2023-2024学年湖南省郴州市高一下学期期末教学质量监测数学试题（含解析）

2023-2024学年湖南省郴州市高一下学期期末教学质量监测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复平面内表示复数的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知，，，若，则等于( )
A. B. C. D.
3.唱歌比赛时共有位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从个原始评分中去掉个最高分、个最低分，得到个有效评分个有效评分与个原始评分相比，不变的数字特征是( )
A. 平均数 B. 方差 C. 中位数 D. 极差
4.在贵州“村超足球”比赛中通常要求双方穿着颜色不同的球衣，已知甲队有白、黑、红、黄种颜色的球衣，乙队有蓝、白、黑、红种颜色的球衣若甲、乙两队随机挑选一套球衣进行比赛，则他们的球衣颜色符合要求的概率为( )
A. B. C. D.
5.已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A. 若，则 B. 若，，，则
C. 若，，，则 D. 若，，，则
6.已知圆台的上、下底面半径分别为和，它的侧面展开图的扇环的圆心角为，则圆台的侧面积为( )
A. B. C. D.
7.岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼、江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线，如图，测得，，米，则岳阳楼的高度测量值为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
8.在锐角中，角，，的对边分别为，，，且，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的是( )
A. 用简单随机抽样的方法从含有个个体的总体中抽取一个容量为的样本，则个体被抽到的概率是
B. 连续抛硬币两次，第一次得正面，第二次得反面是两个独立事件
C. 数据，，，，，，，，，的第百分位数是
D. 若样本数据，，，的标准差为，则数据，，，的标准差为
10.是的外心，，，，是所在平面内的一点，则下列结论正确的是( )
A. 的外接圆半径为 B. 在方向上的投影向量等于
C. D. 的最小值为
11.如图，在正方体中，，点为线段上一动点，则下列说法正确的是( )
A. 直线平面
B. 三棱锥的体积为
C. 三棱锥外接球的表面积为
D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，点在边上，记，，则 用，表示
13.欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位依据欧拉公式，则的最大值为 ．
14.如图，，，是三个独立的开关，设它们闭合的概率分别为，，则该线路是通路的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，为单位向量，设向量，．
Ⅰ若，求与的夹角
Ⅱ已知与的夹角为，求的模长．
16.本小题分
设锐角的内角、、的对边分别为、、，，
Ⅰ求角
Ⅱ若边，面积为，求的周长．
17.本小题分
从出游方式看，春节期间是家庭旅游好时机某地区消费者协会调查了部分年春节以家庭为单位出游支出情况，统计得到家庭旅游总支出单位：百元频率分布直方图，如图所示同一组中的数据用该组区间的中点值为代表
Ⅰ求的值
Ⅱ估计家庭消费总支出的第百分位数．
Ⅲ从和两组中用分层抽样的方法共抽取了人，再从这人中随机抽取人，求所抽取的人来自同一组的概率．
18.本小题分
如图，在矩形中，，，沿对角线把折起，使移到，且平面平面．
Ⅰ求证：
Ⅱ求二面角的余弦值
Ⅲ求与平面所成的角的正弦值．
19.本小题分
随着科技的发展，互联网也随之成熟，网络安全也涉及到一个国家经济，金融，政治等安全为提高中学生的网络安全意识和信息技术能力，某中学组织了一次信息技术创新比赛，参赛选手两人为一组，需要在规定时间内独自对两份不同的加密文件进行解密，每份文件只有一次解密机会已知甲每次解开密码的概率为，乙每次解开密码的概率为，每次是否解开密码也互不影响设甲成功解密一份文件，甲成功解密两份文件，乙成功解密一份文件，乙成功解密两份文件
Ⅰ已知概率，，
(ⅰ)求，的值．
(ⅱ)求甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率．
Ⅱ若，求甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率最小值．
答案解析
1.
【解析】解： ，
对应的点为，位于第四象限．
故选D．
2.
【解析】解： ，，
因为 ，
所以 ，
所以．
3.
【解析】解：根据题意，从个原始评分中去掉个最高分、个最低分，得到个有效评分．
个有效评分与个原始评分相比，不变的是中位数．
故选：．
4.
【解析】解：双方随机挑选一套球衣进行比赛，则一共有种不同的组合，
其中只有双方都选白色或都选黑色或都选红色时不符合要求，
故不符合要求的概率为，
所以符合要求的概率为．
故选D．
5.
【解析】解：对于，若，，则或，故A错误
对于，若，，则或，
若，因为，则，
若，如图所示，则在平面一定存在一条直线，
因为，所以，
又，所以，
综上，若，，，则，故B正确；
对于，若，，，则直线，相交或平行或异面，故C错误；
对于，若，，，则直线，相交或平行或异面，故D错误．
故选B．
6.
【解析】解 ：如图所示，设圆台的上底面周长为，
因为扇环的圆心角是，故，
所以，
同理可得，
所以，

故圆台的侧面积为．
故选B．
7.
