广东省江门市新会一中2023-2024学年高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024高二下·新会期末）已知的分布列为
设，则( )
A． B． C． D．
2．（2024高二下·新会期末）已知圆：，直线：，若当的值发生变化时，直线被圆所截的弦长的最小值为，则的取值为( )
A． B． C． D．
3．（2024高二下·新会期末）已知等差数列，等比数列，满足，，则( )
A． B． C． D．
4．（2024高二下·新会期末）若曲线在点处的切线与直线：平行，则实数( )
A． B． C． D．
5．（2024高二下·新会期末）今天是星期天，则天后是( )
A．星期五 B．星期六 C．星期天 D．星期一
6．（2024高二下·新会期末）某单位五一放假，安排甲、乙等五人值班五天，每人值班一天若甲、乙都至少需要三天的连休假期，则不同的值班安排共有( )
A．种 B．种 C．种 D．种
7．（2024高二下·新会期末）袋中装有个球，其中个黑球、个白球，从中依次取两球不放回，则第二次取到的是黑球的概率为( )
A． B． C． D．
8．（2024高二下·新会期末）已知函数，下列关于的四个命题，其中是假命题是( )
A．函数在上是增函数
B．函数的最小值为
C．如果时，，则的最小值为
D．函数有个零点
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9．（2024高二下·新会期末）给出下列命题，其中正确的命题有( )
A．两个变量的线性相关性越强，则相关系数越大
B．在的展开式中，各项系数和与所有项二项式系数和相等
C．将名老师分派到两个学校支教，每个学校至少派人，则共有种不同的分派方法
D．公共汽车上有位乘客，沿途个车站，乘客下车的可能方式有种
10．（2024高二下·新会期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支相交于，两点，则( )
A．若的两条渐近线相互垂直，则
B．若的离心率为，则的实轴长为
C．若，则
D．当变化时，周长的最小值为
11．（2024高二下·新会期末）如图，在棱长为的正方体中，、分别为棱、的中点，为线段上一个动点，则( )
A．三棱锥的体积为定值
B．存在点，使平面平面
C．当点与重合时，二面角的正切值为
D．当点为中点时，平面截正方体所得截面的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2024高二下·新会期末）已知，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点且，则的面积为 ．
13．（2024高二下·新会期末）甲、乙两人争夺一场羽毛球比赛的冠军，比赛为“三局两胜”制如果每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为 ．
14．（2024高二下·新会期末）已知，函数恒成立，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（2024高二下·新会期末）某班级有名同学参加了某次考试，从中随机抽选出名同学，他们的数学成绩与物理成绩如下表：
数学成绩
物理成绩
数据表明与之间有较强的线性相关性．
参考公式及数据：，，，，
，其中．
下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值．
（1）利用表中数据，求关于的经验回归方程，并预测该班某同学的数学成绩为分时的物理成绩；
（2）在本次考试中，规定数学成绩达到分为数学优秀，物理成绩达到分为物理优秀若该班的数学优秀率与物理优秀率分别为和，且所有同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有人，请你完成下面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为数学成绩与物理成绩有关联？
数学成绩 物理成绩 合计
物理优秀 物理不优秀
数学优秀
数学不优秀
合计
16．（2024高二下·新会期末）已知数列的前项和为．
（1）证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和；
（3）数列中是否存在三项，它们可以构成等差数列？直接写出结论，不要求证明．
17．（2024高二下·新会期末）如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面．
（1）证明：平面；
（2）若，，在线段上（不含端点），是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．
18．（2024高二下·新会期末）面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节某科技企业招聘员工，首先要进行笔试，笔试达标者进入面试，面试环节要求应聘者回答个问题，第一题考查对公司的了解，答对得分，答错不得分，第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得分，答错不得分．
附：若，则，，．
（1）若一共有人应聘，他们的笔试得分服从正态分布，规定为达标，求进入面试环节的人数大约为多少结果四舍五入保留整数；
（2）某进入面试的应聘者第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，每道题是否答对互不影响，求该应聘者的面试成绩的分布列和数学期望．
19．（2024高二下·新会期末）已知函数．
（1）若是函数的一个极值点，求的值；
（2）若在上恒成立，求的取值范围；
（3）证明：为自然对数的底数．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】概率的基本性质；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由题意得，解得，
故，而，
则.
