2023-2024学年江西省新余市高一（下）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年江西省新余市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，则在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.已知某正四棱锥的高为，体积为，则该正四棱锥的侧面积为( )
A. B. C. D.
5.若，，为空间中的不同直线，，，为不同平面，则下列为真命题的个数是( )
，，则
，，则
，，则
，，则
A. B. C. D.
6.下列结论错误的是( )
A. 在中，若，则
B. 在锐角中，不等式恒成立
C. 在中，若，，则为等腰直角三角形
D. 在中，若，，面积，则外接圆半径为
7.已知为锐角，，，则( )
A. B. C. D.
8.设函数，且在区间上单调，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列正确的是( )
A. 在任意四边形中，，分别为，的中点，则
B. 复数是虚数单位，则
C. 长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体
D. 直三棱柱的任意两个侧面的面积之和大于第三个侧面的面积
10.已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是( )
A.
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数图象向左平移个单位可得函数的图象
D. 若方程在上有两个不等实数根，，则
11.在棱长为的正方体中，点，分别是线段，上的动点，以下结论正确的是( )
A. 平面平面
B. 若是中点，则异面直线与所成角的余弦值为
C. 三棱锥的体积为定值
D. 的长的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某校辩论赛小组共有名成员，其中名女生名男生，现要从中随机抽取名成员去参加外校交流活动，则抽到名男生的概率为______．
13.已知的内角，，的对边分别为，，，，，若，为中点，则 ______．
14.如图，在三棱锥中，，二面角的余弦值为，若三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，，，边，上的点，满足，，为中点．
设，求实数，的值；
若，求边的长．
16.本小题分
文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩满分分，成绩均为不低于分的整数分成六段：，，，得到如图所示的频率分布直方图．
求频率分布直方图中的值；
求样本成绩的第百分位数；
已知落在的平均成绩是，方差是，落在的平均成绩为，方差是，求两组成绩的总平均数和总方差．
17.本小题分
高邮某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角三角形和以为直径的半圆拼接而成，点为半圆上一点异于，，点在线段上，且满足已知，，设．
为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足，达到最大当为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果；
为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足，且达到最大当为何值时，取得最大值，并求该最大值．
18.本小题分
如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面平面．
求证：平面；
求与平面所成的角；
在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
19.本小题分
对于函数，，若存在实数，，使得函数，则称为，的“合成函数”．
已知，，试判断是否为，的“合成函数”？若是，求实数，的值；若不是，说明理由；
已知，，为，的“合成函数”，且，，若关于的方程在上有解，求实数的取值范围；
已知，，为，的“合成函数”其中，，的定义域为，当且仅当时，取得最小值若对任意正实数，，且，不等式恒成立，求实数的最大值．
答案解析
1.
【解析】解：因为，，
所以．
故选：．
2.
【解析】解：，
．
故选：．
3.
【解析】解：由已知条件可得，，
所以在方向上的投影向量为．
故选：．
4.
【解析】解：设该正四棱锥的底面边长为，则，解得．
设该正四棱锥的斜高为，则，
所以该正四棱锥的侧面积为．
故选：．
5.
【解析】解：，，为空间中的不同直线，，，为不同平面，
对于，，，则与相交、平行或异面，故错误；
对于，，，则由线面垂直的性质得，故正确；
对于，，，则与平行或相交，故错误；
对于，，，则由面面平行的判定定理得，故正确．
故选：．
6.
【解析】解：中，因为，所以，
由余弦函数的单调性，可得，所以A正确；
中，在锐角三角形中，因为，所以，
所以恒成立，所以B正确；
中，因为，，
由余弦定理可得，，
可得，可得，
将代入可得，
可得，在代入，可得，
即，，所以该三角形为等腰直角三角形，所以C正确；
中，中，若，，面积，
所以，即，解得，
由余弦定理可得，
则外接圆的半径为，则，
所以，所以D正确．
故选：．
7.
【解析】解：因为，所以，
所以，
又为锐角，，
所以，
解得，
因为为锐角，所以，，
又，
所以．
故选：．
8.
【解析】解：由，得，
由，得，
两式作差，得，
因为在区间上单调，所以，得．
当时，，因为，所以，
所以．
，，因为，
所以在区间上不单调，不符合题意；
当时，，因为，所以，
所以．
，，因为，
所以在区间上不单调，不符合题意；
当时，，因为，所以，
所以．
，，
所以在区间上单调，符合题意，所以的最大值是．
故选：．
9.
【解析】解：对于，在任意四边形中，，分别为，的中点，
，，
，，
，故A正确；
对于，是虚数单位，
，
，故B正确；
对于，长方体是四棱柱，直四棱柱不一定是长方体，故C错误；
对于，直三棱柱的侧面是矩形，直三棱柱的侧面积是底乘高，而高相等，
三棱柱的底面上任意两边和大于第三边，
三棱柱的任意两个侧面的面积之和大于第三个侧面的面积，故D正确．
故选：．
10.
【解析】解：对于，根据函数的部分图象，
得，，则，
根据五点法作图，得，
所以，故，故A正确；
对于，，不是最值，
则函数的图象不关于直线对称，故B错误；
对于，把函数图象向右平移个单位，
得到函数的图象，故C正确；
对于，若方程在上有两个不等实数根，，
而，故，即，
则，故D正确．
故选：．
11.
【解析】解：对于，由正方体，得，
因为平面，平面，
所以，
由，，平面，
所以平面，
又平面，
所以，同理得，
又，，平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面，故A正确；
对于，因为，所以即为异面直线与所成角的平面角，
，
所以，
即异面直线与所成角的余弦值为，故B错误；

对于，因为平面，
所以点到平面的距离等于点到平面的距离等于，为定值，
而为定值，所以三棱锥的体积为定值，故C正确；
对于，如图，设，连接，则为的中点，且，
因为，所以，且，
则，当且仅当位于点处取等号，
所以的长的最小值为，故D正确．
故选：．
12.
【解析】解：设名女生为，，，名男生为，，
则有，，，，，，，，，，共种抽法，
其中抽到名男生的抽法有，
所以抽到名男生的概率为．
故答案为：．
13.
【解析】解：因为中，，，，
由余弦定理得，，
即，
所以，
为中点，则，
所以
，
所以．
故答案为：．
14.
【解析】解：取的中点，连接，，过点作，垂足为，
所以为二面角的平面角，
设，则，，
所以，
所以，
因为三棱锥的体积为，
所以，解得，
设外接圆的圆心为，三棱锥外接球的球心为，连接，，，
则，，
所以三棱锥外接球的半径满足，
则三棱锥的外接球的表面积为．
故答案为：．
15.解：因为，，所以，，
所以，
又，且、不共线，
所以，；
因为，
所以
，
解得或舍去，即边的长为．
【解析】根据平面的线性运算法则及平面向量基本定理的计算求出结果；
用，表示和，然后代入，列方程求出的长．
16.解：每组小矩形的面积之和为，
，
；
成绩落在内的频率为，
成绩落在内的频率为，
所以第百分位数落在内，
设第百分位数为，则，
解得，
即第百分位数为；
由图可知，成绩在的市民人数为，
成绩在的市民人数为，
故，
设成绩在中人的分数分别为，，，，；成绩在中人的分数分别为，，，，，
则，，
，，
． 【解析】根据频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为求解；
根据百分位数的定义求解；
根据平均数和方差的计算公式求解．
17.解：三角形为直角三角形，，，
在直角中，，，，
点为半圆上一点，，又，
，，，
，当，即时，达最大值，
在直角中，，
，
，，又，，
在直角中，，
，，
当即时，达到最大值为．
【解析】利用直角三角形的边角关系，求出的解析式，从而可得取得最大值时的值；
由等积法求出的值，再计算的最大值以及对应的值．
18.证明：，是的中点，，
故四边形是菱形，从而，
沿着翻折成后，，，
又，
平面，
由题意，易知，，
四边形是平行四边形，故AE，
平面；
解：平面，
与平面所成的角为，
由已知条件，可知，，
是正三角形，，
与平面所成的角为；
假设线段上是存在点，使得平面，
过点作交于，连结，，如下图：
，，，， 四点共面，
又平面，，
四边形为平行四边形，故，
为中点，
故在线段上存在点，使得平面，且．
【解析】证明平面，，即可证明平面．
由线面角的定义可得与平面所成的角为，解三角形即可得解；
假设线段上是存在点，使得平面，求出为中点，即可得解．
19.解：假设为，的“合成函数”，
则，
所以，解得，，
所以为，的“合成函数”，且，；
因为，且，，
所以，
由，
得，
令，
则，所以，
因为，所以，故，
所以方程为在上有解，
所以，
因为函数在上都是减函数，
所以函数在上是减函数，
所以，
所以；
由题意，
得，
当且仅当，即时取等号，
所以，解得，
所以，
则恒成立，
因为，所以，
又，当且仅当时取等号，
所以，
所以，
所以实数的最大值为．
【解析】根据“合成函数”的定义计算即可；
由题意可得，则，即，令，则方程转化为关于的一元二次方程，分离参数，进而可得出答案；
求得，根据已知结合基本不等式求出，，从而可求出的解析式，再利用基本不等式求出的最大值即可得解．
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