课件20张PPT。 与等量关系一样，不等关系也是自然界中存在着的基本关系 ，它们在现实世界和日常生活中大量存在，在数学研究和数学应用中起着重要作用。 3．1 不等关系与不等式多与少长与短大与小远与近、从实际问题谈起在现实生活中，存在着许许多多的不等关系。 实例1:限速40km/h的路标，指示司机前方路段行驶时，应使汽车的速度不超过40km/h.写成不等式就是： 实例2:某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中的脂肪含量f应不少于2.5%,蛋白质的含量p应不少于2.3%, 写成不等式组就是：
问题1：设点A与平面的距离为d，B为平面上的任意一点，则 ：问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？ 解：设杂志社的定价为x?元， 则销售的总收入为: 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式:问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种。按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍。
怎样写出满足关系的不等式(组)?解：假设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根..
根据题意，应有如下的不等关系：
（1）截得两种钢管的总长度不能超过4000mm；
（2）截得600mm钢管数量不能超过500mm钢管数量的3倍
（3）截得两钟钢管的数量都不能为负。 [练习]：第83页，第1、2题 常见的文字语言与数学符号之间的转换如下表：如何比较实数a,b的大小？有以下事实：
如果是a-b正数，那么a>b；如果a-b等于零，那么a=b；如果a-b是负数，那么a
b>0,c<0,求证 :于是即由c<0,得练习：P84 A、2（1），B、1（1）小结：1、感受生活中的不等关系，会用不等式（组）来表示不等关系2、两个实数大小的比较方法（作差法）及步骤3、简单不等式的的证明及方法4、不等式的8个基本性质作业：A组2（2）,5
B组1（2）（3）（4）
课件20张PPT。二元一次不等式表示平面区域 问一：在数轴上点x=1右边的射线可以用什么来表示？X >1 问二：在平面直角坐标系中，点集{(x,y)|x+y-1=0}
表示什么图形？XYO 过点（0，1）和
（1，0）的一条直线x+y-1=011 问三：在平面直角坐标系中，以直线x+y-1=0为界，平面内的点可分为几部分？? 不等式 x+y-1＞0 对应于那部分的点呢？11x+y-1=0直线把平面内的点分成三部分（1）点在直线上（2）点在直线的右上方（3）点在直线的左下方直线x+y-1=0右上方的
平面区域怎么表示？ x+y-1=0猜想结论：x+y-1＞0 试一试：11值 都 大 于 0思路一：
在直线右上方任取一点(x,y)，
过此点作一平行x轴的直线思路二：
在直线右上方任取一点(x,y)，
过此点作一平行y轴的直线x=x0 , y>y0
x+y>x0+y0
x+y-1>x0+y0-1=0x>x0 , y=y0
x+y>x0+y0
x+y-1>x0+y0-1=0直线x+y-1=0右上方的平面区域可以用点集
{(x,y)|x+y-1>0}表示直线x+y-1=0左下方的平面区域可以用点集
{(x,y)|x+y-1＜0}表示事实上我们可以得到 在平面直角坐标系中，以二元一次不等式 x+y-1＞0的解为坐标的点都在直线 x+y-1=0的右上方；直线 x+y-1=0 右上方点的坐标都满足不等式 x+y-1＞0。 因此，在平面直角坐标系中，不等式 x+y-1＞0表示直线 x+y-1=0 右上方的平面区域。 类似地，二元一次不等式x+y-1＞0表示直线x+y-1=0左下方的平面区域。直线叫做这两个区域的边界。 二元一次不等式 Ax+By+C>0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax+By+C=0 某一侧所有点组成的平面区域，我们把直线画成虚线，以表示区域不包括边界。不等式 Ax+By+C≥0 表示的平面区域包括边界，我们把直线画成实线。 对于直线同一侧的所有点，把它的坐标 (x, y)代入 Ax+By+C 所得的符号相同，因此只需在直线的同一侧取某个特殊点 (x0,y0) 作为测试点，由Ax0+By0+C的符号就可以断定Ax+By+C>0表示的是直线AX+BY+C=0哪一侧的平面区域。当C≠0时，常取原点作为特殊点。一般地，我们有下列结论结论：一般地，二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标
系中表示直线Ax+By+C＝0某一侧所有点组成的平面区域。
我们把直线画成虚线以表示区域不包含边界直线。（同侧同号）小结：
概括地说，判断方法为“直线定界，特殊点定域”。
特别地C≠0时，常把原点作为特殊点，即“直线定界，
原点定域”。 例1 画出不等式 2x+y-6<0
表示的平面区域。362x+y-6<02x+y-6=0 解 先画直线 2x+y-6=0
（画成虚线） 取原点（0，0）代入2x+y-6,
∵ 2×0+0-6= －6＜0, ∴ 原点在2x+y-6＜0表示的平面区域内， 故不等式2x+y-6＜0 表示
的区域如图所示.
