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第二十四章 相似三角形 单元测试卷（提升版）
一、单选题
1．若 ，且，则的值是（ ）
A．14 B．42 C．7 D．
【答案】D
【分析】本题考查了比例的性质，解一元一次方程，求代数式的值，由比例系数表示是解题的关键．将用表示出来，得到，再将求出的结果与联立求出的值 ，最后把所求的代入所求的代数式即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
解得，
，
故选：D．
2．下列各组图形中，一定相似的是（ ）
A．两个矩形 B．两个菱形 C．两个正方形 D．两个等腰梯形
【答案】C
【分析】根据相似图形的定义，四条边对应成比例，四个角对应相等，对各选项分析判断后利用排除法解答．
【详解】A、两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故不符合题意；
B、两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；
C、两个正方形，对应角相等，对应边一定成比例，一定相似，故符合题意；
D、两个等腰梯形同一底上的角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了相似形的定义，熟练掌握矩形、等腰梯形、菱形、正方形的性质是解题的关键．
3．如图，在中，点、分别在边、上，且不与的顶点重合，下列条件中，一定能得到的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据两直线被第三条线段所截，对应线段成比例，两直线平行逐项判断即可．
【详解】解：A．由，可得出，故由不能得到，该选项不符合题意；
B．由，可得出，故该选项符合题意；
C．由不一定能得到，故该选项不符合题意；
D．由，可得出，故由不能得到，该选项不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查对应线段成比例，两直线平行．掌握如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三条边是解题关键．
4．如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（ ）
A． B．点C、点O、点C′三点在同一直线上
C． D．
【答案】C
【分析】直接利用位似图形的性质进而分别分析得出答案．
【详解】∵以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，
∴，点C、点O、点C′三点在同一直线上，，
，
∴C选项错误，符合题意．
故选C．
【点睛】此题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的性质是解题关键．
5．已知顶角为的等腰，那么下列结论正确性描述正确的是（ ）
（1）若有一直线将分成两个等腰三角形，被分出的等腰三角形中有一个与相似；
（2）若有一直线将分成两个三角形，被分出的一个三角形与相似，那么这两个被分出的三角形都是等腰三角形．
A．（1）（2）都正确 B．（1）（2）都错误
C．（1）正确，（2）错误 D．（1）错误，（2）正确
【答案】A
【分析】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定，根据等边对等角得，再结合题意作出图形，根据等腰三角形的性质，相似三角形的判定，进行判定即可．熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
【详解】解：如图，，，
∴，
（1）若有一直线将分成两个等腰三角形，
当直线经过点时，显然不可能存在等腰三角形，不符合题意；
则直线经过点或，若直线将分成两个等腰三角形，则，，
∴，，
∴，
直线经过点时，亦是如此，故（1）正确；
（2）若有一直线将分成两个三角形，被分出的一个三角形与相似，
当直线经过点时，显然不可能存在等腰三角形，则不可能与相似，不符合题意；
则直线经过点或，若直线将分成两个三角形，即，，
当时，，，
当与相似，点与点重合不符合题意，
∴，则为等腰三角形，此时，也是等腰三角形，故（2）正确；
综上，（1）（2）都正确，
故选：A．
6．如图，在中，点D是在边上一点，且，，，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由，求得的值，然后结合平面向量的三角形法则求得的值．
【详解】解：∵，
∴．
∵，
∴．
又，
∴．
故选：D．
【点睛】此题考查了平面向量的知识，解此题的关键是注意平面向量的三角形法则与数形结合思想的应用．
二、填空题
7．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点将线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的一段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若，是边的两个“黄金分割”点，则的面积为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查黄金分割，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，理解“黄金分割”点的定义是解题关键．
