2023-2024学年广东省中山市高二下学期期末统一考试数学试卷
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.若,则( )
A. B. C. D.
2.设某商场今年上半年月销售额万元关于月份的经验回归方程为,已知上半年的总销售额为万元,则该商场月份销售额预计为( )
A. B. C. D.
3.已知函数在区间上单调递减,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
4.已知随机变量的分布列为,则( )
A. B. C. D.
5.已知随机变量服从正态分布,且,则等于( )
A. B. C. D.
6.将五本不同的书全部分给甲,乙,丙三人,要求每人至少分得一本,则不同的分法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7.已知定义域为的函数,其导函数为,且满足,则( )
A. B. C. D.
8.在我国古代,杨辉三角如图是解决很多数学问题的有力工具,从图中可以归纳出等式:,类比上述结论,借助杨辉三角解决下述问题:如图,该“刍童垛”共层,底层如图,一边个圆球,另一边个圆球,向上逐层每边减少个圆球,顶层堆个圆球,则此“刍童垛”中圆球的总数为( )
A. B. C. D.
二、多选题:本题共3小题,共15分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.随机变量且,随机变量,若,则( )
A. B. C. D.
10.已知函数及其导函数的部分图象如图所示,设函数,则( )
A. 在区间上单调递减 B. 在区间上单调递增
C. 在时取极小值 D. 在时取极小值
11.关于函数,下列结论错误的是( )
A. 的解集是 B. 是极小值,是极大值
C. 没有最小值,也没有最大值 D. 有最大值,没有最小值
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.已知函数,则过原点且与曲线相切的直线方程为 .
13.对于随机事件,记为事件的对立事件,且,则 .
14.展开式中的常数项为 .
四、解答题:本题共5小题,共60分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数.
求的最小值;
设,证明:
16.本小题分
现有两台车床加工同一型号的零件第台车床的正品率为,第台车床的正品率为,将加工出来的零件混放在一起已知第,台车床加工的零件数分别为总数的.
从混放的零件中任取件,如果该零件是次品,求它是第台车床加工出来的概率;
从混放的零件中可放回抽取次,每次抽取件,且每次抽取均相互独立用表示这次抽取的零件是次品的总件数,试估计的数学期望.
17.本小题分
规定,其中,是正整数,且,这是组合数、是正整数,且的一种推广.
求的值;
设,当为何值时,取得最小值?
组合数的两个性质:是否都能推广到是正整数的情形?若能推广,则写出推广的形式并给出证明;若不能,则说明理由.
18.本小题分
为了解某一地区新能源电动汽车销售情况,一机构根据统计数据,用最小二乘法得到电动汽车销量单位:万台关于年份的线性回归方程,且销量的方差为,年份的方差为.
求与的相关系数,并据此判断电动汽车销量与年份的线性相关性的强弱.
该机构还调查了该地区位购车车主的性别与购车种类情况,得到的数据如下表:
性别 购买非电动汽车 购买电动汽车 总计
男性
女性
总计
依据小概率值的独立性检验,能否认为购买电动汽车与车主性别有关?
在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取人,再从这人中随机抽取人,记这人中男性的人数为,求的分布列和数学期望.
参考数据:.
参考公式:线性回归方程为,其中;
相关系数,若,则可判断与线性相关较强;
,其中附表:
19.本小题分
已知函数是的导函数.
证明:在上存在唯一零点;
设函数.
当时,求函数的单调区间;
当时,讨论函数零点的个数.
答案解析
1.
【解析】解:,
,
.
故选B.
2.
【解析】由已知数据可得,
因为经验回归方程经过样本的中心点,
所以,解得,
则经验回归方程为.
所以,该商场月份销售额预计为.
故选:.
3.
【解析】因为,所以,
因为在区间上单调递减,
所以,即,则在上恒成立,
因为在上单调递减,所以,故.
故选:.
4.
【解析】依题意,分布列概率之和为,则,解得.
即,所以
故选:.
5.
【解析】由已知可得曲线关于直线对称,,
所以,故.
故选:
6.
【解析】由题意可知将本书可以分成,,和,,两种,
若将书分成,,三组,再分配给人,则有种分法,
若将书分成,,三组,再分配给人,则有种分法,
所以由分类加法原理可知共有种分法,
故选:
7.
【解析】设,则,
因,故得,即在上为减函数.
对于项,因,则,即,即,故 A错误;
对于项,因,则,即,即得,故 B错误;
对于项,因,则,即,即得,故 C错误;
对于项,因,则,即,即得,故 D正确.
