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第二十三章《数据分析》单元核心知识归纳与题型突破
一 平均数、中位数、众数
1、平均数
（1）算术平均数：一组数据之和，除以这组数据的个数。
（2）加权平均数：在实际问题中，一组数据里的各个数据的“重要程度”未必相同，因而，在计算这组数据的平均数时，往往给每个数据一个“权”。
一般地，若n个数的权分别是，则 叫做这n个数的加权平均数。
2、中位数:将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则称处于中间位置的数为这组数据的中位数。如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数。
3、众数:一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数。
注：一组数据的众数可以为一个或多个。
二 极差、方差
1、极差：一组数据中，最大值与最小值的差称为极差.
2、方差:为了刻画一组数据波动的大小，可以采用很多方法。统计中常采用下面的做法：
设有n个数据，各数据与它们的平均数的差的平方分别是，，…，我们用这些值的平均数，即用：
来衡量这组数据波动的大小，并把它叫做这组数据的方差，记作
方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小。
题型一 求一组数据的平均数
例题：（2024上·江苏·九年级统考期末）学校利用劳动课采摘白萝卜，从中抽取了5个白萝卜，测得萝卜长（单位：）为26，20，25，22，22，则这组数据的平均数是 ．
巩固训练
1．（2023上·陕西榆林·八年级校考阶段练习）为了提高大家的环境保护意识，某小区在假期开展了废旧电池回收的志愿者活动，该小区有10名中学生参加了此项活动，他们回收的旧电池数量如下表：根据表中的数据，这10名中学生收集废旧电池的平均数为 节．
电池数量（节） 2 5 6 8 10
人数 1 4 2 2 1
2．（2023上·湖南永州·七年级统考期末）在“书香进校园”读书活动中，某同学根据该小组阅读课外书的数量，绘制了8~12月份的折线统计图，该小组平均每月阅读课外书为 本．
3．（23-24八年级下·广东广州·期末）木棉花，又称为英雄花，是广州市的市花．有一批木棉树的树干的周长情况如图所示，则这批木棉树树干的平均周长约为 ．
题型二 已知平均数求未知数据的值
例题：（2024上·江苏泰州·九年级统考期末）有一组数据如下：1，4，a，6，9，它们的平均数是5，则a的值为 ．
巩固训练
1．（2024·湖南长沙·二模）已知一组数据，，，，若这组数据的平均数是，则 ．
2．（2023上·山东威海·八年级校联考期中）下表是某班20名学生的一次数学测验的成绩分配表：
成绩（分） 50 60 70 80 90
人数（人） 2 3 2
根据上表，若成绩的平均数是72，计算： ， ．
3．（2023下·安徽合肥·八年级校考期末）已知一组数据0，2，，3，5的平均数是，则这组数据的平均数为 ．
题型三 利用已知的平均数求相关数据的平均数
例题：（2023上·内蒙古包头·八年级校考阶段练习）已知一组数据a、b、c的平均数为5，那么数据、、的平均数是 ．
巩固训练
1．（2023下·浙江杭州·八年级校联考期中）已知一组数据，，，的平均数是3，则数据，，，的平均数是 ．
2．（23-24八年级下·重庆巫山·期末）已知a，b，c，d的平均数是6，则的平均数是
3．（2024上·山东烟台·八年级统考期末）已知：，，，，的平均数是，，，，，的平均数是，则，，，，的平均数是 ．
题型四 求加权平均数
例题：（2023上·山东青岛·八年级统考期末）随着冬季的来临，流感进入高发期．某学校为有效预防流感，购买了A，B，C，D四种艾条进行消毒，它们的单价分别是30元，25元，20元，15元．若购买四种艾条的数量与购买总数量的比如图所示，则该校购买艾条的平均单价是 元．
巩固训练
1．（2023上·山东青岛·八年级统考期末）为进一步增强文化自信，肩负起传承发展中华优秀传统文化的历史责任，某校举行了“诵读国学经典传承中华文明”演讲比赛．演讲得分按“演讲内容”占，“语言表达”占，“形象风度”占，“整体效果”占进行计算，小颖这四项的得分依次为85，88，92，90，则她的最后得分是 分．
2．（2023上·江苏镇江·九年级统考期末）学校从德、智、体、美、劳五方面对学生进行评定，分别按2∶3∶2∶2∶1确定最终成绩．小明同学本学期五方面得分如图所示，则小明的最终得分为 分．
3．（23-24八年级下·广东江门·期末）“巨龙”腾飞逐天宫，神舟十八号载人飞船成功发射，见证我国从航天大国迈向航天强国的奋进足迹，校团委以此为契机，组织了系列活动，下面是甲班、乙班两个班各项目的成绩（单位：分）
班级 知识竞赛 演讲比赛 版面创作
甲班 83 89 86
乙班 90 81 84
(1)若根据三项成绩的平均分计算最后成绩，通过计算说明甲班、乙班两个班谁获胜？
(2)若将知识竞赛、演讲比赛、版面创作按的比例确定最后成绩，通过计算说明甲班、乙班两个班谁获胜？
题型五 运用加权平均数做决策
例题：（2023上·山东菏泽·八年级统考期末）某公司对应聘候选人小明和小张进行了面试和笔试，他们各项的成绩（百分制）如下表：
候选人 测试（百分制）
面试 笔试
小明 86 90
小张 92 83
(1)如果公司认为面试和笔试成绩同等重要，从他们的成绩看，谁将被录取？
(2)如果公司认为，面试的成绩应该比笔试成绩更重要，并分别赋予它们6和4的权，谁将被录取？
巩固训练
1．（2023上·河南郑州·八年级统考期末）某校进行广播操比赛，比赛打分包括以下几项：服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐（每项100分）．其中甲乙两个班级的各项成绩如下表：
项目 甲班的成绩（分） 乙班的成绩（分）
服装统一 95 90
进退场有序 90 85
动作规范 85 b
动作整齐 90 95
平均分 a 90
(1)表中a的值为___________；b的值为___________．