故答案为：C
【分析】先利用概率分布列的性质可列出方程，解方程可求出m的值，利用随机变量的期望计算公式可求出，再利用期望的性质公式可求出.
2．【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：由圆：，直线：，
直线被圆所截的弦长的最小值为，设弦长为，
则圆心到直线的距离为：；
因为弦长的最小值为，则，
又，
当时，有最大值为，
，
则.
故答案为：C.
【分析】将直线被圆所截的弦长的最小值，转化为圆心到直线的距离的最大值，结合点到直线的距离公式得到的等式关系，化简即可得到结果.
3．【答案】B
【知识点】等差数列的性质；等比数列的性质
【解析】【解答】解：数列是等差数列，，可得，即，
数列是等比数列，，可得，可得，
则．
故答案为：B．
【分析】利用等差数列的性质可求出，利用等比数列的性质可求出，再利用等差数列的性质和和等比数列的性质化简式子可得：，代入数据可求出答案.
4．【答案】D
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：由，得，，
曲线在点处的切线与直线平行，
，即.
故答案为：D.
【分析】先求出导函数，再利用导函数的几何意义可求出切线的斜率，再根据两条直线平行的斜率转化公式，可列出方程，解方程可求出实数的值.
5．【答案】B
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：因为，
所以除以7的余数为6，所以天后是星期六．
故答案为：B.
【分析】先将改写为：，再利用二项式定理进行展开，据此可得除以7的余数为6，据此可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可知甲、乙都不能安排第三天值班，故可以分步完成：
第一步，在除了第三天之外的四天中选两天给甲乙，有种方法；
第二步，在剩下的三个位置上安排另外三个人，有种方法.
由分步乘法计数原理，不同的值班安排共有种．
故答案为：C.
【分析】因甲乙都至少需要三天的连休假期，采用“特殊位置优选法”：第一步，在除了第三天之外的四天中选两天给甲乙；第二步，在剩下的三个位置上安排另外三个人，求出每一步的方法数，再利用分步乘法计数原理进行计算可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：设事件：表示第1次取到黑球，事件：表示第1次取到白球，事件：表示第2次取到黑球，
于是，，
则.
故答案为：B
【分析】先设事件：表示第1次取到黑球，事件：表示第1次取到白球，事件：表示第2次取到黑球，利用古典概率的计算公式可求出，，再根据，利用全概率的计算公式进行计算可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A，因为，求导得，
当或时，，当时，，
故在和上单调递减，在上单调递增，A错误；
B，当时，，当时，，
结合A选项得函数的最小值为0，B错误；
C， 当时，，则的图像如下所示：
如果时，，由图可知的最小值为， C错误；
D， 由图可知只有一个零点，D 正确.
故答案为：D.
【分析】先求出导函数，令和可求出函数的单调区间，据此可判断A选项；根据函数的单调区间，据此可求出函数的最值，据此可判断B选项；根据函数的单调性和最值可画出函数的图象，根据函数图象可求出的最小值，判断C选项；根据函数的图象，可找出函数的零点，据此可判断D选项.
9．【答案】B,C
【知识点】样本相关系数r及其数字特征；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用；二项式系数
【解析】【解答】解：A，两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越大，A错误；
B，由于的展开式中各项系数和就等于该表达式在时的取值，即，而这正是指数为时的二项式系数和，B正确；
C，名老师各有种选择学校的方式，总共种，但每个学校至少派1人，所以这种选择方式中有两种是需要剔除的（即都去一个学校或都去另一个学校），所以共有种不同的分派方法，C正确；
D，每名乘客有种选择下车车站的方式，故总共的可能下车方式有种，而，D错误.
故答案为：BC.
【分析】利用相关系数的统计学意义进行判断，可判断A选项；令，可求出所有项二项式系数和，据此可判断B选项；先求出名老师各有种选择学校的方式种数，再求出需要剔除的种数，可求出不同的分派方法，据此可判断C选项；利用分步乘法计数原理进行计算可求出可能的下车方式数目，可判断D选项.
