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22.2 二次函数图象与一次函数 压轴题项练习
思想方法
数形结合思想：所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系；（3所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
典例分析
【典例1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是该抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式和直线的解析式；
（2）请在轴上找一点，使的周长最小，求出点的坐标；
（3）试探究：在拋物线上是否存在点，使以点，，为顶点的三角形面积最大，若存在请求出最大面积和点坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）采用待定系数法即可求得抛物线的解析式和直线的解析式．
（2）将抛物线的解析式变形为，则顶点的坐标为，顶点关于轴的对称点为，连接，线段与轴的交点即为点．
（3）设点的横坐标为，则点的纵坐标为，分三种情况进行讨论：当时；当时；当时．
【解题过程】
解：（1）抛物线的图象过，两点，可得，
解得：，
抛物线的解析式为．
可得点的坐标为．
设直线的解析式为．
直线的图象经过点，，可得，
解得，
直线的解析式为．
（2）将抛物线的解析式变形为，则顶点的坐标为．
顶点关于轴的对称点为．
连接，线段与轴的交点即为点．
根据轴对称图形的性质可知．
设直线的解析式为．
直线的图象经过点，，可得：，
解得：，
直线的解析式为，
令，则．
所以，点的坐标为．
（3）不存在，理由如下：
设点的横坐标为，则点的纵坐标为．
①当时．
设直线：，它的图象经过点，，可得
，
解得，
直线的解析式为．
所以，直线与轴的交点的坐标为．
可得．
．
可知没有最大值．
②当时．
设直线：的图象经过点，，可得
，
解得：，
直线的解析式为．
所以，直线与轴的交点的坐标为．
可得．
．
可知没有最大值．
③当时．
与直线平行的直线与抛物线仅有一个交点时，该交点即为点，此时的面积最大，该最大值为一个固定值，但不是整个抛物线上面积的最大值．
综上所述，点，，为顶点的三角形面积不存在最大值．
1．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数和一次函数的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·广西桂林·二模）如图所示，已知函数的图象与一次函数的图象有三个交点，则b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·湖北武汉·二模）如图，在平面直角坐标系中，画出了函数的部分图象，若关于x的方程有3个不相等的实数根，则k的值为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
4．（2024·湖南常德·一模）将抛物线中轴上方的部分沿轴翻折到轴下方，图像的其余部分不变，得到的新图像与直线有个交点，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·安徽合肥·一模）对于二次函数，定义函数是它的相关函数．若一次函数与二次函数的相关函数的图象恰好两个公共点，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·河北·二模）如图，已知抛物线，直线，下列判断中：
①当或时，； ②当或时，；③当时随x的增大而增大；④使的x的值有3个．其中正确的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2023九年级上·江苏·专题练习）二次函数的图象与一次函数的图象没有交点，则b的取值范围是( )
A． B． C．或 D．
8．（2023·山东青岛·三模）如图，直线与抛物线的图象都经过y轴上的D点，抛物线与x轴交于两点，其对称轴为直线，且．直线与x轴交于点C（点C在点B的右侧），则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·河北唐山·模拟预测）抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法：①；②；③若与是抛物线上的两个点，则；④方程的两根为，；⑤当时，函数有最大值．其中正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．（23-24九年级下·北京·开学考试）已知函数 是常数，， 是常数，，在同一平面直角坐标系中，若无论为何值，函数和图象总有公共点，则的取值范围是
