中小学教育资源及组卷应用平台
第十六章 二次根式 单元测试（提升卷）
一、单选题
1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的知识点是最简二次根式，满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，解题关键是正确理解最简二次根式的概念．
【详解】解：A、，故选项不符合题意；
B、，故选项不符合题意；
C、是最简根式，故选项符合题意；
D、，故选项不符合题意；
故选：C．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的除法、加法、乘法，根据运算法则逐一进行判断即可．
【详解】解：A、，选项错误；
B、不是同类二次根式，不能合并，选项错误；
C、不能合并，选项错误；
D、，正确；
故选：D．
3．当，时，代数式的值是（ ）
A． B．1 C．3 D．2
【答案】A
【分析】本题考查代数式求值，涉及平方差公式、二次根式性质等知识，将，代入代数式，利用平方差公式、二次根式性质计算即可得到答案，熟练掌握平方差公式、二次根式性质是解决问题的关键．
【详解】解：，，
，
故选：A．
4．已知，则的值为（ ）
A． B． C．2025 D．2020
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的求值，分式的求值．根据已知，利用完全平方公式计算得到，去分母得到，再整体代入计算即可求解．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴，
∴，即，
∴，
故选：A．
5．如图，图中有两个相邻的白色正方形，其面积分别为8和18，则图中阴影部分面积为（ ）
A．24 B．50 C． D．26
【答案】A
【分析】根据题意，小白色正方形的边长为；大白色正方形的边长为；继而得到黑色正方形的边长为，得到最大正方形的面积，计算即可，本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
【详解】根据题意，小白色正方形的边长为；大白色正方形的边长为；继而得到黑色正方形的边长为，
得到最大正方形的面积，
故阴影面积为，
故选A．
6．某数学兴趣小组在学习二次根式的时候发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，如，．通过查阅相关资料发现，这样的两个代数式互为有理化因式．小组成员利用有理化因式，得到了一些结论：
①；
②设有理数，满足：，则；
③；
④已知，则；
⑤．
以上结论正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，对各个项利用有理化因式进行变形计算后即可判断，在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
【详解】解：① ，故错误；
②设有理数，满足：，
，
，
，故错误；
③，
，
，
，故正确；
④
，
而，
，故错误；
⑤，
，
，
，故正确；
综上所述，正确的为③⑤，为2个，
故选：B．
二、填空题
7．已知x，y两个实数在数轴上位置如图所示，则化简的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查实数与数轴，化简绝对值和二次根式，根据点在数轴上的位置，得到，进而得到式子的符号，化简即可．
【详解】解：由数轴可知：，
∴，
∴；
故答案为：．
8．已知实数x，y满足，则的小数部分是 ．
【答案】/
【分析】本题考查二次根式有意义的条件及无理数的估算，结合已知条件求得的值是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件求得的值，然后求出，利用无理数的估算求得小数部分．
【详解】解：由题意可得：，
则，
则，
，
，
则的小整数部分是2，小数部分是，
故答案为：．
9．若是整数，则满足条件的最小正整数n的值为 ．
【答案】6
【分析】把24分解因数，分解出平方数，再根据二次根式的定义判断出n的最小值即可．
【详解】解：，
∵是整数，
∴满足条件的最小正整数．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟练把24分解成平方数与另一个数相乘的形式是解题的关键．
10．化简的结果为 ．
【答案】
【分析】先把化为平方的形式，再根据化简即可求解．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了双重二次根式的化简，把化为平方的形式是解题关键．
11．若，，则 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式运算等知识，首先根据题意可得，，然后根据二次根式的性质和运算法则求解即可，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
【详解】解：∵，，
∴．
故答案为：2．
12．电流通过导线时会产生热量．电流（单位：）、导线电阻R（单位：）、通电时间（单位：）与产生的热量（单位：）满足：．已知导线的电阻，的时间导线产生的热量，则电流为 ．（结果用二次根式表示）
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的应用，把，，代入中计算即可求解，正确计算是解题的关键．
【详解】解：把，，代入得，
，
∴，
∴，
故答案为：．
13．比较大小： ．
【答案】＞
【分析】先求出与的倒数，然后进行大小比较．
【详解】∵
而，
∴．
故答案为：＞．
【点睛】本题考查了实数大小比较：利用平方法或倒数法进行比较大小．
14．如果，那么 ．
【答案】
【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．先求出，再由得出答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
15．计算： ．
【答案】1
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，运用二次根式的性质化简，再利用四则混合运算顺序进行计算即可．
【详解】解：
．
故答案为：1．
16．已知，，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解的应用、二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．先利用提取公因式法分解因式，再代入计算即可得．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：．
17．最简二次根式与最简二次根式可以合并，则 ．
【答案】
【分析】本题考查同类二次根式的概念，根据题意，它们的被开方数相同，列出方程求解，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
【详解】解：二次根式与最简二次根式可以合并，
∴二次根式是同类项，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
18．在二次根式，，，，，，中，最简二次根式有 个．
【答案】2
【分析】将各二次根式能化简的依次化简后即可得到答案.
