四川省泸州市合江县2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（2024高二下·合江期末）（ ）
A． B．1 C． D．
2．（2024高二下·合江期末）下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024高二下·合江期末）直线过圆的圆心，并且与直线垂直，则直线 的方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高二下·合江期末）已知数列的前n项和为，则（ ）
A．81 B．162 C．243 D．486
5．（2024高二下·合江期末）下列命题中，真命题的是（ ）
A．若样本数据的方差为2，则数据的方差为8
B．若回归方程为，则变量y与x正相关
C．甲同学所在的某校高三共有5003人，先剔除3人，再按简单随机抽样的方法抽取容量为200的一个样本，则甲被抽到的概率为
D．在线性回归分析中相关指数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好
6．（2024高二下·合江期末）已知在处有极值，则（ ）
A．11或4 B．-4或-11 C．11 D．4
7．（2024高二下·合江期末）的展开式中的系数为（ ）
A．55 B． C．65 D．
8．（2024高二下·合江期末）已知，，，则（参考数据：）（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（每小题6分，共3小题，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9．（2024高二下·合江期末）直线，下列图象中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024高二下·合江期末）甲罐中有5个红球，3个白球，乙罐中有4个红球，2个白球．整个取球过程分两步，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用，表示由甲罐取出的球是红球，白球的事件；再从乙罐中随机取出两球，分别用B，C表示第二步由乙罐取出的球是“两球都为红球”，“两球为一红一白”的事件，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024高二下·合江期末）已知抛物线的焦点为F，过F作两条互相垂直的直线，，与C相交于P，Q，与C相交于M，N，的中点为G，的中点为H，则（ ）
A．
B．
C．的最大值为16
D．当最小时，直线的斜率不存在
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案直接填在答题卡中的横线上.）
12．（2024高二下·合江期末）近年来，“剧本杀”门店遍地开花．放假伊始，7名同学相约前往某“剧本杀”门店体验沉浸式角色扮演型剧本游戏，目前店中仅有可供4人组局的剧本，其中A，B角色各1人，C角色2人．已知这7名同学中有4名男生，3名女生，现决定让店主从他们7人中选出4人参加游戏，其余3人观看，要求选出的4人中至少有1名女生，并且A，B角色不可同时为女生．则店主共有 种选择方式．
13．（2024高二下·合江期末）若函数在区间(1，4)上不单调，则实数a的取值范围是 .
14．（2024高二下·合江期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上一点，且，H是线段上靠近的三等分点，且，则C的离心率为 .
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．（2024高二下·合江期末）已知数列是等差数列，其前项和为，且，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
16．（2024高二下·合江期末）人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大.人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率）.
（1）求首次试验结束的概率；
（2）在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整.
①求选到的袋子为甲袋的概率，
②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大.
17．（2024高二下·合江期末）如图，在直三棱柱中，，，E，F为线段，的中点．
（1）证明：EF⊥平面；
（2）若直线EA与平面ABC所成的角大小为，求点C到平面的距离．
18．（2024高二下·合江期末）已知函数（为常数，…是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行．
（1）求的值；
（2）求函数的单调区间；
（3）设，其中为的导函数．证明：对任意，．
19．（2024高二下·合江期末）已知一动圆与圆外切，与圆内切，该动圆的圆心的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程．
（2）已知点在曲线上，斜率为的直线与曲线交于两点（异于点）．记直线和直线的斜率分别为，，从下面①、②、③中选取两个作为已知条件，证明另外一个成立．
①；②；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】，
故选：C
【分析】利用复数乘法运算计算由得出答案。
2．【答案】A
【知识点】导数的乘法与除法法则；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：A：，A正确；
B：，B错误；
C：，C错误；
D：，D错误，
故答案为：A
【分析】直接利用积的导数公式进行计算可判断A选项和C选项；根据常数的导数等于0可判断B选项；利用指数函数的导数公式进行计算可判断D选项.
