200)(100－x－60)＝8910，
整理得 x2－20x＋91＝0，
解得：x1＝7, x2＝13；
当x＝7时，售价为100－7＝93（元），
当x＝13时，售价为100－13＝87（元），
∵优惠力度最大，
∴取x＝13，
答：当每双运动鞋的售价为87元时，企业每天获得的销售利润达到8910元并且优惠力度最大；
（3）解：公司每天能获得9000元的利润，理由如下：
∵要保证每双运动鞋的利润率不低于成本价的50%，
∴100－60－x ≥ 60×50%,
解得：x≤10；
依题意，得 (100－60－x)(10x＋200)＝9000，
整理得 x2－20x＋100＝0，
解得：x1＝x2＝10；
∴降价10元时，公司每天能获得9000元的利润，且每双运动鞋的利润不低于成本价的50%.
【点睛】本题考查了一次函数的性质，一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练掌握题意，正确的列出方程，从而进行解题．
31．正月十五是中华民族传统的节日——元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习俗．位于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21天的时间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤圆需要0.3斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉（每天只能生产其中一种）．
(1)若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤圆？
(2)为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕．据统计，每袋手工汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．汤圆店按售价25元销售2天后，余下8天进行降价促销，第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？
【答案】(1)总共生产了袋手工汤圆
(2)促销时每袋应降价3元
【分析】（1）设总共生产了袋手工汤圆，利用这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套做等量关系列出方程即可；
（2）设促销时每袋应降价元，利用最终获利40500元做等量关系列出方程即可．
【详解】（1）设总共生产了袋手工汤圆，
依题意得，
解得，
经检验是原方程的解，
答：总共生产了袋手工汤圆
（2）设促销时每袋应降价元，
当刚好10天全部卖完时，
依题意得，
整理得：
，
∴方程无解
∴10天不能全部卖完
∴第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店的利润为
∴依题意得，
解得（舍去）
∵要促销
∴
即促销时每袋应降价3元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程，需要注意分情况讨论．
32．2022年某地桑葚节于4月5日到4月20举行，热情的当地居民为游客准备了桑葚茶、桑葚酒、桑葚酱、桑葚膏等等，在当地举行的“桑葚会”上，游客不仅可以品尝纯正的桑葚茶、桑葚酒、桑葚酱、桑葚音，而且还能体验制作它们的过程．各类桑葚产品均对外销售，游客们可以买一些送给亲朋好友．已知桑葚酒是桑葚酱单价的，预计桑葚节期间全镇销售桑葚酒和桑葚酱共7500千克，桑葚酒销售额为200000元，桑葚酱销售额为125000元．
(1)求本次桑葚节预计销售桑葚酒和桑葚酱的单价；
(2)今年因受“新冠”疫情的影响，前来参加桑葚节的游客量比预计有所减少，当地镇府为了刺激经济，减少库存，将桑葚酒和桑葚酱降价促销．桑葚酱在预计单价的基础上降低销售，桑葚酒比预计单价降低元销售，这样桑葚酱的销量跟预计一样，桑葚酒的销量比预计减少了a%，桑葚酒和桑葚酱的销售总额比预计减少了3500a元．求a的值
【答案】(1)预计销售桑葚酱的单价为50元/千克，销售桑葚酒的单价为40元/千克
(2)20
【分析】（1）设预计销售桑葚酱的单价为x元/千克，则销售桑葚酒的单价为元/千克，根据销售桑菩酒和桑菩酱共7500千克，桑葚酒销售额为200000元，桑葚酱销售额为125000元，列分式方程，解此分式方程即可解答；
