鲁教版九年级数学上册第五章圆复习学案
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文档简介
鲁教版九年级数学上册总复习——圆（含答案）
一、知识梳理
（一）圆的对称性
1、垂径定理及推论：
2、圆心角、弧、弦之间的关系：
3、圆心角定理：
4、圆周角定理及推论：
（二）直线与圆的位置关系
1、数量关系：
2、切线的判定和性质定理：
3、切线长定理：
（三）圆的有关计算
1、弧长公式
2、扇形面积公式：
3、圆锥侧面展开图的计算公式：
二、基础练习
1、绍兴是著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为（ ）
A．4m B． 5m C． 6m D． 8m
（1题图） （2题图） （3题图）
2、如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=50°，则∠BOC的度数为（ ）
A．40° B． 50° C． 80° D． 100°
3、如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB=AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是（ ）
A．30° B． 45° C． 60° D． 90°
4、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠C=30°，CD=2．则S阴影=（ ）
A．π B． 2π C． D． π
5、如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上的一点，若∠BAC=∠CAM，过点C作直线l垂直于射线AM，垂足为点D．试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由．
三、典例精析
6、如图，直径AB为12的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B旋转到点B′，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．12π B． 24π C． 6π D． 36π
（6题图） （8题图）
7、半径为R的圆中，有一弦恰好等于半径，则弦所对的圆心角为 ．
8、如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为的中点．若∠A=40°，则∠B= 度．
9、如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．
（1）请证明：E是OB的中点；
（2）若AB=8，求CD的长．
10、如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F．
（1）求证：DF⊥AC；
（2）若⊙O的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积．
四、对应训练
11、如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD．如果∠BAC=20°，则∠BDC=（ ）
A．80° B．70° C．60° D．50°
12、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为（ ）
A．25° B．30° C．50° D．65°
（11题图） （12题图） （13题图） （14题图）
13、如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD的度数为（）
A．50° B．80° C．100° D．130°
14、如图，在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，连接OC．若∠BCD=50°，则∠AOC的度数为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
15、若⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
16、如图，PA，PB分别是⊙O的切线，A，B分别为切点，点E是⊙O上一点，且∠AEB=60°，则∠P为（ ）
A．120° B．60° C．30° D．45°
（16题图） （17题图） （18题图）
17、如图，从一块直径是8m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，圆锥的高是（ ）m．
A．4 B．5 C． D．2
18、如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD=2，AE=3，tan∠BOD=．
（1）求⊙O的半径OD；
（2）求证：AE是⊙O的切线；
（3）求图中两部分阴影面积的和．
五、中考体验
19、（2015?泰安）如图，菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，以点B为圆心的圆与AD、DC相切，与AB、CB的延长线分别相交于点E、F，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．+ B． +π C． ﹣ D． 2+
20、（2015?泰安）如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线，切点为F．若∠ACF=65°，则∠E= ．
21、（2014年泰安）如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．（﹣1）cm2 B． （+1）cm2 C． 1cm2 D． cm2
（19题图） （20题图） （21题图） （22题图）
22、（2014年泰安）如图，AB是半圆的直径，点O为圆心，OA=5，弦AC=8，OD⊥AC，垂足为E，交⊙O于D，连接BE．设∠BEC=α，则sinα的值为 ．
23、（2013?泰安）如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是的中点，则下列结论不成立的是（ ）
A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE
（23题图） （24题图）
24、（2013?泰安）如图，AB，CD是⊙O的两条互相垂直的直径，点O1，O2，O3，O4分别是OA、OB、OC、OD的中点，若⊙O的半径为2，则阴影部分的面积为（ ）
A．8 B．4 C．4π+4 D．4π﹣4
六、课堂达标
25、如图，⊙O中，如果=2，那么（ ）
A．AB=AC B．AB=2AC C．AB＜2AC D．AB＞2AC
26、如图，已知⊙O的半径为10，弦AB=12，M是AB上任意一点，则线段OM的长可能是（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
27、小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是（ ）
A．第一块 B．第二块 C．第三块 D．第四块
