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22.1 二次函数图象与系数的关系 压轴题专项讲练
思想方法
数形结合思想：所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系；（3所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
知识总结
一、二次函数图象与系数的关系
对于二次函数（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置．
典例分析
【典例1】如图，抛物线与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C．若点，则下列结论中：①；②；③与是抛物线上两点，若，则；④若抛物线的对称轴是直线，m为任意实数，则；⑤，则，正确的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【思路点拨】
本题考查了二次函数的图象和性质．根据图象可知，，，，即可判断①结论；根据图象可得对称轴在直线右侧，即，即可判断②结论；根据二次函数的增减性，即可判断③结论；根据对称轴，得出，再利用作差法，即可判断④结论；根据抛物线与轴的交点，整理得出，再根据，得到，进而得出，再结合，即可判断⑤结论．根据图象得出二次函数表达式各系数符号是解题关键．
【解题过程】
解：抛物线开口线下，与y轴交于负半轴，
，，
对称轴在轴正半轴，
、异号，
，
，①结论正确；
抛物线与x轴正半轴交于A、B两点，且点，
对称轴在直线右侧，即，
，
，
，
，②结论正确；
与是抛物线上两点，且，
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；
无法判断和的大小，③结论错误；
抛物线的对称轴是直线，
，即，
，
，，
，
，④结论正确；
抛物线与x轴正半轴交于A、B两点，且点，
当时，，
，
，
点的横坐标，
当时，；
，
整理得：，
，
，
，
，⑤结论正确；
正确的结论有①②④⑤，共4个，
故选：B．
1．（2024·湖北宜昌·模拟预测）如图，已知二次函数的图象关于直线对称，与x轴的一个交点在原点和之间，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．（m为任意实数）
【思路点拨】
本题考查二次函数的图象与性质，数形结合是解题的关键．根据抛物线开口向上，对称轴，与y轴交点位置，即可判断选项A；根据抛物线对称轴即可判断选项B；根据“对称轴为直线，”可判断选项C； 当时，为最小值，据此可判断选项D．
【解题过程】
解：A．∵抛物线开口向上，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，
∵抛物线与轴交于负半轴，
∴，
∴，
原题结论正确，故此选项不符合题意；
B．∵对称轴为直线，
∴，
∴，
故选项正确，不符合题意；
C．∵对称轴为直线，，
∴，
∴当时，
原题结论错误，故此选项符合题意；
D．当时，为最小值，
∴，
∴，
∴，
原题结论正确，故此选项不符合题意．
故选：C．
2．（2024·黑龙江绥化·中考真题）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中：
① ②（m为任意实数） ③
④若、是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拨】
本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的开口方向，对称轴可得，即可判断①，时，函数值最大，即可判断②，根据时，，即可判断③，根据对称性可得即可判段④，即可求解．
【解题过程】
解：∵二次函数图象开口向下
∴
∵对称轴为直线，
∴
∴
∵抛物线与轴交于正半轴，则
∴，故①错误，
∵抛物线开口向下，对称轴为直线,
∴当时，取得最大值，最大值为
∴（m为任意实数）
即，故②正确；
∵时，
即
∵
∴
即
∴，故③正确；
∵、是抛物线上不同的两个点，
∴关于对称，
∴即故④不正确
正确的有②③
故选：B
3．（2024·四川眉山·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④若，则，其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4
【思路点拨】
此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键，利用开口方向和对称轴的位置即可判断①，利用对称轴和特殊点的函数值即可判断②，利用二次函数的最值即可判断③，求出，进一步得到，又根据得到，即可判断④.
