2023-2024学年广东省湛江市高二（下）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年广东省湛江市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.过和两点的直线的斜率是( )
A. B. C. D.
2.用最小二乘法得到一组数据的线性回归方程为，若，则( )
A. B. C. D.
3.若圆：被直线：平分，则( )
A. B. C. D.
4.函数的导函数的图像如图所示，以下命题正确的是( )
A. 是函数的最小值
B. 是函数的极值
C. 在区间上不单调
D. 在处的切线的斜率大于
5.某学校对本校学生的课外阅读进行抽样调查，抽取名女生，名男生调查，结果形成以下列联表，通过数据分析，认为喜欢课外阅读与学生性别之间( )
喜欢课外阅读 不喜欢课外阅读 合计
男生
女生
合计
参考数据及公式如下：
A. 不能根据小概率的的独立性检验认为两者有关
B. 根据小概率的的独立性检验认为两者有关
C. 根据小概率的的独立性检验认为两者有关
D. 根据小概率的的独立性检验认为两者无关
6.学校食堂的一个窗口共卖种菜，甲、乙名同学每人从中选一种或两种，且两人之间不会互相影响，则不同的选法种数为( )
A. B. C. D.
7.如图，在三棱锥中，，，，为的中点，为的中点，则线段的长度为( )
A.
B.
C.
D.
8.定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫作该数列的方公差设是由正数组成的等方差数列，且方公差为，，则数列的前项和为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等比数列的公比为，前项和为，若，，则( )
A. B. C. D.
10.已知甲口袋中装有个红球，个白球，乙口袋中装有个红球，个白球，这些球只有颜色不同先从甲口袋中随机取出个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出个球记从甲口袋中取出的球是红球、白球分别为事件、，从乙口袋中取出的球是红球为事件，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
11.如图，在棱长为的正方体中，点是线段上的点，点是线段上的一点，则下列说法正确的是( )
A. 存在点，使得平面
B. 当点为线段的中点时，点到平面的距离为
C. 点到直线的距离的最小值为
D. 当点为棱的中点，存在点，使得平面与平面所成角为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.展开式中项的系数为______．
13.已知，若为奇函数，则 ______．
14.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，若，，则的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记递增的等差数列的前项和为，已知，且．
Ⅰ求和；
Ⅱ设，求数列的前项和．
16.本小题分
四棱锥中，平面，底面是正方形，，点是棱上一点．
求证：平面平面；
当为中点时，求二面角的正弦值．
17.本小题分
已知，分别为椭圆：的左、右焦点，为椭圆上的一点．
若点的坐标为，求的面积；
若点的坐标为，且是钝角，求横坐标的范围．
18.本小题分
为营造浓厚的全国文明城市创建围，积极响应创建全国文明城市号召，提高对创城行动的责任感和参与度，学校号召师生利用周末参与创城志愿活动高二班某小组有男生人，女生人，现从中随机选取人作为志愿者参加活动．
求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率；
记参加活动的女生人数为，求的分布列及期望；
若志愿活动共有卫生清洁员、交通文明监督员、科普宣传员三项可供选择每名女生至多从中选择项活动，且选择参加项或项的可能性均为；每名男生至少从中选择参加项活动，且选择参加项或项的可能性也均为每人每参加项活动可获得个工时，记随机选取的两人所得工时之和为，求的期望．
19.本小题分
已知函数，．
若曲线在处的切线为轴，求的值；
在的条件下，判断函数的单调性；
，若是的极大值点，求的取值范围．
答案和、解析
1.
【解析】解：由题意得：直线的斜率．
故选：．
2.
【解析】解：，，
线性回归方程一定过点，
，
．
故选：．
3.
【解析】解：由题意得圆心在直线：上，
则，解得．
故选：．
4.
【解析】解：由图可知，当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故是函数的最小值，也是函数的极小值，
在区间上单调递增，
在处的切线的斜率大于，即、、C错误，D正确．
故选：．
5.
【解析】解：由数表知，，
而，
所以根据小概率值的独立性检验认为两者有关．
故选：．
6.
【解析】解：甲和乙的选择方法分别有种方法，
所以甲和乙不同的选择方法有种．
故选：．
7.
【解析】解：由题意得，
故，
，
则．
故选：．
8.
【解析】解：依题意，，即是公差为的等差数列，而，
于是，即，
则，
所以数列的前项和为：．
故选：．
9.