3．【答案】D
【知识点】直线的点斜式方程；圆的标准方程
【解析】【解答】解：由可知圆心为，
又因为直线与直线垂直，
所以直线的斜率为，
由点斜式得直线，
化简得直线的方程是．
故答案为：D．
【分析】本题考查直线的点斜式方程.先求出圆心坐标，再根据直线垂直的斜率关系可求出斜率，再利用直线的点斜式方程可求出直线方程.
4．【答案】B
【知识点】通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：由题意可知：.
故答案为：B.
【分析】根据题意结合与之间的关系分析求解.
5．【答案】A
【知识点】简单随机抽样；极差、方差与标准差；线性回归方程；回归分析的初步应用
【解析】【解答】解：A.若样本数据的方差为2，
则数据的方差为，A为真命题，A正确；
B.由，可知，则变量y与x负相关，B项为假命题，B错误；
C.根据随机抽样可知每个个体被抽到的机会均等，与抽样方法无关，
某校高三共有5003人，抽取容量为200的一个样本，
则甲被抽到的概率为，C为假命题，C错误；
D.在线性回归分析中相关指数越接近于1，则模型的拟合效果越好，D为假命题，D错误.
故答案为：A.
【分析】利用方差的性质公式进行计算可求出新数据的方差，据此可判断A选项；根据线性回归方程可得，据此可判断变量y与x相关性，判断B选项；根据随机抽样可知每个个体被抽到的机会均等，与抽样方法无关，可求出对应的概率，判断C选项；根据相关指数的统计学意义可判断D选项.
6．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：根据题意，
函数在处有极值0
且
或
时恒成立，此时函数无极值点
.
故答案为：C.
【分析】先求出导函数，根据函数在处有极值0，可列出方程组，解方程组可求出的值，再进行检验可确定答案.
7．【答案】D
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】解：含的项为，所以展开式中的系数为．
故答案为：
【分析】根据展开式的通项公式进行计算可得：含的项为，再利用组合数进行计算可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】因为， ，
考虑构造函数，则，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
因为，所以，即，
所以，
所以，即，
又，
所以，故，
故答案为：B.
【分析】由，，构造函数，利用导数研究函数的单调性，利用单调性比较大小即可.
9．【答案】B,C
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系；直线的斜截式方程
【解析】【解答】解：直线l1：ax-y-b=0，即y=ax-b ，斜率为a，y轴上截距为-b，
直线l2：ax-y-b=0，即y=bx+a ，斜率为b，y轴上截距为a，
对于A，不一致，故A错误.
对于B，一致，故B正确.
对于C，一致，故C正确.
对于D，不一致，故D错误.
故答案为：B、C.
【分析】得出两直线的斜率、截距，观察图像即可.
10．【答案】B,C,D
【知识点】全概率公式；条件概率
【解析】【解答】解：A.在事件发生的条件下，乙罐中有5红2白7个球，则，A错误；
B.在事件发生的条件下，乙罐中有4红3白7个球，则，B正确；
C.因，，，
则，C正确；
D.因，，
则，D正确.
故答案为：BCD
【分析】在各自新的样本空间中利用古典概型的计算公式可求出，，据此可判断A选项和B选项；利用古典概型的计算公式可求出，，，利用全概率公式可求出，可判断C选项；利用古典概型的计算公式可求出，，利用全概率公式可求出，可判断D选项.
11．【答案】A,D
【知识点】抛物线的定义；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：设∠PFx =， ∈(0，)，则2 +|PF|cos=|PF|， 所以
同理.
对于A， ，故A正确.
对于B，
所以 ，故B错误.
对于C，
|PQ|+|MN| = ，
当且仅当时，最小值是16.故C错误.
对于D，直角三角形GFH中，|GH| = |GF| +|HF| =
令 ， x∈ [4，+∞)，*.|GH| = 4(x - 3x)， x ∈ [4， +∞)，
当x = 4时，|GH|最小，此时，即关于x轴对称，所以G，H两点也关于x轴对称，
故直线GH的斜率不存在，故D正确.