【解题过程】
解：①函数图象开口方向向上，
；
对称轴在轴右侧，
、异号，
，
∵抛物线与轴交点在轴负半轴，
，
，故①错误；
②二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，
，
，
时，，
，
，
，故②正确；
③对称轴为直线，，
最小值，
，
∴，
故③正确；
④，
∴根据抛物线与相应方程的根与系数的关系可得，
，
，
，
，
，
，
故④正确；
综上所述，正确的有②③④，
故选：C
4．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，抛物线经过点，，，若，则下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．点必在该抛物线上
【思路点拨】
根据抛物线开口向下，与轴交于负半轴，对称轴在轴右边，可得，，，即可判断A；将抛物线化为顶点式，由顶点在第一象限得到，结合即可判断B；由点在抛物线上得到，再由即可判断C；由抛物线的对称性即可判断D．
【解题过程】
解：抛物线开口向下，与轴交于负半轴，对称轴在轴右边，
，，，
，
，故A正确，不符合题意；
，抛物线的顶点在第一象限，经过点，对称轴为直线，
，
，
，故B正确，不符合题意；
抛物线经过点，
，
，
，
，
，故C错误，符合题意；
抛物线经过点，，，
对称轴为直线，
，
和关于对称轴对称，
点必在该抛物线上，故D正确，不符合题意；
故选：C．
5．（23-24九年级上·河南周口·期末）抛物线的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线．下列结论：
①；②；③；
④方程有两个不相等的实数根；
⑤若点在该抛物线上，则其中正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【思路点拨】
由开口方向及与轴的交点可判断，，，再根据“左同右异”的方法可判断的符号，从而可判断①；由对称轴可判断②；由图象得和对称轴可求，可得抛物线与的另一个交点为，代入即可判断③；设，则图象为过且垂直于轴的一条直线，并且与抛物线有两个交点，可判断④；当时，，即可判断⑤．
【解题过程】
解：由图得：，，
对称轴在轴右侧，
，
，
故①错误；
抛物线的对称轴是直线，
，
，
故②正确；
由图象得，
解得：，
抛物线与的另一个交点为，
，
即：，
故③正确；
设，则图象为过且垂直于轴的一条直线，
与抛物线有两个交点，
方程有两个不相等的实数根；
故④正确；
抛物线的对称轴是直线，
且，
当时，
，
，
故⑤正确；
综上所述：正确的有②③④⑤，共个；
故选：C．
6．（23-24九年级上·山东菏泽·期末）如图是二次函数图象的一部分，对称轴为，且经过点．下列说法：①；②；③；④若是抛物线上的两点，则；⑤（其中），其中说法正确的是( )
A．①②③ B．①②④ C．①②④⑤ D．②③④⑤
【思路点拨】
本题考查了二次函数的图象与性质，图象与系数的关系，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
利用抛物线的开口方向、对称轴和与轴的交点位置来判定①，利用抛物线与轴的两个交点的坐标、结合一元二次方程根与系数的关系来判定②，把点代入二次函数的解析式来判定③，观察图象可得：距离对称轴越近的点的纵坐标越大，据此判定④，根据二次函数的最大值判定⑤．
【解题过程】
解：∵抛物线开口向下，
∴，
抛物线对称轴为，
∴，
抛物线与轴的交点在轴上方，
∴，
∴，
所以①正确；
对称轴为，且经过点，
抛物线与轴的另一个交点为，
∴一元二次方程的两个根为2和，
∴，
整理，得，
∴，
所以②正确；
抛物线经过，
∴当时，，
∴，
所以③错误；
∵，
∴距离对称轴越近的点的纵坐标越大，
∵，
∴
所以④正确；
∵对称轴为，
∴当时，有最大值，的最大值，
∴当时，，
整理，得，
∵，即，
∴，
即，
所以⑤正确．
其中说法正确的是①②④⑤．
故选：C．
7．（23-24九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，抛物线与轴交于两点、，其中．下列四个结论：①；②；③；④点，都在抛物线上，则有；⑤不等式的解集为．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拨】
本题考查了抛物线图像综合，根据抛物线开口向上，；对称轴在原点的右边，，得到，，判断；结合图像，；根据对称轴，增减性，数形结合思想计算判断即可．
【解题过程】
解：∵抛物线开口向上，
∴；
∵对称轴在原点的右边，，
∴，
∵抛物线与y轴交点位于坐标轴上，
∴，
∴；
故①正确；
结合图像，；
故②错误；
∵抛物线与轴交于两点、，其中．
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
故③正确；
∵点，都在抛物线上，
∴，
∴，
∵，
∴
∴；
故④正确；
设直线，根据题意，直线经过点和，
故直线与的交点为点和，
画草图如下，
故不等式的解集为．
故⑤正确；
故选D．
