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2024年中考数学真题专题分类精选汇编（2025年中考复习全国通用）
专题24 动点问题
一、选择题
1. （2024四川乐山）如图，在菱形中，，，点P是边上一个动点，在延长线上找一点Q，使得点P和点Q关于点C对称，连接交于点M．当点P从B点运动到C点时，点M的运动路径长为（ ）
A. B. C. D.
2. （2024四川广元）如图①，在中，，点P从点A出发沿A→C→B以1的速度匀速运动至点B，图②是点P运动时，的面积随时间x（s）变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为（ ）
A. 5 B. 7 C. D.
3. （2024甘肃临夏）如图1，矩形中，为其对角线，一动点从出发，沿着的路径行进，过点作，垂足为．设点的运动路程为，为，与的函数图象如图2，则的长为（ ）
A. B. C. D.
4. （2024甘肃威武）如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（ ）
A. 2 B. 3 C. D.
5. （2024江苏苏州）如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为（ ）
A. B. C. 2 D. 1
6. （2024黑龙江齐齐哈尔）如图，在等腰中，，，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下做正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为下列图像能反映y与x之间函数关系的是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
1. （2024江苏连云港）如图，在中，，，．点P在边上，过点P作，垂足为D，过点D作，垂足为F．连接，取的中点E．在点P从点A到点C的运动过程中，点E所经过的路径长为__________．
2. （2024江西省）如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为______．
3. （2024四川凉山）如图，的圆心为，半径为，是直线上的一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为______
4. （2024黑龙江绥化）如图，已知，点为内部一点，点为射线、点为射线上的两个动点，当的周长最小时，则______．
三、解答题
1. （2024甘肃临夏）如图1，在矩形中，点为边上不与端点重合的一动点，点是对角线上一点，连接，交于点，且．
【模型建立】
（1）求证：；
【模型应用】
（2）若，，，求的长；
【模型迁移】
（3）如图2，若矩形是正方形，，求的值．
2. （2024河北省）已知的半径为3，弦，中，．在平面上，先将和按图1位置摆放（点B与点N重合，点A在上，点C在内），随后移动，使点B在弦上移动，点A始终在上随之移动，设．
（1）当点B与点N重合时，求劣弧的长；
（2）当时，如图2，求点B到的距离，并求此时x的值；
（3）设点O到的距离为d．
①当点A在劣弧上，且过点A的切线与垂直时，求d的值；
②直接写出d的最小值．
3. （2024江苏苏州） 如图，中，，，，，反比例函数的图象与交于点，与交于点E．
（1）求m，k的值；
（2）点P为反比例函数图象上一动点（点P在D，E之间运动，不与D，E重合），过点P作，交y轴于点M，过点P作轴，交于点N，连接，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
4. （2024黑龙江齐齐哈尔）综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为点，点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线于点E，点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是x轴上的任意一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出点D的坐标；
（3）当时，求点P的坐标；
（4）在（3）的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接，则的最小值为______．
5. （2024吉林省）如图，在中，，，，是的角平分线．动点P从点A出发，以的速度沿折线向终点B运动．过点P作，交于点Q，以为边作等边三角形，且点C，E在同侧，设点P的运动时间为，与重合部分图形的面积为．
（1）当点P在线段上运动时，判断的形状（不必证明），并直接写出的长（用含t的代数式表示）．
（2）当点E与点C重合时，求t的值．
（3）求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围．
6. （2024山东威海）如图，在菱形中，，，为对角线上一动点，以为一边作，交射线于点，连接．点从点出发，沿方向以每秒的速度运动至点处停止．设的面积为，点的运动时间为秒．
（1）求证：；
（2）求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
（3）求为何值时，线段的长度最短．
7. （2024天津市）将一个平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，且．