28、已知⊙O的直径是10，圆心O到直线l的距离是5，则直线l和⊙O的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．外切
29、如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙上一点，连接PD．已知PC=PD=BC．下列结论：
（1）PD与⊙O相切；（2）四边形PCBD是菱形；（3）PO=AB；（4）∠PDB=120°．
其中正确的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
30、已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是（ ）
A．3 B．9 C．18 D．36
31、（2015?临沂）如图，点O为Rt△ABC斜边AB上一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若∠BAC=60°，OA=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．
参考答案
1、D 2、D 3、A 4、D
5、
6、B7、60° 8、70 9、（1）证明：连接AC，如图
∵直径AB垂直于弦CD于点E，∴，∴AC=AD，
∵过圆心O的线CF⊥AD，∴AF=DF，即CF是AD的中垂线，∴AC=CD，
∴AC=AD=CD．即：△ACD是等边三角形，∴∠FCD=30°，
在Rt△COE中，，∴，∴点E为OB的中点；
（2）解：在Rt△OCE中，AB=8，∴，
又∵BE=OE，∴OE=2，∴，∴．
10、（1）证明：连接OD，∵OB=OD，∴∠ABC=∠ODB，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ODB=∠ACB，∴OD∥AC，
∵DF是⊙O的切线，∴DF⊥OD，∴DF⊥AC．
（2）解：连接OE，∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°，∴∠ABC=∠ACB=67.5°，∴∠BAC=45°，
∵OA=OE，∴∠AOE=90°，∵⊙O的半径为4，∴S扇形AOE=4π，S△AOE=8 ，∴S阴影=4π﹣8．1．B；12．C；13．D；14．C；15．C；16．B；17．C；
18、解：（1）∵AB与圆O相切，∴OD⊥AB，
在Rt△BDO中，BD=2，tan∠BOD==，∴OD=3；
（2）连接OE，
∵AE=OD=3，AE∥OD，∴四边形AEOD为平行四边形，∴AD∥EO，
∵DA⊥AE，∴OE⊥AC，又∵OE为圆的半径，∴AE为圆O的切线；
（3）∵OD∥AC，∴=，即=，∴AC=7.5，∴EC=AC﹣AE=7.5﹣3=4.5，
∴S阴影=S△BDO+S△OEC﹣S扇形FOD﹣S扇形EOG
=×2×3+×3×4.5﹣
=3+﹣
=．
19、A．20、 50° ．21、A．22、 23、D 24、A
25、C；26、C；27、A；28、C；29、A；30、C；
31、（1）证明：∵⊙O切BC于D，∴OD⊥BC，
∵AC⊥BC，∴AC∥OD，∴∠CAD=∠ADO，
∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∴∠OAD=∠CAD，即AD平分∠CAB；
（2）设EO与AD交于点M，连接ED．
∵∠BAC=60°，OA=OE，∴∠AEO是等边三角形，∴AE=OA，∠AOE=60°，
∴AE=AO=OD，
又由（1）知，AC∥OD即AE∥OD，
∴四边形AEDO是菱形，则△AEM≌△DMO，∠EOD=60°，
∴S△AEM=S△DMO，
∴S阴影=S扇形EOD==．
一、知识梳理
（一）圆的对称性
1、垂径定理及推论：
2、圆心角、弧、弦之间的关系：
3、圆心角定理：
4、圆周角定理及推论：
（二）直线与圆的位置关系
1、数量关系：
2、切线的判定和性质定理：
3、切线长定理：
（三）圆的有关计算
1、弧长公式
2、扇形面积公式：
3、圆锥侧面展开图的计算公式：
二、基础练习
1、绍兴是著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为（ ）
A．4m B． 5m C． 6m D． 8m
（1题图） （2题图） （3题图）
2、如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=50°，则∠BOC的度数为（ ）
A．40° B． 50° C． 80° D． 100°
3、如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB=AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是（ ）
A．30° B． 45° C． 60° D． 90°
4、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠C=30°，CD=2．则S阴影=（ ）
A．π B． 2π C． D． π
5、如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上的一点，若∠BAC=∠CAM，过点C作直线l垂直于射线AM，垂足为点D．试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由．
三、典例精析
6、如图，直径AB为12的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B旋转到点B′，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．12π B． 24π C． 6π D． 36π
（6题图） （8题图）
7、半径为R的圆中，有一弦恰好等于半径，则弦所对的圆心角为 ．
8、如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为的中点．若∠A=40°，则∠B= 度．
9、如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．
（1）请证明：E是OB的中点；
（2）若AB=8，求CD的长．
10、如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F．
（1）求证：DF⊥AC；
（2）若⊙O的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积．
四、对应训练
11、如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD．如果∠BAC=20°，则∠BDC=（ ）
A．80° B．70° C．60° D．50°
12、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为（ ）
A．25° B．30° C．50° D．65°
（11题图） （12题图） （13题图） （14题图）
13、如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD的度数为（）
