2023-2024学年北京市石景山区高一（下）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年北京市石景山区高一（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.与角终边相同的角是( )
A. B. C. D.
2.若扇形的面积为，且弧长为其半径的两倍，则该扇形的半径为( )
A. B. C. D.
3.复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4.已知向量，满足，，则( )
A. B. C. D.
5.在中，已知，那么一定是( )
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 正三角形
6.古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线其中余切函数，正割函数，余割函数，正矢函数，余矢函数如图角始边为轴的非负半轴，其终边与单位圆交点，、分别是单位圆与轴和轴正半轴的交点，过点作垂直轴，作垂直轴，垂足分别为、，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线分别交的终边于、，其中、、、为有向线段，下列表示正确的是( )
A.
B.
C.
D.
7.若，则( )
A. B. C. D.
8.函数的部分图像如图所示，则其解析式为( )
A.
B.
C.
D.
9.已知，为复数，下列结论错误的是( )
A. B.
C. 若，则 D. 若，则或
10.八卦是中国文化的基本哲学概念，如图是八卦模型图，其平面图形记为图中的正八边形，其中，则下列命题：
；
；
在上的投影向量为；
若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为．
其中正确的命题个数是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.化简： ______．
12.若，则 ______．
13.在中，，，，则的外接圆半径为______
14.已知向量在正方形网格中的位置如图所示若网格纸上小正方形的边长为，则 ______．
15.已知三角形是边长为的等边三角形如图，将三角形的顶点与原点重合在轴上，然后将三角形沿着轴顺时针滚动，每当顶点再次回落到轴上时，将相邻两个之间的距离称为“一个周期”，给出以下四个结论：
一个周期是；
完成一个周期，顶点的轨迹是一个半圆；
完成一个周期，顶点的轨迹长度是；
完成一个周期，顶点的轨迹与轴围成的面积是．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
如图，以为始边作角与，它们的终边与单位圆分别交于、两点，已知点的坐标为，点的坐标为．
Ⅰ求的值；
Ⅱ求的值．
17.本小题分
已知，，分别为的三个内角，，的对边，且．
求的值；
若，且的面积为，求，．
18.本小题分
向量，设函数．
Ⅰ求的最小正周期并在右边直角坐标中画出函数在区间内的草图；
Ⅱ若方程在上有两个根、，求的取值范围及的值．
19.本小题分
如图，在中，，，平分交于点，．
Ⅰ求的值；
Ⅱ求的面积．
20.本小题分
如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，过作的平行线交于记．
Ⅰ求的长用表示；
Ⅱ求面积的最大值，并求此时角的大小．
答案解析
1.
【解析】解：因为，
所以角与角终边相同．
故选：．
2.
【解析】解：设扇形的半径为，圆心角为，则弧长，
所以，
扇形的面积，解得或舍去．
故选：．
3.
【解析】解：，
复数在复平面内对应的点位于第一象限．
故选：．
4.
【解析】解：，，
，，
．
故选：．
5.
【解析】解：由，知，
．
．
，
和是三角形的内角，
，一定是等腰三角形．
故本题选B．
6.
【解析】解：根据题意，易得，
对于，因为，即，故A错误；
对于，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得，，故B错误；
对于，，故C正确；
对于，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得，故D错误．
故选：．
7.
【解析】解：，
．
故选D．
8.
【解析】解：由图可得：函数的最大值为，最小值为，故A，
又，故，
解得，
所以，
因为函数图象过点，
所以，
则，
解得，
因为，
所以时，，
故．
故选：．
9.
【解析】解：设，，
对于，，，
所以，故A正确；
对于，，
，
，
，故B正确；
对于，，
若，则，无法得到，故C错误；
对于，，
若，则，
解得或，
或，故D正确．
故选：．
10.
【解析】解：由题意可知，正八边形每个边所对的角都是，中心到各顶点的距离为，
对于，，故错误；
对于，，则以，为邻边的对角线长是的倍，
可得，故正确；
对于，在上的投影向量为，故正确；
对于，设，的夹角为，则，
其中表示在上的投影，
易知，延长交延长线于，
当在线段上运动，投影最大，
易知为等腰直角三角形，且，
则在中，，
在等腰三角形中，，
则，故正确．
综上，正确．
故选：．
11.
【解析】解：．
故答案为：．
12.
【解析】解：若，则．
故答案为：．
13.
【解析】解：在中，，，，
，设的外接圆半径为，
由正弦定理得：，
．
故答案为：．
14.
【解析】解：如图：
建立平面直角坐标系．由图可知，，
，
故．
故答案为：．
15.
【解析】解：点一个周期的运动轨迹如图所示，
对于，当再次回落到轴上时，发生了个单位的位移，则一个周期为，故正确；
对于，完成一个周期，顶点的轨迹由以为圆心，为半径的圆和以为圆心，为半径的圆共同组成，不是一个半圆，故错误；
对于，由知，顶点的轨迹为，故正确；
对于，顶点的轨迹与轴围成的区域面积为两个圆的面积与的面积之和，
即所求面积为，故正确．
故选：．
16.解：Ⅰ因为，角与的终边与单位圆分别交于，两点，
，，
由三角函数的定义可得，，
故；
Ⅱ由可知，，故，
根据二倍角公式得．
【解析】Ⅰ由任意角的三角函数的定义可得，，的值，由此可得出的值；
Ⅱ由任意角的三角函数的定义可得，的值，可求得的值，再利用二倍角的正切公式可求得的值．
17.解：在中，由正弦定理得：，
可等价转化为，
其中，故．
，
即，
因为，
所以．
因为，所以，
由余弦定理可得
即，所以，
所以，．
【解析】根据，利用正弦定理转化为求解；
由三角形的面积可得，由余弦定理，可得，从而可得答案．
18.解：Ⅰ向量，
函数
．
的最小正周期；
Ⅱ由图可知，当时，，即，
当时，，即，
．
【解析】Ⅰ利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简求解的表达式，利用三角函数的周期公式求出函数的周期，然后在直角坐标系中画出函数在区间内的草图；
Ⅱ结合函数的图象求解方程在上有两个根、，以及的值．
19.解：Ⅰ在中，由正弦定理可得，，
则，
，
；
Ⅱ由可知，，
平分交于点，
，
，
为等腰三角形，
，
，
的面积为．
【解析】根据已知条件，结合正弦定理，即可求解；
Ⅱ先求出，再结合正弦的两角和公式，以及三角形的面积公式，即可求解．
20.解：Ⅰ过、作的垂线，垂足分别为、，如图所示：
则，，，
所以，
所以．
Ⅱ的面积为
，
因为，所以，
所以，即时，，
所以时，面积的最大值为．
【解析】Ⅰ过、作的垂线，垂足分别为、，计算、，求出、即可．
Ⅱ求出的面积，利用三角函数求出最大值以及取最大值时对应的值．
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