【解析】解：设，
如题图，测得，，米，
则：，
在中，利用三角函数的关系式：
，
整理得 ，
解得：米．
8.
【解析】解：在中，由余弦定理得，
即，
因为，
所以，
所以，
所以，
化简得，
又，，
所以，
化简得，
解得，或不合题意，舍去，可得，
所以，
由，且，，则，
所以，所以，
所以，
设，其中，
所以，
当且仅当时，即时，取最小值，
由于，且函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，
所以
故选C．
9.
【解析】解：选项，个体被抽到的概率为，故A正确；
选项，连续抛硬币两次，第一次得正面，第二次得反面是两个独立事件，故B正确；
选项，数据，，，，，，，，，共个数，
从小到大排列为，，，，，，，，，，
由于，故选择第和第个数的平均数作为第百分位数，
即 ，所以第百分位数是，故C正确；
若样本数据，，，的标准差为，
所以，，，的方差为，
所以数据，，，的标准差为，故D错误．
故选ABC．
10.
【解析】解：因为，，，
所以，
所以的外接圆半径为，故A正确；
在方向上的投影向量为，故B错误；
设的中点为，
则
，
故C正确；
连接，，取中点，连接，
则，，
故，
则
，
显然当，重合时，，取最小值，故D错误．
11.
【解析】解：由题意可知
所以四边形为平行四边形，
所以，同理得；
平面平面，
平面，平面，
，
又 平面，
平面平面，平面，
所以平面，故A正确；
由平面知，故B正确；
三棱锥外接球即为正方体的外接球，
，即，
所以外接球表面积为，故C错误；
过点做交于点，
平面，
平面，
故直线与平面所成角为，
，
若要最大，则最小，即最小，
在直角三角形中，当，最小，
此时，，
， ，
故 ，故D正确．
故选ABD．
12.
【解析】解：由题意 ．
13.
【解析】解：，
，
，
的最小值为，
的最大值为，
则的最大值为．
故答案为．
14.
【解析】解：闭合，断开，概率为，
断开，闭合，概率为，
A、均闭合，概率为，
所以该线路是通路的概率为．
故答案为．
15.解：Ⅰ设与的夹角为，
由题得，
即，
又因为，所以，
所以与的夹角为；
Ⅱ因为与的夹角为，
所以，
所以
，
因为，为单位向量，
所以
．
所以的模长为．
【解析】Ⅰ设与的夹角为，由题得，得，可得与的夹角；
Ⅱ由，展开计算即可．
16.解：Ⅰ由及正弦定理，得，
又，得，
所以，
又角为锐角，所以
Ⅱ由Ⅰ得，则，
由余弦定理，得，
所以，所以，
所以的周长为．
【解析】Ⅰ由正弦定理即可求解
Ⅱ 由面积公式结合余弦定理即可求解．
17.解：Ⅰ由频率分布直方图，得，
．
Ⅱ第百分位数为，则，解得，
所以，第百分位数为．
Ⅲ由分层抽样可知，组抽取了人，
设为、，从组抽取了人，设为，，，，
则从这人中随机抽取人的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、，、共种，满足来自同一组的有种，
所以所抽取的人来自同一组的概率是．
【解析】Ⅰ由频率和可得的值；
Ⅱ由百分位数的定义可得结果；
Ⅲ由分层抽样和古典概型公式计算即可．
18.证明：Ⅰ因为为矩形，所以，，，
又因为面面且交于，平面，
所以面．
因为面，
所以．
又因为，，、面，
所以面．
因为面，
所以；
Ⅱ过作于点，过作于点，连，
因为面面且交于，平面，
所以面．
因为面，所以．
因为，、面，
所以面．
因为面，
所以，
所以，为二面角的平面角．
在中，，
，显然，，
所以，，，
所以，二面角的余弦值为；
Ⅲ由Ⅰ知：，
设点到平面的距离为，
由，得，
即，得：，
与平面所成的角的正弦值为．
【解析】Ⅰ先证明面，由线面垂直的性质即可得证；
Ⅱ过作于点，过作于点，连，易得为二面角的平面角，计算即可；
Ⅲ设点到平面的距离为，由，得，可得与平面所成的角的正弦值．
19.解：Ⅰ由题知：根据独立性性质知，，
解得：，；
由知：，，
设“甲乙两人两次一共解开密码次的事件”，
则
，与互斥，与，与分别相互独立，
所以，
因此，甲，乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率为．
Ⅱ由题知：，，
，，，，
设“甲乙两人两次一共解开密码次的事件”，
则，与互斥，与，与分别相互独立，
所以
，
，
，当且仅当时等号成立，
，
即甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率最小值为．
【解析】Ⅰ根据独立性性质联立得出，的值；
由独立性性质可得结果；
Ⅱ由题知：，则，设“甲乙两人两次一共解开密码次的事件”，易得，由基本不等式求解即可．
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