【解析】解：依题，，解得，故A错误，B正确；
则，
，故C错误，D正确．
故选：．
10.
【解析】解：对于，由于甲口袋中装有个球，其中有个红球，所以，故A正确；
对于，若从甲口袋中取出的球是白球，则此时乙口袋中有个红球，个白球，从而此条件下从乙口袋中取出的球是红球的概率为，故B错误；
对于，若从甲口袋中取出的球是红球，则此时乙口袋中有个红球，个白球，从而此条件下从乙口袋中取出的球是红球的概率为，所以，故C正确；
对于，由于甲口袋中装有个球，其中有个白球，所以，结合以上分析，
所以，故D正确．
故选：．
11.
【解析】解：对选项，以，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建系如图：
则根据题意可得，，，，，
设，
所以，，，
假设存在点，使得平面，
则，，解得，
所以存在点，使得平面，此时点与点重合，故A正确；
对于，点为线段的中点时，，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，又，
故点到平面的距离为，故B正确；
对选项，，，
则点到直线的距离为，
故当时，即点为中点时，
此时点到直线的距离最小，且最小值为，故C错误；
对选项，点为线段的中点时，，
则，，
设平面的一个法向量为，由，，
可得，取，则，
设，，，
设平面的一个法向量为，由，，
可得，取，则，
若存在点，使得平面与平面所成角为，
则，
化简得，解得或，
由于，所以，故D正确．
故选：．
12.
【解析】解：展开式的通项公式为，
当时，，
所以，即项的系数为．
故答案为：．
13.
【解析】解：根据题意，，则，
若为奇函数，则，
变形可得，必有．
故答案为：．
14.
【解析】解：如图，在中，，设，
由正弦定理得，则，
所以由双曲线的定义可知，，
故，在中，
由余弦定理可得，解得，
所以在中，，，，
，解得，
所以离心率．
故答案为：．
15.解：Ⅰ设数列的公差为，
因为，所以，
由得，，
所以，解得，
所以，
所以，．
Ⅱ由Ⅰ得，，
所以．
【解析】Ⅰ结合等差数列前项和的性质与通项公式，求出公差与，再由等差数列的通项公式与前项和公式，得解；
Ⅱ采用裂项求和法，即可得解．
16.证明：因为平面，平面，
所以，
因为底面是正方形，所以，
又，、平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面．
解：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，
所以，，
由图知，二面角为锐角，
所以二面角的大小为，
故二面角的正弦值为．
【解析】由平面，知，结合，可证平面，再由面面垂直的判定定理，即可得证；
以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角，即可得解．
17.解：因为点在椭圆上，
所以，
因为，所以，
因为，，所以，所以，，
所以；
因为点在椭圆上，所以，
由余弦定理得：
，
因为是钝角，所以，
又因为，所以，解得，
故横坐标的范围为．
【解析】代入法求得值，然后求出焦点坐标后可得三角形面积；
由余弦定理可得．
18.解：设“有女生参加活动”为事件，“恰有一名女生参加活动为事件，
则，，
所以；
依题意知服从超几何分布，
所以，，，
所以的分布列为：
所以；
设一名女生参加活动可获得工时数为，一名男生参加活动可获得工时数为，
则的所有可能取值为，，的所有可能取值为，，
，，
，，
有名女生参加活动，则男生有名参加活动，，
所以，
即两人工时之和的期望为个工时．
【解析】根据条件概率公式可求出结果；
根据超几何分布概率公式可求出结果；
先求出一名女生和一名男生参加活动可获得工时的数学期望，再根据期望的性质可求出结果．
19.解：根据题意，由已知，则，
由于曲线在处的切线为轴，
所以，
所以；
当时，，令，
则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
又当时，恒成立，，，
所以当时，时，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
由已知，
令，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
又当时，恒成立，且，
当时，，即在上有且只有一个零点，设为，
当，即，解得，
此时若，解得，在上单调递减，
若，解得或，在，上单调递增，
此时在处取极小值，不符合题意，舍去；
当，即，解得，
此时若，解得，在上单调递减，
若，解得或，在，上单调递增，
此时在处取极大值，符合是的极大值点，
当时，即，解得，
此时恒成立，无极值点，
综上所述：的取值范围为．
【解析】求导，然后根据列式计算即可；
求导，然后通过二次求导确定导函数的正负，进而确定函数的单调性；
求导，然后因式分解，确定导函数的零点，讨论零点大小，进而确定极值点．
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