（1）填空：如图①，点的坐标为______，点的坐标为______；
（2）若为轴的正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，点的对应点为．设．
①如图②，若直线与边相交于点，当折叠后四边形与重叠部分为五边形时，与相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围；
②设折叠后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）．
8. （2024四川德阳）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当时，求的函数值的取值范围；
（3）将拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点，点为抛物线的对称轴上一动点，求的最小值．
9. （2024四川南充）如图，正方形边长为，点E为对角线上一点，，点P在边上以速度由点A向点B运动，同时点Q在边上以的速度由点C向点B运动，设运动时间为t秒（）．
（1）求证：．
（2）当是直角三角形时，求t的值．
（3）连接，当时，求的面积．
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2024年中考数学真题专题分类精选汇编（2025年中考复习全国通用）
专题24 动点问题
一、选择题
1. （2024四川乐山）如图，在菱形中，，，点P是边上一个动点，在延长线上找一点Q，使得点P和点Q关于点C对称，连接交于点M．当点P从B点运动到C点时，点M的运动路径长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】该题主要考查了菱形的性质，垂直平分线的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上点M的运动路径．
过点C作交于点H，根据，四边形是菱形，，算出，得出，垂直平分，再证明，得出，证明垂直平分，点M在上运动，根据解直角三角形 ．即可求解．
【详解】解：过点C作交于点H，
∵，四边形是菱形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∵点P和点Q关于点C对称，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴点M在上运动，
当点P与点B重合时，点M位于点，
此时，∵，四边形是菱形，，
∴，
∴．
故点M的运动路径长为．
故选：B．
2. （2024四川广元）如图①，在中，，点P从点A出发沿A→C→B以1的速度匀速运动至点B，图②是点P运动时，的面积随时间x（s）变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为（ ）
A. 5 B. 7 C. D.
【答案】A
【解析】本题考查根据函数图象获取信息，完全平方公式，勾股定理，
由图象可知，面积最大值为6，此时当点P运动到点C，得到，由图象可知， 根据勾股定理，结合完全平方公式即可求解．
【详解】解：由图象可知，面积最大值为6
由题意可得，当点P运动到点C时，的面积最大，
∴，即，
由图象可知，当时，，此时点P运动到点B，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A
3. （2024甘肃临夏）如图1，矩形中，为其对角线，一动点从出发，沿着的路径行进，过点作，垂足为．设点的运动路程为，为，与的函数图象如图2，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题考查了动点问题的函数图象，根据图象得出信息是解题的关键．
根据函数的图象与坐标的关系确定的长，再根据矩形性质及勾股定理列方程求解．
由图象得：，当时，，此时点P在边上，
设此时，则，，
在中，，
即：，
解得：，
，
故选：B．
4. （2024甘肃威武）如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（ ）
A. 2 B. 3 C. D.
【答案】C
【解析】结合图象，得到当时，，当点P运动到点B时，，根据菱形的性质，得，继而得到，当点P运动到中点时，的长为，解得即可．
本题考查了菱形的性质，图象信息题，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键．
【详解】结合图象，得到当时，，
当点P运动到点B时，，
根据菱形的性质，得，
故，
当点P运动到中点时，的长为，
故选C．
5. （2024江苏苏州）如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为（ ）
A. B. C. 2 D. 1
【答案】D
【解析】本题主要考查了矩形的性质、动点轨迹、与圆有关的位置关系等知识，根据矩形的性质以及直角三角形斜边中线的性质确定G的轨迹是本题解题的关键．
连接，交于点，取中点，连接，根据直角三角形斜边中线的性质，可以得出的轨迹，从而求出的最大值．
【详解】解：连接，交于点，取中点，连接，如图所示：
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴在中，，
∴，
∵，
，
在与中，
，
，
，，共线，
，是中点，
∴在中，，
的轨迹为以为圆心，为半径即为直径的圆弧．
∴的最大值为的长，即．
故选：D．