10．【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：依题意，，
A，若双曲线的两条渐近线相互垂直，所以，A正确；
B，若的离心率为，
解得，所以实轴长，B错误；
C，若，则，
整理得，C正确；
D，根据双曲线的定义可知，，
两式相加得，
所以周长为，
当时，取得最小值，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以周长的最小值为，D正确.
故答案为：ACD
【分析】根据双曲线的方程可得：，根据双曲线的两条渐近线相互垂直，可求出的值，判断A选项；利用双曲线的离心率计算公式进行计算可求出a的值，据此可求出实轴长，判断B选项；当时，利用勾股定理和双曲线的定义可列出方程组，解方程组可求出，判断C选项；利用双曲线的定义可推出周长为，根据题意可得当时，取得最小值，利用基本不等式可求出周长的最小值，判断D选项.
11．【答案】A,C
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面平行的判定；二面角的平面角及求法
【解析】【解答】解：A，随着的移动，但是点到平面的距离始终不变即为线段的长度，
故是定值，A正确；
B，如图所示，
连接，为侧面的中心，
平面与平面和平面分别交于线、，
若存在点使平面平面，则，又，
则四边形为平行四边形，即，而，
此时应在延长线上，故不存在线段上一个动点，使平面平面，B错误；
C，取的中点，连接，，如图所示：
又，，
所以，，所以为二面角的平面角，
又平面，平面，所以，
，所以，
即二面角的正切值为，C正确；
D，连接，，，，依题意可知，，，
所以，
所以四边形为平面截正方体所得截面，又，，，
如下平面图形，过点作，过点作，如图所示：
则，所以，
所以，
当点为中点时，平面截正方体所得截面的面积为，D错误.
故答案为：AC
【分析】观察几何体可得点到平面的距离始终不变即为线段的长度，利用三棱锥的体积计算公式可求出三棱锥的体积，判断A选项；连接，为侧面的中心，通过反证，利用平面与平面和平面的交线、是否能平行，通过正方体的结构特征可得应在延长线上，故不存在线段上一个动点，据此可判断B选项；取的中点，连接，，利用勾股定理可求出，据此可得，，利用二面角的定义可得为二面角的平面角，利用锐角三角函数正切的定义可求出二面角的正切值，判断C选项；连接，，，，先作出截面：四边形为平面截正方体所得截面，利用勾股定理求出对应线段的长度，利用梯形的面积公式求出截面面积，可判断D选项.
12．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由椭圆可知，
故，结合，
可得，而，
故为等腰三角形，其面积为.
故答案为：.
【分析】先根据椭圆方程求出，再根据，利用椭圆的定义可求出三边长，据此推出为等腰三角形，利用三角形面积公式进行计算可求出的面积.
13．【答案】
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：设甲获得冠军为事件A，比赛共进行了3局为事件B，
则AB表示在甲获得冠军的条件下，比赛共进行了3局，
，
，
所以.
故答案为：.
【分析】设甲获得冠军为事件A，比赛共进行了3局为事件B，先利用独立事件乘法公式及互斥事件的概率求法可求出，再利用条件概率的计算公式进行计算可求出答案.
14．【答案】7
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：当a为正偶数时， 当时，，显然不符合题意；
当a为正奇数时，则当时，恒成立，
因此只需研究时，恒成立即可，
当时，成立，
则当时，，因为此时小于0，所以恒成立，
当时，恒成立，
令，，则，
令，得，即，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
所以函数在上取得最小值，
要使时，恒成立，则，
又因为a为正奇数，所以a的最大值为1，
综上所述，a的最大值为1.
故答案为：1.
【分析】当a为正偶数时，不符合题意，当a为正奇数时，只需研究时，通过分离常数可得：恒成立，设，求出导函数，令和，解不等式可求出函数的单调区间，进而求出函数求的最小值，据此可求出a的最大值.