A．50° B．80° C．100° D．130°
14、如图，在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，连接OC．若∠BCD=50°，则∠AOC的度数为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
15、若⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
16、如图，PA，PB分别是⊙O的切线，A，B分别为切点，点E是⊙O上一点，且∠AEB=60°，则∠P为（ ）
A．120° B．60° C．30° D．45°
（16题图） （17题图） （18题图）
17、如图，从一块直径是8m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，圆锥的高是（ ）m．
A．4 B．5 C． D．2
18、如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD=2，AE=3，tan∠BOD=．
（1）求⊙O的半径OD；
（2）求证：AE是⊙O的切线；
（3）求图中两部分阴影面积的和．
五、中考体验
19、（2015?泰安）如图，菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，以点B为圆心的圆与AD、DC相切，与AB、CB的延长线分别相交于点E、F，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．+ B． +π C． ﹣ D． 2+
20、（2015?泰安）如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线，切点为F．若∠ACF=65°，则∠E= ．
21、（2014年泰安）如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．（﹣1）cm2 B． （+1）cm2 C． 1cm2 D． cm2
（19题图） （20题图） （21题图） （22题图）
22、（2014年泰安）如图，AB是半圆的直径，点O为圆心，OA=5，弦AC=8，OD⊥AC，垂足为E，交⊙O于D，连接BE．设∠BEC=α，则sinα的值为 ．
23、（2013?泰安）如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是的中点，则下列结论不成立的是（ ）
A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE
（23题图） （24题图）
24、（2013?泰安）如图，AB，CD是⊙O的两条互相垂直的直径，点O1，O2，O3，O4分别是OA、OB、OC、OD的中点，若⊙O的半径为2，则阴影部分的面积为（ ）
A．8 B．4 C．4π+4 D．4π﹣4
六、课堂达标
25、如图，⊙O中，如果=2，那么（ ）
A．AB=AC B．AB=2AC C．AB＜2AC D．AB＞2AC
26、如图，已知⊙O的半径为10，弦AB=12，M是AB上任意一点，则线段OM的长可能是（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
27、小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是（ ）
A．第一块 B．第二块 C．第三块 D．第四块
28、已知⊙O的直径是10，圆心O到直线l的距离是5，则直线l和⊙O的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．外切
29、如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙上一点，连接PD．已知PC=PD=BC．下列结论：
（1）PD与⊙O相切；（2）四边形PCBD是菱形；（3）PO=AB；（4）∠PDB=120°．
其中正确的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
30、已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是（ ）
A．3 B．9 C．18 D．36
31、（2015?临沂）如图，点O为Rt△ABC斜边AB上一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若∠BAC=60°，OA=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．
参考答案
1、D 2、D 3、A 4、D
5、
6、B7、60° 8、70 9、（1）证明：连接AC，如图
∵直径AB垂直于弦CD于点E，∴，∴AC=AD，
∵过圆心O的线CF⊥AD，∴AF=DF，即CF是AD的中垂线，∴AC=CD，
∴AC=AD=CD．即：△ACD是等边三角形，∴∠FCD=30°，
在Rt△COE中，，∴，∴点E为OB的中点；
（2）解：在Rt△OCE中，AB=8，∴，
又∵BE=OE，∴OE=2，∴，∴．
10、（1）证明：连接OD，∵OB=OD，∴∠ABC=∠ODB，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ODB=∠ACB，∴OD∥AC，
∵DF是⊙O的切线，∴DF⊥OD，∴DF⊥AC．
（2）解：连接OE，∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°，∴∠ABC=∠ACB=67.5°，∴∠BAC=45°，
∵OA=OE，∴∠AOE=90°，∵⊙O的半径为4，∴S扇形AOE=4π，S△AOE=8 ，∴S阴影=4π﹣8．1．B；12．C；13．D；14．C；15．C；16．B；17．C；
18、解：（1）∵AB与圆O相切，∴OD⊥AB，
在Rt△BDO中，BD=2，tan∠BOD==，∴OD=3；
（2）连接OE，
∵AE=OD=3，AE∥OD，∴四边形AEOD为平行四边形，∴AD∥EO，
∵DA⊥AE，∴OE⊥AC，又∵OE为圆的半径，∴AE为圆O的切线；
（3）∵OD∥AC，∴=，即=，∴AC=7.5，∴EC=AC﹣AE=7.5﹣3=4.5，
∴S阴影=S△BDO+S△OEC﹣S扇形FOD﹣S扇形EOG
=×2×3+×3×4.5﹣
=3+﹣
=．
19、A．20、 50° ．21、A．22、 23、D 24、A
25、C；26、C；27、A；28、C；29、A；30、C；
31、（1）证明：∵⊙O切BC于D，∴OD⊥BC，
∵AC⊥BC，∴AC∥OD，∴∠CAD=∠ADO，
∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∴∠OAD=∠CAD，即AD平分∠CAB；
（2）设EO与AD交于点M，连接ED．
∵∠BAC=60°，OA=OE，∴∠AEO是等边三角形，∴AE=OA，∠AOE=60°，
∴AE=AO=OD，
又由（1）知，AC∥OD即AE∥OD，
∴四边形AEDO是菱形，则△AEM≌△DMO，∠EOD=60°，
∴S△AEM=S△DMO，
∴S阴影=S扇形EOD==．