6. （2024黑龙江齐齐哈尔）如图，在等腰中，，，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下做正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为下列图像能反映y与x之间函数关系的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本题考查动态问题与函数图象，能够明确y与x分别表示的意义，并找到几何图形与函数图象之间的关系，以及对应点是解题的关键，根据题意并结合选项分析当与重合时，及当时图象的走势，和当时图象的走势即可得到答案．
【详解】当与重合时，设，由题可得：
∴，，
在中，由勾股定理可得：，
∴，
∴，
∴当时，，
∵，
∴图象为开口向上的抛物线的一部分，
当在下方时，设，由题可得：
∴，，
∵，,
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，
∵，
∴图象为开口向下的抛物线的一部分，
综上所述：A正确，
故选：A．
二、填空题
1. （2024江苏连云港）如图，在中，，，．点P在边上，过点P作，垂足为D，过点D作，垂足为F．连接，取的中点E．在点P从点A到点C的运动过程中，点E所经过的路径长为__________．
【答案】##
【解析】本题考查含30度角的直角三角形，一次函数与几何的综合应用，矩形的判定和性质，两点间的距离，以为原点，建立如图所示的坐标系，设，则，利用含30度角的直角三角形的性质，求出点的坐标，得到点在直线上运动，求出点分别与重合时，点的坐标，利用两点间的距离公式进行求解即可．
【详解】解：以为原点，建立如图所示的坐标系，设，则，
则：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
过点作，则：，
∴，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
令，
则：，
∴点在直线上运动，
当点与重合时，，此时，
当点与重合时，，此时，
∴点E所经过的路径长为；
故答案为：．
2. （2024江西省）如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为______．
【答案】或或2
【解析】本题考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，根据，可得或2，利用勾股定理进行解答即可，进行分类讨论是解题的关键．
【详解】为直径，为弦，
，
当的长为正整数时，或2，
当时，即为直径，
将沿翻折交直线于点F，此时与点重合，
故；
当时，且在点在线段之间，
如图，连接，
此时，
，
，
，
，
；
当时，且点在线段之间，连接，
同理可得，
，
综上，可得线段的长为或或2，
故答案为：或或2．
3. （2024四川凉山）如图，的圆心为，半径为，是直线上的一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为______
【答案】
【解析】【分析】记直线与x，y轴分别交于点A，K，连接；由直线解析式可求得点A、K的坐标，从而得均是等腰直角三角形，由相切及勾股定理得：，由，则当最小时，最小，点P与点K重合，此时最小值为，由勾股定理求得的最小值，从而求得结果．
【详解】解：记直线与x，y轴分别交于点A，K，连接，
当，，当，即，
解得：，
即；
而，
∴，
∴均是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵与相切，
∴，
∴，
∵，
∴当最小时即最小，
∴当时，取得最小值，
即点P与点K重合，此时最小值为，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴最小值为．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点问题，垂线段最短，正确添加辅助线是解题的关键．
4. （2024黑龙江绥化）如图，已知，点为内部一点，点为射线、点为射线上的两个动点，当的周长最小时，则______．
【答案】##度
【解析】本题考查了轴对称最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用；作点P关于，的对称点．连接．则当，是与，的交点时，的周长最短，根据对称的性质结合等腰三角形的性质即可求解．
【详解】作关于，的对称点．连接．则当，是与，的交点时，的周长最短，连接，
关于对称，
∴，
同理，，，
，，
是等腰三角形．
，
故答案为：．
三、解答题
1. （2024甘肃临夏）如图1，在矩形中，点为边上不与端点重合的一动点，点是对角线上一点，连接，交于点，且．
【模型建立】
（1）求证：；
【模型应用】
（2）若，，，求的长；
【模型迁移】
（3）如图2，若矩形是正方形，，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【解析】【分析】本题考查矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，构造相似三角形，是解题的关键：
（1）根据矩形的性质，结合同角的余角，求出，即可得证；
（2）延长交于点，证明，得到，再证明，求出的长，进而求出的长；
（3）设正方形的边长为，延长交于点，证明，得到，进而得到，勾股定理求出，进而求出的长，即可得出结果．
【详解】解：（1）∵矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）延长交于点，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）设正方形的边长为，则：，
