2023-2024学年广东省中山市高二下学期期末统一考试数学试卷（含解析）

2023-2024学年广东省中山市高二下学期期末统一考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则( )
A. B. C. D.
2.设某商场今年上半年月销售额万元关于月份的经验回归方程为，已知上半年的总销售额为万元，则该商场月份销售额预计为( )
A. B. C. D.
3.已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
4.已知随机变量的分布列为，则( )
A. B. C. D.
5.已知随机变量服从正态分布，且，则等于( )
A. B. C. D.
6.将五本不同的书全部分给甲，乙，丙三人，要求每人至少分得一本，则不同的分法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7.已知定义域为的函数，其导函数为，且满足，则( )
A. B. C. D.
8.在我国古代，杨辉三角如图是解决很多数学问题的有力工具，从图中可以归纳出等式：，类比上述结论，借助杨辉三角解决下述问题：如图，该“刍童垛”共层，底层如图，一边个圆球，另一边个圆球，向上逐层每边减少个圆球，顶层堆个圆球，则此“刍童垛”中圆球的总数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.随机变量且，随机变量，若，则( )
A. B. C. D.
10.已知函数及其导函数的部分图象如图所示，设函数，则( )
A. 在区间上单调递减 B. 在区间上单调递增
C. 在时取极小值 D. 在时取极小值
11.关于函数，下列结论错误的是( )
A. 的解集是 B. 是极小值，是极大值
C. 没有最小值，也没有最大值 D. 有最大值，没有最小值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，则过原点且与曲线相切的直线方程为 ．
13.对于随机事件，记为事件的对立事件，且，则 ．
14.展开式中的常数项为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求的最小值；
设，证明：
16.本小题分
现有两台车床加工同一型号的零件第台车床的正品率为，第台车床的正品率为，将加工出来的零件混放在一起已知第，台车床加工的零件数分别为总数的．
从混放的零件中任取件，如果该零件是次品，求它是第台车床加工出来的概率；
从混放的零件中可放回抽取次，每次抽取件，且每次抽取均相互独立用表示这次抽取的零件是次品的总件数，试估计的数学期望．
17.本小题分
规定，其中，是正整数，且，这是组合数、是正整数，且的一种推广．
求的值；
设，当为何值时，取得最小值？
组合数的两个性质：是否都能推广到是正整数的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由．
18.本小题分
为了解某一地区新能源电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量单位：万台关于年份的线性回归方程，且销量的方差为，年份的方差为．
求与的相关系数，并据此判断电动汽车销量与年份的线性相关性的强弱．
该机构还调查了该地区位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：
性别 购买非电动汽车 购买电动汽车 总计
男性
女性
总计
依据小概率值的独立性检验，能否认为购买电动汽车与车主性别有关？
在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取人，再从这人中随机抽取人，记这人中男性的人数为，求的分布列和数学期望．
参考数据：．
参考公式：线性回归方程为，其中；
相关系数，若，则可判断与线性相关较强；
，其中附表：
19.本小题分
已知函数是的导函数．
证明：在上存在唯一零点；
设函数．
当时，求函数的单调区间；
当时，讨论函数零点的个数．
答案解析
1.
【解析】解：，
，
．
故选B．
2.
【解析】由已知数据可得，
因为经验回归方程经过样本的中心点，
所以，解得，
则经验回归方程为．
所以，该商场月份销售额预计为．
故选：．
3.
【解析】因为，所以，
因为在区间上单调递减，
所以，即，则在上恒成立，
因为在上单调递减，所以，故．
故选：．
4.
【解析】依题意，分布列概率之和为，则，解得．
即，所以
故选：．
5.
【解析】由已知可得曲线关于直线对称，，
所以，故．
故选：
6.
【解析】由题意可知将本书可以分成，，和，，两种，
若将书分成，，三组，再分配给人，则有种分法，
若将书分成，，三组，再分配给人，则有种分法，
所以由分类加法原理可知共有种分法，
故选：
7.
【解析】设，则，
因，故得，即在上为减函数．
对于项，因，则，即，即，故 A错误；
对于项，因，则，即，即得，故 B错误；
对于项，因，则，即，即得，故 C错误；
对于项，因，则，即，即得，故 D正确．
故选：．
8.