(2)若服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐四项得分按
的权重比例，请分别计算两个班级的广播操比赛成绩；
(3)你认为上面四项中，哪一项最重要 请你按照自己的想法设计一个评分方案．按照你的方案，哪个班的广播操比赛成绩最高
2．（2024上·山东枣庄·八年级统考期末）自双减以来，同学们的课后延时服务活动丰富多彩，某学校在新的学期举办“篮球特色热爱篮核选拔班”，大量球的同学踊跃报名，但由于名额有限，所以需要考，考核的最终评价成绩由篮球知识、身体素质、篮球技能三项构成，下表是对甲、乙两名同学的成绩记录．
成绩/分
篮球知识 身体素质 篮球技能
甲 93 94 89
乙 88 90 95
(1)如果根据三项成绩的平均分确定最终评价成绩，计算说明谁将获胜；
(2)根据实际需要，将篮球知识、身体素质、篮球技能三项成绩按的比例确定最终评价成绩，计算说明谁将获胜；
(3)如果你是“篮球特色班”的老师，请你制定一项标准来确定获胜人选，并说明制定该标准的理由．
题型六 求中位数、众数
例题：（2024上·山东济南·八年级统考期末）为了了解某小区居民的用水情况， 随机抽查了该小区户家庭的月用水量，结果如下：
月用水量（t）
户 数 2 3 2 2 1
则这户家庭月用水量的众数是 ； 中位数是 ．
巩固训练
1．（2024上·陕西西安·八年级统考期末）将一组数据按照从小到大的顺序排列为：1，3，4，x，6，8，若中位数为5，则这组数据的众数为 ．
2．（2023上·山东青岛·八年级校考阶段练习）某校从八年级随机抽取若干名学生进行体能测试，成绩记为1分、2分、3分、4分这4个等级，并根据调查结果绘制成如下条形统计图和扇形统计图，则学生成绩的中位数是 ，众数是 ．
3．（2023上·山东泰安·八年级统考期中）2023年9月25日，杭州亚运会男子10米气步枪个人决赛，我国18岁小将盛李豪打破世界纪录夺金．如图是盛李豪10次的射击成绩．这10次射击成绩的众数、中位数、平均数分别为 （按顺序填）．
题型七 平均数、中位数、众数与方差的综合问题
例题：（2024上·山东淄博·八年级统考期末）某校举办国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数．在初赛中，甲、乙两组（每组10人）学生成绩如下（单位：分）
甲组：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10；
乙组：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10．
组别 平均数 中位数 众数 方差
甲组 7 a 6 3.76
乙组 b 7 c S乙2
(1)以上成绩统计分析表中 ， ， ；
(2)小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属中游略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是 组的学生；
(3)从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛，应选哪个组？并说明理由．
巩固训练
1．（2024上·浙江宁波·八年级校考期末）学校想了解初二年级学生对“二十大”知识的了解情况，进行了“二十大”知识竞赛测试，从801、802两个班中各随机抽取了10名学生的成绩，整理如下：（成绩得分用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．）
801班10名学生的成绩是：96，80，96，86，99，98，92，100，89，82．
802班10名学生的成绩在C组中的数据是：94，90，92．
通过数据分析，列表如表：
801班、802班抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 方差
801班
802班
802班学生成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出上述、、的值：______，______，______．
(2)学校欲选成绩更稳定的班级参加相关活动，根据表格中的数据，学校会选哪一个班级？说明理由．
(3)这两个班共100人参加了此次调查活动，估计两班参加此次调查活动成绩优秀（）的学生总人数是多少？
2．（2023上·山东青岛·八年级统考期末）“惜餐为荣，殄物为耻”，为了解落实“光盘行动”的情况，某校调研了七、八年级部分班级某一天的餐后垃圾质量．从七、八年级各随机抽取10个班餐后垃圾质量的数据（单位：kg），进行整理和分析（餐后垃圾质量用x表示，共分为四个等级：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息．
七年级10个班餐后垃圾质量：，，，，，，，，，
八年级10个班餐后垃圾质量中B等级包含的所有数据为：，，，，．
七、八年级抽取的班级餐后垃圾质量统计表
年级 平均数 中位数 众数 方差 A等级所占百分比
七年级 a
八年级 b
八年级抽取的班级餐后垃圾质量扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出上述表中a，b，m的值；
(2)该校八年级共有30个班，估计八年级这一天餐后垃圾质量符合A等级的班级数；
(3)根据以上信息，你认为该校七、八年级的“光盘行动”，哪个年级落实得更好？请说明理由（写出一条理由即可）
题型八 用样本估计总体
例题：（23-24八年级下·安徽亳州·期末）暑假即将来临，某校为进一步强化学生对“预防溺水”的认识，提高学生的自我防护意识，特组织七、八年级学生参加“预防溺水”知识竞赛．李老师从七年级和八年级各随机抽取10名学生的竞赛成绩，进行整理、描述和分析（竞赛成绩用表示，共分成A，B，C，D多个等级：A．；B．；C．；D．），下面给出部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩：94，93，85，83，79，78，78，78，67，65；