15．【答案】（1）解： 由表中数据可得，，，，
所以，，
故经验回归方程为，
当时，分，
该班某同学的数学成绩为分时的物理成绩分；
（2）解： 列联表如下：
数学成绩 物理成绩 合计
物理优秀 物理不优秀
数学优秀
数学不优秀
合计
零假设：数学成绩与物理成绩无关联，
则，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即数学优秀与物理优秀有关，犯错的概率不超过．
【知识点】线性回归方程；独立性检验的应用
【解析】【分析】本题考查经验回归方程，独立性检验.
（1）根据表格的数据先求出，利用经验回归方程的计算公式可求出，，进而可求出经验性回归方程，将代入经验回归方程中，可求出预测值；
（2）根题目数据，先完成列联表，再计算出，将与临界值进行比较，可作出判断.
16．【答案】（1）证明：由，可得，解得，
当时，由，可得，
两式相减可得，
整理得，又，
则，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
可得，
所以；
（2）解：由得，所以，
所以，
则，
得：
，
解得；
（3）解：数列中不存在三项可以构成等差数列，理由如下：
假设数列中存在三项，它们可以构成等差数列，
设，，成等差数列，且，，，，
即有，又，
所以，
整理得，
上式左边为偶数，右边为奇数，显然不成立，
故数列中不存在能构成等差数列的三项．
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；通项与前n项和的关系；等差中项
【解析】【分析】(1)当时，先求出，当时，先求出，利用数列通项与前n项和的关系可推出数列是首项为6，公比为2的等比数列，利用等比数列的通项公式可求出数列的通项公式.
(2)根据（1）的结论，通过化简可得，利用错位相减法可求出数列的前项和.
(3)利用反证法：假设数列中存在三项，设，，成等差数列，利用等差中项的定义可列出方程，化简方程可得，通过分析可得假设不成立，所以数列中不存在能构成等差数列的三项.
17．【答案】（1）证明：过点作于点，
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以，
又平面，平面，
所以，
又因为，，平面，
所以平面．
（2）解：假设在线段上（不含端点），存在点，使得二面角的余弦值为，
以为原点，分别以、为轴，轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，，，
设平面的一个法向量为，
即取，，，
所以为平面的一个法向量，
因为在线段上（不含端点），所以可设，，
所以，
设平面的一个法向量为，
即，
取，，，
所以为平面的一个法向量，
，又，
由已知可得
解得或（舍去），
所以，存在点，使得二面角的余弦值为，
此时是上靠近的三等分点．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)根据平面和平面垂直的性质得线面垂直平面，再根据线面垂直性质得线线垂直，最后根据线面垂直判定定理得结论.
(2)假设存在，设，通过建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，进而表示出二面角的余弦值，令余弦值为，求得值，满足题意即为存在，否则不存在.
18．【答案】（1）解： 服从正态分布，
，
进入面试环节的人数，
，
即进入面试环节的人数大约为；
（2）解： 根据题意，的所有可能取值为，，，，，，
则，，
，，
，，
的分布列为：
则．
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布；正态密度曲线的特点
【解析】【分析】（1）利用正态分布的对称性可求出，据此可得进入面试环节的人数，利用二项分布的期望计算公式可估计进入面试的人数．
（2）根据题意分析可得：的可能取值为0，2，4，6，8，10，再求出取每一个可能的值的概率，据此可列出分布列，利用离散型随机变量数学期望进行计算可求出数学期望.
19．【答案】（1）解： ，定义域为，
，因为是的一个极值点，
所以.
此时，所以在区间上单调递减，
在区间上单调递增，所以是的极小值点，符合题意，
所以.
（2）解： 在上恒成立，，
当时，在上恒成立，
即在上为增函数，
成立，即，
当时，令，则，
令，则，
即在上为减函数，在上为增函数，
，又，则矛盾．
综上，的取值范围为．
（3）解： 两边取自然对数得，，
，
由知时，在单调递增，
又，，
，
故成立．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）先求出函数的定义域，再求出导函数，根据是的一个极值点，可列出方程，解方程可求出的值，再进行检验可确定的值.
（2）对分两种情况：当时；当时；，根据在区间上的最小值不小于，可列出不等式，解不等式可求出实数的取值范围.