（2）根据题意分别计算出降价后，桑葚酱的销售单价、销售量，桑葚酒的销售单价、销售量，再由销售总额比预计减少了3500a元列方程，解此方程即可解答．
【详解】（1）解：设桑葚节预计销售桑葚酱的单价为x元/千克，则销售桑葚酒的单价为元/千克，
根据题意得：，
解得：
经检验，是方程的解，
答：预计销售桑葚酱的单价为50元/千克，则销售桑葚酒的单价为40元/千克．
（2）桑葚酱降价后的单价为，桑葚酒降价后的单价为元，
桑葚酱的销量为千克，桑葚酒的销量为千克，
∴
解得：a=20或a=0（舍去），
∴a=20
【点睛】本题考查分式方程的应用、一元二次方程的应用等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
33．随着武汉解封，湖北各地的复工复产正有序进行，经济复苏也按下了“重启键”．为助力湖北复苏，月日抖音发起了“湖北重启，抖来助力--抖音援鄂复苏计划”，通过直播或短视频助力推广湖北特色产品已知当天的直播活动中热干面和周黑鸭共销售万份，其中周黑鸭的销量是热干面的倍．
(1)求当天的直播活动中销售了多少万份周黑鸭？
(2)为刺激消费，直播中推出了优惠活动疫情前，疫情期间售价均为元一份的周黑鸭（一份里面有一盒锁骨，两盒鸭脖，一盒鸭掌），以折力度售卖．疫情前，疫情期间售价均为元一份的热干面（一份里面有包热干面），以折力度售卖．已知疫情前周黑鸭的日销售量比直播当天的销量少，疫情期间的日销售额比疫情前的日销售额减少了万元；疫情前热干面的日销量比直播当天热干面的销量少，疫情期间的日销售量比疫情前的日销售量减少了；疫情期间周黑鸭和热干面的总日销售额比直播当天的总销售额少，求的值．
【答案】(1)当天的直播活动中销售了万份周黑鸭
(2)的值为
【分析】（1）设当天的直播活动中销售了万份热干面，则销售了万份周黑鸭，由题意得：，求解的值，进而可得的值；
（2）由题意得：，计算求出满足要求的解即可．
【详解】（1）解：设当天的直播活动中销售了万份热干面，则销售了万份周黑鸭，由题意得：，
解得：，
．
答：当天的直播活动中销售了万份周黑鸭；
（2）解：由题意得：，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去．
∴的值为．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用．解题的关键在于根据题意列正确的方程．
34．葡萄不仅味美可口，营养价值很高，而且用途广泛，堪称“果中珍品”，它既可鲜食又可加工成各种产品，如葡萄干、葡萄酒、葡萄汁等．当下正值食用葡萄的好时节，经过市场调研顾客最喜欢“黑珍珠”、“仙粉黛”两个品种，某商店老板看准商机，决定购进这两种葡萄销售，商店原计划在6月购进“黑珍珠”、“仙粉黛”两种葡萄共200千克，其中“仙粉黛”的质量至少是“黑珍珠”质量的3倍．
（1）那么原计划今年6月至少购进“仙粉黛”多少千克？
（2）今年6月商店按照原计划购进并售完“黑珍珠”、“仙粉黛”两种葡萄，且“仙粉黛”的质量恰好是原计划的最小值．今年7月商店按照“黑珍珠”与“仙粉黛”的质量比为1∶3购进两种葡萄一共160千克，按照单价4∶3售出，共得销售额1040元．通过7月对市场的观察，商店老板决定增加两种葡萄的进货量，同时降价促销；8月商店购进“黑珍珠”、“仙粉黛”的质量在6月的基础上分别增加了，同时为了尽快全部售出，每千克售价在今年7月份的基础上分别降价（降价幅度不超过50%），最终8月的销售额比7月的销售额增加了535元．求的值．
【答案】（1）150千克；（2）30
【分析】（1）设原计划今年6月购进“仙粉黛”x千克，则：x≥3（200-x）．
（2）由题可得：6月购进“黑珍珠”50千克，“仙粉黛”150千克；7月购进“黑珍珠”40千克，“仙粉黛”120千克．设7月“黑珍珠”单价为4m，“仙粉黛”单价为3m，则有：40×4m+120×3m=1040，易得7月“黑珍珠”单价为8元/千克，“仙粉黛”单价为6元/千克．根据题意列出方程并利用换元法解方程．
【详解】解：（1）设原计划今年6月购进“仙粉黛”x千克，则：x≥3（200-x）．
解得：x≥150，
答：原计划今年6月至少购进“仙粉黛”150千克；
（2）由题可得：6月购进“黑珍珠”50千克，“仙粉黛”150千克；7月购进“黑珍珠”40千克，“仙粉黛”120千克．
设7月“黑珍珠”单价为4m，“仙粉黛”单价为3m，则有：40×4m+120×3m=1040，
∴m=2．
则7月“黑珍珠”单价为8元/千克，“仙粉黛”单价为6元/千克．
