新疆维吾尔自治区伊犁哈萨克自治州霍尔果斯市苏港中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试卷（含解析）

霍尔果斯市苏港中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知，则的值为( )
A.1 B.2 C.e D.
2．函数在区间内的单调性是( )
A.单调递增 B.单调递减
C.先增后减 D.先减后增
3．函数在处的切线的斜率为( )
A.2 B.-2 C.0 D.1
4．从1，2，3，…，8，9这9个数字中任取3个数组成一个没有重复数字的三位数，若这些三位数能够被5整除，则这样的三位数的个数为( )
A.504 B.336 C.72 D.56
5．的展开式中第3项的系数与二项式系数分别为( )
A.84，21 B.21，84 C.35，280 D.280，35
6．将8个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放2个小球，则不同放法的种数为( )
A.3 B.6 C.10 D.15
7．已知函数在上有最小值，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
8．现将《西游记》、《红楼梦》、《水浒传》、《三国演义》、《史记》、《资治通鉴》6本不同的书籍分发给甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知《西游记》分发给了甲，则不同的分发方式种数是( )
A.180 B.150 C.120 D.210
二、多项选择题
9．若，则x的值为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
10．给出定义：若函数在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称在D上存在二阶导函数，记，若在D上恒成立，则称在D上为凸函数.以下四个函数在上是凸函数的是( )
A. B.
C. D.
11．下列求导运算正确的是( )
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
12．已知定义在R上的函数的导函数的图象如图所示，下列说法正确的是( )
A. B.函数在上单调递减
C.函数在处取得极大值 D.函数有最大值
三、填空题
13．用0，1，2，3，4组成没有重复数字的四位数，其中奇数有______个.
14．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有__________种（用数字作答）.
15．的展开式中常数项为__________.
16．已知曲线，则曲线过点的切线方程为__________.
四、解答题
17．（1）若，，求n的值；
（2）求的值(用数字作答).
18．有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.
（1）选5人排成一排；
（2）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；
（3）全体排成一排，女生必须站在一起；
（4）全体排成一排，男生互不相邻.
19．已知（）在处取得极值.
（1）求实数a的值；
（2）求的单调区间；
（3）求在区间上的最大值和最小值.
20．某校高二年级某小组开展研究性学习，主要任务是对某产品进行市场销售调研，通过一段时间的调查，发现该商品每日的销售量（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）近似满足关系式，其中，，a，b为常数，已知销售价格为元千克时，每日可售出千克，销售价格为5元/千克时，每日可售出11千克.
（1）求的解析式；
（2）若该商品的成本为3元/千克，请你确定销售价格x的值，使得商家每日获利最大.
21．已知函数，曲线在点处的切线l的斜率为1，其中.
（1）求a的值和l的方程；
（2）证明：当时，.
22．已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数在上有且仅有2个零点，求a的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：由，则，所以，
故选：B.
2．答案：A
解析：，
当时，
所以在上单调递增.
故选：A.
3．答案：A
解析：，故，
故曲线在处的切线的斜率为2，
故选：A.
4．答案：D
解析：依题意可知，这些三位数的个位为5，
所以这样的三位数有个.
故选：D.
5．答案：A
解析：因为的展开式中第3项为，
所以的展开式中第3项的系数为，
的展开式中第3项的二项式系数为.
故选：A.
6．答案：B
解析：依题意，每个盒子放入2个球，余下2个球可以放入一个盒子有种方法，放入两个盒子有种方法，
所以不同放法的种数为.
故选：B.
7．答案：A
解析：因为，，所以，
令，，对称轴为，
当时恒成立，此时在上单调递增，不存在最小值，故舍去；
所以，依题意使得，且当时，当时，
使得在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值即最小值，
所以，所以，解得，即；
故选：A.
