2023—2024高一下学期期末试卷（数学）
时间：120分钟 分值：150分
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1．已知为虚数单位，复数的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，则
A． B． C． D．
3．抛掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是”为事件，“向上的点数是”为事件，则下列选项正确的是（ ）
A．与是对立事件 B．与是互斥事件
C． D．
4．有6个大小相同的小球，其中1个黑色，2个蓝色，3个红色．采用放回方式从中随机取2次球，每次取1个球，甲表示事件“第一次取红球”，乙表示事件“第二次取蓝球”，丙表示事件“两次取出不同颜色的球”，丁表示事件“与两次取出相同颜色的球”，则（ ）
A．甲与乙相互独立 B．甲与丙相互独立
C．乙与丙相互独立 D．乙与丁相互独立
5．若，且，则的形状为（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
6．在正方体中, 分别为的中点, 则异面直线与所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
7．甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用七局四胜制，先赢四局者获胜，没有平局、甲每局赢的概率为，已知前两局甲输了，则甲最后获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知一圆锥底面圆的直径是，圆锥的母线长为，在该圆锥内放置一个棱长为的正四面体（每条棱长都为的三棱锥），并且正四面体可以在该圆锥内任意转动，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．光明学校组建了演讲 舞蹈 航模 合唱 机器人五个社团，全校所有学生每人都参加且只参加其中一个社团，校团委在全校学生中随机选取一部分学生（这部分学生人数少于全校学生人数）进行调查，并将调查结果绘制成了如下两个不完整的统计图：则（）
A．选取的这部分学生的总人数为500人
B．合唱社团的人数占样本总量的
C．选取的学生中参加机器人社团的学生数为78人
D．选取的学生中参加合唱社团的人数比参加机器人社团人数多125
10．下列说法正确的是（ ）
A．用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，个体被抽到的概率是0.2
B．已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5
C．数据27，12，14，30，15，17，19，23的50%分位数是17
D．若样本数据,,…，,的标准差为8，则数据,,…,的标准差为16
11．如图在边长为4的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，点P是AD上的动点，将分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点G，则下列结论正确的是（ ）
A．BG⊥EF B．G到平面DEF的距离为
C．若BG∥面EFP，则二面角D EF P的余弦值为
D．四面体G DEF外接球表面积为
第Ⅱ卷
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.已知向量的夹角为，，则 ．
某校高一年级有1200名学生，高二年级有1000名学生，高三年级有800名学生，现要从该校全体学生中抽取100人进行视力检查，应从高一年级抽取 人
14．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑. 如图所示，四面体为鳖臑，平面，，，，分别是棱和上的动点，且，则的长最小为____________.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ）
15．（本小题满分13分）已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A是锐角，且.
（1）求A；
（2）若，的面积为，求的值.
16．（本小题满分15分）已知．
（1）求与的夹角；
（2）若，且，求实数t及．
17．（本小题满分15分）法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们（书籍的作者）一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流，阅读会让精神世界闪光”.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示：
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)求样本每天阅读时间的第75百分位数；
(3)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，和的年轻人中抽取5人，再从中任选3人进行调查，求其中恰好
有2人每天阅读时间位于的概率.
18．（本小题满分17分）平行四边形ABCD中，，，如图甲所示，作于点E，将沿着DE翻折，使点A与点P重合，如图乙所示．
（1）设平面PEB与平面PDC的交线为l，判断l与CD的位置关系，并证明；
（2）当四棱锥的体积最大时，求二面角的正切值；
（3）在（2）的条件下，G、H分别为棱DE，CD上的点，求空间四边形PGHB周长的最小值．
19.（本小题满分17分）如图1，四边形是矩形，将沿对角线折起成，连接，如图2，构成三棱锥.过动点作平面的垂线，垂足是.
(1)当落在何处时，平面平面，并说明理由；
(2)在三棱锥中，若为的中点，判断直线与平面的位置关系，并说明理由；
(3)设是及其内部的点构成的集合，，当时，求三棱锥的体积的取值范围.2023—2024高一下学期期末试卷（答案）
选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
C D B A D C C B ABD AD ACD
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 13. 40 14.
四、解答题
15．（1）由题可得.
因为，所以
所以，而，所以.
（2）因为，所以.
由余弦定理得：，
所以.
16．（1）由已知，
，
所以，又，所以；
（2）由题意，
解得，，
，所以
17．（1）因为频率分布直方图的所有矩形面积之和为1，
所以，解得.
（2）因为成绩落在内的频率为，
落在内的频率为，
所以第75百分位数落在.
设第75百分位数为m，
由，解得，
故第75百分位数为84，
所以估计该地年轻人阅读时间的第75百分位数约为84分钟.
（3）由题意，阅读时间位于的人数为，
阅读时间位于的人数为，
阅读时间位于的人数为，
所以在这三组中按照分层抽样抽取5人的抽样比例为，
则抽取的5人中位于区间有1人，设为a，位于区间有3人，设为，，，位于区间有1人，设为.
则从5人中任取3人，样本空间共含有10个样本点.
设事件A为“恰有2人每天阅读时间在”，
，含有6个样本点.
所以，
所以恰好有2人每天阅读时间位于的概率为.
18．（1）因为，平面PBE，平面PBE，所以平面PBE
因为平面PCD，平面平面，所以．
（2）当平面平面BCDE时，四棱锥的体积最大．
平面平面BCDE=DE，平面PDE，,
可得平面BCDE，平面BCDE，可得BC，
作交BC于点O，连接PO，,
可得平面POE，而PO在平面PEO中，故PO，
即为二面角的平面角，
在中，，，，
所以二面角的正切值为．
（3）由展开图可知，B关于CD的对称点为，，，由勾股定理可得，，当A、G、H、共线时，周长最短，此时
19.（1）当落上时，平面平面.
因为，所以平面，
所以平面.
因为平面，
所以平面平面.
（2）直线与平面平行.
证明如下：取的中点，连结.
因为平面，
所以，
在Rt和Rt中，，
所以，
所以，
因为为的中点，
所以，又在矩形中，，
所以，因为平面平面，
所以平面，
在中，分别为的中点，所以，
因为平面平面，
所以平面，又在平面中，，
所以平面平面，因为平面，
所以平面.
（3）在矩形中，作交于，
已知，由题意知
在中，作，交于，
沿将折起成后，
又，
所以平面.
因为平面，
所以，又，
在平面中，，
所以平面，
因此，当时，满足题意的的集合组成的图形为线段，
因为在Rt中，
所以，当时，取得最大值为，
当时，取得最小值为，
因为四面体的体积为，
①当取得最大值时，即与重合时，
四面体的体积取得最大值；
②当取得最小值时，即与重合时，
四面体的体积取得最小值.
综上，当时，四面体的体积的取值范围是.