列方程为：50(1+2a%)×8(1 a%)+150(1+a%)×6(1 a%)=1040+535．
令a%=t，则：80t2-134t+33=0，
∴t1=，t2=．
又∵当t=时，
a%=＞，舍去．
∴t=．
∴a=30．
答：a的值是30．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的数量关系，列出方程或不等式，再求解．
35．美丽的鲜花为人们传递着各种各样的情感：桔梗象征着永恒；水仙象征着尊敬；康乃馨象征着母亲的爱；风铃草象征着知恩图报……3月里，花店里的桔梗、风铃草两种鲜花共销售了1000朵，其中风铃草和桔梗的销量之比为3：2，且风铃草的单价是桔梗单价的．
（1）若3月份两种鲜花的总销售额不低于3600元，则桔梗的单价至少为多少元？
（2）根据往年的经验，4月份的桔梗更美，它的进价也会有所提升，因此商家决定将桔梗的单价在（1）中的最少单价的基础上提高m%，预计桔梗的销量将比3月份提高4m%，则4月份枯梗的销售额将比（1）中总销售额最低时风铃草的销售额多192元，求m的值．
【答案】(1)桔梗的单价至少为3元．(2)
【分析】(1)求出风铃草和桔梗的销量，设桔梗单价为x元，根据题意列不等式即可；
(2)根据题意列出一元二次方程，解方程即可．
【详解】解:(1) 设桔梗单价为x元，则风铃草的单价是元，根据题意列不等式得，
，
解得，，
答：桔梗的单价至少为3元．
(2)根据题意列方程得，，
解得，，（舍去），
m的值为．
【点睛】本题考查了一元一次不等式和一元二次方程的应用，解题关键是理解题意，理清数量关系，列出方程或不等式．
考点六 动态几何背景下的一元二次方程应用
36．如图，某数学兴趣小组在学完矩形的知识后一起探讨了一个纸片折叠问题：如何将一张平行四边形纸片的四个角向内折起，拼成一个无缝隙、无重叠的矩形．图中，，，表示折痕，折后的对应点分别是．若，，，则纸片折叠时的长应取 ．
【答案】
【分析】如图，作BP⊥AD，交DA延长线于P，作BQ∥FH，交AD于Q．先证明DH=BF，求出FH=10cm，再分别求出AP、BP，设AH=xcm，求出PQ=（2x-6）cm，在Rt△BPQ中，根据勾股定理构造方程，解方程即可求解．
【详解】解：如图，作BP⊥AD，交DA延长线于P，作BQ∥FH，交AD于Q．
由题意得，AE=EM=BE=AB=4cm，DG=NG=CG==CD=4cm，
AH=MH，BF=MF，
∵四边形为矩形，
∴EF=HG，EF∥HG
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠EBF=∠GDH=60°
∵EF∥HG
∴∠EFM=∠GHN，
又∵∠EFM=∠EFB，∠GHD =∠GHN，
∴∠EFB=∠GHD，
∴△BEF≌△DGH,
∴DH=BF，
∴FH=FM+HM=BF+AH=10cm，
∵BQ∥FH，BF∥QH，
∴BQ=HF=10cm，
∵PD∥BC，
∴∠PAB=∠ABC=60°，
∴在Rt△ABP中，∠ABP=30°，
∴AP=AB=4cm，
∴BP=cm，
设AH=xcm，则HD=（10-x）cm，
∴PQ=14-2（10-x）=（2x-6）cm，
在Rt△BPQ中，根据勾股定理得
解得（不合题意，舍去）
故答案为：
【点睛】本题考查了平行四边形性质，折叠性质，矩形性质，含30°角直角三角形性质，勾股定理，方程思想等知识，综合性强．根据题意求出HF=10cm，进而构造直角三角形，利用勾股定理列出一元二次方程是解题关键．
37．如图，在矩形中，，，动点，分别从点、同时出发，点以厘米秒的速度向终点移动，点以厘米秒的速度向移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为秒，问：
(1)当为何值时，点和点距离是？
(2)当为何值时，以点、、为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形．
【答案】(1)，；
(2)，，．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，矩形的性质；
（1）作于E，则四边形是矩形，在中，由勾股定理，得，解方程，即可求解；
（2）当时，作于E，在中，由勾股定理，得，解方程，即可求解．当时，作于E，可得，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：如图1，作于E，
∴，∵
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，
在中，由勾股定理，得，
解得：，，
当时，图（1）满足，
当时，图（2）满足，
综上所述：，；
（2）如图3，当时，作于E，
∴∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，，
∵，
∴，
在中，由勾股定理，得，
解得：，，
如图4，当时，作于E，
∴，．
∵，
∴四边形是矩形，
∴
∵，
∴．
∴，解得：；
综上所述：，，．
38．如图，是边长为的等边三角形．动点和动点分别从点和点同时出发，沿着逆时针运动，已知动点的速度为，动点的速度为．设动点、动点的运动时间为．
(1)当为何值时，两个动点第一次相遇；
(2)从出发到第一次相遇这一过程中，当为何值时，以，，为顶点的三角形的面积为？
【答案】(1)t=20
(2)t为6或2
【分析】本题主要考查了解一元二次方程；等边三角形的性质，三角形的面积，勾股定理，含度角的直角三角形的性质等知识点；
（1）根据题意得方程即可求出答案；
（2）有3种情况①如图，过作于，得到，求出的长，根据三角形的面积公式即可求出的值；②如图，与①类似即可求出的值；③如图：，，，得到方程的解不符合在上，综合上述得到答案．
【详解】（1）解：根据题意得：，
解得：，
答：当为时，两个动点第一次相遇．
（2）解：是边长为的等边三角形，
，
有种情况：①如图，过作于，
，，由勾股定理得：
由三角形面积公式得：，
解得：，舍去；
②如图2，
，，，
由三角形面积公式得：，
解得：或，
当时，在上，舍去，
；
③如图3：
，，，
，
此方程无解；
的值是，，
答：从出发到第一次相遇这一过程中，当为或时，点、、为顶点的三角形的面积为．
39．如图，中，，，．
(1)如图1，点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动），点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动）．如果点，分别从，两点同时出发．
①经过多少秒钟，的面积等于；
②线段能否将分成面积为的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由；
(2)如图2，若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，，同时出发，直接写出几秒后，的面积为．
【答案】(1)①秒或秒；②秒
(2)秒或秒或秒
【分析】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积，
（1）①由三角形的面积公式可求解；
②分两种情况讨论，由题意列出方程可求出答案；
（2）分三种情况：①点在线段上，点在线段上，②点在线段上，点在线段的延长线上时，③点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时，由三角形面积公式可得出答案；
运用分类讨论的思想是解题的关键．
【详解】（1）解：①设经过秒钟，的面积等于，
由题意，，，
∴，
∴，
解得：，，
∴经过秒或秒钟，的面积等于；
②设经过秒，线段能将分成面积为的两部分，由题意得：
1），即：，
∴，
解得：（不合题意，舍去），；
2），即：，
∴，
∵，
此方程无实数根，即这种情况不存在；
综上所述，经过秒时，线段能将分成面积为的两部分；
（2）设经过秒，的面积为，可分三种情况：
①点在线段上，点在线段上时，
此时，，
∴，
∴，
解得：（舍去），；
②点在线段上，点在线段的延长线上时，
此时，，
∴，
∴，
解得：；
③点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时，
此时，，
∴，
∴，
解得：，（舍去）；
综上所述，经过秒或秒或秒后，的面积为．
40．如图，在四边形中，，，，，，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以每秒2个单位的速度沿着折线先由A向D运动，再由D向C运动，点Q以每秒1个单位的速度由B向A运动，当其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒．
(1)两平行线与之间的距离是__________．
(2)当点P、Q与的某两个顶点围成一个平行四边形时，求t的值．
(3)，以，为一组邻边构造平行四边形，若的面积为，求t的值．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】此题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质以及平行四边形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
（1）过点作于点，由勾股定理可得出答案；
（2）分两种情况，由平行四边形的性质可得出答案；
（3）分两种情况，列出的方程可得出答案．
【详解】（1）过点作于点，
，，
，
，
，
故答案为：；
（2）在中，
，，
，
，
Ⅰ．当四边形为平行四边形时，，
，
，
Ⅱ．当四边形为平行四边形时，，
，
，
综上所述当点、与 的某两个顶点围成一个平行四边形时，或；
（3）Ⅰ．当在边上时，边上的高是，
，
解得， 舍去），
Ⅱ．当在边上时，
，
解得．
综上所述或时，平行四边形的面积为．
41．如图，在中，，，D为的中点，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点A运动．
(1)若点Q的运动速度与点P相同，经过后，与是否全等？请说明理由．
(2)若点Q的运动速度与点P不相同，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？
(3)若点Q以（2）中的速度从点C出发，点P以原来的速度从点B同时出发，都沿的三边逆时针运动，求经过多长时间，点P与点Q第一次在的什么位置上相遇．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
(3)经过80秒后，点P与点Q第一次在上相遇
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，等腰三角形的性质等知识，熟练运用这些性质解决问题是解此题的关键．
（1）由“”可证；
（2）根据全等三角形的性质得出，则可得出答案；
（3）由题意列出方程，解方程可得出相遇时运动的时间，进而得到点P经过的路程，从而判断相遇的位置．
【详解】（1）解：全等，理由如下：
∵点Q的运动速度与点P的运动速度相等，均为，
∴当时，，
∵，点D为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）∵点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，
∴与不是对应边，即，
∴，且，
则，，
∴点P，点Q运动的时间，
∴点Q运动的速度，
（3）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，
由题意，得，
解得，
∴经过80秒后，点P与点Q第一次相遇，此时点P运动，
∵，
又，
∴点P与点Q在上第一次相遇．
42．如图，在中，，的面积为，是边上的高，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速向终点A运动，点P不与点A、B重合，连接、．设点P的运动时间为t秒．
(1)求的长；
(2)用含t的代数式表示的长；
(3)在点P运动的过程中，不再添加其他辅助线的情况下，当图中存在等腰直角三角形时，求的面积；
(4)点P在上运动，不再添加其他辅助线的情况下，当图中存在以点P为顶点的等腰三角形．且不是直角三角形时，直接写出t的值．
【答案】(1)3
(2)当时，；当时，；
(3)的面积为或；
(4)或或．
【分析】（1）利用等面积法即可求出的长；
（2）利用勾股定理算出，再根据动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速向终点A运动，点P不与点A、B重合，分别讨论①当点P在上运动时，②当点P在上运动时，根据上述两种情况表示出的长即可；
（3）本题根据不再添加其他辅助线的情况下，图中存在等腰直角三角形，分以下两种情况讨论，①当点P在上运动，为等腰直角三角形时，②当点P在上运动时，为等腰直角三角形时，再根据等腰直角三角形性质进行分析求解，即可解题．
（4）本题根据点P在上运动，不再添加其他辅助线的情况下，存在以点P为顶点的等腰三角形，且不是直角三角形，可分以下情况讨论，①为等腰三角形，， ②为等腰三角形，， ③为等腰三角形，，再根据等腰三角形性质进行分析，建立等式求解，即可解题．
【详解】（1）解：，的面积为，是边上的高，
，
，解得;
（2）解：，，
，
动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速向终点A运动，