八年级10名学生中B等级所有学生的竞赛成绩：80，81，84，84．
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 80 78.5 80.6
八年级 80 84 71.4
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：______，______，______；
(2)根据以上数据，你认为在此次竞赛中，哪个年级学生的竞赛成绩更好？请说明理由；
(3)若竞赛成绩不低于90分的学生获“优秀少年”称号，七年级有400名学生，八年级有330名学生，请估计七、八年级学生中，获“优秀少年”称号的学生共有多少名．
巩固训练
1．（2024·辽宁朝阳·三模）某校组织七、八年级全体学生参加了国防知识竞赛（百分制），并规定90分及以上为优秀，80~89分为良好，60~79分为及格，59分及以下为不及格．该学校七、八两个年级各有学生300人，现随机抽取了七、八年级各20名学生的成绩进行了整理与分析，下面给出了部分信息．
a．抽取七年级20名学生的成绩如下：
65 87 57 96 79 67 89 97 77 100
83 69 89 94 58 97 69 78 81 88
b．抽取七年级20名学生成绩的频数分布直方图如图1所示．
（数据分成5组：，，，，）
c．抽取八年级20名学生成绩的扇形统计图如图2所示．
d．七年级、八年级各抽取的20名学生成绩的平均数、中位数、方差如下表：
年级 平均数 中位数 方差
七年级 81 m 167.9
八年级 82 79.5 108.3
请根据以上信息，回答下列问题：
(1)补全七年级20名学生成绩的频数分布直方图，求出表中m的值；
(2)估计七、八两个年级此次竞赛成绩达到优秀的学生共有多少人；
(3)若本次竞赛成绩达到80分及以上的同学可以获得参加挑战赛的机会，请根据样本数据估计，七、八两个年级中哪个年级获得参加挑战赛的机会的学生人数更多？并说明理由．
2．（23-24八年级下·江苏南通·期末）某校举办“经典阅读”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据（成绩）进行了收集、整理、分析，给出如下部分信息：
【收集数据】甲班10名学生竞赛成绩：85、78，86，79，72，91，79，71，70，89
乙班10名学生竞赛成绩：85，80，77，85，80，73，90，74，75，81
【整理数据】
班级
甲班 6 3 1
乙班 4 5 1
【分析数据】
班级 平均数 中位数 众数
甲班 80 a b
乙班 80 80 80，85
【解决问题】根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空：________，________；
(2)请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班成绩比较好，简要说明理由；
(3)甲班共有学生45人，乙班共有学生40人，按竞赛规定，80分及80分以上的学生可以获奖，估计这两个班可以获奖的总人数是多少？
3．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）为普及人工智能，某校组织七、八年级“人工智能知识竞赛”，满分10分，竞赛成绩均为整数，8分及以上为优秀．
【收集整理数据】测试结果显示所有学生成绩都不低于4分，从两个年级中各随机抽取20名学生的成绩．
【描述数据】根据抽取的学生成绩，绘制出了如下统计图．
【分析数据】两个年级样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 8.5 a 7 2.24
八年级 8.5 8 b 2.74
根据以上信息，解答下列问题：
(1)______，______；
(2)补全条形统计图；
(3)该校七年级有400人参加测试，八年级有500人参加测试，估计七八年级测试成绩优秀的共有______人；
(4)从平均数、中位数、众数和方差中，任意选一个统计量，解释其在本题中的意义．中小学教育资源及组卷应用平台
第二十三章《数据分析》单元核心知识归纳与题型突破
一 平均数、中位数、众数
1、平均数
（1）算术平均数：一组数据之和，除以这组数据的个数。
（2）加权平均数：在实际问题中，一组数据里的各个数据的“重要程度”未必相同，因而，在计算这组数据的平均数时，往往给每个数据一个“权”。
一般地，若n个数的权分别是，则 叫做这n个数的加权平均数。
2、中位数:将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则称处于中间位置的数为这组数据的中位数。如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数。
3、众数:一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数。
注：一组数据的众数可以为一个或多个。
二 极差、方差
1、极差：一组数据中，最大值与最小值的差称为极差.
2、方差:为了刻画一组数据波动的大小，可以采用很多方法。统计中常采用下面的做法：
设有n个数据，各数据与它们的平均数的差的平方分别是，，…，我们用这些值的平均数，即用：
来衡量这组数据波动的大小，并把它叫做这组数据的方差，记作
方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小。
题型一 求一组数据的平均数
例题：（2024上·江苏·九年级统考期末）学校利用劳动课采摘白萝卜，从中抽取了5个白萝卜，测得萝卜长（单位：）为26，20，25，22，22，则这组数据的平均数是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了算术平均数，根据平均数公式求解可得．
【详解】解：，
故答案为：．
巩固训练