过点作于点，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理求出，根据线段“黄金分割”点的定义得到，的长，求出的长，最后由三角形面积公式解答即可．
【详解】解：如图，过点作于点，
，，
，
在中，，
，是边的两个“黄金分割”点，
，
，
．
故答案为：．
8．一个矩形，长大于宽，沿长边对折，所得矩形与原矩形相似，则原矩形的长与宽之比为 ．
【答案】
【分析】本题考查了相似多边形的性质；设原矩形长为，宽为，根据相似多边形的性质，有，进而即可求解．
【详解】不妨设原矩形长为，宽为，
因为对折后与原矩形相似，则必定是沿着长的垂直平分线对折，且对折后矩形的两边长为和．
根据相似多边形的性质，有，
所以，则．
故答案为：．
9．如图，与位似，点O是它们的位似中心，其中，则与的面积之比是 ．
【答案】
【分析】本题考查了位似变换，相似三角形的性质等知识，利用相似三角形的性质：相似三角形的面积比相似比的平方，解题的关键是理解题意，灵活运用相似三角形的性质．
【详解】解：∵和位似，
∴，
∵，
∴
∴，
故答案为：．
10．如图，已知，，，，那么用表示 ．
【答案】
【分析】本题考查了向量的运算、相似三角形的判定与性质，连接，交于点G，先根据求得，，，根据相似三角形的性质可得，，即可得出，由此即可得．
【详解】解：连接，交于点G，
∵，，
∴，，，
，，
∴，，
，
∴
∴
，
故答案为：．
11．如图，在梯形中，，，对角线与交于点O，设，，那么 ．（结果用、表示）
【答案】
【分析】由，即可证得，又由，即可求得和，再运用向量的和差即可求得．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查向量的和差、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握数形结合思想的应用以及明确向量是有方向的是解题的关键．
12．如图，在菱形中，，点E、O分别再边、上，，对角线，点Q为上一动点，半径为1．若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的性质与判定，属于综合题，解题的关键是找到G，P，Q，O四点共线．
根据对称，得到，又因为，圆的半径为1，所以G，P，Q，O四点共线，通过相似得出的长．
【详解】解：作点E关于的对称点G，
∴，
∵，，
∴G，P，Q，O四点共线，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
13．一次函数的图象沿直线l翻折后与x轴重合，则直线l的函数表达式是 ．
【答案】或
【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，勾股定理，能够明确题意，求得直线l与y轴的交点是解题的关键．设直线与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，则，利用勾股定理求得，即可求得C 点的坐标，进一步求得点D的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线的函数表达式，进一步求得过点A垂直于的直线解析式，即可求得直线l的表达式．
【详解】解：如图，
设直线与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，直线l与y轴的交点为D，B关于直线l的对称点为C，
令，则，
解得，
∴， 令，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线l为，则，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴直线l为，
代入A的坐标得，，
解得，
∴直线l的函数表达式是，
过点A作，交y轴于点E，
则，
∴，
，
，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线为，
代入A的坐标得，，
解得，
∴直线为，
∴直线l的函数表达式是或．
故答案为或．
14．如图，已知点P是边长为10的正方形内的一点，且，若在射线上有一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与相似，那么 ．
【答案】8或
【分析】本题考查相似三角形的判定，正方形的性质，关键是要分两种情况讨论．由余角的性质推出，当时，，当时，，两种情况下，分别求出的长，即可得到答案．
【详解】解：四边形是正方形，
，，
，
，
．
当时，，
，
，
当时，，
，
，
以点，，为顶点的三角形与相似，那么的长是8或．
故答案为：8或．
15．如图，已知矩形中，，，点在边上，连接，沿折叠，点落在点处，连接，则长度的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、矩形的性质、平行四边形的判定与性质．熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
结合题意，当点和点重合时，取最小值，过点作交于点，过点作交于点，根据轴对称和矩形性质，得到，，根据相似比性质，通过证明四边形为平行四边形，求出；当取最小值时，长度取最小值．
【详解】解：∵，，点在边上，连接，沿折叠，点落在点处，
∴，
如下图，当点和点重合时，取最小值，
过点作交于点，过点作交于点，
∴，，
∵沿折叠矩形使点C落在点E处，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，，
，
，
，
∴，，
，，
∴，，，，，，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