延长交于点，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
2. （2024河北省）已知的半径为3，弦，中，．在平面上，先将和按图1位置摆放（点B与点N重合，点A在上，点C在内），随后移动，使点B在弦上移动，点A始终在上随之移动，设．
（1）当点B与点N重合时，求劣弧的长；
（2）当时，如图2，求点B到的距离，并求此时x的值；
（3）设点O到的距离为d．
①当点A在劣弧上，且过点A的切线与垂直时，求d的值；
②直接写出d的最小值．
【答案】（1）
（2）点B到的距离为；
（3）①；②
【解析】【分析】（1）如图，连接，，先证明为等边三角形，再利用等边三角形的性质结合弧长公式可得答案；
（2）过作于，过作于，连接，证明四边形是矩形，可得，，再结合勾股定理可得答案；
（3）①如图，由过点A的切线与垂直，可得过圆心，过作于，过作于，而，可得四边形为矩形，可得，再进一步利用勾股定理与锐角三角函数可得答案；②如图，当为中点时，过作于，过作于， ，此时最短，如图，过作于，而，证明，求解，再结合等角的三角函数可得答案．
【小问1详解】
解：如图，连接，，
∵的半径为3，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴的长为；
【小问2详解】
解：过作于，过作于，连接，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，而，
∴，
∴点B到的距离为；
∵，，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：①如图，∵过点A的切线与垂直，
∴过圆心，
过作于，过作于，而，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，即；
②如图，当为中点时，
过作于，过作于，
∴，
∴，此时最短，
如图，过作于，而，
∵为中点，则，
∴由（2）可得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得：（不符合题意的根舍去），
∴的最小值为．
【点睛】本题属于圆的综合题，难度很大，考查了勾股定理的应用，矩形的判定与性质，垂径定理的应用，锐角三角函数的应用，切线的性质，熟练的利用数形结合的方法，作出合适的辅助线是解本题的关键．
3. （2024江苏苏州） 如图，中，，，，，反比例函数的图象与交于点，与交于点E．
（1）求m，k的值；
（2）点P为反比例函数图象上一动点（点P在D，E之间运动，不与D，E重合），过点P作，交y轴于点M，过点P作轴，交于点N，连接，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
【答案】（1），
（2）最大值是，此时
【解析】【分析】本题考查了二次函数，反比例函数，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是：
（1）先求出B的坐标，然后利用待定系数法求出直线的函数表达式，把D的坐标代入直线的函数表达式求出m，再把D的坐标代入反比例函数表达式求出k即可；
（2）延长交y轴于点Q，交于点L．利用等腰三角形的判定与性质可得出，设点P的坐标为，，则可求出，然后利用二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解： ，，
．
又，
．
，
点．
设直线的函数表达式为，
将，代入，得，
解得，
∴直线的函数表达式为．
将点代入，得．
．
将代入，得．
【小问2详解】
解：延长交y轴于点Q，交于点L．
，，
．
轴，
，．
，
，
，
．
设点P的坐标为，，则，．
．
．
当时，有最大值，此时．
4. （2024黑龙江齐齐哈尔）综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为点，点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线于点E，点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是x轴上的任意一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出点D的坐标；
（3）当时，求点P的坐标；
（4）在（3）的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接，则的最小值为______．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】【分析】本题主要考查了求函数解析式、二次函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．
（1）先根据题意确定点A、C的坐标，然后运用待定系数法求解即可；
（2）分三种情况分别画出图形，然后根据等腰三角形的定义以及坐标与图形即可解答；
（3）先证明可得，设，则,可得，即，求得可得m的值，进而求得点P的坐标；
（4）如图：将线段向右平移单位得到,即四边形是平行四边形，可得,即，作关于对称轴的点,则，由两点间的距离公式可得，再根据三角形的三边关系可得即可解答．
【小问1详解】
解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，
∴当时，，即；当时，，即；
∵，
∴设抛物线的解析式为，
把代入可得：，解得：，
∴，
∴抛物线的解析式为：．