8．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）已知二次函数 图像的一部分如图所示，该函数图像经过点，对称轴为直线．对于下列结论： ；②；③多项式可因式分解为；④无论m为何值时，代数式的值一定不大于0．其中正确个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拨】
先根据图像的开口方向和对称轴可判断①；由抛物线的对称轴为可得抛物线与x轴的另一个交点为，由此可判断②；根据抛物线与x轴的两个交点坐标可判断③；根据函数的对称轴为可知时y有最大值，由此可判断④．
本题主要考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数图像和系数的关系．
【解题过程】
解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
∴结论①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点为，且对称轴为直线，
由，得，
∴抛物线与x轴的另一个交点为，
即当时，，
∴，
∴，
∴结论②错误；
∵抛物线与x轴的两个交点为，，
∴多项式可因式分解为，
∴结论③错误；
∵对称轴为直线，且函数开口向下，
∴当时，y有最大值，
由得，
时，，
时，，
∴无论m为何值时，
，
∴
∴结论④正确；
综上：正确的有①④．
故选：B
9．（23-24九年级上·四川德阳·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，与轴的交点在、之间（包含端点）．正确结论的个数是（ ）
①当时，；②；③；④．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【思路点拨】
本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的图象与系数的关系；二次函数与一元二次方程的关系；熟练掌握二次函数的图象与系数之间的关系是解题的关键．
①根据题意可得抛物线的对称轴为直线，得到另一个交点坐标，结合函数图象即可对于①作出判断；②根据抛物线开口方向得出，由对称轴求得与的关系，代入，即可判定的符号；③根据二次函数与轴的交点坐标即为对应一元二次方程的解，结合一元二次方程两根之积，得到与的关系，然后根据的取值范围，利用不等式的性质来求的取值范围；④把顶点坐标代入函数解析式得到，根据的取值范围，利用不等式的性质来求得的取值范围．
【解题过程】
解：①∵抛物线的顶点坐标为，
∴对称轴直线是，
∵抛物线与轴交于点，
∴该抛物线与轴的另一个交点的坐标是，
∴根据图象可得，当时，；故①正确；
②根据图象可得抛物线开口方向向下，则；
∵对称轴，
∴；
∴，即；故②错误；
③∵抛物线与轴的两个交点坐标分别是，，
即方程的解是和，
∴，
即，
则；
∵抛物线与轴的交点在、之间（包含端点），
∴，
∴；
即；故③正确；
④∵；
∴，
∵抛物线的顶点坐标为，
即
∵，
∴，
即；故④正确；
综上所述，正确的说法有①③④．
故选：C．
10．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）如图，二次函数的图象与x轴负半轴交于，对称轴为直线． 有以下结论∶ ；；若点，，均在函数图象上，则 ；若方程的两根为、，且则 ；点 ，是抛物线与轴的两个交点，若在轴下方的抛物线上存在一点， 使得， 则的范围为．其中结论正确的个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【思路点拨】
本题考查二次函数的图象及性质，由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与y轴的交点判断与的关系，然后根据抛物线对称性进行推理，进而对所得结论进行判断，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键．
【解题过程】
解：∵对称轴为直线，函数图象与轴负半轴交于 ，
∴，
∴，
由图象可知 ，，
∴，
∴，故错误；
由图可知，当时， ，
∴，即，故正确；
∵点，，均在函数图象上，对称轴为直线，开口向上，
∴，
则 ，故错误；
由抛物线对称性可知，抛物线与轴另一个交点为，
∴抛物线解析式为：，
令，则，
如图，作，
由图形可知 ，故正确；
由题意可知：，到对称轴的距离为，
当抛物线的顶点到轴的距离不小于 时，在轴下方的抛物线上存在点，使得，即，
∵，
∴，，
∴，
解得：，故正确，
综上可知正确，共个，
故选：．
11．（23-24九年级下·山东烟台·期中）已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，顶点坐标为．对于下列结论：①；②；③若关于x的一元二次方程无实数根，则；④）（其中）﹔⑤若和均在该函数图象上，且，则．其中正确结论有（ ）
A．②③④ B．②③⑤ C．②③ D．④⑤
【思路点拨】
本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象与直线交点问题，掌握二次函数图象与系数关系，二次函数的性质，利用数形结合思想解题是关键．
根据抛物线与轴的一个交点以及其对称轴，求出抛物线与轴的另一个交点，利用待定系数法求函数解析式，再根据抛物线开口朝下，可得，进而可得，，再结合二次函数的图象和性质逐条判断即可．