【解析】解：由杨辉三角中观察得可得．
推广，得到，
由题意，层“刍童垛”小球的总个数为
．
故选：．
9.
【解析】对，因为且，所以，
故，，选项 A正确，选项B错误；
对，因为，所以，所以，解得，选项 C正确；
对，，选项 D错误，
故选：．
10.
【解析】解：结合图像可知，当时，当时，，
当时，，
，因，
故当时，，在区间上单调递减，
当时，，在区间上单调递增，
当时，，在区间上单调递减，
故在处取得极小值，在处取得极大值，
故选：
11.
【解析】函数的定义域为，
对于，，解得，即的解集是， A正确；
对于，，当或时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
因此是极小值，是极大值， B正确；
显然当时，恒成立，当时，，，
而当时，函数的值域为，而，因此有最大值，没有最小值， C错误，D正确．
故选：
12.
【解析】设切点坐标为，，，，
则曲线在点处的切线方程为，
由于该直线过原点，则，得，
因此，则过原点且与曲线相切的直线方程为，
故答案为：．
13.
【解析】由题意可得，，且，则，
又因为，则，
且，所以．
故答案为：．
14.
【解析】解：表示个相乘，
要得到常数项，需要个，个，个和个，
故常数项为：．
故答案为：．
15.
因为，，则，
令，得；令，得；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以最小值为．
因为，，
所以由，得，即，
令，，则，
令，得；令，得；
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，即恒成立，
所以．
【解析】利用导数与函数性质的关系即可得解；
构造函数，利用导数证得恒成立，从而得证．
16.
不难知，第台加工零件的次品率为，第台加工零件的次品率为．
记事件表示“从混放的零件中任取一个零件，该零件是次品”，
事件表示“从混放的零件中任取一个零件，该零件是第台车床加工的”，．
则．
的可能取值为，且服从二项分布．
由知，．
．
【解析】由条件概率求解即可；
求出的可能取值，则服从二项分布，由二项分布的均值公式求解即可．
17.解：由题意可得．
因为，
则，即时，取得最小值，最小值为；
性质不能推广，例如有意义，无意义；
性质能推广，它的推广形式为是正整数，
证明如下：
当时，；
当时，．
【解析】由新定义代入计算即可．
由组合数公式转化成关于的函数，利用二次函数求最值．
利用组合数公式的性质，新定义直接化简判断．
18.
由，得，由，得，
因为线性回归方程，则，
即，
因此相关系数，
所以电动汽车销量与年份的线性相关性的较强．
零假设：购买电动汽车与车主性别无关，
由表中数据得：，
依据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为购买电动汽车与车主性别有关，此推断犯错误的概率不大于．
按购买电动汽车的车主进行分层抽样，抽取的人中男性有人，女性有人，
则的可能值为，，
所以的分布列为：
的数学期望．
【解析】根据给定条件，利用线性回归方程，结合相关系数公式计算作答．
根据给定的列联表求出的观测值，再与临界值表比对作答．
利用分层抽样求出男女性人数，再求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出方差作答．
19.
由题意可知，由得，
即，
令，易知在上单调递增，
又，
若，由于且；
若，由于且；
所以在上存在唯一零点，使得，
即在上存在唯一零点．
当时，易求，
由知单调递增，且只存在一个零点，
所以有两个零点，分别是和，
注意到，所以，
可得在区间和上，，即此时单调递增，
在上，，即此时单调递减；
易知，即的一个零点为，
当时，由上可知，即，
此时在区间在区间和上，，单调递增，
在上，，单调递减，则时取得极大值，
又，即此时的零点只一个为；
当时，易知，此时，则在上单调递增，所以此时的零点只有一个为；
当时，易知，此时在区间和上，，单调递增，
在上，，单调递减，
则时取得极大值，即
，
因为，所以，
若，则，
若，则，
所以，同上此时的零点只有一个为．
综上所述：的零点只有一个为．
【解析】对原函数求导，然后构造函数，利用其单调性结合零点存在性定理计算即可证明；
先求原函数的导函数，构造函数，利用其单调性及，得出，从而判定单调区间；利用和的结论，分类讨论函数的单调性，极大值与的关系判定零点个数即可．
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