变式一：
画出不等式
2x―y-6＜0
表示的平面区域变式二：
画出不等式
－2x+y－6 <0
表示的平面区域 解 所求平面区域如
图中阴影部分所示。解 所求平面区域如
图中阴影部分所示。3－6 －36口答：下列不等式表示的平面区域为：⑴2x-3y-8>0⑵x+y<0⑶-x+y≤－２⑷-x-y≥－６ 练习1： 思考并回答下列各集合所表示的点的集合分别是什么图形？
⑴{(x,y)|x=0}；{(x,y)|x>0}； {(x,y)|x≤0}
⑵{（x，y）│y=0}；{（x，y）│y＞0}； {（x，y）│y ≤0}
（Y轴）OXYXYXYOOOXYOXYOXY（Y轴右方的平面区 域，不含边界线）（Y轴左方的平面区 域，含边界线）（X轴）（X轴上方的平面区域，不含边界线）（X轴下方的平面区域，含边界线） 练习2：画出下列不等式表示的平面区域： （1）２ｘ＋３ｙ－６＞０ （2）2ｘ＋５ｙ≥1０ （3）４ｘ－３ｙ≤１２ （1)（2)（3)应该注意的几个问题 1、理解“直线定界、特殊点定域”方法的内涵，并掌握好操作的程序。
2、不等式不含等号时，边界画成虚线；含等号时，边界画成实线。 3、确定边界（直线）要准确，否则将得不到正确的平面区域。4、作图要规范，判断要熟练。变式二：画出不等式(x-y)(x+y)<0表示的平面区域变式一：用不等式组表示图中区域-1-1oxy2变式二:(03江苏高考)如果函数y=ax2+bx+a的图像与x轴有
两个交点，则点(a,b)在aob平面上的区域(不包含边界)为思考题：
求不等式|x| + |y| ≤2表示的平面区域的面积S=8变式：求不等式|x-1| + |y-1| ≤2表示的平面区域的面积课件9张PPT。3.4 基本不等式:ICM2002会标赵爽：弦图新授：注意：
（1）两个不等式的适用范围不同。
（2） 称为正数a、b的几何平均数
称为它们的算术平均数。应用：解决最大（小）值问题
例1:（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短篱笆是多少？
（2）一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？反思：由此题我们可以得到什么启示呢？定理：
（1）两个正数积为定值，和有最小值。
（2）两个正数和为定值，积有最大值。应用要点：
一正 二定 三相等21思考：当x<0时表达式又有何最值呢？小结基本不等式的几何解释：半弦CD不大于半径课件12张PPT。解一元二次不等式的图象法
xyo引例1. 如何作出一次函数y=2x-7的图象? 令x=0 则y= - 7, 得到点A（0，-7）
令y=0则x=3.5,得到点B（3.5,0)
经过两点A、B作直线m即得y=2x-7的图象，如下图：
o-73.5
(1).根据图象得:
X取___________时，y=0即2x-7=0
X取___________时，y>0即2x-7>0
X取___________时，y<0即2x-7<0xyX=3.5X<3.5X>3.5(2).根据图象得:
不等式2x-7>0的解集_____________
不等式2x-7<0的解集_____________ ﹛x|x<7/2﹜﹛x|x>7/2﹜m 引例2.根据一元二次函数y=x2-x-6的图象回答：
(1).图象与x轴交点的坐标为___________,该坐标与方程
x2-x-6=0的解的关系：______________________
(2).当x取__________时，y=0？
当x取__________时，y>0？
当x取__________时，y<0?