【解题过程】
解：抛物线开口方向向下，
，
抛物线的对称轴为直线，
∴
∴
∵抛物线与抛物线与轴交点在正半轴上，
∴，
，故①错误；
抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的一个交点坐标为，
抛物线与轴的另一个交点坐标为，
把代入，可得：，故②正确；
∵关于x的一元二次方程无实数根，
∴二次函数的图象与直线无交点，
∵抛物线的顶点坐标为，抛物线开口方向向下，
∴，故③正确；
，
，
，
又，，
，
即（其中，故④正确；
抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口朝下，
可知二次函数，在时，随的增大而减小，
，
，故⑤错误，
正确的有②③④，
故选：A．
12．（2024·四川达州·三模）如图，函数的图象过点和，请思考下列判断：①；②；③；④；⑤．正确的结论有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【思路点拨】
本题考查了二次函数图象与系数的关系①利用图象信息即可判断；②根据时，即可判断；③根据是方程的根，结合两根之积 ，即可判断；④根据两根之和 ，可得，可得；⑤根据抛物线与轴的两个交点之间的距离，列出关系式即可判断．
【解题过程】
解：抛物线开口向下，
，
抛物线交轴于正半轴，
，
，
，
，故①正确，
时，，
，即，故②正确，
的图象过点和，
，，则，
，
，故③正确，
，
，
，
∵，
∴，故④正确，
对于，可得：，
由函数图象交点可知或，
，
，
，故⑤正确，
故选：D．
13．（23-24八年级下·云南·期末）二次函数的部分图象如图，图象过点下列结论：①；②；③；④；⑤若顶点坐标为，则方程没有实数根．其中正确的结论有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【思路点拨】
本题主要考查二次函数与系数相关代数式的判断问题，会利用对称轴求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，掌握根的判别式的熟练运用，是解题的关键．
由抛物线的开口方向判断，将点代入，得，由图象可得对称轴为，可得，代入上式可得，再将五个结论分别分析即可由得到答案．
【解题过程】
解：将点代入，
即，
∵图象可得二次函数的对称轴为，开口向下，
∴，，
即，
将代入，
可得．
①∵、，
∴，，
∴，
∴，
故①正确．
②∵，
∴，
故②正确．
③∵、，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故③错误．
④∵、，
故，
∵，
∴，
∴，
故④错误．
⑤将代入，即，
再将、代入上式，
化简可得，
∴，，
将，，，代入则方程中，
即，
根据根的判别式，
可得方程没有两个不相同的实数根，
故⑤错误．
综上作述，正确的结论有两个，
故选．
14．（23-24九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）抛物线经过点，与轴的交点在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论： ；若点在图象上，则；若为任意实数，则； ．其中正确结论的序号为 ．
【思路点拨】
本题考查二次函数的图象与系数的关系，根据二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征逐一判断即可，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质．
【解题过程】
解：∵二次函数的图象与轴相交于点，对称轴为直线，
∴二次函数的图象与轴相交于点，
∵二次函数与轴的交点与之间（不包括这两点），
大致图象如图：
当时，，故结论正确；
∵二次函数的对称轴为直线，且，
∴，故结论不正确；
∵时，函数有最小值，
∴（为任意实数），
∴，故结论正确；
∵，
∴，
∵一元二次方程的两根为和，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当时，，，
∴，故结论正确；
故答案为：．
15．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知二次函数的图象过点，，，且交轴的正半轴于点，下列结论： ； ；若直线与抛物线只有一个公共点，则；抛物线上的两点，，在的左边，若，则； ，请将所有正确的序号填在横线上 ．
【思路点拨】
本题考查了二次函数图象与系数的关系及二次函数的性质，抛物线与 轴的交点，抛物线的对称性等知识点，根据二次函数的图象进行逐项分析即可，灵活运用有关知识来分析是解题的关键．
【解题过程】
解：∵图象过点，，，
∴抛物线对称轴为直线，，
∴与轴交于点，即有，故正确；
∵交轴的正半轴于点，
∴抛物线开口向下，
∴，，，则，故正确；
由抛物线对称轴为直线，
∴，则，
∴代入得：，
∴抛物线，直线与抛物线只有一个公共点，
∴，整理得：
∴，解得：，
∴直线，代入得：，
∴，故正确；
∵抛物线上的两点，，
∴，，
∴，
∵，，，
即，
∴，故错误；
∵，
∴错误，
∴正确；
故答案为：．