11．（23-24九年级上·河南信阳·期中）如图，抛物线与直线交于点和点B．点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N．若线段MN与抛物线只有一个公共点，写出点M的横坐标的取值范围 ．
12．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）二次函数为常数，且经过，一次函数经过，一次函数经过．已知，，其中为整数，则的值为 ．
13．（22-23九年级下·北京西城·开学考试）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于，两点若，则的取值范围是 ．
14．（2024·江苏扬州·二模）在平面直角坐标系中，已知点，若抛物线与线段有两个不同的交点，则a的取值范围是 ．
15．（23-24九年级上·安徽·阶段练习）如图，抛物线交轴于两点，交轴于点．
（1）直接写出直线的函数表达式为：______；
（2）是线段上的点，过点作轴的平行线，交抛物线于两点（点在点的右侧），若，求点的横坐标．
16．（23-24九年级上·河南新乡·期中）如图，抛物线与直线交于点和点B．
（1）求抛物线和直线的解析式；
（2）求点B的坐标，并结合图象直接写出不等式的解集；
（3）点N是抛物线对称轴上一动点，且点N纵坐标为n，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若点在直线上，且直线与图象G有公共点，结合函数图象，直接写出点N纵坐标n的取值范围．
17．（2023·河南漯河·二模）已知二次函数图象的对称轴为直线，与y轴交于点，与轴交于点，（点在点的左侧）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）是x轴上方抛物线上的一动点，且与点不重合，设点的横坐标为，过点作轴，交于点，设的长为，当随的增大而减小时，求的取值范围．
18．（2023·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点．
（1）求抛物线的对称轴及顶点坐标；
（2）若，点在该抛物线上，且，比较的大小，并说明理由；
（3）当抛物线与线段只有一个公共点时，请直接写出m的取值范围．
19．（2023·河南洛阳·一模）如图1，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于A，B两点（点B在第一象限），点C在的延长线上．且(n为正整数)．过点B，C的抛物线L，其顶点M在x轴上．
（1）A点的坐标为______；B点的坐标为______；
（2）当时，抛物线L的函数表达式为______；
（3）如图2，抛物线E：，经过B、C两点，顶点为P．且D、B、P三点在同一直线上，求与n的关系式．
20．（22-23九年级上·辽宁鞍山·期末）在平面直角坐标系中，抛物线：经过，两点；
（1）若抛物线：经过，求抛物线解析式；
（2）抛物线：直线有，两个交点，为坐标原点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出的值；
（3）直线分别与抛物线：，抛物线：恰好有三个公共点，若其中一个公共点是另外两个公共点连接线段的中点，求的值．中小学教育资源及组卷应用平台
22.2 二次函数图象与一次函数 压轴题项练习
思想方法
数形结合思想：所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系；（3所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
典例分析
【典例1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是该抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式和直线的解析式；
（2）请在轴上找一点，使的周长最小，求出点的坐标；
（3）试探究：在拋物线上是否存在点，使以点，，为顶点的三角形面积最大，若存在请求出最大面积和点坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）采用待定系数法即可求得抛物线的解析式和直线的解析式．
