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专题训练：最短线路问题
考试时间：120分钟 试卷满分：100分 难度系数：0.39（较难）
一．精心选一选：（本大题共10小题，每小题2分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的，请把所选答案填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）（2023秋 丹徒区期中）如图，长方形中，，点是一个动点，且的面积始终等于长方形面积的四分之一．若的最小值为10，则的面积是
A．10 B．12 C．14 D．16
2．（2分）（2023秋 崇川区期末）如图，已知等边的边长为4，点，分别在边，上，．以为边向右作等边，则的最小值为
A．4 B． C． D．
3．（2分）（2022秋 涟水县校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为和，点是轴上的一个动点，且，，三点不在同一条直线上．当的周长最小时，点的坐标是
A． B． C． D．
4．（2分）（2023秋 广陵区月考）如图，在五边形中，，，，，在、上分别找到一点、，使得的周长最小值，则的度数为
A． B． C． D．
5．（2分）（2023秋 丹阳市期中）如图，直线是中边的垂直平分线，点是直线上的一动点．若，，，则周长的最小值是
A．9 B．10 C．10.5 D．11
6．（2分）（2023秋 天宁区校级期中）如图，在中，，面积是24，的垂直平分线分别交、边于、点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为
A．8 B．10 C．12 D．14
7．（2分）（2023秋 淮阴区校级月考）如图，在中，，，，是边上的高，若，分别是和上的动点，则的最小值是
A．6 B．8 C．9.6 D．12
8．（2分）（2023春 海门市期末）如图，边长为的等边中，是上中线且，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是
A． B． C． D．
9．（2分）（2021秋 梁溪区校级期末）如图，点，在直线的同侧，到的距离，到的距离，已知，是直线上的一个动点，记的最小值为，的最大值为，则的值为
A．160 B．150 C．140 D．130
10．（2分）（2021秋 启东市校级期中）如图，在中，，面积是20，的垂直平分线分别交、边于、点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为
A．6 B．8 C．10 D．12
二．细心填一填：（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填在答题卡中相应位置上）
11．（2分）（2023秋 东台市期末）如图，等腰的底边的长为12，周长为32，腰的垂直平分线分别交、边于、点，若点为边的中点，点为线段上的一个动点，则的周长的最小值为 ．
12．（2分）（2023秋 丹阳市期末）如图，在中，，边的垂直平分线分别交、于点、，点是边的中点，点是上任意一点，连接、，若，，当周长取到最小值时， （用含的代数式表示）．
13．（2分）（2023秋 兴化市期末）如图，已知锐角中，，，的面积为，、、分别为、、边上的动点，则周长的最小值为 ．
14．（2分）（2023秋 东台市期中）如图，在边长为4的正方形中，是边上的一点，且，点为对角线上的动点，则周长的最小值为 ．
15．（2分）（2023秋 新北区期中）如图，在中，，，．直线，是上一动点．则的最小值是 ．
16．（2分）（2023秋 如皋市期末）如图，在四边形中，，，，点，分别在边，上，当时，的周长最小，则它的周长的最小值为 ．
17．（2分）（2023秋 南京期中）如图，在中，，，，是的平分线，、分别是、上的动点，则的最小值是 ．
18．（2分）（2023秋 海安市期末）如图，在中，，，是边上的高，点，分别在，上，且，当的值最小时，的度数是 ．
19．（2分）（2023秋 秦淮区校级月考）如图，在矩形中，，，点为中点，，为边上两个动点，且，当四边形周长最小时，的长为 ．
20．（2分）（2020秋 崇川区校级期中）如图，在中，，，，若是边上的动点，则的最小值为 ．
三．用心算一算：（本大题共8小题，共60分.请把答案写在答题卡中相应位置上.解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤.）
21．（6分）（2023秋 天宁区校级期中）如图，某小区的两个喷泉，位于小路的同侧，两个喷泉的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为．
（1）求供水点到喷泉，需要铺设的管道总长；
（2）求喷泉到小路的最短距离．
22．（6分）（2023秋 盐都区期末）如图，在中，，点为的中点，直线垂直平分，点为线段上一动点，若，等腰面积为21，求周长的最小值．