故选:.
8.
【解析】解:由杨辉三角中观察得可得.
推广,得到,
由题意,层“刍童垛”小球的总个数为
.
故选:.
9.
【解析】对,因为且,所以,
故,,选项 A正确,选项B错误;
对,因为,所以,所以,解得,选项 C正确;
对,,选项 D错误,
故选:.
10.
【解析】解:结合图像可知,当时,当时,,
当时,,
,因,
故当时,,在区间上单调递减,
当时,,在区间上单调递增,
当时,,在区间上单调递减,
故在处取得极小值,在处取得极大值,
故选:
11.
【解析】函数的定义域为,
对于,,解得,即的解集是, A正确;
对于,,当或时,,当时,,
则函数在上单调递减,在上单调递增,
因此是极小值,是极大值, B正确;
显然当时,恒成立,当时,,,
而当时,函数的值域为,而,因此有最大值,没有最小值, C错误,D正确.
故选:
12.
【解析】设切点坐标为,,,,
则曲线在点处的切线方程为,
由于该直线过原点,则,得,
因此,则过原点且与曲线相切的直线方程为,
故答案为:.
13.
【解析】由题意可得,,且,则,
又因为,则,
且,所以.
故答案为:.
14.
【解析】解:表示个相乘,
要得到常数项,需要个,个,个和个,
故常数项为:.
故答案为:.
15.
因为,,则,
令,得;令,得;
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以最小值为.
因为,,
所以由,得,即,
令,,则,
令,得;令,得;
所以在上单调递减,在上单调递增,
则,即恒成立,
所以.
【解析】利用导数与函数性质的关系即可得解;
构造函数,利用导数证得恒成立,从而得证.
16.
不难知,第台加工零件的次品率为,第台加工零件的次品率为.
记事件表示“从混放的零件中任取一个零件,该零件是次品”,
事件表示“从混放的零件中任取一个零件,该零件是第台车床加工的”,.
则.
的可能取值为,且服从二项分布.
由知,.
.
【解析】由条件概率求解即可;
求出的可能取值,则服从二项分布,由二项分布的均值公式求解即可.
17.解:由题意可得.
因为,
则,即时,取得最小值,最小值为;
性质不能推广,例如有意义,无意义;
性质能推广,它的推广形式为是正整数,
证明如下:
当时,;
当时,.
【解析】由新定义代入计算即可.
由组合数公式转化成关于的函数,利用二次函数求最值.
利用组合数公式的性质,新定义直接化简判断.
18.
由,得,由,得,
因为线性回归方程,则,
即,
因此相关系数,
所以电动汽车销量与年份的线性相关性的较强.
零假设:购买电动汽车与车主性别无关,
由表中数据得:,
依据小概率值的独立性检验,推断不成立,
即认为购买电动汽车与车主性别有关,此推断犯错误的概率不大于.
按购买电动汽车的车主进行分层抽样,抽取的人中男性有人,女性有人,
则的可能值为,,
所以的分布列为:
的数学期望.
【解析】根据给定条件,利用线性回归方程,结合相关系数公式计算作答.
根据给定的列联表求出的观测值,再与临界值表比对作答.
利用分层抽样求出男女性人数,再求出的可能值及各个值对应的概率,列出分布列并求出方差作答.
19.
由题意可知,由得,
即,
令,易知在上单调递增,
又,
若,由于且;
若,由于且;
所以在上存在唯一零点,使得,
即在上存在唯一零点.
当时,易求,
由知单调递增,且只存在一个零点,
所以有两个零点,分别是和,
注意到,所以,
可得在区间和上,,即此时单调递增,
在上,,即此时单调递减;
易知,即的一个零点为,
当时,由上可知,即,
此时在区间在区间和上,,单调递增,
在上,,单调递减,则时取得极大值,
又,即此时的零点只一个为;
当时,易知,此时,则在上单调递增,所以此时的零点只有一个为;
当时,易知,此时在区间和上,,单调递增,
在上,,单调递减,
则时取得极大值,即
,
因为,所以,
若,则,
若,则,
所以,同上此时的零点只有一个为.
综上所述:的零点只有一个为.
【解析】对原函数求导,然后构造函数,利用其单调性结合零点存在性定理计算即可证明;
先求原函数的导函数,构造函数,利用其单调性及,得出,从而判定单调区间;利用和的结论,分类讨论函数的单调性,极大值与的关系判定零点个数即可.
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