【详解】解： =，=，=，=，=，=，=，
∴，是最简二次根式，
故答案为：2.
【点睛】此题考查最简二次根式：①被开方数不含分母，②被开方数中不含开得尽方的因数或因式，以及化简二次根式.
三、解答题
19．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)0
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算顺序和运算法则是解题的关键．
（1）根据二次根式混合运算法则进行计算即可；
（2）先根据平方差公式和完全平方公式，将括号展开，再进行计算即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
20．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则．
（1）先化为最简二次根式，再合并同类二次根式；
（2）先用完全平方公式和平方差公式展开，再算加减即可
【详解】（1）原式
；
（2）原式
．
21．在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方，∵，则，∴．
请利用“平方法”解决下面问题：
(1)比较，大小，c d（填写＞，＜或者＝）．
(2)猜想 ，之间的大小，并证明．
(3)化简： （直接写出答案）．
【答案】(1)
(2)，证明过程见解析
(3)4或
【分析】本题考查了实数的大小比较，二次根式的大小比较和化简二次根式，解题的关键是熟练运用题干中“平方法”，第（3）题注意分情况讨论．
（1）根据题干中“平方法”比较实数大小；
（2）根据题干中“平方法”比较二次根式的大小；
（3）根据题干中“平方法”找出，，再利用二次根式的性质结合完全平方公式进而开平方分类讨论得出答案．
【详解】（1）解：∵，
则，
∴；
故答案为：>．
（2）解：猜想：，
证明：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（3）解：∵，，
∴
∵
∴，
分情况讨论：
①若，即时，
原式；
②若，即时，
原式，
综合①②得：
当时，原式；
当时，原式；
故答案为：4或．
22．观察下列等式，解决下列问题：
第一个等式：，
第二个等式：，
第三个等式：……
(1)第四个等式为： ；
(2)请用正整数来表示含有上述规律的第n个等式，并证明．
【答案】(1)
(2)；证明见解析
【分析】本题考查了二次根式的化简及应用，实数的规律探索；
（1）根据题目规律直接得出答案即可；
（2）由题意得第n个等式为：，然后根据二次根式的性质化简证明即可；
准确找出运算规律及熟练二次根式的化简是关键．
【详解】（1）解：由题意得第四个等式为：
故答案为：
（2）第n个等式：
23．据研究，高空抛物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）．
(1)求从高空抛物到落地时间；
(2)已知高空坠物动能（单位：）物体质量（单位：）高度（单位：），某质量为的玩具被抛出后经过后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由（注：伤害无防护人体只需要的动能）．
【答案】(1)
(2)这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人．
【分析】本题考查二次根式的应用，通过具体情境考查二次根式，理解公式，正确运算代入求值是解决本题的关键．
（1）把代入公式即可；
（2）求出，代入动能计算公式即可求出．
【详解】（1）解：由题意知，
∴，
故从高空抛物到落地时间为；
（2）解：这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，
理由：当时，，
∴，
这个玩具产生的动能，
∴这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人．
24．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数，使且，则将变成，然后开方，从而化简．
例如：化简．
解：．
仿照上例化简下列各式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的化简，完全平方公式的运用，熟练掌握阅读学习的基本方法是解题的关键．
（1）根据完全平方公式把化为，然后利用二次根式的性质计算；
（2）根据完全平方公式把化为，然后利用二次根式的性质计算．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
25．【阅读材料】
像，（），（），，