【小问2详解】
解：∵，，
∴,
∴，
如图：当，
∴,即；
如图：当，
∴,即；
如图：当，
∴,即；
综上，点D的坐标为．
【小问3详解】
解：如图：∵轴，
∴，
∵轴，
∴，
∵，
∴,
∴,
∵设，则,
∴，
∴，解得：（负值舍去），
当时，，
∴．
【小问4详解】
解： ∵抛物线的解析式为：，
∴抛物线的对称轴为：直线，
如图：将线段向右平移单位得到,
∴四边形是平行四边形，
∴,即,
作关于对称轴的点,则
∴,
∵，
∴的最小值为．
故答案为．
5. （2024吉林省）如图，在中，，，，是的角平分线．动点P从点A出发，以的速度沿折线向终点B运动．过点P作，交于点Q，以为边作等边三角形，且点C，E在同侧，设点P的运动时间为，与重合部分图形的面积为．
（1）当点P在线段上运动时，判断的形状（不必证明），并直接写出的长（用含t的代数式表示）．
（2）当点E与点C重合时，求t的值．
（3）求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围．
【答案】（1）等腰三角形，
（2）
（3）
【解析】【分析】（1）过点Q作于点H，根据“平行线+角平分线”即可得到，由，得到，解得到；
（2）由为等边三角形得到，而，则，故，解得；
（3）当点P在上，点E在上，重合部分为，过点P作于点G，，则，此时；当点P在上，点E在延长线上时，记与交于点F，此时重合部分为四边形，此时，因此，故可得，此时；当点P在上，重合部分为， 此时，，解直角三角形得，故，此时，再综上即可求解．
【小问1详解】
解：过点Q作于点H，由题意得：
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形，
∵，
∴，
∴在中，；
【小问2详解】
解：如图，
∵为等边三角形，
∴，
由（1）得，
∴，
即，
∴；
【小问3详解】
解：当点P在上，点E在上，重合部分为，过点P作于点G，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
由（2）知当点E与点C重合时，，
∴；
当点P在上，点E在延长线上时，记与交于点F，此时重合部分为四边形，如图，
∵是等边三角形，
∴，
而，
∴，
∴，
∴，
当点P与点D重合时，在中，，
∴，
∴；
当点P在上，重合部分为，如图，
∵，
由上知，
∴，
∴此时，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当点P与点B重合时，，
解得：，
∴，
综上所述：．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解直角三角形的相关计算，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键．
6. （2024山东威海）如图，在菱形中，，，为对角线上一动点，以为一边作，交射线于点，连接．点从点出发，沿方向以每秒的速度运动至点处停止．设的面积为，点的运动时间为秒．
（1）求证：；
（2）求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
（3）求为何值时，线段的长度最短．
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）．
【解析】【分析】（）设与相交于点，证明，可得，，利用三角形外角性质可得，即得，即可求证；
（）过点作于，解直角三角形得到，，可得，由等腰三角形三线合一可得，即可由三角形面积公式得到与的函数表达式，最后由，可得自变量的取值范围；
（）证明为等边三角形，可得，可知线段的长度最短，即的长度最短，当时，取最短，又由菱形的性质可得为等边三角形，利用三线合一求出即可求解；
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，解直角三角形，求二次函数解析式，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，垂线段最短，掌握菱形的性质及等边三角形的判定和性质是解题的关键．
【小问1详解】
证明：设与相交于点，
∵四边形为菱形，
∴，，，
∵
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
又∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：过点作于，则，
∵，
∴，
∵四边形为菱形，，
∴，，
即，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：∵，，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴线段的长度最短，即的长度最短，当时，取最短，如图，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当时，线段的长度最短．
7. （2024天津市）将一个平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，且．
（1）填空：如图①，点的坐标为______，点的坐标为______；
（2）若为轴的正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，点的对应点为．设．
①如图②，若直线与边相交于点，当折叠后四边形与重叠部分为五边形时，与相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围；