23．（8分）（2023秋 江都区期中）如图，为线段上一动点，分别过点、在线段两侧作，，连接，．
（1）已知，，，设，用含的代数式表示的长；
（2）请问点满足什么条件时，的值最小，在图中画出点的位置，并根据（1）的条件求出这个最小值；
（3）根据（2）中的规律和结论，请直接写出代数式的最小值为 ．
24．（8分）（2023秋 鼓楼区校级月考）如图，是等边三角形，为边上一个动点与、均不重合）．．，连接．
（1）求证：平分；
（2）若，当四边形的周长取最小值时，求的长．
25．（8分）（2022秋 镇江期末）如图，在平面直角坐标系中，点、关于直线对称，点的坐标是，点关于直线的对称点为点．
（1）的面积等于 ；点的坐标为 ；
（2）在直线上找一点，使得最短，则的最小值等于 ．
26．（8分）（2023秋 海安市月考）如图，在中，，的垂直平分线交于，交于．
（1）若，则的度数是 ．
（2）连接，若，的周长是．
①求的长；
②在直线上是否存在点，使由，，构成的的周长值最小？若存在，标出点的位置并求的周长最小值；若不存在，说明理由．
27．（8分）（2016秋 崇安区期中）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，的三个顶点、、都在格点上．
（1）在图中画出与关于直线成轴对称的△；
（2）在直线上找出一点，使得的长最短，该最短长度为 ．（保留画图痕迹并标上字母．
28．（8分）（2018秋 宜兴市期中）已知中，，，，为边上的高．动点从点出发，沿着的三条边逆时针走一圈回到点，速度为，设运动时间为．
（1）求的长；
（2）为何值时，为等腰三角形？
（3）若为上一动点，为上一动点，是否存在，使得的值最小？如果有请求出最小值，如果没有请说明理由．中小学教育资源及组卷应用平台
专题训练：最短线路问题
考试时间：120分钟 试卷满分：100分 难度系数：0.39（较难）
一．精心选一选：（本大题共10小题，每小题2分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的，请把所选答案填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）（2023秋 丹徒区期中）如图，长方形中，，点是一个动点，且的面积始终等于长方形面积的四分之一．若的最小值为10，则的面积是
A．10 B．12 C．14 D．16
解：的面积始终等于长方形面积的四分之一，
记点到的高为，又，
，
有，整理得，即点在的垂直平分线上运动，
连接，，，
点在的垂直平分线上运动，
，，
要最小，即最小，
当、、三点共线时，取得最小值为的长，
的最小值为10，即，
，
的面积是．
故选：．
2．（2分）（2023秋 崇川区期末）如图，已知等边的边长为4，点，分别在边，上，．以为边向右作等边，则的最小值为
A．4 B． C． D．
解：作于点，作射线，则，
和都是等边三角形，
，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
点在经过点且与垂直的直线上运动，
作交的延长线于点，则，
，
，
，
，
点与点关于直线对称，
，
，
，
，
，
，
，
，
的最小值为，
故选：．
3．（2分）（2022秋 涟水县校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为和，点是轴上的一个动点，且，，三点不在同一条直线上．当的周长最小时，点的坐标是
A． B． C． D．
解：作点关于轴的对称点，连接交轴一点点，如图所示：
点，的坐标分别为和，
的坐标是，
设直线的解析式为，将、坐标分别代入，
，解得，
直线的解析式为，
点的坐标为，
故答案为：．
4．（2分）（2023秋 广陵区月考）如图，在五边形中，，，，，在、上分别找到一点、，使得的周长最小值，则的度数为
A． B． C． D．
解：作关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为的周长最小值．作延长线，
，
，
，
，，
且，，
，
故选：．
5．（2分）（2023秋 丹阳市期中）如图，直线是中边的垂直平分线，点是直线上的一动点．若，，，则周长的最小值是
A．9 B．10 C．10.5 D．11
解：连接，如图，
直线垂直平分，
，
周长，
周长的最小值为：，
周长的最小值为：．
故选：．
6．（2分）（2023秋 天宁区校级期中）如图，在中，，面积是24，的垂直平分线分别交、边于、点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为
A．8 B．10 C．12 D．14
解：连接，．
是等腰三角形，点是边的中点，
，
，解得，
是线段的垂直平分线，
点关于直线的对称点为点，
，
，
的长为的最小值，
的周长最短．
故选：．
7．（2分）（2023秋 淮阴区校级月考）如图，在中，，，，是边上的高，若，分别是和上的动点，则的最小值是