故答案为：A、D.
【分析】设∠PFx =， ∈(0，)，利用抛物线定义，求出、.代入可判断A正确.代入判断B错误.代入|PQ|+|MN结合三角函数性质，|判断C错误.利用换元法结合二次函数的性质判断D正确.
12．【答案】348
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由题意，根据选出的女生人数进行分类，
第一类：选出1名女生，先从3名女生中选1人，再从四名男生中选3人，然后安排角色，两名男生扮演A，B角色有种，剩余的1名男生和女生扮演C角色，或A，B角色1名男生1名女生，女生先选有，剩下的一个角色从3名男生中选1人，则种，
所以共有种，
第二类：选出2名女生，先从3名女生中选2人，再从四名男生中选2人，然后安排角色，两名男生扮演A，B角色有种，剩余的2名女生扮演C角色，或A，B角色1名男生1名女生，选出1名女生先选角色有，剩下的一个角色从2名男生中选1人，则种，所以共有种，
第三类：选出3名女生，从先从3名女生中选3人，再从四名男生中选1人，然后安排角色，A，B角色1名男生1名女生，选出1名女生先选角色有，剩下的一个角色让男生扮演，余下的2名女生扮演角色C，
所以共有种，由分类计数原理可得：店主共有种选择方式，
故答案为：.
【分析】根据题意可得问题需要分为三类：第一类：选出1名女生，先从3名女生中选1人，再从四名男生中选3人，然后安排角色；第二类：选出2名女生，先从3名女生中选2人，再从四名男生中选2人，然后安排角色；第三类：选出3名女生，从先从3名女生中选3人，再从四名男生中选1人，然后安排角色；利用排列组合的知识可求出每一类的种数，再根据分类加法计数原理可求出答案.
13．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数，，
若函数在区间上不单调，则在上存在变号零点，
由得，
令，，，
在递减，在递增，而，，，所以.
故答案为：.
【分析】先求出导函数，根据题意可得在上存在变号零点，根据，参变分离可得，令，求出导函数， 利用导函数可推出在的单调性，根据单调性后可求出实数的取值范围.
14．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由题意，不妨设点P在第一象限，如图所示：
因为，则，，.
因为，则，可知，
则，即，整理得.
由得，解得或（舍去），
所以C的离心率为.
故答案为：.
【分析】不妨设点P在第一象限，先作出图形，根据题意可求出，，，根据条件可证明，利用相似三角形的性质可得，通过化简可得：，解方程可求出椭圆C的离心率.
15．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，又，，
所以，解得，，
所以的通项公式
（2）解：由（1）知，
所以
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式，等比数列的前n项和公式，分组求和求数列的和.
（1）设等差数列的公差为，利用等差数列的通项公式和等差数列前项和公式可列出方程组，解方程组可求出，，利用等差数列的通项公式可求出的通项公式；
（2）通过化简可得：，利用分组求和可求出.
16．【答案】（1）解：设试验一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件，“试验结果为红球”为事件，“试验结果为白球”为事件，
.
所以试验一次结果为红球的概率为
（2）解：①因为，是对立事件，，
所以，
所以选到的袋子为甲袋的概率为
②由①得，
所以方案一中取到红球的概率为：
，
方案二中取到红球的概率为：
，
因为，所以方案二中取到红球的概率更大
【知识点】全概率公式；条件概率
【解析】【分析】本题考查全概率公式，条件概率的计算公式.
（1）设试验一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件，“试验结果为红球”为事件，“试验结果为白球”为事件，利用全概率公式进行计算可求出答案；
（2）①先利用对立事件的概率公式先求出，再利用条件概率的计算公式可求出选到的袋子为甲袋的概率；
②先利用对立事件的概率公式先求出，利用全概率公式进行计算可求出方案一中取到红球的概率和方案二中取到红球的概率，通过比较两种方案的概率可作出判断.