（2）将抛物线的解析式变形为，则顶点的坐标为，顶点关于轴的对称点为，连接，线段与轴的交点即为点．
（3）设点的横坐标为，则点的纵坐标为，分三种情况进行讨论：当时；当时；当时．
【解题过程】
解：（1）抛物线的图象过，两点，可得，
解得：，
抛物线的解析式为．
可得点的坐标为．
设直线的解析式为．
直线的图象经过点，，可得，
解得，
直线的解析式为．
（2）将抛物线的解析式变形为，则顶点的坐标为．
顶点关于轴的对称点为．
连接，线段与轴的交点即为点．
根据轴对称图形的性质可知．
设直线的解析式为．
直线的图象经过点，，可得：，
解得：，
直线的解析式为，
令，则．
所以，点的坐标为．
（3）不存在，理由如下：
设点的横坐标为，则点的纵坐标为．
①当时．
设直线：，它的图象经过点，，可得
，
解得，
直线的解析式为．
所以，直线与轴的交点的坐标为．
可得．
．
可知没有最大值．
②当时．
设直线：的图象经过点，，可得
，
解得：，
直线的解析式为．
所以，直线与轴的交点的坐标为．
可得．
．
可知没有最大值．
③当时．
与直线平行的直线与抛物线仅有一个交点时，该交点即为点，此时的面积最大，该最大值为一个固定值，但不是整个抛物线上面积的最大值．
综上所述，点，，为顶点的三角形面积不存在最大值．
1．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数和一次函数的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】
根据二次函数的图象的开口方向和对称轴的位置可得出的范围，再根据的范围判断一次函数的图象所经过的象限，由此逐项判断即可得到答案．
【解题过程】
解：A、二次函数的开口向下，
，
二次函数的对称轴在轴的左侧，
，
，
当时，，一次函数的图象经过一、二、四象限，故A错误，不符合题意；
B、二次函数的开口向下，
，
二次函数的对称轴在轴的右侧，
，
，
当时，，一次函数的图象经过二、三、四象限，故B正确，符合题意；
C、二次函数的开口向上，
，
二次函数的对称轴在轴的右侧，
，
，
当时，，一次函数的图象经过一、二、三象限，故C错误，不符合题意；
D、二次函数的开口向上，
，
二次函数的对称轴在轴的左侧，
，
，
当时，，一次函数的图象经过一、三、四象限，故D错误，不符合题意；
故选：B．
2．（2024·广西桂林·二模）如图所示，已知函数的图象与一次函数的图象有三个交点，则b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】
此题考查了一次函数和二次函数图象交点问题，一元二次方程的判别式，
首先根据题意画出图象，然后求出，代入求出；然后得到当一次函数的图象与相切时，得到的，进而求出，然后根据图象求解即可．
【解题过程】
解：如图所示，
当时，函数，
∴，
当一次函数的图象经过点A时，
∴，解得；
当一次函数的图象与相切时，
∴，即，
∴，
∴，
解得，
∴由图象可得，当时，函数的图象与一次函数的图象有三个交点．
故选：D．
3．（2024·湖北武汉·二模）如图，在平面直角坐标系中，画出了函数的部分图象，若关于x的方程有3个不相等的实数根，则k的值为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【思路点拨】
此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合和分类讨论是解题的关键，补全函数图象，分和两种情况分别利用数形结合进行解答即可.
【解题过程】
解：由函数可知，和时的函数图象关于y轴对称，补全函数图象如图所示，
当时，当直线与 函数的图象有三个交点时，
则，即有两个相等的实数根，即，
解得或，
由图象可知，不合题意，舍去，
即，
当时，当直线与 函数的图象有三个交点时，
则，即有两个相等的实数根，即，
解得或，
由图象可知，不合题意，舍去，
即，
综上可知，k的值为或，
故选：D
4．（2024·湖南常德·一模）将抛物线中轴上方的部分沿轴翻折到轴下方，图像的其余部分不变，得到的新图像与直线有个交点，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】
本题考查抛物线与轴的交点：把求二次函数（、、是常数，）与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．解方程得，，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为，即，然后求出直线经过点时的值和当直线与抛物线有唯一公共点时的值，即可得解．掌握抛物线与轴交点坐标的求法及抛物线与直线交点坐标的求法是解题的关键．也考查了二次函数图像与几何变换．