16．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知二次函数的图像与轴交于不同两点，与轴的交点在轴正半轴，它的对称轴为直线．有以下结论：①，②，③抛物线上有两点和，若，且，则，④设，是方程的两根，若，则．其中正确的结论是 （填入正确结论的序号）．
【思路点拨】
由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴判断与的关系，可判断①；通过取特殊值可判断②；根据抛物线的增减性可判断③；根据抛物线与轴交点情况分三种情况进行讨论，可判断④．
【解题过程】
解：∵二次函数的图像与轴的交点在轴正半轴，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，即，
∵，
∴，
∴，故结论①正确；
当时，，
即当时，不能确定与的大小关系，故结论②错误；
∵，
∴二次函数的图像开口向下，
∴抛物线上的点离对称轴越远其函数值就越小，
∵点和在抛物线上，且，，
∴，即到的距离大于到的距离，
∴，故结论③正确；
∵二次函数的图像与轴交于不同两点，设左边交点的横坐标为，右边交点的横坐标为，即，如图所示，
若，则，，，
∴，
若，则，，，
∴，
若，则，，，
∴，
综上所述，，故结论④正确，
∴正确的结论是①③④．
故答案为：①③④．
17．（23-24九年级上·山东威海·期末）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：
①；②，③；
④方程的解为；
⑤．其中正确的结论有 （填序号）．
【思路点拨】
本题考查的是二次函数的图象与性质，各项系数的符号与解析式的关系，根据图象先判断，，，再结合函数的对称轴，最值，与坐标轴的交点，逐一分析判断即可．
【解题过程】
解：由图象可知：，，
∵，
∴，
∴，故①错误；
∵对称轴为，
∴，
∵，，
∴，故②错误，
∵抛物线与轴的交点在与之间，对称轴为，另一个交点在与之间，
∴当时，，
当时，，
∴，
∴，
∴，故③符合题意；
∵二次函数当时，有最大值，
∴，
若方程的解为，则，
∴④错误；
当时，y的值最大．此时，，
而当时，，
∴，
∴，即，故⑤正确；
综上：正确的有③⑤，
故答案为：③⑤．
18．（23-24九年级上·山东烟台·期中）已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤若和均在该函数图象上，且，则．其中正确结论有 ．（填写序号）
【思路点拨】
本题考查了二次函数的图象与性质．根据抛物线与轴的一个交点以及其对称轴，求出抛物线与轴的另一个交点，利用待定系数法得到，再根据抛物线开口朝下，可得，进而可得，，即可得到③正确，①错误，根据抛物线与与轴两个交点可以判断出②正确，根据，，，，可以得到，从而得到④正确；根据抛物线的对称性和增减性可以判断出⑤错误，问题得解．
【解题过程】
解：抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的一个交点坐标为，
抛物线与轴的另一个交点坐标为，
把，代入，可得：
，
解得，
，故③正确；
抛物线开口方向向下，
，
，，
，故①错误；
抛物线与轴两个交点，
当时，方程有两个不相等的实数根，
，故②正确；
，，
，
又，，
，
即（其中，故④正确；
抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口朝下，
可知二次函数，在时，随的增大而减小，
，
，故⑤错误，
正确的有②③④，共3个，
故答案为：②③④．
19．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若抛物线经过点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论是 （请填写序号）．
【思路点拨】
本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根的判别式，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．①利用抛物线的顶点坐标和开口方向即可判断；②利用抛物线的对称轴求出，根据图象可得当时，，即可判断；③利用抛物线的对称轴，设两点横坐标与对称轴的距离为，求出距离，根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，即可判断；④根据图象即可判断．
【解题过程】
解：①∵抛物线的顶点的坐标为，
∴，
∴，即，
由图可知，抛物线开口方向向下，即，
∴，
当时，，
∴，故①正确，符合题意；
②∵直线是抛物线的对称轴，
∴，
∴，
∴
由图象可得：当时，，
∴，即，故②正确，符合题意；
③∵直线是抛物线的对称轴，
设两点横坐标与对称轴的距离为，
则，，
∴，
根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，
∴，故③错误，不符合题意；
④如图，
∵关于x的一元二次方程无实数根，
∴，故④正确，符合题意．
故答案为：①②④