A．6 B．8 C．9.6 D．12
解：如图所示，过点作于点，交于点，则此时取最小值．
，是边上的高，
垂直平分，
，
此时最小值为的长．
，
，
的最小值是9.6．
故选：．
8．（2分）（2023春 海门市期末）如图，边长为的等边中，是上中线且，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是
A． B． C． D．
解：如图，，都是等边三角形，
，，，
，
，
，
，，
，，
点在射线上运动，
作点关于直线的对称点，连接交 于，此时的值最小，
，，
是等边三角形，
，
，
，
周长的最小值，
故选：．
9．（2分）（2021秋 梁溪区校级期末）如图，点，在直线的同侧，到的距离，到的距离，已知，是直线上的一个动点，记的最小值为，的最大值为，则的值为
A．160 B．150 C．140 D．130
解：如图，
作点关于直线的对称点，连接交直线于点，
则点即为所求点．
过点作直线的延长线于点，则线段的长即为的最小值．
，，，
，，，
，
即的最小值是．
如图，
延长交于点，
，，
当点运动到点时，最大，
，，，
过点作，则，，
．
为最大，
即，
．
故选：．
10．（2分）（2021秋 启东市校级期中）如图，在中，，面积是20，的垂直平分线分别交、边于、点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为
A．6 B．8 C．10 D．12
解：连接，．
是等腰三角形，点是边的中点，
，
，解得，
是线段的垂直平分线，
点关于直线的对称点为点，
，
，
的长为的最小值，
的周长最短．
故选：．
二．细心填一填：（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填在答题卡中相应位置上）
11．（2分）（2023秋 东台市期末）如图，等腰的底边的长为12，周长为32，腰的垂直平分线分别交、边于、点，若点为边的中点，点为线段上的一个动点，则的周长的最小值为 14 ．
解：连接、，
等腰的底边的长为12，周长为32，
，且，
，
，
点为边的中点，
，，
，
，
，
直线垂直平分，
点与点关于直线对称，
，
，
，
，
的最小值为14，
的周长的最小值为14，
故答案为：14．
12．（2分）（2023秋 丹阳市期末）如图，在中，，边的垂直平分线分别交、于点、，点是边的中点，点是上任意一点，连接、，若，，当周长取到最小值时， （用含的代数式表示）．
解：如图，连接．
垂直平分，
，，
，
当、、在同一直线上时，最小，最小值为．
周长最小值．
，点是边的中点，
，
，
，
即．
故答案为：．
13．（2分）（2023秋 兴化市期末）如图，已知锐角中，，，的面积为，、、分别为、、边上的动点，则周长的最小值为 ．
解：设边上的高为，
，
，
，
如图，作点关于、的对称点，，连接、，
，，，，，
的周长为，
当、、、四点共线时，的周长为，
，
，
△是等腰直角三角形，
当最小时，最小，即的周长最小，
当时，最小，此时，
，
则周长的最小值为，
故答案为：．
14．（2分）（2023秋 东台市期中）如图，在边长为4的正方形中，是边上的一点，且，点为对角线上的动点，则周长的最小值为 6 ．
解：过点作于点，延长交于点，连接交于点，连接，
四边形为正方形，
，
，
，
即点与点关于对称，
，
当点与点重合时，的周长取得最小值，
最小值为的长．
正方形的边长为4，，
，，，
，
．
故答案为：6．
15．（2分）（2023秋 新北区期中）如图，在中，，，．直线，是上一动点．则的最小值是 5 ．
解：，，
，
延长到，使，则与关于直线对称，连接，交于，此时，则，的值最小
中，，，
，
的最小值是5，
故答案为：5．
16．（2分）（2023秋 如皋市期末）如图，在四边形中，，，，点，分别在边，上，当时，的周长最小，则它的周长的最小值为 ．
解：作关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为的周长最小值，作交的延长线于，
当时，的周长最小，
，
，
即，
，
，
，
，
由对称性，知，，
在△中，
，
由勾股定理，得，
在△中，
，
由勾股定理，得．
故答案为：．
17．（2分）（2023秋 南京期中）如图，在中，，，，是的平分线，、分别是、上的动点，则的最小值是 ．
解：作点关于的对称点，连接，如图所示
平分，
点在直线上，，
，
当，点为与的交点时，取得最小值，最小值为．
在中，，，，
，
，即，
，
的最小值为．
故答案为：．
18．（2分）（2023秋 海安市期末）如图，在中，，，是边上的高，点，分别在，上，且，当的值最小时，的度数是 70 ．
解：如图所示，过作，使得，连接，
，，
，
，
又，，
，
，
，
当，，三点共线时，的最小值等于的长，
此时，，，即是等腰直角三角形，
，
又中，，
，
故答案为：．
19．（2分）（2023秋 秦淮区校级月考）如图，在矩形中，，，点为中点，，为边上两个动点，且，当四边形周长最小时，的长为 4 ．