（3）先利用对数的运算法则进行化简，可将要证明的不等式转化为证明，根据的结论可知：在单调递增，利用函数的单调性可证明不等式.
1 / 1广东省江门市新会一中2023-2024学年高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024高二下·新会期末）已知的分布列为
设，则( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】概率的基本性质；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由题意得，解得，
故，而，
则.
故答案为：C
【分析】先利用概率分布列的性质可列出方程，解方程可求出m的值，利用随机变量的期望计算公式可求出，再利用期望的性质公式可求出.
2．（2024高二下·新会期末）已知圆：，直线：，若当的值发生变化时，直线被圆所截的弦长的最小值为，则的取值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：由圆：，直线：，
直线被圆所截的弦长的最小值为，设弦长为，
则圆心到直线的距离为：；
因为弦长的最小值为，则，
又，
当时，有最大值为，
，
则.
故答案为：C.
【分析】将直线被圆所截的弦长的最小值，转化为圆心到直线的距离的最大值，结合点到直线的距离公式得到的等式关系，化简即可得到结果.
3．（2024高二下·新会期末）已知等差数列，等比数列，满足，，则( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等差数列的性质；等比数列的性质
【解析】【解答】解：数列是等差数列，，可得，即，
数列是等比数列，，可得，可得，
则．
故答案为：B．
【分析】利用等差数列的性质可求出，利用等比数列的性质可求出，再利用等差数列的性质和和等比数列的性质化简式子可得：，代入数据可求出答案.
4．（2024高二下·新会期末）若曲线在点处的切线与直线：平行，则实数( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：由，得，，
曲线在点处的切线与直线平行，
，即.
故答案为：D.
【分析】先求出导函数，再利用导函数的几何意义可求出切线的斜率，再根据两条直线平行的斜率转化公式，可列出方程，解方程可求出实数的值.
5．（2024高二下·新会期末）今天是星期天，则天后是( )
A．星期五 B．星期六 C．星期天 D．星期一
【答案】B
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：因为，
所以除以7的余数为6，所以天后是星期六．
故答案为：B.
【分析】先将改写为：，再利用二项式定理进行展开，据此可得除以7的余数为6，据此可求出答案.
6．（2024高二下·新会期末）某单位五一放假，安排甲、乙等五人值班五天，每人值班一天若甲、乙都至少需要三天的连休假期，则不同的值班安排共有( )
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可知甲、乙都不能安排第三天值班，故可以分步完成：
第一步，在除了第三天之外的四天中选两天给甲乙，有种方法；
第二步，在剩下的三个位置上安排另外三个人，有种方法.
由分步乘法计数原理，不同的值班安排共有种．
故答案为：C.
【分析】因甲乙都至少需要三天的连休假期，采用“特殊位置优选法”：第一步，在除了第三天之外的四天中选两天给甲乙；第二步，在剩下的三个位置上安排另外三个人，求出每一步的方法数，再利用分步乘法计数原理进行计算可求出答案.
7．（2024高二下·新会期末）袋中装有个球，其中个黑球、个白球，从中依次取两球不放回，则第二次取到的是黑球的概率为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：设事件：表示第1次取到黑球，事件：表示第1次取到白球，事件：表示第2次取到黑球，
于是，，
则.
故答案为：B
【分析】先设事件：表示第1次取到黑球，事件：表示第1次取到白球，事件：表示第2次取到黑球，利用古典概率的计算公式可求出，，再根据，利用全概率的计算公式进行计算可求出答案.
8．（2024高二下·新会期末）已知函数，下列关于的四个命题，其中是假命题是( )
A．函数在上是增函数
B．函数的最小值为
C．如果时，，则的最小值为
D．函数有个零点
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A，因为，求导得，
当或时，，当时，，
故在和上单调递减，在上单调递增，A错误；
B，当时，，当时，，
结合A选项得函数的最小值为0，B错误；
C， 当时，，则的图像如下所示：
如果时，，由图可知的最小值为， C错误；
D， 由图可知只有一个零点，D 正确.
故答案为：D.