1．（2023上·陕西榆林·八年级校考阶段练习）为了提高大家的环境保护意识，某小区在假期开展了废旧电池回收的志愿者活动，该小区有10名中学生参加了此项活动，他们回收的旧电池数量如下表：根据表中的数据，这10名中学生收集废旧电池的平均数为 节．
电池数量（节） 2 5 6 8 10
人数 1 4 2 2 1
【答案】6
【分析】本题考查的是平均数．要求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可．
【详解】解：，
10名中学生回收废电池的平均数是6．
故答案为：6．
2．（2023上·湖南永州·七年级统考期末）在“书香进校园”读书活动中，某同学根据该小组阅读课外书的数量，绘制了8~12月份的折线统计图，该小组平均每月阅读课外书为 本．
【答案】
【分析】本题主要考查平均数的计算公式，熟练掌握平均数的计算是解题的关键．根据平均数的计算公式求出答案即可．
【详解】解：本，
故该小组平均每月阅读课外书为本．
故答案为：．
3．（23-24八年级下·广东广州·期末）木棉花，又称为英雄花，是广州市的市花．有一批木棉树的树干的周长情况如图所示，则这批木棉树树干的平均周长约为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了算术平均数的应用，根据题意得到各组最中间值，然后根据一组数的平均数等于这组数据的总和除以数据的个数，计算得出答案即可，熟练掌握一组数的平均数等于这组数据的总和除以数据的个数是解题的关键．
【详解】解：根据题意得：各组最中间值为40，50，60，70，
，
∴这批木棉树树干的平均周长约为，
故答案为：．
题型二 已知平均数求未知数据的值
例题：（2024上·江苏泰州·九年级统考期末）有一组数据如下：1，4，a，6，9，它们的平均数是5，则a的值为 ．
【答案】5
【分析】本题考查算术平均数．根据平均数的定义求解即可．
【详解】解：由题意得，
∴．
故答案为：5．
巩固训练
1．（2024·湖南长沙·二模）已知一组数据，，，，若这组数据的平均数是，则 ．
【答案】
【分析】此题考查算术平均数的意义和求法，根据算术平均数的计算方法列方程求解即可．
【详解】解：由题意得：
解得：．
故答案为：．
2．（2023上·山东威海·八年级校联考期中）下表是某班20名学生的一次数学测验的成绩分配表：
成绩（分） 50 60 70 80 90
人数（人） 2 3 2
根据上表，若成绩的平均数是72，计算： ， ．
【答案】 6 7
【分析】本题考查了算术权平均数的运用，列二元一次方程解实际问题的运用，由算术平均数的计算方法根据平均数为72和总人数为20建立二元一次方程组，求出其解解即可．
【详解】解：由题意，得：
，
解得：．
∴．
3．（2023下·安徽合肥·八年级校考期末）已知一组数据0，2，，3，5的平均数是，则这组数据的平均数为 ．
【答案】
【分析】根据平均数的定义可得关于x的方程，解方程求出x即得答案．
【详解】解：∵数据0，2，，3，5的平均数是，
∴，
解得：，
∴这组数据的平均数为；
故答案为：．
【点睛】本题考查了求一组数据的平均数，熟练掌握平均数的计算公式是解题关键．
题型三 利用已知的平均数求相关数据的平均数
例题：（2023上·内蒙古包头·八年级校考阶段练习）已知一组数据a、b、c的平均数为5，那么数据、、的平均数是 ．
【答案】3
【分析】本题考查了算术平均数；
根据数据a、b、c的平均数为5求出，然后根据算术平均数的计算方法求解即可．
【详解】解：由题意得：，
∴，
∴数据、、的平均数为：，
故答案为：．
巩固训练
1．（2023下·浙江杭州·八年级校联考期中）已知一组数据，，，的平均数是3，则数据，，，的平均数是 ．
【答案】3
【分析】利用平均数的定义直接计算即可得到答案．
【详解】解：，，，的平均数是3，
，，，的和是12，
，
，，，的平均数是，
故答案为：3．
【点睛】本题考查平均数的求法，熟练掌握平均数的计算公式进行计算是解题的关键．
2．（23-24八年级下·重庆巫山·期末）已知a，b，c，d的平均数是6，则的平均数是
【答案】13
【分析】本题考查平均数以及和差倍半平均数，掌握平均数计算公式是解题关键．先根据a，b，c，d的平均数是6，求出，再用平均数定义求转化为整体代入即可．
【详解】解∵a，b，c，d的平均数是6，
∴，
∴，
，
，
．
故答案为：13．
3．（2024上·山东烟台·八年级统考期末）已知：，，，，的平均数是，，，，，的平均数是，则，，，，的平均数是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平均数的求法，先求前个数的和，再求后个数的和，然后利用平均数的定义求出个数的平均数，正确理解算术平均数的概念是解题的关键．
【详解】解：∵，，，，的平均数是，，，，，的平均数是，
∴，，，，的平均数是，
故答案为：．
题型四 求加权平均数
例题：（2023上·山东青岛·八年级统考期末）随着冬季的来临，流感进入高发期．某学校为有效预防流感，购买了A，B，C，D四种艾条进行消毒，它们的单价分别是30元，25元，20元，15元．若购买四种艾条的数量与购买总数量的比如图所示，则该校购买艾条的平均单价是 元．
【答案】21
【分析】本题考查加权平均数，解答本题的关键是根据题意中的数据和扇形统计图中的数据，利用加权平均数的计算方法，可以计算出所购买艾条的平均单价．
【详解】解：由图可得，
所购买艾条的平均单价是：（元），
故答案为：21．
巩固训练
1．（2023上·山东青岛·八年级统考期末）为进一步增强文化自信，肩负起传承发展中华优秀传统文化的历史责任，某校举行了“诵读国学经典传承中华文明”演讲比赛．演讲得分按“演讲内容”占，“语言表达”占，“形象风度”占，“整体效果”占进行计算，小颖这四项的得分依次为85，88，92，90，则她的最后得分是 分．
【答案】87.4
【分析】本题考查的是加权平均数的求法．根据加权平均数的定义列式计算可得．
【详解】解：她的最后得分是（分，
故答案为：87.4．
2．（2023上·江苏镇江·九年级统考期末）学校从德、智、体、美、劳五方面对学生进行评定，分别按2∶3∶2∶2∶1确定最终成绩．小明同学本学期五方面得分如图所示，则小明的最终得分为 分．
【答案】9