【解题过程】
解：对抛物线，
当时，得：，
解得：或，
∴抛物线与轴的交点为、，
∵将抛物线中轴上方的部分沿轴翻折到轴下方，图像的其余部分不变，
∴新图像中当时，解析式为，即，如图，
当直线经过点时，此时直线与新函数图像有个交点，
把代入直线，解得：，
将直线向下平移时，有个交点，
当与直线有一个交点时，此时直线与新函数图像有个交点，
整理得：，
∴，
解得：，
综上所述，新图像与直线有个交点时，的取值范围是．
故选：C．
5．（2024·安徽合肥·一模）对于二次函数，定义函数是它的相关函数．若一次函数与二次函数的相关函数的图象恰好两个公共点，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】
本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，二次函数的图象和性质，分两种情况解答：一次函数分别与，相交一点；一次函数与有两个交点，与不相交 ；求出的取值范围，即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【解题过程】
解：当时，二次函数的相关函数为
当时，二次函数的相关函数为，
∴二次函数的相关函数为，
二次函数的图象开口向上，与轴的交点为，对称轴为直线,
当时，随的增大而减小，当 时，随的增大而增大；
二次函数的图象开口向下，与轴的交点为，对称轴为直线，当时，随的增大而增大；
一次函数与轴的交点为
一次函数与二次函数的相关函数的图象恰好两个公共点可分为两种情况：
一次函数分别与，相交一点，
则有，
解得；
一次函数与有两个交点，与不相交 ，
则有，
解得，
且，
即有两个不相等的实数根，
∴，
解得，
∴；
综上所述，或，
∴的值可能是，
故选：．
6．（2024·河北·二模）如图，已知抛物线，直线，下列判断中：
①当或时，；
②当或时，；
③当时随x的增大而增大；
④使的x的值有3个．
其中正确的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拨】
由图知：抛物线与直线交于和，由此可判断①正确；求出，将和代入求值即可判断②正确；由，根据二次函数的增减性可判断③错误；由得，则可得或．根据一元二次方程根的判别式即可判断④错误．
【解题过程】
解：由图知：抛物线与直线交于和，
当或时，；
故①正确；
当时，，
当时， ，
故②正确；
，开口向下，对称轴为，
∴当时随x的增大而减小；
故③错误；
由得，
∴或．
由得，
∵，
∴此方程无解；
由得，
∵，
∴此方程由两个不相等的实数根．
∴使的x的值有2个，
故④错误；
综上，正确的有2个，
故选：B．
7．（2023九年级上·江苏·专题练习）二次函数的图象与一次函数的图象没有交点，则b的取值范围是( )
A． B． C．或 D．
【思路点拨】
本题考查了二次函数以一次函数的综合，先根据一次函数的解析式求出和时，的值，再分，和三种情况，根据二次函数的图象与性质列出不等式，然后求解即可得．
【解题过程】
解：对于一次函数，
当时，，
当时，，
二次函数的对称轴为，
由题意，分以下三种情况：
（1）当时，
若两个函数的图象没有交点，则当时，二次函数的函数值大于6；或当时，二次函数的函数值小于0，
即或，
不等式可化为，
利用因式分解法解方程得：，
由二次函数的性质可知，当时，或(舍去)，
同理可得：不等式无解，
综上，此时的取值范围为；
（2）当时，
若两个函数的图象没有交点，则无解，
即关于的方程无解，
则方程的根的判别式，
解得，
则此时的取值范围为；
（3）当时，
当时，二次函数的函数值为，
所以二次函数的图象与一次函数的图象没有交点，
则此时的取值范围为；
综上，的取值范围为或，
故选：C．
8．（2023·山东青岛·三模）如图，直线与抛物线的图象都经过y轴上的D点，抛物线与x轴交于两点，其对称轴为直线，且．直线与x轴交于点C（点C在点B的右侧），则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】
根据开口方向，对称轴的位置，与y轴的交点坐标，判断出的符号，即可判断A选项；当时，将代入即可得到b与a的关系，即可判断B选项；根据直线与抛物线的图象有两个交点，即可得,求出x值，在根据交点在图中位置，得到，即可判断C选项；先根据交点在右边，得到,即可得到，在通过根于系数关系判得，再根据，即可得到，即可判断D．
【解题过程】
解：∵抛物线开口向上，
．
∵抛物线对称轴是直线，
且.