【分析】先求出导函数，令和可求出函数的单调区间，据此可判断A选项；根据函数的单调区间，据此可求出函数的最值，据此可判断B选项；根据函数的单调性和最值可画出函数的图象，根据函数图象可求出的最小值，判断C选项；根据函数的图象，可找出函数的零点，据此可判断D选项.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9．（2024高二下·新会期末）给出下列命题，其中正确的命题有( )
A．两个变量的线性相关性越强，则相关系数越大
B．在的展开式中，各项系数和与所有项二项式系数和相等
C．将名老师分派到两个学校支教，每个学校至少派人，则共有种不同的分派方法
D．公共汽车上有位乘客，沿途个车站，乘客下车的可能方式有种
【答案】B,C
【知识点】样本相关系数r及其数字特征；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用；二项式系数
【解析】【解答】解：A，两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越大，A错误；
B，由于的展开式中各项系数和就等于该表达式在时的取值，即，而这正是指数为时的二项式系数和，B正确；
C，名老师各有种选择学校的方式，总共种，但每个学校至少派1人，所以这种选择方式中有两种是需要剔除的（即都去一个学校或都去另一个学校），所以共有种不同的分派方法，C正确；
D，每名乘客有种选择下车车站的方式，故总共的可能下车方式有种，而，D错误.
故答案为：BC.
【分析】利用相关系数的统计学意义进行判断，可判断A选项；令，可求出所有项二项式系数和，据此可判断B选项；先求出名老师各有种选择学校的方式种数，再求出需要剔除的种数，可求出不同的分派方法，据此可判断C选项；利用分步乘法计数原理进行计算可求出可能的下车方式数目，可判断D选项.
10．（2024高二下·新会期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支相交于，两点，则( )
A．若的两条渐近线相互垂直，则
B．若的离心率为，则的实轴长为
C．若，则
D．当变化时，周长的最小值为
【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：依题意，，
A，若双曲线的两条渐近线相互垂直，所以，A正确；
B，若的离心率为，
解得，所以实轴长，B错误；
C，若，则，
整理得，C正确；
D，根据双曲线的定义可知，，
两式相加得，
所以周长为，
当时，取得最小值，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以周长的最小值为，D正确.
故答案为：ACD
【分析】根据双曲线的方程可得：，根据双曲线的两条渐近线相互垂直，可求出的值，判断A选项；利用双曲线的离心率计算公式进行计算可求出a的值，据此可求出实轴长，判断B选项；当时，利用勾股定理和双曲线的定义可列出方程组，解方程组可求出，判断C选项；利用双曲线的定义可推出周长为，根据题意可得当时，取得最小值，利用基本不等式可求出周长的最小值，判断D选项.
11．（2024高二下·新会期末）如图，在棱长为的正方体中，、分别为棱、的中点，为线段上一个动点，则( )
A．三棱锥的体积为定值
B．存在点，使平面平面
C．当点与重合时，二面角的正切值为
D．当点为中点时，平面截正方体所得截面的面积为
【答案】A,C
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面平行的判定；二面角的平面角及求法
【解析】【解答】解：A，随着的移动，但是点到平面的距离始终不变即为线段的长度，
故是定值，A正确；
B，如图所示，
连接，为侧面的中心，
平面与平面和平面分别交于线、，
若存在点使平面平面，则，又，
则四边形为平行四边形，即，而，
此时应在延长线上，故不存在线段上一个动点，使平面平面，B错误；
C，取的中点，连接，，如图所示：
又，，
所以，，所以为二面角的平面角，
又平面，平面，所以，
，所以，
即二面角的正切值为，C正确；
D，连接，，，，依题意可知，，，
所以，
所以四边形为平面截正方体所得截面，又，，，
如下平面图形，过点作，过点作，如图所示：
则，所以，
所以，
当点为中点时，平面截正方体所得截面的面积为，D错误.
