课件17张PPT。 正弦定理、余弦定理 正弦定理、余弦定理两等式间有联系吗？即正弦定理，定理对任意三角形均成立． 正弦定理、余弦定理正弦定理可以解什么类型的三角形问题？ 已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角；已知两
边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角。
一般地，把三角形的三个角A,B,C和它的对边a,b,c叫做三角形的
元素已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形 正弦定理、余弦定理例题讲解 正弦定理、余弦定理例题讲解 正弦定理、余弦定理例题讲解正弦定理中的比值常数（2）若A,B,C是⊿ABC的三个内角，则sinA+sinB____sinC.A.b/a B.a/b C.a/c D.c/ac>B 正弦定理、余弦定理练习：CD 正弦定理、余弦定理练习：∴ 等式成立在⊿ABC中，若acosA=bcosB,求证：⊿ABC是等腰三角形或直角三角形。利用正弦定理证明“角平分线定理”三角形面积计算公式课件16张PPT。（2）若A,B,C是⊿ABC的三个内角，则sinA+sinB____sinC.A.b/a B.a/b C.a/c D.c/ac>B余弦定理解: 过A作BC边上的高AD,则
AD=4sin600,CD=4cos600,
BD=3－4cos600,
∴ AB2=AD2+BD2=(4sin600)2+(3－4 cos600)2
=42+32－2×3×4cos600
∴ AB=
已知∠C=600,AC=4,BC=3,求AB.猜想：AB2=AC2+BC2－2AC×BC×cosC
对任意三角形是否成立？证明：在三角形ABC中，AB、BC、CA的长分别为c,a,b.a2=b2+c2－2bccosA
b2= a2+c2－2accosB
c2 =a2+ b2－2abcosC余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。cosA=
?
cosB=
?
cosC=
?
余弦定理推论：（1）若A为直角，则a2=b2+c2
（2）若A为锐角，则a2（3）若A为钝角，则a2>b2+c2由a2=b2+c2－2bccosA可得利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：
（1）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；
（2）已知三边，求三个角。例.已知b=8,c=3,A=600求a. ∵a2=b2+c2－2bccosA
=64+9－2×8×3cos600
=49 4.定理的应用解：a=7变式练习：
1.已知:a=7,b=8,c=3,求A.
2.已知:a=7,b=8,c=3,试判断
此三角形的形状.例3：在⊿ABC中，已知b=60cm,c=34cm,A=41°,解三角形（角度精确到1°，边长精确到1cm）.解：根据余弦定理，a2=b2+c2－2bccosA
=602+342－2×60×34× cos41°≈1676.82
所以 a≈41(cm)由正弦定理得，因为c不是三角形中最大的边，所以C是锐角，利用计算器得
C≈33°
B=180°－（A+C）=180°－（41°＋33°）＝106°例4，在⊿ABC中，已知a=134.6cm,b=87.8cm,c=161.7cm,解三角形（角度精确到1′）。解：由余弦定理的推论得：A≈56°20′;B≈32°53′C= 180°－（A+B）≈ 180°－（ 56°20′＋ 32°53′ ）
＝90°47′四类解三角形问题：
（1）已知两角和任意一边，求其他两边和一角；
（2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角。
（3）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；
（4）已知三边，求三个角。
选做题：已知一钝角三角形的边长是三个连续自然数，求该三角形的三边长。必做题：等腰三角形的底边长为a，腰长为2a,求腰上的中线长。已知，在ΔABC中， a=22cm,b=25cm,A=133。
解三角形（2）若A,B,C是⊿ABC的三个内角，则sinA+sinB____sinC.A.b/a B.a/b C.a/c D.c/a（1）若三角形的三个角的比是1：2：3，最大的边是20，则最小的边是_____.课件10张PPT。应用举例高度角度距离正弦定理 余弦定理例1:设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC＝51o， ∠ACB＝75o，求A、B两点间的距离（精确到0.1m）分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形解：根据正弦定理，得答：A、B两点间的距离为65.7米。例2：A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量两点间的距离的方法。分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一点C到对岸两点的距离，再测出∠BCA的大小，借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a,并且在C、D两点分别测得∠BCA=α, ∠ACD=β, ∠CDB=γ, ∠BDA=δ.在⊿ADC和⊿BDC中，应用正弦定理得计算出AC和BC后，再在⊿ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离练习1：一艘船以32.2n mile / h的速度向正北航行。在A处看灯塔S在船的北偏东20o的方向，30min后航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？（1）什么是最大仰角？ 在△ABC中已知什么，要求什么？已知△ABC中,AB＝1.95m，AC＝1.40m，
