2023-2024学年河北省石家庄市高二（上）期末数学质检试卷（含答案）

2023-2024学年河北省石家庄市高二（上）期末数学质检试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某汽车启动阶段的位移函数为，则汽车在时的瞬时速度为( )
A. B. C. D.
2.将序号分别为，，，，的五张参观券全部分给甲，乙，丙，丁四人，每人至少张，如果分给甲的两张参观券是连号，那么不同分法的种数是( )
A. B. C. D.
3.设离散型随机变量的分布列为：则( )
A. B. C. D.
4.已知一组观测值，，，满足，若恒为，则( )
A. B. C. D.
5.的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
6.李老师教高二甲班和乙班两个班的数学，这两个班的人数相等某次联考中，这两个班的数学成绩均近似服从正态分布，其正态密度函数的图像如图所示，其中是正态分布的期望，是正态分布的标准差，且，，，关于这次数学考试成绩，下列结论正确的是( )
A. 甲班的平均分比乙班的平均分高
B. 相对于乙班，甲班学生的数学成绩更分散
C. 甲班分以上的人数约占该班总人数的
D. 乙班分以上的人数与甲班分以上的人数大致相等
7.某校三位同学报名参加数理化生四科学科竞赛，每人限报且必须报两门，由于数学是该校优势科目，必须至少有两人参赛，若要求每门学科都有人报名，则不同的参赛方案有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8.已知函数，若对任意的，，且，都有，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的是( )
A. 对于独立性检验，的值越大，说明两事件的相关程度越大
B. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，若其变换后得到线性方程，则，的值分别是和为自然对数的底数
C. 在具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程中，，则
D. 通过回归直线及回归系数，来精确反映变量的取值和变化趋势
10.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于年所著的详解九章算法一书中“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示下列关于“杨辉三角”的结论正确的是( )
A.
B. 记第行的第个数为，则
C. 第行中从左往右第个数与第个数相等
D. 第行中第个数与第个数之比为：
11.某大学文学院有、两个自习室，小王同学每天晩上都会去自习室学习假设他第一天去自习室的概率为；他第二天去自习室的概率为；如果他第一天去自习室，则第二天去自习室的概率为下列说法正确的是( )
A. 小王两天都去自习室的概率为 B. 小王两天都去自习室的概率为
C. 小王两天去不同自习室的概率为 D. 如果他第二天去自习室，则第一天去自习室的概率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.编号为，，的三位学生随意入坐编号为，，的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是，则 ______．
13.在概率论中常用散度描述两个概率分布的差异若离散型随机变量，的取值集合均为，则，的散度若，的概率分布如下表所示，其中，则的取值范围是______．
14.若二次函数的图象与曲线：存在公切线，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设函数．
求在处的切线方程；
求在上的最大值和最小值．
16.本小题分
已知展开式的二项式系数和为，且．
Ⅰ求的值；
Ⅱ求的值；
Ⅲ求的值．
17.本小题分
在十余年的学习生活中，部分学生养成了上课转笔的习惯某研究小组为研究转笔与学习成绩好差的关系，从全市若干所学校中随机抽取名学生进行调查，其中有上课转笔习惯的有人经调查，得到这名学生近期考试的分数的频率分布直方图记分数在分以上的为优秀，其余为合格．
Ⅰ请完成下列列联表并依据小概率值的独立性检验，分析成绩优秀与上课转笔之间是否有关联；结果均保留到小数点后三位
上课转笔 上课不转笔 合计
优秀
合格
合计
Ⅱ现采取分层抽样的方法，从这人中抽取人，再从这人中随机抽取人进行进一步调查，记抽到人中合格的人数为，求的分布列和数学期望；
Ⅲ若将频率视作概率，从全市所有在校学生中随机抽取人进行调查，记人中上课转笔的人数为的概率为，当取最大值时，求的值．
附：，其中．
18.本小题分
一个调查学生记忆力的研究团队从某中学随机挑选名学生进行记忆测试，通过讲解个陌生单词后，相隔十分钟进行听写测试，间隔时间分钟和答对人数的统计表格如下：
时间分钟
答对人数
时间与答对人数和的散点图如图：
附：，对于一组数据，，，，，，，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，请根据表格数据回答下列问题：
Ⅰ根据散点图判断，与哪个更适宜作为线性回归模型？给出判断即可，不必说明理由
Ⅱ根据Ⅰ的判断结果，建立关于的回归方程；或，的计算结果均保留到小数点后三位
Ⅲ根据Ⅱ请估算要想答对人数不少于人，至多间隔多少分钟需要重新记忆一遍结果四舍五入保留整数参考数据：，，．
19.本小题分
对于正实数，，我们熟知基本不等式：，其中为，的几何平均数，为，的算术平均数．现定义，的对数平均数：．
设，求证：，并证明；
若不等式对任意正实数，恒成立，求正实数的取值范围．
参考答案
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15.解：函数，函数的导数为．
，，
在处的切线方程：，
即．
令，，解得，．
当时，可得，
即的单调递减区间，
或，可得，
函数单调递增区间，．
的极大值点，，
，
，
函数的最大值为：，最小值为．
16.解：Ⅰ，
．
又，
；
Ⅱ在中，令，得，
令，得，
；
Ⅲ对式等号两端求导，
得，
令，得．
17.解：Ⅰ列联表如下：
上课转笔 上课不转笔 合计
合格
优秀
合计
零假设：成绩是否优秀与上课是否转笔无关，
，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
所以有的把握认为成绩是否优秀与上课是否转笔有关．
Ⅱ根据频率分布直方图大于分的频率为，
小于分的频率为，
故由分层抽样知，抽取的人中合格有人，优秀的为人，
则从这人中随机抽取人，合格人数服从超几何分布，
由题意的可能值为，，，，
故，
，
，
，
故的分布列为：
．
Ⅲ由题意随机抽取人则其上课转笔的概率为，
故根据题意，则，
若上课转笔的人数为时，最大，
则，
解得，故，
所以当最大时，．
18.解：Ⅰ根据散点图判断，更适作为线性回归类型；
Ⅱ根据的判断结果，计算，，
所以，
所以，
所以，
所以与的回归方程为；
Ⅲ回归方程中，令，得，
即，
又，
所以，
解得
所以估算要想答对人数不少于人，至多间隔分钟重新记忆一遍．
19.证明：令，有
，
所以，得在，上单调递减，
又，故当时，，
因此，当时，；
要证，只要证，
只要证，即证，
令，由有，即得，
因此，；
解：由恒成立，
得恒成立，即得恒成立，
令，有恒成立，
得恒成立，所以恒成立，
令，有
，
注：
当时，即时，
易知方程有一根大于，一根小于，
所以在上单调递增，
故有，不符；
当时，有，
所以，从而在上单调递减，
故当时，恒有，符合，
由、可知，正实数的取值范围为，
因此，正实数的最大值为．
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