【分析】本题考查加权平均数，根据加权平均数的计算公式计算即可得解．
【详解】解：由题意得，最终得分为（分），
故答案为：9．
3．（23-24八年级下·广东江门·期末）“巨龙”腾飞逐天宫，神舟十八号载人飞船成功发射，见证我国从航天大国迈向航天强国的奋进足迹，校团委以此为契机，组织了系列活动，下面是甲班、乙班两个班各项目的成绩（单位：分）
班级 知识竞赛 演讲比赛 版面创作
甲班 83 89 86
乙班 90 81 84
(1)若根据三项成绩的平均分计算最后成绩，通过计算说明甲班、乙班两个班谁获胜？
(2)若将知识竞赛、演讲比赛、版面创作按的比例确定最后成绩，通过计算说明甲班、乙班两个班谁获胜？
【答案】(1)甲班获胜
(2)乙班获胜
【分析】本题主要考查了算术平均数和加权平均数的应用，理解并掌握算术平均数和加权平均数的定义是解题关键．
（1）根据算术平均数的定义计算甲、乙两班的最后成绩，比较即可获得答案；
（2）根据加权平均数的定义计算甲、乙两班的最后成绩，比较即可获得答案．
【详解】（1）解：甲班三项的平均分为，
乙班三项的平均分为，
∵，
∴根据三项成绩的平均分计算最后成绩，甲班获胜；
（2）解：甲班最后成绩为，
乙班最后成绩为，
∵，
∴将知识竞赛、演讲比赛、版面创作按的比例确定最后成绩，乙班获胜．
题型五 运用加权平均数做决策
例题：（2023上·山东菏泽·八年级统考期末）某公司对应聘候选人小明和小张进行了面试和笔试，他们各项的成绩（百分制）如下表：
候选人 测试（百分制）
面试 笔试
小明 86 90
小张 92 83
(1)如果公司认为面试和笔试成绩同等重要，从他们的成绩看，谁将被录取？
(2)如果公司认为，面试的成绩应该比笔试成绩更重要，并分别赋予它们6和4的权，谁将被录取？
【答案】(1)从他们的成绩看，小明将被录取
(2)小张的平均成绩高于小明的平均成绩，小张被录取
【分析】此题考查了加权平均数的计算公式，解题的关键是：计算平均数时按6和4的权进行计算．
（1）根据题意先求出小明和小张的平均成绩，再进行比较，即可得出答案；
（2）根据题意先算出小明、小张两位应聘者的加权平均数，再进行比较，即可得出答案．
【详解】（1）小明的平均成绩是：（分，
小张的平均成绩是：（分，
，
从他们的成绩看，小明将被录取；
故答案为：小明；
（2）小明的平均成绩（分，
小张的平均成绩（分，
小张的平均成绩高于小明的平均成绩，小张被录取．
巩固训练
1．（2023上·河南郑州·八年级统考期末）某校进行广播操比赛，比赛打分包括以下几项：服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐（每项100分）．其中甲乙两个班级的各项成绩如下表：
项目 甲班的成绩（分） 乙班的成绩（分）
服装统一 95 90
进退场有序 90 85
动作规范 85 b
动作整齐 90 95
平均分 a 90
(1)表中a的值为___________；b的值为___________．
(2)若服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐四项得分按
的权重比例，请分别计算两个班级的广播操比赛成绩；
(3)你认为上面四项中，哪一项最重要 请你按照自己的想法设计一个评分方案．按照你的方案，哪个班的广播操比赛成绩最高
【答案】(1)90，90
(2)甲班：89；乙班：91
(3)见解析
【分析】本题考查了平均数和加权平均数；
（1）根据求平均数的公式即可求解；
（2）根据求加权平均数的公式即可求解；
（3）动作规范更为重要，评分方案可拟为：四项得分依次按的比例计算成绩．
【详解】（1）解：，，解得：；
故答案为：，
（2）解：甲班：，
乙班：
（3）解：动作规范更为重要，评分方案可拟为：四项得分依次按的比例计算成绩，则
甲班：，
乙班：，
∴乙班成绩更高；
2．（2024上·山东枣庄·八年级统考期末）自双减以来，同学们的课后延时服务活动丰富多彩，某学校在新的学期举办“篮球特色热爱篮核选拔班”，大量球的同学踊跃报名，但由于名额有限，所以需要考，考核的最终评价成绩由篮球知识、身体素质、篮球技能三项构成，下表是对甲、乙两名同学的成绩记录．
成绩/分
篮球知识 身体素质 篮球技能
甲 93 94 89
乙 88 90 95
(1)如果根据三项成绩的平均分确定最终评价成绩，计算说明谁将获胜；
(2)根据实际需要，将篮球知识、身体素质、篮球技能三项成绩按的比例确定最终评价成绩，计算说明谁将获胜；
(3)如果你是“篮球特色班”的老师，请你制定一项标准来确定获胜人选，并说明制定该标准的理由．
【答案】(1)甲将获胜；
(2)乙将获胜；
(3)见解析
【分析】本题考查的知识点是算术平均数和加权平均数，掌握定义是解决问题的关键．
（1）利用算术平均数的定义求出甲、乙两名同学的成绩，再进行比较，即可得出答案；
（2）根据加权平均数的定义列出算式，求出甲、乙两名同学的成绩，再进行比较，即可得出答案；
（3）按第（2）问的标准即可．
【详解】（1）解：甲的成绩为（分），
乙的成绩为（分），
∵，
∴甲将获胜；
（2）解：甲的成绩为（分），
乙的成绩为（分），
∵，
∴乙将获胜；
（3）解：将篮球知识、身体素质、篮球技能三项成绩按的比例确定最终评价成绩，乙将获胜，
理由：因为是“篮球特色班”，要重点关注的是篮球技能，所以将篮球知识、身体素质、篮球技能三项成绩按的比例确定最终评价成绩．
题型六 求中位数、众数
例题：（2024上·山东济南·八年级统考期末）为了了解某小区居民的用水情况， 随机抽查了该小区户家庭的月用水量，结果如下：
月用水量（t）
户 数 2 3 2 2 1
则这户家庭月用水量的众数是 ； 中位数是 ．
【答案】
【分析】本题考查众数，中位数，根据出现次数最多的叫众数，坐中间的叫中位数求解即可得到答案；
【详解】解：由表可得，
出现3次，出现的最多，
故答空1答案为：，
∵，，
∴第5第6个数据是和，
∴中位数是：，
故答空2答案为：．
巩固训练
1．（2024上·陕西西安·八年级统考期末）将一组数据按照从小到大的顺序排列为：1，3，4，x，6，8，若中位数为5，则这组数据的众数为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了中位数和众数的定义，解答本题的关键是掌握众数和中位数的定义．根据中位数的定义，求出x的值，再由一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，可得出答案．
【详解】解：∵这组数据的中位数是5，
∴，
解得：，
这组数据为：1，3，4，6，6，8，因为6出现的次数最多，故众数为6．
故答案为6．
2．（2023上·山东青岛·八年级校考阶段练习）某校从八年级随机抽取若干名学生进行体能测试，成绩记为1分、2分、3分、4分这4个等级，并根据调查结果绘制成如下条形统计图和扇形统计图，则学生成绩的中位数是 ，众数是 ．
【答案】 3分 3分
【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图、众数、中位数等知识点，从统计图上获取所需信息是解题的关键．
根据中位数是处在中间位置的数，众数是出现次数最多的数即可解答．
【详解】解：由统计图可知：将成绩从小到大排列后处在第20、21位两个数都是3分，因此中位数是3分；抽取的所有学生成绩的出现次数最多的是3分，因此众数是3分．
故答案为：3分，3分．
3．（2023上·山东泰安·八年级统考期中）2023年9月25日，杭州亚运会男子10米气步枪个人决赛，我国18岁小将盛李豪打破世界纪录夺金．如图是盛李豪10次的射击成绩．这10次射击成绩的众数、中位数、平均数分别为 （按顺序填）．
【答案】10.6，10.6，10.6
【分析】根据众数、中位数、平均数的定义分别求解即可．
【详解】解：∵10次的射击成绩从小到大排列：10.3，10.4，10.5，10.6，10.6，10.6，10.7，10.7，10.8，10.8，
∴众数是10.6；
中位数是；
平均数是．
故答案为：10.6，10.6，10.6．
【点睛】本题考查了折线统计图，众数、中位数、平均数，熟练掌握众数、中位数、平均数的定义是解答本题的关键．
题型七 平均数、中位数、众数与方差的综合问题
例题：（2024上·山东淄博·八年级统考期末）某校举办国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数．在初赛中，甲、乙两组（每组10人）学生成绩如下（单位：分）
甲组：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10；
乙组：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10．
组别 平均数 中位数 众数 方差
甲组 7 a 6 3.76
乙组 b 7 c S乙2
(1)以上成绩统计分析表中 ， ， ；
(2)小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属中游略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是 组的学生；
(3)从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛，应选哪个组？并说明理由．
【答案】(1)6；7；7
(2)甲
(3)选乙组参加决赛，见解析
【分析】本题考查了平均数，中位数，众数，方差的意义．掌握平均数表示一组数据的平均程度，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，方差是用来衡量一组数据波动大小的量是解题的关键．（1）根据平均数、中位数和众数的定义分别进行解答即可得出答案；（2）根据中位数的意义即可得出答案；（3）根据平均数与方差的意义即可得出答案．
【详解】（1）解：把甲组的成绩从小到大排列后，中间两个数的平均数是，则中位数；
，
乙组学生成绩中，数据出现了四次，次数最多，所以众数．
故答案为：6，7，7；
（2）小明可能是甲组的学生，理由如下：
因为甲组的中位数是6分，而小明得了7分，所以在小组中属中游略偏上，
故答案为：甲；
（3）选乙组参加决赛．理由如下：
，
甲、乙两组学生平均数相同，而，
乙组的成绩比较稳定，
故选乙组参加决赛．
巩固训练
1．（2024上·浙江宁波·八年级校考期末）学校想了解初二年级学生对“二十大”知识的了解情况，进行了“二十大”知识竞赛测试，从801、802两个班中各随机抽取了10名学生的成绩，整理如下：（成绩得分用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．）
801班10名学生的成绩是：96，80，96，86，99，98，92，100，89，82．
802班10名学生的成绩在C组中的数据是：94，90，92．
通过数据分析，列表如表：
801班、802班抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 方差
801班
802班
802班学生成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出上述、、的值：______，______，______．
(2)学校欲选成绩更稳定的班级参加相关活动，根据表格中的数据，学校会选哪一个班级？说明理由．
(3)这两个班共100人参加了此次调查活动，估计两班参加此次调查活动成绩优秀（）的学生总人数是多少？
【答案】(1)40，94，96
(2)选派802班，理由见解析
(3)
【分析】（1）将801班10名学生的成绩按由小到大的顺序排列，再结合中位数和众数的定义即可求出b和c的值；由题意可知802班C组有3人，即可求出其所占百分比，最后用其它各组所占百分比即可求出a的值；
（2）直接比较两个班级的方差即可；
（3）求出样本中两个班级成绩优秀的人数，再利用样本的百分率估计总体即可得到答案．
【详解】（1）解：801班10名学生的成绩按由小到大的顺序排列为：80，82，86，89，92，96，96，98，99，100，
∴．
∵成绩为96分的学生有2名，最多，
∴．
802班C组有3人，
∴扇形统计图中C组所占百分比为，