20．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）抛物线(，，为常数，经过，，三点，且．下列四个结论：①；②；③当时，若点在该抛物线上，则；④若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则，其中正确的是 (填序号即可)．
【思路点拨】
①根据图象经过，，且抛物线与x轴的一个交点一定在或的右侧，判断出抛物线的开口向下，即，再把代入得，即可判断①错误；
②先得出抛物线的对称轴在直线的右侧，得出抛物线的顶点在点的右侧，得出，根据，利用不等式的性质即可得出,即可判断②正确；
③先得出抛物线对称轴在直线 的右侧，得出到对称轴的距离大于到对称轴的距离，根据，抛物线开口向下，距离抛物线的对称轴越近的函数值越大，即可得出③正确；
④根据方程有两个相等的实数解，得出，把代入得，即，求出，根据根与系数的关系得出 ，即 ，根据，得出 ，求出m的取值范围，即可判断④正确．
【解题过程】
解：①图象经过，，即抛物线与y轴的负半轴有交点，如果抛物线的开口向上，则抛物线与x轴的交点 都在的左侧，
∵中，
∴抛物线与x轴的一个交点一定在或的右侧，
∴抛物线的开口一定向下，即，
把代入得：，
即,
∵，
∴
∴，故①错误；
②∵，，
∴方程的两个根的积大于0，
即，
∵，
∴，
∴，
即抛物线的对称轴在直线的右侧，
∴抛物线的顶点在点的上方或者右上方，
∴，故②正确；
③∵，
∴当时，，
∴抛物线对称轴在直线的右侧，
∴到对称轴的距离大于到对称轴的距离，
∵，抛物线开口向下，
∴距离抛物线越近的函数值越大，
∴，故③正确；
④方程可变为，
∵方程有两个相等的实数解，
∴．
∵把代入得，即,
∴，
即，
∴，
∴，
即,
∵在抛物线上，
∴为方程的两个根，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故④正确．
综上，正确的结论有：②③④．
故答案为：②③④．中小学教育资源及组卷应用平台
专题22.1 二次函数图象与系数的关系 压轴题专项讲练
思想方法
数形结合思想：所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系；（3所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
知识点总结
一、二次函数图象与系数的关系
对于二次函数（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置．
典例分析
【典例1】如图，抛物线与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C．若点，则下列结论中：①；②；③与是抛物线上两点，若，则；④若抛物线的对称轴是直线，m为任意实数，则；⑤，则，正确的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【思路点拨】
本题考查了二次函数的图象和性质．根据图象可知，，，，即可判断①结论；根据图象可得对称轴在直线右侧，即，即可判断②结论；根据二次函数的增减性，即可判断③结论；根据对称轴，得出，再利用作差法，即可判断④结论；根据抛物线与轴的交点，整理得出，再根据，得到，进而得出，再结合，即可判断⑤结论．根据图象得出二次函数表达式各系数符号是解题关键．
【解题过程】
解：抛物线开口线下，与y轴交于负半轴，
，，
对称轴在轴正半轴，
、异号，
，
，①结论正确；
抛物线与x轴正半轴交于A、B两点，且点，
对称轴在直线右侧，即，
，
，
，
，②结论正确；
与是抛物线上两点，且，
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；
无法判断和的大小，③结论错误；
抛物线的对称轴是直线，
，即，
，
，，
，
，④结论正确；
抛物线与x轴正半轴交于A、B两点，且点，
当时，，
，
，
点的横坐标，
当时，；
，
整理得：，
，
，
，
，⑤结论正确；
正确的结论有①②④⑤，共4个，
故选：B．
1．（2024·湖北宜昌·模拟预测）如图，已知二次函数的图象关于直线对称，与x轴的一个交点在原点和之间，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．（m为任意实数）
2．（2024·黑龙江绥化·中考真题）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中：① ②（m为任意实数） ③④若、是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2024·四川眉山·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④若，则，其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4
4．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，抛物线经过点，，，若，则下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．点必在该抛物线上
5．（23-24九年级上·河南周口·期末）抛物线的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线．下列结论：①；②；③；