当取最小值时，长度取最小值，长度的最小值为，
故答案为：．
16．如图，在中，点E在边上，已知，添加一个条件，使．你添加的条件是 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】此题考查了本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．已知，得到，则可以再添加从而利用有两组角对应相等的两个三角形相似来判定或添加夹此角的两边对应成比例也可以判定．
【详解】解：添加的条件是，
，
，
，
，
故答案为：（答案不唯一）．
17．如图，正方形的边长为，是的中点，是射线上一点（不与点重合），且，则的长为 ．
【答案】
【分析】延长，，交点为，过点作，交直线于点，连接．由正方形的性质及勾股定理得．再根据平行线分线段成比例证明为的中点，为的中点，从而得．最后利用勾股定理求得，．
【详解】解：如图，延长，，交点为，过点作，交直线于点，连接．
∵四边形是正方形，
∴，．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴．
同理可证：为的中点，
∴．
∵为正方形的对角线，
∴，
∴．
又∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质、平行线分线段成比例以及等腰三角形的判定及性质，熟练掌握勾股定理及正方形的性质是解题的关键．
18．如图，的顶点坐标是，，，平面内点使得与相似，则不与点重合的点有 个．
【答案】7
【分析】本题考查相似三角形的判定．根据题意，可分情况讨论，具体见详解．
【详解】解：如图所示，当时，；
如图所示，当，时，；
如图所示，当，时，；
如图所示，当，时，；
如图所示，当，时，；
如图所示，当，时，；
如图所示，当，时，．
综上所述，符合题意的点的位置有7个．
故答案为：7．
三、解答题
19．已知、．
(1)化简：．
(2)求作，使．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了实数与向量相乘，向量的线性运算．熟练掌握向量的运算是解题的关键．
（1）先计算实数与向量相乘，然后进行线性运算即可；
（2）根据，作图即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：∵，
∴，
如图，即为所求；
20．如图，点和在平面直角坐标系中，点的坐标是，根据下列要求，解答相应的问题：
(1)作关于轴对称的，直接写出点的对应点的坐标；
(2)作关于点成位似中心的位似，与的相似比为，且这两个三角形在点同侧，直接写出点的对应点的坐标．
【答案】(1)作图见详解，
(2)作图见详解，
【分析】本题主要考查了画位似图形、轴对称图形等知识，理解位似图形的性质是解答本题的关键．
（1）根据轴对称的性质作图即可，再结合网格坐标，可得出的坐标；
（2）根据与的相似比为，且这两个三角形在点同侧，连接并延长至D点，使得，连接并延长至E点，使得，连接并延长至F点，使得，依次连接D、E、F点即可得，问题随之得解．
【详解】（1）如图，
即为所求，
（2）如图，
即为所求，
结合图形，点的对应点的坐标．
21．如图，平行四边形中，点E是上的一点，，和相交于点F．
(1)求的值；
(2)如果，请用表示．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，平面向量，解决本题的关键是理解平面向量．
（1）由平行四边形的性质得，从而，利用相似三角形的性质得比例式，从而解得的值；
（2）先求出再利用向量的加法可得答案．
【详解】（1）解：（1）四边形是平行四边形，
，，
，
，
，，
．
；
（2）四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
．
22．如图，在锐角三角形中，．以点为圆心长为半径画弧，交边于点，连接．点是延长线上的一点，连接，若平分．
(1)求证：．
(2)当时，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了角平分线的定义、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由题意得：，由等边对等角得出，从而得出，再由角平分线的定义得出，即可证明；
（2）由题意得出，由相似三角形的性质得出，从而即可得解．
【详解】（1）证明：由题意得：，
，
，
平分，
，
；
（2）解：，
，
，
，
．
23．如图，在中，，，．连接交于点，求的值 ．
【答案】
【分析】本题主要考查比例线段的基本性质，根据共高两三角形的底边之比等于面积比将线段的比转化为面积的比是解题的关键．
【详解】解： 如图，连接、，
则，
，，，
，，，，
．
24．如图，，于点D，，交于点P，．若，求的长．
【答案】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线分线段成比例的应用，证明，结合，可得，，从而得到，据此可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
25．已知是等腰直角三角形，，D为平面内一点．
(1)如图1，当D点在的中点时，连接，将绕点D逆时针旋转，得到，若，求的周长；
(2)如图2，当D点在外部时，E、F分别是的中点，连接，将绕E点逆时针旋转得到，连接，若，请探究之间的数量关系并给出证明；