(3).由图象写出：
不等式x2 -x-6>0 的解集_________
不等式x2 -x-6<0 的解集_________-23Y<0yxo(-2,0) (3,0)交点的横坐标即为方程的根x= －2 , 3x<-2 或 x>3-23﹜﹛x|-2(1) 2x2-3x-2>0
2解：令2x2-3x-2=0
(2) - x2 + 3x + 10 > 0
∵△=9+16=25>0 方程2x2-3x-2=0的解是x1=-1/2 x2=2
∴原不等式的解集为{x|x<-1/2或x>2} 令 x2－3x － 10 = 0
∵△= 9 + 40 = 49 > 0
方程x2－3x － 10 = 0的解是x1=－2 , x2=5
∴原不等式的解集为{x | －2 < x < 5}解： x2－3x － 10＜0 (3) 4x2-4x+1>0 0.5解：令4x2-4x+1=0
∵△=16-16=0
方程4x2-4x+1=0的解是 x1=x2=1/2
∴原不等式的解集为{x|x≠1/2}
(4)- x2+2x-3>0
解： x2-2x+3<0
令x2-2x+3=0
∵△=4-12= -8<0
方程2x2-3x-2=0无实数根
∴原不等式的解集为фxxyyoo 一般地，一元二次不等式的解集如下表：x1x2xyoxyoxyo两个不相等的实根
x1, x2两个相等
的实根
x= -b/2a﹛x|xx2﹜无实根﹛x|x≠
－b/2a﹜R﹛x|x10(a>0)
ax2+bx+c<0 (a>0)
（2）求△ ，并求出方程ax2+bx+c=0 的实根
（3）根据图象写出解集例1 求函数f(x)= x2－6x＋8 的定义域。应用一.定义域问题解： ∴ x2－6x＋8≥0的解为x≥4或x≤2
∴原不等式的解集为{x│x≥4或x≤2 }（变）函数f(x)= kx2 －6kx+（k+8）的定义域为R（K＞0） 求K的取值范围 解：∵函数f(x)=kx2 －6kx+（k+8）的定义域为R且k＞0∴只要△≤0 即(6k)2－4k(k+8)=32k2－32Ｋ≤0
∴ 0≤k≤1 又K＞0 ∴ 0(1)若对于一切实数x,f(x)<0恒成立，求m的取值范围。
(2)对于x??1,3?,f(x)<-m+5恒成立，求m的取值范围。例2（1）已知一元二次不等式a x2 ＋bx+6>0 的解集
为{x │－ 2 ＜x＜3},求a－b的值
解：一元二次不等式是通过一次方程的根来确定
则可以理解为方程a x2 ＋bx+6＝0的根－2，3
又∵解在两根之间 ∴a＜0
-b/a＝－2＋3＝1∴b＝1
则a－b＝－26/a＝－6∴a＝－1 ∴应用二.集合问题（2）已知集合A={x│ x2 －ax ≤x－a} B={x│1≤x≤3}，若A∩B=A求实数a取值范围
解：A∩B=A，则A ?B
而A :若a≥1 则1≤x≤a 1≤a≤3
若a＜1 则 a≤x≤1 那么A ?B
∴a取值范围是1≤a≤3
练习A=｛x│－1≤x≤1｝B＝｛x│x2+(a+1)x+a≤0｝
若A∩B=B求a的取值范围 应用三 最值问题0xy1-1例3求函数y= x2－2x＋1 x∈［ － 1，1］
上的最值解:∵函数y=x 2－2x＋1的对称轴为x＝1 又x∈［ － 1，1］
∴ ymax ＝f(－1)=1+2+1=4 ∴ ymin=f(1)=0练习（1）求函数y=ax 2 －2x＋1（a＞0） x∈
［ － 1，1］的最值 （2）求函数y=x2+ax－3 ， x∈［0,2］的最值
课件11张PPT。刘海洋§3.4基本不等式:ICM2002会标赵爽：弦图新授：注意：
（1）两个不等式的适用范围不同。
（2） 称为正数a、b的几何平均数
称为它们的算术平均数。练习、（2000全）若
，则（ ）
A、R（1）（2）（3）B应用二：解决最大（小）值问题
例2、（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短篱笆是多少？
（2）一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？反思：由此题我们可以得到什么启示呢？定理：
（1）两个正数积为定值，和有最小值。
（2）两个正数和为定值，积有最大值。应用要点：
一正 二定 三相等21思考：当x<0时表达式又有何最值呢？小结谢谢各位评委指导再见基本不等式的几何解释：半弦CD不大于半径课件3张PPT。基本不等式1.已知x∈(0, ),求函数y=x(2-3x)的最大值.2.已知x> ,求函数 的最小值.课件13张PPT。简单线性规划的应用