故答案为：AC
【分析】观察几何体可得点到平面的距离始终不变即为线段的长度，利用三棱锥的体积计算公式可求出三棱锥的体积，判断A选项；连接，为侧面的中心，通过反证，利用平面与平面和平面的交线、是否能平行，通过正方体的结构特征可得应在延长线上，故不存在线段上一个动点，据此可判断B选项；取的中点，连接，，利用勾股定理可求出，据此可得，，利用二面角的定义可得为二面角的平面角，利用锐角三角函数正切的定义可求出二面角的正切值，判断C选项；连接，，，，先作出截面：四边形为平面截正方体所得截面，利用勾股定理求出对应线段的长度，利用梯形的面积公式求出截面面积，可判断D选项.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2024高二下·新会期末）已知，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点且，则的面积为 ．
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由椭圆可知，
故，结合，
可得，而，
故为等腰三角形，其面积为.
故答案为：.
【分析】先根据椭圆方程求出，再根据，利用椭圆的定义可求出三边长，据此推出为等腰三角形，利用三角形面积公式进行计算可求出的面积.
13．（2024高二下·新会期末）甲、乙两人争夺一场羽毛球比赛的冠军，比赛为“三局两胜”制如果每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为 ．
【答案】
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：设甲获得冠军为事件A，比赛共进行了3局为事件B，
则AB表示在甲获得冠军的条件下，比赛共进行了3局，
，
，
所以.
故答案为：.
【分析】设甲获得冠军为事件A，比赛共进行了3局为事件B，先利用独立事件乘法公式及互斥事件的概率求法可求出，再利用条件概率的计算公式进行计算可求出答案.
14．（2024高二下·新会期末）已知，函数恒成立，则的最大值为 ．
【答案】7
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：当a为正偶数时， 当时，，显然不符合题意；
当a为正奇数时，则当时，恒成立，
因此只需研究时，恒成立即可，
当时，成立，
则当时，，因为此时小于0，所以恒成立，
当时，恒成立，
令，，则，
令，得，即，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
所以函数在上取得最小值，
要使时，恒成立，则，
又因为a为正奇数，所以a的最大值为1，
综上所述，a的最大值为1.
故答案为：1.
【分析】当a为正偶数时，不符合题意，当a为正奇数时，只需研究时，通过分离常数可得：恒成立，设，求出导函数，令和，解不等式可求出函数的单调区间，进而求出函数求的最小值，据此可求出a的最大值.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（2024高二下·新会期末）某班级有名同学参加了某次考试，从中随机抽选出名同学，他们的数学成绩与物理成绩如下表：
数学成绩
物理成绩
数据表明与之间有较强的线性相关性．
参考公式及数据：，，，，
，其中．
下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值．
（1）利用表中数据，求关于的经验回归方程，并预测该班某同学的数学成绩为分时的物理成绩；
（2）在本次考试中，规定数学成绩达到分为数学优秀，物理成绩达到分为物理优秀若该班的数学优秀率与物理优秀率分别为和，且所有同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有人，请你完成下面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为数学成绩与物理成绩有关联？
数学成绩 物理成绩 合计
物理优秀 物理不优秀
数学优秀
数学不优秀
合计
【答案】（1）解： 由表中数据可得，，，，
所以，，
故经验回归方程为，
当时，分，
该班某同学的数学成绩为分时的物理成绩分；
（2）解： 列联表如下：
数学成绩 物理成绩 合计
物理优秀 物理不优秀
数学优秀
数学不优秀
合计
零假设：数学成绩与物理成绩无关联，
则，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即数学优秀与物理优秀有关，犯错的概率不超过．
【知识点】线性回归方程；独立性检验的应用
【解析】【分析】本题考查经验回归方程，独立性检验.
（1）根据表格的数据先求出，利用经验回归方程的计算公式可求出，，进而可求出经验性回归方程，将代入经验回归方程中，可求出预测值；
（2）根题目数据，先完成列联表，再计算出，将与临界值进行比较，可作出判断.