17．【答案】（1）证明：取的中点，连结，
∵在中，、分别为、的中点，如图所示：
∴且，
又在直三棱柱中，E是的中心，
∴且，∴且，
∴四边形BEFM为平行四边形，
∴，
∵在中，M为AC的中点，且，
∴，且，
∵平面，平面，∴，
又，∴平面，∴平面；
（2）解：由（1）知，，，
因为直线与平面所成的角大小为，，
因为中，，，
，，
，设点到平面的距离为，
，，即，解得
【知识点】直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】本题考查直线与平面垂直的判定，点到平面的距离.
（1）取的中点，连结，利用三角形的中位线定理可证明且，再结合已知条件可证明四边形BEFM为平行四边形，利用平行四边形的性质可推出，利用等腰三角形的性质可证明，再根据条件可证明平面，再结合可证明结论；
（2）根据，利用直线与平面所成角的定义可推出，利用正切的定义可求出，利用勾股定理可求出，设点到平面的距离为，利用等体积法可得：，据此可列出方程，解方程可求出点C到平面的距离.
18．【答案】（1）解：由，得，，
由于曲线在点处的切线与轴平行．所以，因此．
（2）解：由（1）得，，令，，
当时，；当时，．
又，所以时，；时，．
因此的单调递增区间为，单调递减区间为
（3）解：因为，所以，，
由（2）得，，求导得．
所以当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减．
故
所以当时，．又当时，，
所以当时，，即．综上所述结论成立.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】本题考查曲线的切线方程，利用导函数研究函数的单调性.
(1)先求出导函数，根据曲线在点处的切线与轴平行，可列出方程，解方程可求出的值；
(2)化简导函数公式可得：，，令，，根据的正负，可判断导函数的正负，据此可求出函数的单调区间；
(3)先求出的解析式，令，，求出导函数，令和，解不等式可求出函数的单调区间，进而可求出函数的最值，进而可求出函数的最值，证明结论.
19．【答案】（1）解：依题意，设动圆的圆心为，半径为r，
因为该动圆与圆外切，与圆内切，
此处要特别注意圆在圆的内部与圆相切，否则圆无法与圆外切，
所以，，
所以，
由双曲线定义可知，M的轨迹是以E，F为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，
所以2a＝4，2c＝6，即a＝2，c＝3，所以b2＝c2－a2＝1，
所以曲线C的方程为.
.
（2）证明：选择①② ③：
设直线l：y＝kx＋m，A，B，
联立，消去，得x2－16mkx－8m2－8＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝，
因为，k1＋k2＝0，所以＋＝0，
即＋＝0，
即2kx1x2＋－8＝0，
所以2k×＋－8＝0，
化简得8k2＋2k－1＋m＝0，即＝0，
所以或m＝1－4k，
当m＝1－4k时，直线l：y＝kx＋m＝k＋1过点P，不满足题意，舍去；
当时，由于曲线是双曲线的右支，易知，
又由x2－16mkx－8m2－8＝0得，
此时，则，解得，故，
即时，满足题意，
综上：，所以③成立.
选择①③ ②：
设直线l：y＝－x＋m，A，B，
联立，消去，得，
所以x1＋x2＝8m，x1x2＝8m2＋8，
由第1种选择可知且，此处不再详细说明，
所以k1＋k2＝＋＝＋
＝－1＋＋＝－1＋
＝－1＋＝0，
所以②成立.
选择②③ ①：
设直线l：y＝－x＋m，A，B，P(x0，y0)，
联立，消去，得，
所以x1＋x2＝8m，x1x2＝8m2＋8，
由第1种选择可知且，此处不再详细说明，
由k1＋k2＝＋＝＋＝0，
得＋＝0，
即－x1x2＋－2x0＝0，
所以－8m2－8＋8m×－2x0＝0，
故2m＋2x0y0－8＝0，
由于的任意性，所以，，解得，
又，所以，则，满足，
所以P，①成立.
【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用两圆位置关系得到，从而得到，再利用双曲线的定义即可得到曲线的方程；
（2）依次选择其中两个作为已知条件，联立直线与曲线的方程，结合韦达定理得到关于的表达式，从而得证.