夹角∠CAB＝66°20′，求BC．解：由余弦定理，得答：顶杆BC约长1.89m。 实际问题解应用题的基本思路课件9张PPT。应用举例高度角度距离正弦定理 余弦定理例1:设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55cm，∠BAC＝51o， ∠ACB＝75o，求A、B两点间的距离（精确到0.1m）分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形例2:A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量两点间的距离的方法。分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一点C到对岸两点的距离，再测出∠BCA的大小，借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。例3: AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法.分析：由于建筑物的底部B是不可到达的，所以不能直接测量出建筑物的高。由解直角三角形的知识，只要能测出一点C到建筑物的顶部A的距离CA,并测出由点C观察A的仰角，就可以计算出建筑物的高。所以应该设法借助解三角形的知识测出CA的长。解：选择一条水平基线HG,使H,G,B三点在同一条直线上。由在H,G两点用测角仪器测得A的仰角分别是α，β，CD=a,测角仪器的高是h.那么，在⊿ACD中，根据正弦定理可得例3: AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法.例4: 在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α＝54°40′，在塔底C处测得A处的俯角β＝50°1′。已知铁塔BC部分的高为27.3m，求出山高CD(精确到1m)分析：根据已知条件，应该设法计算出AB或AC的长.解：在⊿ABC中，∠BCA=90°+β, ∠ABC=90°-α, ∠BAC=α-β, ∠BAD=α.根据正弦定理，CD=BD-BC≈177-27.3=150(m)答：山的高度约为150米。例5: 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15°的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在东偏南25°的方向上，仰角8°，求此山的高度CD.分析：要测出高CD,只要测出高所在的直角三角形的另一条直角边或斜边的长。根据已知条件，可以计算出BC的长。例5: 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15°的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在东偏南25°的方向上，仰角8°，求此山的高度CD.解：在⊿ABC中，∠A=15°,
∠C=25°-15°=10°.
根据正弦定理，CD=BC×tan∠DBC≈BC×tan8°≈1047(m)答：山的高度约为1047米。课件9张PPT。应用举例高度角度距离正弦定理 余弦定理例6: 一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行67.5n mile后到达海岛B,然后从B出发，沿北偏东32°的方向航行54.0n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离（角度精确到0.1°,距离精确到0.01n mile）?解：在⊿ABC中，∠ABC＝180°－75°＋32°＝137°，根据余弦定理，所以，∠CAB=19.0°,
75°－∠CAB=56.0°.答：此船应该沿北偏东56.0°的方向航行，需要航行113.15n mile.例7: 在⊿ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S(精确到0.1cm2)(1)已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5°;(2)已知B=62.7°,C=65.8°,b=3.16cm;（3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm.例8: 在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成市内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m，这个区域的面积是多少（精确到0.1cm2）?解：设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论，2.在⊿ABC中，若B=60°,2b=a+c,试判断⊿ABC的形状。练习:课件11张PPT。此时 右边=1.有分别满足下列条件的两个三角形：（1）B=30°，a=14, b=7; (2) 那么下面判断正确的是（ ）A.（1）只有一解,（2）只有一解 B.（1）有两解,（2）有两解
C.（1）有两解,（2）只有一解 D.（1）只有一解,（2）有两解4.已知锐角三角形的边长分别为2,3,x,则x的取值范围是( )8.已知△ABC的三内角的正弦之比为4:5:6, 周长为7.5,则其三边长为____________.7.若A,B,C是△ABC的三个内角,则sinA+sinB____sinC
(用”>”,”<”填空). 1.如图，在四边形ABCD中，已知AD?CD, AD=10, AB=14, ?BDA=60?, ?BCD=135? 求BC的长 2.△ABC中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，解此三角形. 课件11张PPT。解三角形复习课正弦、余弦定理的应用：（2）判断三角形的形状；（1）解三角形；（3）综合应用.1.正弦定理2.正弦定理的作用(1)已知三角形的两角和任一边,求其它两边和另一角;
(2)已知三角形的两边和其中一边的对角,求另一边的对角(从而进一步求出其它的边和角).第二种情况若知道的是大边的对角,只有唯一的一组解;若给出的是小边的对角,则结果可能是两解或一解、或无解.cb一.正弦定理及其应用：二.余弦定理及其应用：1、分析题意，弄清已知和所求；
2、根据题意，画出示意图；
3、将实际问题转化为数学问题，写出已知所求；
4、正确运用正、余弦定理。三.求解三角形应用题的一般步骤：实际问题2.在?ABC中，已知b＝60cm，c＝34cm，
A＝41°，解这个三角形.
题型一:解三角形 3.在?ABC中，已知a＝134.6cm，b＝87.8cm，
c=161.7cm,解这个三角形.1. 在ΔABC中，已知a=22cm,b=25cm,A=133°,
解这个三角形.4.根据以下条件,判断三角形形状：题型二:判断三角形形状5.在四边形ABCD中,已知AD ⊥ CD,
AD=10,AB=14,∠BDA= 60°,
∠BCD= 135°, 求BC的长.题型三:正弦、余弦定理的综合应用题型三:正弦、余弦定理的综合应用