16．（2024高二下·新会期末）已知数列的前项和为．
（1）证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和；
（3）数列中是否存在三项，它们可以构成等差数列？直接写出结论，不要求证明．
【答案】（1）证明：由，可得，解得，
当时，由，可得，
两式相减可得，
整理得，又，
则，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
可得，
所以；
（2）解：由得，所以，
所以，
则，
得：
，
解得；
（3）解：数列中不存在三项可以构成等差数列，理由如下：
假设数列中存在三项，它们可以构成等差数列，
设，，成等差数列，且，，，，
即有，又，
所以，
整理得，
上式左边为偶数，右边为奇数，显然不成立，
故数列中不存在能构成等差数列的三项．
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；通项与前n项和的关系；等差中项
【解析】【分析】(1)当时，先求出，当时，先求出，利用数列通项与前n项和的关系可推出数列是首项为6，公比为2的等比数列，利用等比数列的通项公式可求出数列的通项公式.
(2)根据（1）的结论，通过化简可得，利用错位相减法可求出数列的前项和.
(3)利用反证法：假设数列中存在三项，设，，成等差数列，利用等差中项的定义可列出方程，化简方程可得，通过分析可得假设不成立，所以数列中不存在能构成等差数列的三项.
17．（2024高二下·新会期末）如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面．
（1）证明：平面；
（2）若，，在线段上（不含端点），是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明：过点作于点，
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以，
又平面，平面，
所以，
又因为，，平面，
所以平面．
（2）解：假设在线段上（不含端点），存在点，使得二面角的余弦值为，
以为原点，分别以、为轴，轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，，，
设平面的一个法向量为，
即取，，，
所以为平面的一个法向量，
因为在线段上（不含端点），所以可设，，
所以，
设平面的一个法向量为，
即，
取，，，
所以为平面的一个法向量，
，又，
由已知可得
解得或（舍去），
所以，存在点，使得二面角的余弦值为，
此时是上靠近的三等分点．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)根据平面和平面垂直的性质得线面垂直平面，再根据线面垂直性质得线线垂直，最后根据线面垂直判定定理得结论.
(2)假设存在，设，通过建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，进而表示出二面角的余弦值，令余弦值为，求得值，满足题意即为存在，否则不存在.
18．（2024高二下·新会期末）面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节某科技企业招聘员工，首先要进行笔试，笔试达标者进入面试，面试环节要求应聘者回答个问题，第一题考查对公司的了解，答对得分，答错不得分，第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得分，答错不得分．
附：若，则，，．
（1）若一共有人应聘，他们的笔试得分服从正态分布，规定为达标，求进入面试环节的人数大约为多少结果四舍五入保留整数；
（2）某进入面试的应聘者第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，每道题是否答对互不影响，求该应聘者的面试成绩的分布列和数学期望．
【答案】（1）解： 服从正态分布，
，
进入面试环节的人数，
，
即进入面试环节的人数大约为；
（2）解： 根据题意，的所有可能取值为，，，，，，
则，，
，，
，，
的分布列为：
则．
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布；正态密度曲线的特点
【解析】【分析】（1）利用正态分布的对称性可求出，据此可得进入面试环节的人数，利用二项分布的期望计算公式可估计进入面试的人数．
（2）根据题意分析可得：的可能取值为0，2，4，6，8，10，再求出取每一个可能的值的概率，据此可列出分布列，利用离散型随机变量数学期望进行计算可求出数学期望.
19．（2024高二下·新会期末）已知函数．
（1）若是函数的一个极值点，求的值；
（2）若在上恒成立，求的取值范围；
（3）证明：为自然对数的底数．
【答案】（1）解： ，定义域为，
，因为是的一个极值点，
所以.
此时，所以在区间上单调递减，
在区间上单调递增，所以是的极小值点，符合题意，
所以.
（2）解： 在上恒成立，，
当时，在上恒成立，
即在上为增函数，
成立，即，
当时，令，则，
令，则，
即在上为减函数，在上为增函数，
，又，则矛盾．
综上，的取值范围为．
（3）解： 两边取自然对数得，，
，
由知时，在单调递增，
又，，
，
故成立．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）先求出函数的定义域，再求出导函数，根据是的一个极值点，可列出方程，解方程可求出的值，再进行检验可确定的值.
（2）对分两种情况：当时；当时；，根据在区间上的最小值不小于，可列出不等式，解不等式可求出实数的取值范围.
（3）先利用对数的运算法则进行化简，可将要证明的不等式转化为证明，根据的结论可知：在单调递增，利用函数的单调性可证明不等式.
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