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一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（2024高二下·合江期末）（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】，
故选：C
【分析】利用复数乘法运算计算由得出答案。
2．（2024高二下·合江期末）下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】导数的乘法与除法法则；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：A：，A正确；
B：，B错误；
C：，C错误；
D：，D错误，
故答案为：A
【分析】直接利用积的导数公式进行计算可判断A选项和C选项；根据常数的导数等于0可判断B选项；利用指数函数的导数公式进行计算可判断D选项.
3．（2024高二下·合江期末）直线过圆的圆心，并且与直线垂直，则直线 的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直线的点斜式方程；圆的标准方程
【解析】【解答】解：由可知圆心为，
又因为直线与直线垂直，
所以直线的斜率为，
由点斜式得直线，
化简得直线的方程是．
故答案为：D．
【分析】本题考查直线的点斜式方程.先求出圆心坐标，再根据直线垂直的斜率关系可求出斜率，再利用直线的点斜式方程可求出直线方程.
4．（2024高二下·合江期末）已知数列的前n项和为，则（ ）
A．81 B．162 C．243 D．486
【答案】B
【知识点】通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：由题意可知：.
故答案为：B.
【分析】根据题意结合与之间的关系分析求解.
5．（2024高二下·合江期末）下列命题中，真命题的是（ ）
A．若样本数据的方差为2，则数据的方差为8
B．若回归方程为，则变量y与x正相关
C．甲同学所在的某校高三共有5003人，先剔除3人，再按简单随机抽样的方法抽取容量为200的一个样本，则甲被抽到的概率为
D．在线性回归分析中相关指数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好
【答案】A
【知识点】简单随机抽样；极差、方差与标准差；线性回归方程；回归分析的初步应用
【解析】【解答】解：A.若样本数据的方差为2，
则数据的方差为，A为真命题，A正确；
B.由，可知，则变量y与x负相关，B项为假命题，B错误；
C.根据随机抽样可知每个个体被抽到的机会均等，与抽样方法无关，
某校高三共有5003人，抽取容量为200的一个样本，
则甲被抽到的概率为，C为假命题，C错误；
D.在线性回归分析中相关指数越接近于1，则模型的拟合效果越好，D为假命题，D错误.
故答案为：A.
【分析】利用方差的性质公式进行计算可求出新数据的方差，据此可判断A选项；根据线性回归方程可得，据此可判断变量y与x相关性，判断B选项；根据随机抽样可知每个个体被抽到的机会均等，与抽样方法无关，可求出对应的概率，判断C选项；根据相关指数的统计学意义可判断D选项.
6．（2024高二下·合江期末）已知在处有极值，则（ ）
A．11或4 B．-4或-11 C．11 D．4
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：根据题意，
函数在处有极值0
且
或
时恒成立，此时函数无极值点
.
故答案为：C.
【分析】先求出导函数，根据函数在处有极值0，可列出方程组，解方程组可求出的值，再进行检验可确定答案.
7．（2024高二下·合江期末）的展开式中的系数为（ ）
A．55 B． C．65 D．
【答案】D
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】解：含的项为，所以展开式中的系数为．
故答案为：
【分析】根据展开式的通项公式进行计算可得：含的项为，再利用组合数进行计算可求出答案.
8．（2024高二下·合江期末）已知，，，则（参考数据：）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】因为， ，
考虑构造函数，则，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
因为，所以，即，
所以，
所以，即，
又，
所以，故，
故答案为：B.
【分析】由，，构造函数，利用导数研究函数的单调性，利用单调性比较大小即可.
二、多项选择题（每小题6分，共3小题，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9．（2024高二下·合江期末）直线，下列图象中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,C
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系；直线的斜截式方程
【解析】【解答】解：直线l1：ax-y-b=0，即y=ax-b ，斜率为a，y轴上截距为-b，
直线l2：ax-y-b=0，即y=bx+a ，斜率为b，y轴上截距为a，
对于A，不一致，故A错误.