（3）解线性规划问题的一般步骤： （1）列出线性约束条件及线性目标函数，（4）在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线； （3）设z=0,画出直线l0；（5）求出最优解所对应点的坐标,代入z中,即得目标函数的最大值和最小值.（2）画出线性约束条件所表示的可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）；例6.要将两种大小不同的钢板截成A 、B、 C三种规格，每张钢板可以同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：今需要A 、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，各截这两种钢板多少张可得所需A、B、C三种规格的成品，且使所用钢板张数最少？P96 设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，共需这两种钢板共Z张，则：目标函数为Z=x+y解： 用图形表示线性约束条件，得到如下的平面区域（阴影部分），即可行域。满足的条件为：x+3y=272x+y=15x+2y=18M·Y=xBCM点的坐标（3.6，7.8）是最优解吗？最优解是整点B（3，9）和C（4，8）例7.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15t。现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料，如果生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10000元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5000元。那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润。P97解：设生产甲种肥料x车皮,生产乙种肥料 y车皮，能够产生利润Z万元。满足的条件为：目标函数为：Z=x+0.5yMy =-2x如图，当直线y=-2x+z经过可行域上的点M时，截距最大，即Z最大。两直线的交点M的坐标是（2，2）如果坐标不是整数如何？CA练习：P107 B组 3(70,30)M课时小结 线性规划的两类重要实际问题的解题思路： 1.应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，
确定线性目标函数。 2.用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，
在可行域内求得使目标函数取得最值的解.(一般最优解
在直线或直线的交点上，要注意斜率的比较。） 3.要根据实际意义将数学模型的解转化为实际
问题的解，即结合实际情况求得最优解。 作业： P116 A5， B4
做书本：A4， B5课件9张PPT。复习二元一次不等式表示的平面区域 在平面直角坐标系中，以二元一次方程x+y-1=0的解为坐标的点的集合{(x，y)|x+y-1=0}是经过点(0，1)和(1，0)的一条直线l，那么以二元一次不等式x+y-1>0的解为坐标的点的集合{(x，y)|x+y-1>0}是
什么图形? 结论：二元一次不等式ax+by+c>0在平面直角坐标系中表示直线ax+by+c=0某一侧所有点组成的平面区域。不等式 ax+by+c<0表示的是另一侧的平面区域。x+y-1>0x+y-1<0复习判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法x+y-1>0x+y-1<0 由于对在直线ax+by+c=0同
一侧所有点(x，y)，把它的坐标
(x，y)代入ax+by+c，所得的实
数的符号都相同，故只需在这条
直线的某一侧取一特殊点(x0，y0)
以ax0+by0+c的正负的情况便可
判断ax+by+c>0表示这一直线
哪一侧的平面区域，特殊地，当
c≠0时常把原点作为此特殊点 某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？解：按甲、乙两种产品分别生产x、y件， 由已知条件可得二元一次不等式组简单的线性规划问题 将上述不等式组表示成平面上的区域，图中的阴影部分中的整点（坐标为整数）就代表所有可能的日生产安排。yx4843o若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用那种生产安排利润最大？yx4843oM 设工厂获得的利润为z，则z＝2x＋3yyx4843o求最大值或求最小值的的函数称为目标函数，因为它是关于变量x、y的一次解析式，又称线性目标函数。 满足线性约束的解