④方程有两个不相等的实数根；⑤若点在该抛物线上，则其中正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．（23-24九年级上·山东菏泽·期末）如图是二次函数图象的一部分，对称轴为，且经过点．下列说法：①；②；③；④若是抛物线上的两点，则；⑤（其中），其中说法正确的是( )
A．①②③ B．①②④ C．①②④⑤ D．②③④⑤
7．（23-24九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，抛物线与轴交于两点、，其中．下列四个结论：①；②；③；④点，都在抛物线上，则有；⑤不等式的解集为．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）已知二次函数 图像的一部分如图所示，该函数图像经过点，对称轴为直线．对于下列结论： ；②；③多项式可因式分解为；④无论m为何值时，代数式的值一定不大于0．其中正确个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（23-24九年级上·四川德阳·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，与轴的交点在、之间（包含端点）．正确结论的个数是（ ）
①当时，；②；③；④．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
10．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）如图，二次函数的图象与x轴负半轴交于，对称轴为直线． 有以下结论∶ ；；若点，，均在函数图象上，则 ；若方程的两根为、，且则 ；点 ，是抛物线与轴的两个交点，若在轴下方的抛物线上存在一点， 使得， 则的范围为．其中结论正确的个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
11．（23-24九年级下·山东烟台·期中）已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，顶点坐标为．对于下列结论：①；②；③若关于x的一元二次方程无实数根，则；④）（其中）﹔⑤若和均在该函数图象上，且，则．其中正确结论有（ ）
A．②③④ B．②③⑤ C．②③ D．④⑤
12．（2024·四川达州·三模）如图，函数的图象过点和，请思考下列判断：①；②；③；④；⑤．正确的结论有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
13．（23-24八年级下·云南·期末）二次函数的部分图象如图，图象过点下列结论：①；②；③；④；⑤若顶点坐标为，则方程没有实数根．其中正确的结论有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
14．（23-24九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）抛物线经过点，与轴的交点在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论： ；若点在图象上，则；若为任意实数，则； ．其中正确结论的序号为 ．
15．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知二次函数的图象过点，，，且交轴的正半轴于点，下列结论： ； ；若直线与抛物线只有一个公共点，则；抛物线上的两点，，在的左边，若，则； ，请将所有正确的序号填在横线上 ．
16．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知二次函数的图像与轴交于不同两点，与轴的交点在轴正半轴，它的对称轴为直线．有以下结论：①，②，③抛物线上有两点和，若，且，则，④设，是方程的两根，若，则．其中正确的结论是 （填入正确结论的序号）．
17．（23-24九年级上·山东威海·期末）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：
①；②，③；
④方程的解为；
⑤．其中正确的结论有 （填序号）．
18．（23-24九年级上·山东烟台·期中）已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤若和均在该函数图象上，且，则．其中正确结论有 ．（填写序号）
19．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若抛物线经过点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论是 （请填写序号）．
20．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）抛物线(，，为常数，经过，，三点，且．下列四个结论：①；②；③当时，若点在该抛物线上，则；④若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则，其中正确的是 (填序号即可)．