对于B，一致，故B正确.
对于C，一致，故C正确.
对于D，不一致，故D错误.
故答案为：B、C.
【分析】得出两直线的斜率、截距，观察图像即可.
10．（2024高二下·合江期末）甲罐中有5个红球，3个白球，乙罐中有4个红球，2个白球．整个取球过程分两步，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用，表示由甲罐取出的球是红球，白球的事件；再从乙罐中随机取出两球，分别用B，C表示第二步由乙罐取出的球是“两球都为红球”，“两球为一红一白”的事件，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】全概率公式；条件概率
【解析】【解答】解：A.在事件发生的条件下，乙罐中有5红2白7个球，则，A错误；
B.在事件发生的条件下，乙罐中有4红3白7个球，则，B正确；
C.因，，，
则，C正确；
D.因，，
则，D正确.
故答案为：BCD
【分析】在各自新的样本空间中利用古典概型的计算公式可求出，，据此可判断A选项和B选项；利用古典概型的计算公式可求出，，，利用全概率公式可求出，可判断C选项；利用古典概型的计算公式可求出，，利用全概率公式可求出，可判断D选项.
11．（2024高二下·合江期末）已知抛物线的焦点为F，过F作两条互相垂直的直线，，与C相交于P，Q，与C相交于M，N，的中点为G，的中点为H，则（ ）
A．
B．
C．的最大值为16
D．当最小时，直线的斜率不存在
【答案】A,D
【知识点】抛物线的定义；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：设∠PFx =， ∈(0，)，则2 +|PF|cos=|PF|， 所以
同理.
对于A， ，故A正确.
对于B，
所以 ，故B错误.
对于C，
|PQ|+|MN| = ，
当且仅当时，最小值是16.故C错误.
对于D，直角三角形GFH中，|GH| = |GF| +|HF| =
令 ， x∈ [4，+∞)，*.|GH| = 4(x - 3x)， x ∈ [4， +∞)，
当x = 4时，|GH|最小，此时，即关于x轴对称，所以G，H两点也关于x轴对称，
故直线GH的斜率不存在，故D正确.
故答案为：A、D.
【分析】设∠PFx =， ∈(0，)，利用抛物线定义，求出、.代入可判断A正确.代入判断B错误.代入|PQ|+|MN结合三角函数性质，|判断C错误.利用换元法结合二次函数的性质判断D正确.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案直接填在答题卡中的横线上.）
12．（2024高二下·合江期末）近年来，“剧本杀”门店遍地开花．放假伊始，7名同学相约前往某“剧本杀”门店体验沉浸式角色扮演型剧本游戏，目前店中仅有可供4人组局的剧本，其中A，B角色各1人，C角色2人．已知这7名同学中有4名男生，3名女生，现决定让店主从他们7人中选出4人参加游戏，其余3人观看，要求选出的4人中至少有1名女生，并且A，B角色不可同时为女生．则店主共有 种选择方式．
【答案】348
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由题意，根据选出的女生人数进行分类，
第一类：选出1名女生，先从3名女生中选1人，再从四名男生中选3人，然后安排角色，两名男生扮演A，B角色有种，剩余的1名男生和女生扮演C角色，或A，B角色1名男生1名女生，女生先选有，剩下的一个角色从3名男生中选1人，则种，
所以共有种，
第二类：选出2名女生，先从3名女生中选2人，再从四名男生中选2人，然后安排角色，两名男生扮演A，B角色有种，剩余的2名女生扮演C角色，或A，B角色1名男生1名女生，选出1名女生先选角色有，剩下的一个角色从2名男生中选1人，则种，所以共有种，
第三类：选出3名女生，从先从3名女生中选3人，再从四名男生中选1人，然后安排角色，A，B角色1名男生1名女生，选出1名女生先选角色有，剩下的一个角色让男生扮演，余下的2名女生扮演角色C，
所以共有种，由分类计数原理可得：店主共有种选择方式，
故答案为：.
【分析】根据题意可得问题需要分为三类：第一类：选出1名女生，先从3名女生中选1人，再从四名男生中选3人，然后安排角色；第二类：选出2名女生，先从3名女生中选2人，再从四名男生中选2人，然后安排角色；第三类：选出3名女生，从先从3名女生中选3人，再从四名男生中选1人，然后安排角色；利用排列组合的知识可求出每一类的种数，再根据分类加法计数原理可求出答案.
13．（2024高二下·合江期末）若函数在区间(1，4)上不单调，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数，，
若函数在区间上不单调，则在上存在变号零点，
由得，
令，，，
在递减，在递增，而，，，所以.
故答案为：.
【分析】先求出导函数，根据题意可得在上存在变号零点，根据，参变分离可得，令，求出导函数， 利用导函数可推出在的单调性，根据单调性后可求出实数的取值范围.
14．（2024高二下·合江期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上一点，且，H是线段上靠近的三等分点，且，则C的离心率为 .
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由题意，不妨设点P在第一象限，如图所示：
因为，则，，.
因为，则，可知，
则，即，整理得.
由得，解得或（舍去），
所以C的离心率为.
故答案为：.
【分析】不妨设点P在第一象限，先作出图形，根据题意可求出，，，根据条件可证明，利用相似三角形的性质可得，通过化简可得：，解方程可求出椭圆C的离心率.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．（2024高二下·合江期末）已知数列是等差数列，其前项和为，且，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）解：设等差数列的公差为，又，，
所以，解得，，
所以的通项公式
（2）解：由（1）知，
所以
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式，等比数列的前n项和公式，分组求和求数列的和.
（1）设等差数列的公差为，利用等差数列的通项公式和等差数列前项和公式可列出方程组，解方程组可求出，，利用等差数列的通项公式可求出的通项公式；
（2）通过化简可得：，利用分组求和可求出.
16．（2024高二下·合江期末）人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大.人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率）.
（1）求首次试验结束的概率；
（2）在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整.
①求选到的袋子为甲袋的概率，
②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大.
【答案】（1）解：设试验一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件，“试验结果为红球”为事件，“试验结果为白球”为事件，
.
所以试验一次结果为红球的概率为
（2）解：①因为，是对立事件，，
所以，
所以选到的袋子为甲袋的概率为
②由①得，
所以方案一中取到红球的概率为：
，
方案二中取到红球的概率为：
，
因为，所以方案二中取到红球的概率更大
【知识点】全概率公式；条件概率
【解析】【分析】本题考查全概率公式，条件概率的计算公式.
（1）设试验一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件，“试验结果为红球”为事件，“试验结果为白球”为事件，利用全概率公式进行计算可求出答案；
（2）①先利用对立事件的概率公式先求出，再利用条件概率的计算公式可求出选到的袋子为甲袋的概率；
②先利用对立事件的概率公式先求出，利用全概率公式进行计算可求出方案一中取到红球的概率和方案二中取到红球的概率，通过比较两种方案的概率可作出判断.
17．（2024高二下·合江期末）如图，在直三棱柱中，，，E，F为线段，的中点．
（1）证明：EF⊥平面；
（2）若直线EA与平面ABC所成的角大小为，求点C到平面的距离．
【答案】（1）证明：取的中点，连结，
∵在中，、分别为、的中点，如图所示：
∴且，
又在直三棱柱中，E是的中心，
∴且，∴且，
∴四边形BEFM为平行四边形，
∴，
∵在中，M为AC的中点，且，
∴，且，
∵平面，平面，∴，
又，∴平面，∴平面；
（2）解：由（1）知，，，
因为直线与平面所成的角大小为，，
因为中，，，
，，
，设点到平面的距离为，
，，即，解得
【知识点】直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】本题考查直线与平面垂直的判定，点到平面的距离.