∵抛物线与y轴交于正半轴，
．
，
故A错误；
由图象可知：当时．
．
即．
．即
故B正确；
直线与抛物线的图象有两个交点，
,
得．
由图象知，
，
∴C错误；
,
．
∵交点在右边，
,
,
，
，
，
,
，
，
，
．
∵直线经过一、二、四象限，
．
，
∴点A的坐标为．
直线当时，，
可得．
，
故D错误．
故选：B．
9．（2024·河北唐山·模拟预测）抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法：①；②；③若与是抛物线上的两个点，则；④方程的两根为，；⑤当时，函数有最大值．其中正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【思路点拨】
利用图象的信息与已知条件求得a，b的关系式，利用待定系数法和二次函数的性质对每个结论进行逐一判断即可得出结论．
【解题过程】
解：抛物线的开口方向向下，
抛物线的对称轴为直线
，
，
故①的结论正确；
抛物线经过点
故②的结论正确；
抛物线的对称轴为直线
点关于直线对称的对称点为
，
当时，随的增大而减小
故③的结论不正确；
抛物线的对称轴为直线，抛物线经过点
抛物线一定经过点，
抛物线与轴的交点的横坐标分别为，1，
方程的两根为，，
故④的结论正确；
直线经过点，
，
，
．
函数
，
当时，函数有最大值，
故⑤的结论不正确．
综上，结论正确的有：①②④，
故选：B．
10．（23-24九年级下·北京·开学考试）已知函数 是常数，， 是常数，，在同一平面直角坐标系中，若无论为何值，函数和图象总有公共点，则的取值范围是
【思路点拨】
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，求得函数（k是常数，）的图象过定点，函数（a是常数，）与x轴的交点为，，然后分两种情况讨论即可求得a的取值．
【解题过程】
解：∵，
∴函数（k是常数，）的图象过定点，
∵，
∴函数（a是常数，）与x轴的交点为，，
当时，无论k为何值，函数和的图象总有公共点，
∴满足题意；
当时，
∵无论k为何值，函数和的图象总有公共点，
∴时，，即，
解得，
∴满足题意；
∴无论k为何值，函数和的图象总有公共点，则a的取值范围是或．
故答案为：或．
11．（23-24九年级上·河南信阳·期中）如图，抛物线与直线交于点和点B．点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N．若线段MN与抛物线只有一个公共点，写出点M的横坐标的取值范围 ．
【思路点拨】
本题考查了二次函数综合应用，待定系数法求二次函数解析式及一次函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，解题关键是利用数形结合思想分类讨论点在不同位置时，与抛物线的相交情况．利用待定系数法求出抛物线的解析式及直线的解析式，进而求出抛物线顶点坐标，点的坐标，再分类讨论点的位置情况，即当点在点的左侧时，当点在线段上时，当点在点的右侧时，分析与抛物线的相交情况即可．
【解题过程】
解：点为抛物线与直线的一个交点，
，，
解得，，
抛物线解析式为，直线的解析式为，
抛物线的顶点坐标为
联立方程组得，解得，，
点的坐标为，
点是直线上的一个动点，点是将点向左平移3个单位长度所得，
轴，
又 ，的水平距离为，
当在点左侧时，与抛物线无公共点，
当点在线段上，不含点时，与抛物线有一个公共点，即，
当点在点右侧时，只有与抛物线顶点相交时，即时，与抛物线有一个公共点，
综上所述得，的取值范围是或．
12．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）二次函数为常数，且经过，一次函数经过，一次函数经过．已知，，其中为整数，则的值为 ．
【思路点拨】
本题主要考查了二次函数与一次函数综合．根据二次函数对称轴的性质，一次函数与坐标轴的交点坐标列式计算即可．
【解题过程】
解∶∵二次函数为常数，且经过，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵一次函数经过，一次函数经过．
∴，
当时，
，，
∴，，
∵，，为整数，
∴ ，
此时；
当时，，，
，，
∴，，
∵，，为整数，
∴ ，
此时；
故答案为：或5
13．（22-23九年级下·北京西城·开学考试）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于，两点若，则的取值范围是 ．
【思路点拨】
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、一次函数图象与系数的关系、根与系数的关系，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．
由函数与的图象交于，两点可得：，，，再由，得，根据计算即可．
【解题过程】
解：函数与的图象交于，两点，
，
，
，，
，
，，
，
，
，即，
，
，
解得：，
或，此不等式组无解，
综上：．
故答案为：．
14．（2024·江苏扬州·二模）在平面直角坐标系中，已知点，若抛物线与线段有两个不同的交点，则a的取值范围是 ．