①当点P在上运动时（即时），
有，
，
②当点P在上运动时（即时），
，
综上所述，当时，；当时，；
（3）解：①当点P在上运动，为等腰直角三角形时，
有，
，解得，
，
，
的面积为：；
②当点P在上运动时，为等腰直角三角形时，
有，
，
，
，
，
的面积为：；
综上所述，的面积为或；
（4）解：点P在上运动，图中存在以点P为顶点的等腰三角形，且不是直角三角形，分为以下情况：
①为等腰三角形，，
，
，
，
秒，
②为等腰三角形，，
，
整理得，解得（不合题意，舍去），，
③为等腰三角形，，
即，解得．
综上所述，或或．
【点睛】本题考查几何图形的动点问题，勾股定理，等面积法求高，列代数式相关知识，等腰三角形性质和判定，等腰直角三角形性质和判定，解题的关键在于利用分类讨论思想，从多方面考虑不同情况的下满足的条件．
43．在中，，，动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动，到达点停止运动，设运动时间为秒．
(1)求的面积；
(2)如图①，过点作、交于点、若与的面积和是的面积的，求的值；
(3)如图②、点在射线上，且，以线段为边向上方作正方形．在运动过程中，若设正方形与重叠部分的面积为，求的值．
【答案】(1)
(2)，
(3)t的值为或．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用；
（1）根据三角形的面积公式求出的面积，
（2）根据题意可得，，然后再与的面积和是的面积的，列出方程、解方程即可解答；
（3）根据不同时间段分三种情况进行解答即可．
【详解】（1）中，，，
∴，
（2），，
与的面积和，
与的面积和是的面积的，
，
解得，；
（3），，
，
①如图，当时，，
解得： ， 不合题意，舍去，
②如图，当时，
解得： 不合题意，舍去， 不合题意，舍去，
③如图，当时， ，
解得： ， 不合题意，舍去，
综上，的值为或时，重叠面积为．
44．如图，在矩形中，，，点从点出发，每秒个单位长度的速度沿方向运动，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿对角线方向运动．已知点、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，连接，设运动时间为秒．
(1)_________，_________；
(2)当为何值时，；
(3)在运动过程中，是否存在一个时刻，使所得沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
(4)当点关于点的对称点落在的内部（不包括边上）时，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)3，6
(2)
(3)或或
(4)
【分析】（1）根据矩形的性质和含30°角的直角三角形的性质解答即可；
（2）根据直角三角形的性质和三角形的面积公式解答即可；
（3）分三种情况，利用翻折的性质解答即可；
（4）以AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则点，点D（0，3），，过点Q作QN⊥AB于点N，可得点，根据中点坐标可得点，然后根据点关于点的对称点落在的内部（不包括边上），得到关于t的不等式组，即可求解．
【详解】（1）解：在矩形中，∠B=90°，
∵，
∴AC=2BC，
∵，
∴，
解得：BC=3或-3（舍去），
∴AC=6；
故答案为：3，6
（2）解：根据题意得：，CQ=2t，
∴，
∵，
∴，
解得；
（3）解：存在，
根据题意得：，
①当时，沿折叠，所得四边形为菱形．
由（2）得：；
②当时，沿折叠，所得四边形为菱形．
过点P作PM⊥AC于点M，则，
∵∠BAC=30°，
∴，
∵，
∴，
解得：或-6（舍去）；
③当时，沿折叠，所得四边形为菱形．
过点Q作QM⊥AB于点M，则，
∵∠BAC=30°，
∴，
∵，
∴，
解得：或6（舍去）．
综上所述，t的值为或或；
（4）解：根据题意得：，
如图，以AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则点，点D（0，3），，
过点Q作QN⊥AB于点N，
∵∠BAC=30°，
∴，
∴，
∴点，
∴点，
∵点关于点的对称点落在的内部（不包括边上），
∴，解得：．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
试卷第2页，共74页