∴扇形统计图中D组所占百分比为，
∴．
故答案为：40，94，96；
（2）解：选派802班，理由如下：
∵两个班的平均成绩相同，而801班的方差为52，802班的方差为，
∴802班成绩更平衡，更稳定，
∴学校会选派802班．
（3）解：802班D组的人数为人，
∴802班10名学生的成绩为优秀的有人．
∴估计参加此次调查活动成绩优秀的九年级学生人数是人．
【点睛】本题考查的是扇形统计图，频数分布，众数，中位数，方差的含义及应用，同时考查了利用样本估计总体，熟练掌握以上知识是解题的关键．
2．（2023上·山东青岛·八年级统考期末）“惜餐为荣，殄物为耻”，为了解落实“光盘行动”的情况，某校调研了七、八年级部分班级某一天的餐后垃圾质量．从七、八年级各随机抽取10个班餐后垃圾质量的数据（单位：kg），进行整理和分析（餐后垃圾质量用x表示，共分为四个等级：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息．
七年级10个班餐后垃圾质量：，，，，，，，，，
八年级10个班餐后垃圾质量中B等级包含的所有数据为：，，，，．
七、八年级抽取的班级餐后垃圾质量统计表
年级 平均数 中位数 众数 方差 A等级所占百分比
七年级 a
八年级 b
八年级抽取的班级餐后垃圾质量扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出上述表中a，b，m的值；
(2)该校八年级共有30个班，估计八年级这一天餐后垃圾质量符合A等级的班级数；
(3)根据以上信息，你认为该校七、八年级的“光盘行动”，哪个年级落实得更好？请说明理由（写出一条理由即可）
【答案】(1)，，
(2)6个
(3)见解析
【分析】本题考查了中位数、众数、方差的意义，解题的关键是：
（1）根据中位数，众数的定义即可求解．
（2）用抽测的百分比乘八年级总班级数即可求解．
（3）从等级的百分比评论即可．
【详解】（1）解：七年级10个数据中最多，所以众数，
八年级等级有5个，、等级为个，个，
所以等级有个，
所以，
所以中位数为，；
（2）（个），
答：估计八年级这一天餐后垃圾质量符合等级的班级数为6个；
（3）七年级各班落实“光盘行动”更好，
理由：七年级各班餐厨垃圾质量等级的高于八年级各班餐厨质量垃圾质量等级的（答案不唯一）．
题型八 用样本估计总体
例题：（23-24八年级下·安徽亳州·期末）暑假即将来临，某校为进一步强化学生对“预防溺水”的认识，提高学生的自我防护意识，特组织七、八年级学生参加“预防溺水”知识竞赛．李老师从七年级和八年级各随机抽取10名学生的竞赛成绩，进行整理、描述和分析（竞赛成绩用表示，共分成A，B，C，D多个等级：A．；B．；C．；D．），下面给出部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩：94，93，85，83，79，78，78，78，67，65；
八年级10名学生中B等级所有学生的竞赛成绩：80，81，84，84．
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 80 78.5 80.6
八年级 80 84 71.4
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：______，______，______；
(2)根据以上数据，你认为在此次竞赛中，哪个年级学生的竞赛成绩更好？请说明理由；
(3)若竞赛成绩不低于90分的学生获“优秀少年”称号，七年级有400名学生，八年级有330名学生，请估计七、八年级学生中，获“优秀少年”称号的学生共有多少名．
【答案】(1)78，82.5，20
(2)八年级学生的竞赛成绩更好，理由见解析
(3)170名
【分析】（1）先根据众数的定义求出a的值；由题意求出八年级10名学生中成绩位于A等级，D等级和B等级的人数，再结合中位数的定义即得出b的值；求出八年级C等级的人数，从而可求出其所占百分比，即得出m的值；
（2）通过中位数、众数、方差进行分析得出答案；
（3）分别求出七年级“优秀少年”称号的学生所占比例，乘以七年级总人数、八年级“优秀少年”称号的学生所占比例，乘以八年级总人数，再相加即可．
【详解】（1）解：七年级10名学生的竞赛成绩中78出现3次，为最多，即众数为78，故；
八年级10名学生中成绩位于A等级的有名，
位于D等级的有名，
位于B等级的有4名，
∴八年级10名学生成绩按从大到小排列位于第5和第6的分别为84和81，
∴八年级10名学生成绩的中位数为，故；
八年级10名学生成绩位于C等级的有名，
∴八年级学生成绩位于C等级所占百分比为，故．
（2）解：在此次竞赛中，八年级学生的竞赛成绩更好，
理由：因为八年级学生的中位数和众数都大于七年级学生，即八年级得分较高的占比多，故八年级学生的竞赛成绩更好；
（3）解：∵七年级10名学生中“优秀少年”称号的学生有2人，
∴七年级学生获“优秀少年”称号的学生大约有名．
∵八年级学生获“优秀少年”称号的学生大约有名，
∴估计七、八年级学生中，获“优秀少年”称号的学生共有名．
【点睛】本题考查扇形统计图、中位数、众数、平均数、方差以及样本估计总体，掌握平均数、中位数、众数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提．
巩固训练
1．（2024·辽宁朝阳·三模）某校组织七、八年级全体学生参加了国防知识竞赛（百分制），并规定90分及以上为优秀，80~89分为良好，60~79分为及格，59分及以下为不及格．该学校七、八两个年级各有学生300人，现随机抽取了七、八年级各20名学生的成绩进行了整理与分析，下面给出了部分信息．
a．抽取七年级20名学生的成绩如下：
65 87 57 96 79 67 89 97 77 100
83 69 89 94 58 97 69 78 81 88
b．抽取七年级20名学生成绩的频数分布直方图如图1所示．
（数据分成5组：，，，，）
c．抽取八年级20名学生成绩的扇形统计图如图2所示．
d．七年级、八年级各抽取的20名学生成绩的平均数、中位数、方差如下表：
年级 平均数 中位数 方差
七年级 81 m 167.9
八年级 82 79.5 108.3
请根据以上信息，回答下列问题：
(1)补全七年级20名学生成绩的频数分布直方图，求出表中m的值；
(2)估计七、八两个年级此次竞赛成绩达到优秀的学生共有多少人；
(3)若本次竞赛成绩达到80分及以上的同学可以获得参加挑战赛的机会，请根据样本数据估计，七、八两个年级中哪个年级获得参加挑战赛的机会的学生人数更多？并说明理由．
【答案】(1)图见解析，
(2)165人．
(3)七年级获得参加挑战赛的机会的学生人数更多．理由见解析
【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图信息关联，画条形统计图，中位数，样本估计总体，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先算出七年级成绩位于的人数，再补全图形，结合中位数（偶数个数据，取中间位置的数的平均数作为中位数）进行作答即可．
（2）分别算出八年级成绩优秀的所占的百分比为，再乘上八年级人数得出八年级优秀人数为人，再加上七年级成绩达到优秀的学生人数，即可得出学生共约有165人进行作答．
（3）分别算出八年级获得参加挑战赛的机会的学生人数和七年级获得参加挑战赛的机会的学生人数，结合，则七年级获得参加挑战赛的机会的学生人数更多．
【详解】（1）解：依题意，（人）
七年级成绩位于的有人，
补全图形如下：
七年级成绩位于第10位和第11位的是81和83，
∴七年级成绩的中位数；
（2）解：根据题意得：八年级成绩良好的所占的百分比为
∴八年级成绩优秀的所占的百分比为，
∴八年级成绩达到优秀的学生约有（人），
七年级成绩达到优秀的学生约有人，
∴（人），
答：七、八两个年级此次竞赛成绩达到优秀的学生共约有165人．
（3）解：八年级获得参加挑战赛的机会的学生人数约为：
（人），
七年级获得参加挑战赛的机会的学生人数约为：（人），
∵，
∴七年级获得参加挑战赛的机会的学生人数更多．
2．（23-24八年级下·江苏南通·期末）某校举办“经典阅读”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据（成绩）进行了收集、整理、分析，给出如下部分信息：
【收集数据】甲班10名学生竞赛成绩：85、78，86，79，72，91，79，71，70，89
乙班10名学生竞赛成绩：85，80，77，85，80，73，90，74，75，81
【整理数据】
班级
甲班 6 3 1
乙班 4 5 1
【分析数据】
班级 平均数 中位数 众数
甲班 80 a b
乙班 80 80 80，85
【解决问题】根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空：________，________；
(2)请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班成绩比较好，简要说明理由；
(3)甲班共有学生45人，乙班共有学生40人，按竞赛规定，80分及80分以上的学生可以获奖，估计这两个班可以获奖的总人数是多少？
【答案】(1)79，79
(2)见解析
(3)42人
【分析】本题主要考查了中位数，平均数，方差，用方差判断稳定性，用样本估计总体等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
（1）根据中位数，众数的定义进行求解即可；
（2）根据中位数及众数进行求解即可；
（3）分别用甲乙两个班的人数乘以样本中对应班级成绩在80分及以上的人数占比即可得到答案；
【详解】（1）解：甲班成绩从小到大排列为：70，71，72，78，79，79，85、86，89，91，
故可得：中位数，众数，
故答案为：79，79；
（2）解：乙班成绩比较好，
理由如下：
两个班的平均数相同，乙班的中位数、众数高于甲班，所以乙班成绩比较好；
（3）解：(人)，
答：估计这两个班可以获奖的总人数大约是42人．
3．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）为普及人工智能，某校组织七、八年级“人工智能知识竞赛”，满分10分，竞赛成绩均为整数，8分及以上为优秀．
【收集整理数据】测试结果显示所有学生成绩都不低于4分，从两个年级中各随机抽取20名学生的成绩．
【描述数据】根据抽取的学生成绩，绘制出了如下统计图．
【分析数据】两个年级样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 8.5 a 7 2.24
八年级 8.5 8 b 2.74
根据以上信息，解答下列问题：
(1)______，______；
(2)补全条形统计图；
(3)该校七年级有400人参加测试，八年级有500人参加测试，估计七八年级测试成绩优秀的共有______人；
(4)从平均数、中位数、众数和方差中，任意选一个统计量，解释其在本题中的意义．
【答案】(1)，；
(2)见解析；
(3)
(4)见解析
【分析】本题考查了平均数、中位数、众数和方差的定义及意义、条形统计图与扇形统计图相关联，用样本估计总体．
（1）根据中位数和众数的定义求解即可；
（2）先求出七年级得分为9分的人数，再补全条形统计图即可；
（3）分别用七、八年级的学生人数乘以优秀成绩的学生占比，相加即可；
（4）根据平均数、中位数、众数和方差的意义分析即可．
【详解】（1）解：由条形统计图可知，七年级得分为分有10人，得分8分有人，
抽取人数为20人，
中位数为第10、11名的得分平均数，
；
由扇形统计图可知，八年级得分为8分的人数最多，占，
，
故答案为：，；
（2）解：七年级得分为9分的人数为（人），
补全条形统计图如下：
（3）解：（人），
即估计七八年级测试成绩优秀的共有人；
（4）解：从平均数来看，七、八年级学生得分的平均数相同；
从中位数来看，七年级至少有一半学生的得分不低于分，八年级至少有一半学生的得分不低于分；
从众数来看，七年级学生得分为7分的人数最多，八年级的得分为8分的人数最多；
从方差来看，七年级的学生成绩更稳定（任选一个）．