【思路点拨】
本题考查二次函数图象与性质，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与二次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
先求出线段的表达式为：，当抛物线与线段有两个不同交点，则，由得，当抛物线经过点A时，满足两个交点，代入可得，故；当时，且抛物线经过点，代入解得：，故满足题意．
【解题过程】
解：设直线的表达式为，代入，
得，
解得：，
∴线段的表达式为：，
当，
化简得：，
则，
解得：，
当抛物线经过点A时，满足两个交点，代入得：，
解得：，
如图示：
∴当符合题意；
当时，且抛物线经过点，代入得：，
解得：，
如图示：
∴当时符合题意，
综上所述：当或满足题意．
故答案为：或．
15．（23-24九年级上·安徽·阶段练习）如图，抛物线交轴于两点，交轴于点．
（1）直接写出直线的函数表达式为：______；
（2）是线段上的点，过点作轴的平行线，交抛物线于两点（点在点的右侧），若，求点的横坐标．
【思路点拨】
（）根据二次函数求出点的坐标，再利用待定系数法即可求出直线的函数表达式；
（）设点的横坐标，则点的坐标为，把点的纵坐标代入抛物线的解析式，求出点的横坐标，再根据列出方程，解方程即可求解；
本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数解析式，两点间距离公式，掌握二次函数与一次函数的交点坐标的计算是解题的关键．
【解题过程】
（1）解：∵抛物线，
当时，，
解得，，
∴点的坐标为，
当时，，
∴点的坐标为，
设直线的函数表达式为，把、代入得，
，
解得，
∴直线的函数表达式为，
故答案为：；
（2）解：设点的横坐标，则点的坐标为，
把代入得，，
解得，，
∵点在点的右侧，
∴点的横坐标为，点的横坐标为，
∵，轴，
∴，
整理得，，
∴，
解得（不符，舍去），，
∴点的横坐标．
16．（23-24九年级上·河南新乡·期中）如图，抛物线与直线交于点和点B．
（1）求抛物线和直线的解析式；
（2）求点B的坐标，并结合图象直接写出不等式的解集；
（3）点N是抛物线对称轴上一动点，且点N纵坐标为n，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若点在直线上，且直线与图象G有公共点，结合函数图象，直接写出点N纵坐标n的取值范围．
【思路点拨】
（1）将点的坐标代入，求出、的值即可；
（2）求出点的坐标，根据图象得出不等式的解集即可；
（3）求出点的坐标为，直线与抛物线对称轴的交点为，结合图象即可得出答案．
【解题过程】
（1）将点代入得：，
解得：，
将点代入得：，
解得：，
抛物线和直线的解析式分别为和；
（2）联立抛物线和直线的解析式得：
，
解得：或，
点的坐标为，，
根据图象可知，不等式的解集为或；
（3）把 代入 得：，
点的坐标为，
抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，
把代入得：，
直线与抛物线对称轴的交点为
根据图象可知，当直线与图象有公共点时，点纵坐标取值范围为．
17．（2023·河南漯河·二模）已知二次函数图象的对称轴为直线，与y轴交于点，与轴交于点，（点在点的左侧）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）是x轴上方抛物线上的一动点，且与点不重合，设点的横坐标为，过点作轴，交于点，设的长为，当随的增大而减小时，求的取值范围．
【思路点拨】
（1）根据对称轴求出，用待定系数法求出，即可求出二次函数的表达式．
（2）①当点在点与点之间运动时，进而求解；②当点在点与点之间运动时，同理可解．
【解题过程】
（1）解：二次函数 图象的对称轴为直线 ，
，
解得：．
由点的坐标知，．
二次函数的表达式为．
故答案为：．
（2）解：令，即，
解得：或4，
点坐标为，点坐标为．
，设直线的表达式为：，
则，
解得：，
故直线AC的表达式为 ．
点的横坐标为，
点的纵坐标为．
，在直线上，
．
①当点在抛物线上点与点之间运动时，
，
时，随的增大而减小，
②当点在抛物线上点与点之间运动时，
，
，
当，随的增大而减小，
的取值范围为：或．
故答案为：或．
18．（2023·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点．
（1）求抛物线的对称轴及顶点坐标；
（2）若，点在该抛物线上，且，比较的大小，并说明理由；
（3）当抛物线与线段只有一个公共点时，请直接写出m的取值范围．
【思路点拨】
此题考查了二次函数的图象和性质，二次函数和一次函数的交点问题，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
（1）抛物线化成顶点式，即可求出抛物线的对称轴及顶点坐标；
（2）根据二次函数的图象和性质即可求出答案；
（3）分三种情况讨论进行求解即可．
【解题过程】
（1）∵抛物线，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为；
（2），理由如下：
∵，
∴，
∴抛物线的对称轴为直线.