（x，y）叫做可行解。在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题。关于变量x、y的一次不等式，称为线性约束条件。 由所有可行解组成的集合叫做可行域。使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解。可行域可行解最优解简单的线性规划问题三、练习题：1、求z＝2x＋y的最大值，使x、y满足约束条件：2、求z＝3x＋5y的最值，使x、y满足约束条件：1.解：作出平面区域xyABCoz＝2x＋y 作出直线y=－2x＋z的图像，可知z要求最大值，即直线经过C点时。 求得C点坐标为（2，－1），则Zmax=2x＋y＝3若把目标函数换为
z＝2x－y，则Z的
最大值为？2.解：作出平面区域xyoABCz＝3x＋5y 作出直线3x＋5y ＝z 的图像，可知直线经过A点时，Z取最大值；直线经过B点时，Z取最小值。 求得A（1.5，2.5），B（－2，－1），则Zmax=17，Zmin=－11。课件15张PPT。3.3.2 简单的线性规划问题 在现实生产、生活中经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题。如何合理分配利用有限的资源（人力、物力、财力），使其达到最优效果。尤其在国民经济、军事、管理决策等领域，科学的管理是一种重要的方法和手段 问题一：某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？举例： 问题二：如果生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？解： 设甲,乙两种产品分别生产x、 y 件，由已知条件可得二元一次不等式组：（1）图中阴影部分中的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排，有18种不同安排。设利润为Z，则Z=2x+3y，那x,y为何值时Z为最大值？把z＝2x＋3y变形为：
它表示斜率为 的直线系，z与这条直线的截距有关。由上图可以看出，当实现直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M（4，2）时，截距 的值最大，最大值为 ，这时2x+3y=14.所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元。 基本概念4o 把要求最大值或求最小值的的函数称为目标函数，因为它是关于变量x、y的一次解析式，又称线性目标函数。 满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解。 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题。 一组关于变量x、y的一次不等式组，称为线性约束条件。 由所有可行解组成的集合叫做可行域。 使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解。可行域可行解最优解练习： P104 11、求z＝2x＋y的最大值，使x、y满足约束条件：解：作出平面区域BC 作出直线y=－2x＋z的图像，可知要求z最大值，即直线经过C点时。 求得C点坐标为（2，－1），则Zmax=2x＋y＝3A解决问题的一般步骤： （1）画出线性约束条件所表示的可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）；（3）在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线； （2）设z=0,画出直线l0；（4）求出最优解所对应点的坐标,代入z中,即得目标函数的最大值和最小值.解：作出平面区域xyoABC 求得A（1.5，2.5），B（－2，－1），则Zmax=17，Zmin=－11。2、求z＝3x＋5y的最大值和最小值，使x、y满足约束条件： 作出直线 的图像，可知直线经过A点时，Z取最大值；直线经过B点时，Z取最小值。设z=2x-y，式中变量x，y满足下列条件求z的最大值和最小值.xyO变式：小结：用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解（1）求 Z = 3x －y 的最大值和最小值，使式中的 x、y 满足约束条件课后练习: