2023-2024学年江西省南昌十九中等校联考高一（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年江西省南昌十九中等校联考高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，若，则( )
A. B. C. D.
2.若复数，则( )
A. B. C. D.
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.已知平面平面，，是平面，外两条不同的直线，则下列结论错误的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，，则 D. 若，，则
5.已知函数是奇函数，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数的单调递增区间是，则( )
A. B. C. D.
7.在中，内角，，的对边分别为，，，已知，则边上的高为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若对任意的实数，在区间上的值域均为，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. 的最小正周期为 D. 曲线关于直线对称
10.在中，内角，，的对边分别是，，，满足，则( )
A. 若，则 B. 若，，则
C. 若，则 D. 若，则
11.如图，在正方体中，是上底面的中心，，分别为，的中点，则下列结论正确的是( )
A.
B. 直线与平面所成角的正切值为
C. 平面与平面的夹角为
D. 异面直线与所成角的余弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数在复平面内对应的点位于第二象限，则的取值范围是______．
13.已知三棱台的体积为，记上底面、下底面的面积分别为，，若：：，则三棱锥的体积为______
14.如图，在中，为斜边的中点，点，分别在边，上不包括端点，，若，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，且．
若，求的值；
求与夹角的余弦值．
16.本小题分
在中，内角，，的对边分别是，，，已知．
证明：；
若，求．
17.本小题分
如图，正方体的棱长为，，分别是棱，的中点，是棱上的一点，点在棱上，，是三棱柱，，分别是线段，的中点．
证明：直线平面；
若四棱锥的体积为，求的长度．
18.本小题分
如图，某公园里的摩天轮的旋转半径为米，最高点距离地面米，某游客在最低点的位置坐上摩天轮，此时摩天轮开始运行，运行一周的时间不低于分钟，在运行到分钟时，他距地面大约米．
摩天轮运行一周约需要多少分钟？
该公园规定每次游玩摩天轮只能运行一周，则该游客距地面大约米时，摩天轮运行的时间是多少分钟？
19.本小题分
对于平面向量，记，若存在，使得，则称是的“向量”．
设，若是的“向量”，求实数的取值范围；
若，则是否存在“向量”？若存在，求出“向量”；若不存在，请说明理由；
已知均为的“向量”，其中设平面直角坐标系中的点列满足与原点重合，且与关于点对称，与关于点对称求的取值范围．
参考答案
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15.解：若，则，即，可得，解得；
由，可得舍负．
因为，
所以与的夹角满足．
16.证明：由得，，
由正弦定理，得，
因为，所以，
由二倍角公式得，
因为，所以；
解：由，得，
所以，
因为，
所以，得，
所以．
17.解：证明：根据题意可得，
，又，
，，
又平面，平面，
，又，且，
平面；
根据题意易知矩形的面积为，
又易知平面即为平面，且平面平面，
到的距离即为四棱锥的高，
四棱锥的体积为，，
而，
．
18.解：由题意知，游客离地面的高度为，其中，；
时，，解得，所以，；
解得，；时，，所以，
即摩天轮运行一周约需要分钟；
由题意知，，令，得，所以，
所以，或，解得，或；
所以该游客距地面大约米时，摩天轮运行的时间是分钟或分钟．
19.解：由，．
可得，，，
故，，
由于是的“向量”，所以，
即，
解得或．
由于均为周期函数，且周期为，而
，，
故，
若存在“向量”，则存在，
使得，
故，
即，
即，
即．
故，
故，
解得，，或，．
故存在““向量，““向量为，故．
由于，，均为的“向量”，故，
即，，
即，同理，，
三式相加并化简，得：，
即，，所以，
设，由，得，
设，则依题意得：，
得
故，，
同理，，
故，，
所以，
，
故，
故．
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