∵，
∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．
∵，
∴关于对称轴对称的t的取值范围为，
∴；
（3）由直线，
当时，，
当时，，解得
∴，
分三种情况讨论：
①当抛物线过点B时，可得，
解得或.
当时，抛物线的表达式为，
联立
解得或.
∵，
∴两交点都在线段上．
当时，同理可得或（负值舍去），
∴；
②当抛物线过点A时，可得，
解得或，
∴＜m≤；
③当直线与抛物线的公共点为抛物线顶点时，
∵由（1）知抛物线顶点的纵坐标为－2，故此情况不存在．
综上所述，m的取值范围为或
19．（2023·河南洛阳·一模）如图1，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于A，B两点（点B在第一象限），点C在的延长线上．且(n为正整数)．过点B，C的抛物线L，其顶点M在x轴上．
（1）A点的坐标为______；B点的坐标为______；
（2）当时，抛物线L的函数表达式为______；
（3）如图2，抛物线E：，经过B、C两点，顶点为P．且D、B、P三点在同一直线上，求与n的关系式．
【思路点拨】
（1）联立方程即可求的交点坐标；
（2）由（1）知，求得点C的坐标为，则点M坐标为，设抛物线L的表达式为：，将点B的坐标代入即可求解；
（3）由题意和（1）可知点C的坐标为，则点M横坐标为，故点P的横坐标也为，求得直线的表达式为，从而可求得点P的坐标为，则抛物线E的表达式为，将点B的坐标代入即可求解．
【解题过程】
（1）解：联立直线与抛物线得：
，
解得：，
故点A、B的坐标分别为、，
故答案为：、；
（2）由（1）知，
∴当时，，则点C的坐标为，
则点M坐标为：，
故设抛物线L的表达式为：，
将点B的坐标代入上式得：，解得，
故答案为：；
（3）∵，
∴，
则点C的坐标为，则点M横坐标为，
故点P的横坐标也为，
由点O、B的坐标得，直线的表达式为:，
当时，，
故点P的坐标为；
则抛物线E的表达式为，
将点B的坐标代入上式得：，
解得：．
20．（22-23九年级上·辽宁鞍山·期末）在平面直角坐标系中，抛物线：经过，两点；
（1）若抛物线：经过，求抛物线解析式；
（2）抛物线：直线有，两个交点，为坐标原点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出的值；
（3）直线分别与抛物线：，抛物线：恰好有三个公共点，若其中一个公共点是另外两个公共点连接线段的中点，求的值．
【思路点拨】
（1）把，，分别代入抛物线解析式，解方程组，即可求解；
（2）把，，分别代入抛物线解析式，可得，即可求得，，再分两种情况：和，分别计算，即可分别求得；
（3）首先可求得：，：，分别联立成方程，即可求得三个公共分别点为，，，再分①当为中点时；②当为中点时；③当为中点时，根据求中点坐标公式，即可分别求得．
【解题过程】
（1）解：把，，分别代入抛物线解析式，得：
，
解得，
；
（2）解：把，分别代入抛物线解析式，得：
，
解得
，
解得，，
，，
设，，
当时，，
解得或；
当时，，
解得，
综上，a的值为或或；
（3）解：∵经过，，
∴，
解得，
∴：，：，
∴，，
解得：，，
，，
，，
解得：，，
，，
∴三个公共点为，，
①当为中点时，，
解得不合题意，舍去；
②当为中点时，，
解得；
③当为中点时，，
解得；
综上，或．