两个含有二次模式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．
例如：与，与，与，，等都是互为有理化因式，进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
【解决问题】
(1)的有理化因式为______；
(2)化简：；
(3)如图，中，与的角平分线相交于点，若的周长为，面积为，求点到边的距离；
(4)化简：．
【答案】(1)；
(2)；
(3)点到边的距离为；
(4)．
【分析】（）直接利用材料中的定义求解即可；
（）先对分母进行有理化，再求解即可；
（）先作出点到各边的垂线段，再表示出的面积，求出点到各边的距离即可；
（）先对分母进行有理化，然后合并同类二次根式即可；
本题考查了二次根式的有理化运算，角平分线的性质，解题关键是读懂题意，理解有理化因式的概念并能正确运用它解决实际问题．
【详解】（1）解：∵，
∴的有理化因式为，
故答案为：；
（2）解：
，
，
，
；
（3）如图，过分别作，，，连接，
∵与的角平分线相交于点，
∴，
设点到边的距离为，
，
，
∴，
∵的周长为，面积为，
∴，
则；
（4）解：
，
，
．中小学教育资源及组卷应用平台
第十六章 二次根式 单元测试（提升卷）
一、单选题
1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．当，时，代数式的值是（ ）
A． B．1 C．3 D．2
4．已知，则的值为（ ）
A． B． C．2025 D．2020
5．如图，图中有两个相邻的白色正方形，其面积分别为8和18，则图中阴影部分面积为（ ）
A．24 B．50 C． D．26
6．某数学兴趣小组在学习二次根式的时候发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，如，．通过查阅相关资料发现，这样的两个代数式互为有理化因式．小组成员利用有理化因式，得到了一些结论：
①；
②设有理数，满足：，则；
③；
④已知，则；
⑤．
以上结论正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
7．已知x，y两个实数在数轴上位置如图所示，则化简的结果是 ．
8．已知实数x，y满足，则的小数部分是 ．
9．若是整数，则满足条件的最小正整数n的值为 ．
10．化简的结果为 ．
11．若，，则 ．
12．电流通过导线时会产生热量．电流（单位：）、导线电阻R（单位：）、通电时间（单位：）与产生的热量（单位：）满足：．已知导线的电阻，的时间导线产生的热量，则电流为 ．（结果用二次根式表示）
13．比较大小： ．
14．如果，那么 ．
15．计算： ．
16．已知，，则的值为 ．
17．最简二次根式与最简二次根式可以合并，则 ．
18．在二次根式，，，，，，中，最简二次根式有 个．
三、解答题
19．计算：
(1)；
(2)．
20．计算：
(1)；
(2)．
21．在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方，∵，则，∴．
请利用“平方法”解决下面问题：
(1)比较，大小，c d（填写＞，＜或者＝）．
(2)猜想 ，之间的大小，并证明．
(3)化简： （直接写出答案）．
22．观察下列等式，解决下列问题：
第一个等式：，
第二个等式：，
第三个等式：……
(1)第四个等式为： ；
(2)请用正整数来表示含有上述规律的第n个等式，并证明．
23．据研究，高空抛物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）．
(1)求从高空抛物到落地时间；
(2)已知高空坠物动能（单位：）物体质量（单位：）高度（单位：），某质量为的玩具被抛出后经过后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由（注：伤害无防护人体只需要的动能）．
24．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数，使且，则将变成，然后开方，从而化简．
例如：化简．
解：．
仿照上例化简下列各式：
(1)；
(2)．
25．【阅读材料】
像，（），（），，
两个含有二次模式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．
例如：与，与，与，，等都是互为有理化因式，进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
【解决问题】
(1)的有理化因式为______；
(2)化简：；
(3)如图，中，与的角平分线相交于点，若的周长为，面积为，求点到边的距离；
(4)化简：．