（1）取的中点，连结，利用三角形的中位线定理可证明且，再结合已知条件可证明四边形BEFM为平行四边形，利用平行四边形的性质可推出，利用等腰三角形的性质可证明，再根据条件可证明平面，再结合可证明结论；
（2）根据，利用直线与平面所成角的定义可推出，利用正切的定义可求出，利用勾股定理可求出，设点到平面的距离为，利用等体积法可得：，据此可列出方程，解方程可求出点C到平面的距离.
18．（2024高二下·合江期末）已知函数（为常数，…是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行．
（1）求的值；
（2）求函数的单调区间；
（3）设，其中为的导函数．证明：对任意，．
【答案】（1）解：由，得，，
由于曲线在点处的切线与轴平行．所以，因此．
（2）解：由（1）得，，令，，
当时，；当时，．
又，所以时，；时，．
因此的单调递增区间为，单调递减区间为
（3）解：因为，所以，，
由（2）得，，求导得．
所以当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减．
故
所以当时，．又当时，，
所以当时，，即．综上所述结论成立.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】本题考查曲线的切线方程，利用导函数研究函数的单调性.
(1)先求出导函数，根据曲线在点处的切线与轴平行，可列出方程，解方程可求出的值；
(2)化简导函数公式可得：，，令，，根据的正负，可判断导函数的正负，据此可求出函数的单调区间；
(3)先求出的解析式，令，，求出导函数，令和，解不等式可求出函数的单调区间，进而可求出函数的最值，进而可求出函数的最值，证明结论.
19．（2024高二下·合江期末）已知一动圆与圆外切，与圆内切，该动圆的圆心的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程．
（2）已知点在曲线上，斜率为的直线与曲线交于两点（异于点）．记直线和直线的斜率分别为，，从下面①、②、③中选取两个作为已知条件，证明另外一个成立．
①；②；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】（1）解：依题意，设动圆的圆心为，半径为r，
因为该动圆与圆外切，与圆内切，
此处要特别注意圆在圆的内部与圆相切，否则圆无法与圆外切，
所以，，
所以，
由双曲线定义可知，M的轨迹是以E，F为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，
所以2a＝4，2c＝6，即a＝2，c＝3，所以b2＝c2－a2＝1，
所以曲线C的方程为.
.
（2）证明：选择①② ③：
设直线l：y＝kx＋m，A，B，
联立，消去，得x2－16mkx－8m2－8＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝，
因为，k1＋k2＝0，所以＋＝0，
即＋＝0，
即2kx1x2＋－8＝0，
所以2k×＋－8＝0，
化简得8k2＋2k－1＋m＝0，即＝0，
所以或m＝1－4k，
当m＝1－4k时，直线l：y＝kx＋m＝k＋1过点P，不满足题意，舍去；
当时，由于曲线是双曲线的右支，易知，
又由x2－16mkx－8m2－8＝0得，
此时，则，解得，故，
即时，满足题意，
综上：，所以③成立.
选择①③ ②：
设直线l：y＝－x＋m，A，B，
联立，消去，得，
所以x1＋x2＝8m，x1x2＝8m2＋8，
由第1种选择可知且，此处不再详细说明，
所以k1＋k2＝＋＝＋
＝－1＋＋＝－1＋
＝－1＋＝0，
所以②成立.
选择②③ ①：
设直线l：y＝－x＋m，A，B，P(x0，y0)，
联立，消去，得，
所以x1＋x2＝8m，x1x2＝8m2＋8，
由第1种选择可知且，此处不再详细说明，
由k1＋k2＝＋＝＋＝0，
得＋＝0，
即－x1x2＋－2x0＝0，
所以－8m2－8＋8m×－2x0＝0，
故2m＋2x0y0－8＝0，
由于的任意性，所以，，解得，
又，所以，则，满足，
所以P，①成立.
【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用两圆位置关系得到，从而得到，再利用双曲线的定义即可得到曲线的方程；
（2）依次选择其中两个作为已知条件，联立直线与曲线的方程，结合韦达定理得到关于的表达式，从而得证.
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