②设折叠后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）．
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，得出结合勾股定理，即可作答．
（2）①由折叠得，，再证明是等边三角形，运用线段的和差关系列式化简，，考虑当与点重合时，和当与点B重合时，分别作图，得出的取值范围，即可作答．
②根据①的结论，根据解直角三角形的性质得出，再分别以时，时，，分别作图，运用数形结合思路列式计算，即可作答．
【小问1详解】
解：如图：过点C作
∵四边形是平行四边形，，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：，
【小问2详解】
解：①∵过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，
∴，，
∴
∵
∴
∴
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴是等边三角形
∴
∵
∴
∴；
当与点重合时，
此时与的交点为E与A重合，
如图：当与点B重合时，
此时与的交点为E与B重合，
∴的取值范围为；
②如图：过点C作
由（1）得出，
∴，
∴
当时，
∴，开口向上，对称轴直线
∴在时，随着的增大而增大
∴；
当时，如图：
∴，随着的增大而增大
∴在时；在时；
∴当时，
∵当时，过点E作，如图：
∵由①得出是等边三角形，
∴，
∴，
∴
∵
∴开口向下，在时，有最大值
∴在时，
∴
则在时，；
当时，如图，
∴，随着的增大而减小
∴在时，则把分别代入
得出，
∴在时，
综上：
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形的性质，折叠性质，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
8. （2024四川德阳）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当时，求的函数值的取值范围；
（3）将拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点，点为抛物线的对称轴上一动点，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）的最小值为：
【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法求解二次函数的解析式即可；
（2）求解的对称轴为直线，而，再利用二次函数的性质可得答案；
（3）求解，，可得，求解直线为，及，证明在直线上，如图，过作于，连接，过作于，可得，，证明，可得，可得，再进一步求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线与轴交于点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
【小问2详解】
解：∵的对称轴为直线，而，
∴函数最小值为：，
当时，，
当时，，
∴函数值的范围为：；
【小问3详解】
解：∵，
当时，，
∴，
当时，
解得：，，
∴，
∴，
设直线为，
∴，
∴，
∴直线为，
∵拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点，而顶点为，
∴，
∴在直线上，
如图，过作于，连接，过作于，
∵，，
∴，，
∵对称轴与轴平行，
∴，
∴，
∴，
由抛物线的对称性可得：，，
∴，
当三点共线时取等号，
∴，
∴，
∴，
即的最小值为：．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，利用轴对称的性质求解线段和的最小值，锐角三角函数的应用，做出合适的辅助线是解本题的关键．
9. （2024四川南充）如图，正方形边长为，点E为对角线上一点，，点P在边上以速度由点A向点B运动，同时点Q在边上以的速度由点C向点B运动，设运动时间为t秒（）．
（1）求证：．
（2）当是直角三角形时，求t的值．
（3）连接，当时，求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）秒或2秒 （3）
【解析】【分析】（1）根据正方形性质，得到，再题意得到，从而得到；
（2）利用题目中的条件，分别用t表示、、，再分别讨论当、和时，利用勾股定理构造方程求出t即可；
（3）过点A作，交的延长线于点F，连接交于点G．由此得到，由已知得到进而得到，由题意，则，再依次证明、，得到，从而证明，即是等腰直角三角形．则，再用求出的面积．
【小问1详解】
证明：四边形是正方形，
．
，
．
【小问2详解】
解：过点E作于点M，过点E作于点N．
由题意知，
∵
∴，
∵
∴
由已知，
．
，即，
，即，
，即．
①当时，有．
即，整理得．
解得（不合题意，舍去）．
②当时，有．
即，整理得，解得．
③当时，有．
即，整理得，该方程无实数解．
综上所述，当是直角三角形时，t的值为秒或2秒．
【小问3详解】
解：过点A作，交的延长线于点F，连接交于点G．
，
．
又，
．
，
，
，
，
，
，
，
即，
是等腰直角三角形．
，
【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的性质与判定、正切定义以及勾股定理．解答过程中，灵活的利用勾股定理构造方程、根据题意找到相似三角形是解题关键．
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