(3)如图3，当D在内部时，连接，将绕点D逆时针旋转，得到，若经过中点F，连接，G为的中点，连接并延长交于点H，当最大时，请直接写出的值．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
(3)
【分析】（1）过点E作交的延长线于H，分别求出求出的长，即可得到答案；
（2）连接，过点F作交于H，证明， 则，证明是等腰直角三角形，得到，，证明， 则，由即可证明结论；
（3）设交于点M，作中点P，连接，作中点Q，连接，证明，则，设，则，在中，，，当A、Q、G三点共线时，，取得最大值，证明，则，得到，即可得到答案．
【详解】（1）解：过点E作交的延长线于H，如图1，
∵点D是的中点，且，
∴，
在中，，
∴，，
由旋转得： ，，
即，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴的周长；
（2）猜想：，理由如下：
如图2，连接，过点F作交于H，
∵是等腰直角三角形，E、F分别是的中点，
∴，
∴，
由旋转得，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）设交于点M，作中点P，连接，作中点Q，连接，如图，
∵将绕点D逆时针旋转，得到，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∵点P是的中点，
∴，
∵Q是的中点，G是的中点，
∴是的中位线，
∴，，
设，则，
在中，，
，
当A、Q、G三点共线时，
，取得最大值，
又∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∵F是的中点，G是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的值为．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识，添加合适的辅助线是解题的关键．中小学教育资源及组卷应用平台
第二十四章 相似三角形 单元测试卷（提升版）
一、单选题
1．若 ，且，则的值是（ ）
A．14 B．42 C．7 D．
2．下列各组图形中，一定相似的是（ ）
A．两个矩形 B．两个菱形 C．两个正方形 D．两个等腰梯形
3．如图，在中，点、分别在边、上，且不与的顶点重合，下列条件中，一定能得到的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（ ）
A． B．点C、点O、点C′三点在同一直线上
C． D．
5．已知顶角为的等腰，那么下列结论正确性描述正确的是（ ）
（1）若有一直线将分成两个等腰三角形，被分出的等腰三角形中有一个与相似；
（2）若有一直线将分成两个三角形，被分出的一个三角形与相似，那么这两个被分出的三角形都是等腰三角形．
A．（1）（2）都正确 B．（1）（2）都错误
C．（1）正确，（2）错误 D．（1）错误，（2）正确
6．如图，在中，点D是在边上一点，且，，，那么等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点将线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的一段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若，是边的两个“黄金分割”点，则的面积为 ．
8．一个矩形，长大于宽，沿长边对折，所得矩形与原矩形相似，则原矩形的长与宽之比为 ．
9．如图，与位似，点O是它们的位似中心，其中，则与的面积之比是 ．
10．如图，已知，，，，那么用表示 ．
11．如图，在梯形中，，，对角线与交于点O，设，，那么 ．（结果用、表示）
12．如图，在菱形中，，点E、O分别再边、上，，对角线，点Q为上一动点，半径为1．若，则 ．
13．一次函数的图象沿直线l翻折后与x轴重合，则直线l的函数表达式是 ．
14．如图，已知点P是边长为10的正方形内的一点，且，若在射线上有一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与相似，那么 ．
15．如图，已知矩形中，，，点在边上，连接，沿折叠，点落在点处，连接，则长度的最小值为 ．
16．如图，在中，点E在边上，已知，添加一个条件，使．你添加的条件是 ．
17．如图，正方形的边长为，是的中点，是射线上一点（不与点重合），且，则的长为 ．
18．如图，的顶点坐标是，，，平面内点使得与相似，则不与点重合的点有 个．
三、解答题
19．已知、．
(1)化简：．
(2)求作，使．
20．如图，点和在平面直角坐标系中，点的坐标是，根据下列要求，解答相应的问题：
(1)作关于轴对称的，直接写出点的对应点的坐标；
(2)作关于点成位似中心的位似，与的相似比为，且这两个三角形在点同侧，直接写出点的对应点的坐标．
21．如图，平行四边形中，点E是上的一点，，和相交于点F．
(1)求的值；
(2)如果，请用表示．
22．如图，在锐角三角形中，．以点为圆心长为半径画弧，交边于点，连接．点是延长线上的一点，连接，若平分．
(1)求证：．
(2)当时，求的值．
23．如图，在中，，，．连接交于点，求的值 ．
24．如图，，于点D，，交于点P，．若，求的长．
25．已知是等腰直角三角形，，D为平面内一点．
(1)如图1，当D点在的中点时，连接，将绕点D逆时针旋转，得到，若，求的周长；
(2)如图2，当D点在外部时，E、F分别是的中点，连接，将绕E点逆时针旋转得到，连接，若，请探究之间的数量关系并给出证明；
(3)如图3，当D在内部时，连接，将绕点D逆时针旋转，得到，若经过中点F，连接，G为的中点，连接并延长交于点H，当最大时，请直接写出的值．