8．答案：A
解析：根据题意，分2步进行分析：
①将6本不同的书籍分为3组，每组至少1本，
若分为4、1、1的三组，有种分组方法，
若分为3，2，1的三组，有种分组方法，
若分为2，2，2的三组，有种分组方法，
共有种分组方法，
②将《西游记》所在的组分发给了甲，剩下2组任意分配，有2种情况，
则有种分发方式.
故选：A.
9．答案：AC
解析：因为，
所以或，
解得或，
故选：AC.
10．答案：BC
解析：对于A，，，
当时，，，，故在上不是凸函数；
对于B，，对任意的，，故在上是凸函数；
对于C，，对任意的，，故在上是凸函数；
对于D，，对任意的，，故在上不是凸函数.
故选：BC.
11．答案：CD
解析：若，则，故A错误；
若，则，故B错误；
若，则，故C正确；
若，则，故D正确，
故选：CD.
12．答案：ABC
解析：对A：由图可知，，故A正确；
对B：由图可知，当时，恒成立，
故函数在上单调递减，故B正确；
对C：由图可知，当时，，当，，
故函数在处取得极大值，故C正确；
对D：由图可知，当时，恒成立，
故在上单调递增，无最大值，故D错误.
故选：ABC.
13．答案：36
解析：特殊位置优先考虑，先考虑末尾，有种，在考虑首位非零有种，
剩下的两个位置有种，
则由分布乘法计数原理，得到共有奇数种，
故答案为:36.
14．答案：630
解析：用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，
若第三个格子与第一个格子同色，
则有种涂色方法；
若第三个格子与第一个格子不同色，
则有种涂色方法；
综上，共有种涂色方法.
故答案为630.
15．答案：60
解析：展开式第项，，1，2，3，4，5，6，
当时，，
故展开式中常数项为.
故答案为：60.
16．答案：或
解析：点不在曲线上.
设所求切线的切点为，
则切线的斜率，
故所求的切线方程为，
将及代入上式，得，
解得或，所以切点为或.
从而所求切线方程为或.
故答案为：或.
17．答案：（1）7
（2）164
解析：（1）
即：
解得：或（，舍去），
.
（2）
.
故答案为164.
18．答案：（1）种
（2）种
（3）种
（4）种
解析：（1）从7人中选5人排列，有（种）；
（2）先排甲，有5种方法，其余6人有种排列方法，共有（种）；
（3）将女生看作一个整体与名男生一起全排列，有种方法，再将女生全排列，有种方法，共有（种）；
（4）先排女生，有种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有种方法，共有（种）.
19．答案：（1）1
（2）增区间为，，减区间为
（3）最大值为9，最小值为
解析：（1），由于在处取得极值，故，解得，经检验，当时，在处取得极值，故.
（2）由（1）得，，由得或；由得.
故的单调增区间为，，单减区间为.
（3）由（2）得函数的极大值为，得函数的极小值为，又，所以函数在区间上的最大值为9，最小值为.
20．答案：（1），
（2）4元/千克
解析：（1）由题意可知，当时，，
当时，，
即，解得，
所以，，
（2）设每日销售该商品获利元，则
，
则，
令，得或舍去，
所以时，，为增函数，
时，，为减函数，
所以时，取得最大值，
，
所以销售价格定为4元/千克，商家每日获利最大.
21．答案：（1）；
（2）证明见解析
解析：（1）由已知
因为曲线在点处的切线l的斜率为1，
所以，解得，又，
所以切线方程为，即；
（2）令，则，
令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，
整理得，
所以，即.
22．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）因为函数，则，
当时，，函数在上单调递增；
当时，由可得，
若，则；若，则.
当时，函数的单调增区间为，单调减区间为，
综上所述，当时，函数的单调增区间为；
当时，函数的单调增区间为，单调减区间为.
（2）当时，由，可得，则直线与函数的图象有两个交点，
函数的定义域为，，
由，可得，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，函数的极大值为，且，，如下图所示：
由图可知，当时，
直线与函数在上的图象有两个交点，
因此，实数a的取值范围是.