解：四边形是矩形，，，点为中点，
为定长，
，
四边形周长最小只要最小即可；
取中点连接，在上取，连接，
则四边形是矩形，四边形为平行四边形，，
，
，
最小，只要最小即可；
作点关于的对称点，连接交于点，
则，
即最小时，点位于处，
的长即为所求．
由作图可知，，，
△是等腰直角三角形，
，
，
，
，
故答案为：4．
20．（2分）（2020秋 崇川区校级期中）如图，在中，，，，若是边上的动点，则的最小值为 6 ．
解：如图所示，作点关于的对称点，连接，，过作于，
中，，，，
，，，，
中，，即，
与关于对称，
，
，
当，，在同一直线上时，的最小值等于的长，
此时，△中，，
的最小值为3，
即的最小值为6，
故答案为：6．
三．用心算一算：（本大题共8小题，共60分.请把答案写在答题卡中相应位置上.解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤.）
21．（6分）（2023秋 天宁区校级期中）如图，某小区的两个喷泉，位于小路的同侧，两个喷泉的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为．
（1）求供水点到喷泉，需要铺设的管道总长；
（2）求喷泉到小路的最短距离．
解：（1）如图，过作于，
在中，，
，
在中，，
供水点到喷泉，需要铺设的管道总长；
（2），，，
，
是直角三角形，
，
喷泉到小路的最短距离是．
22．（6分）（2023秋 盐都区期末）如图，在中，，点为的中点，直线垂直平分，点为线段上一动点，若，等腰面积为21，求周长的最小值．
解：连接、，
，点为的中点，，
，，
，且，
，
解得，
直线垂直平分，
点与点关于直线对称，
点在线段上，
，
，
，
，
，
，
的最小值为10，
周长的最小值为10．
23．（8分）（2023秋 江都区期中）如图，为线段上一动点，分别过点、在线段两侧作，，连接，．
（1）已知，，，设，用含的代数式表示的长；
（2）请问点满足什么条件时，的值最小，在图中画出点的位置，并根据（1）的条件求出这个最小值；
（3）根据（2）中的规律和结论，请直接写出代数式的最小值为 10 ．
解：（1），，，
，
在中，，
，，
在中，，
；
（2）当是和交点时，的值最小；
如图1，过点作，过点作，
，
的最小值为13；
（3）如图2所示，过点作，过点作，使，，，连接交于点．
，
的长即为代数式的最小值．
过点作交的延长线于点，得矩形，则：
，，
，
在中，由勾股定理得，．
故答案为：10．
24．（8分）（2023秋 鼓楼区校级月考）如图，是等边三角形，为边上一个动点与、均不重合）．．，连接．
（1）求证：平分；
（2）若，当四边形的周长取最小值时，求的长．
（1）证明：是等边三角形，
，，
，
，
即，
在和中，
，
，
，
，
，，
平分；
（2）解：，
，
是等边三角形，
，
四边形的周长，
根据垂线段最短，当时，值最小，四边形的周长取最小值，
，
．
25．（8分）（2022秋 镇江期末）如图，在平面直角坐标系中，点、关于直线对称，点的坐标是，点关于直线的对称点为点．
（1）的面积等于 ；点的坐标为 ；
（2）在直线上找一点，使得最短，则的最小值等于 ．
解：（1）、，，
的面积，
点、关于直线对称，
直线为，
点关于直线的对称点为点的坐标为，
故答案为：，；
（2），，
，
的最小值就是．
故答案为：．
26．（8分）（2023秋 海安市月考）如图，在中，，的垂直平分线交于，交于．
（1）若，则的度数是 ．
（2）连接，若，的周长是．
①求的长；
②在直线上是否存在点，使由，，构成的的周长值最小？若存在，标出点的位置并求的周长最小值；若不存在，说明理由．
解：（1）若，则的度数是，
故答案为：；
（2）如图：
①垂直平分．
，
又的周长是，
，
．
②当点与点重合时，的值最小，周长的最小值是，
27．（8分）（2016秋 崇安区期中）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，的三个顶点、、都在格点上．
（1）在图中画出与关于直线成轴对称的△；
（2）在直线上找出一点，使得的长最短，该最短长度为 5 ．（保留画图痕迹并标上字母．
解：（1）如图1所示是所画图形，
（2）如图2所示，点为所求作的点，
最短长度为，
故答案为5．
28．（8分）（2018秋 宜兴市期中）已知中，，，，为边上的高．动点从点出发，沿着的三条边逆时针走一圈回到点，速度为，设运动时间为．
（1）求的长；
（2）为何值时，为等腰三角形？
（3）若为上一动点，为上一动点，是否存在，使得的值最小？如果有请求出最小值，如果没有请说明理由．
解：（1），，，
，
，
为边上的高，
，
；
（2）①当点在上时，
，
若为等腰三角形，只有，
，
②当点在上时，
为等腰三角形，
分三种情况：当时，即，解得：，
当时，即，解得：，
当时，即，解得：，
综上所述：为6，8.4，9，9.5时，为等腰三角形；
（3）如图作点关于的对称点，过作于，交于，
则就是的最小值，
，
，
，
，
，
即的最小值．
