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第二十四章《一元二次方程》单元测试
考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共16个小题，共38分，1~6小题每题3分，7~16小题每题2分.每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
2．用求根公式解一元二次方程时，，的值是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
3．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若关于 的一元二次方程 有一个实数根为 ，则 的值为（ ）
A．1 B．3 C．-1 D．-2
5．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法判断
6．已知方程的两根是，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ）
A．2 B． C．2或 D．
9．已知，（x为任意实数），则关于P，Q的大小关系判断正确的是（ ）
A． B． C． D．无法确定
10．根据下列表格的对应值，估计方程的一个解的范围是（ ）
x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
A． B． C． D．
11．已知a、b、c是的三条边的长，那么方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的负实根 D．只有一个实数根
12．甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，若有一人感染了“甲流”，若得不到有效控制，则每轮传染平均一个人传染x人，经过两轮传染后共有256人感染了“甲流”．则关于x的方程为（ ）
A． B．
C． D．
13．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
14．若是关于的方程的根，则的值为（ ）
A． B．15 C． D．16
15．已知实数满足，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
16．关于x的一元二次方程，下列说法错误的是（ ）
A．若，则
B．若c是方程的一个实数根，则一定有成立
C．若方程没有实数根，则方程必有两个不相等的实数根
D．若m是方程的一个实数根，则
二、填空题（本大题共3个小题，共10分；17小题2分，18~19小题各4分，每空2分，答案写在答题卡上）
17．一元二次方程根的判别式的值为 ．
18．某中学计划在一块长，宽的矩形空地上修建三块全等的矩形草坪，如图所示，余下空地修建成同样宽为a的小路．
（1）若，则草坪总面积为 平方米．
（2）若草坪总面积恰好等于小路总面积，那么，此时的路宽a是 米．
19．已知实数，满足，试求的值．
解：设，原方程可化为，即，解得．
∵，∴．上面的这种方法称为“换元法”．
请根据以上阅读材料，解决问题．
（1）若实数，满足，则的值为 ．
（2）若一元二次方程的两根分别为，3，则方程的根是 ．
三、解答题（本大题共7个小题，20~22小题各9分，23~24小题各10分，25小题12分，26小题13分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．解方程：
(1)； (2)．
21．已知的两边、的长是关于的一元二次方程的两个根，第三边的长是5．
(1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)当为何值时，是以为斜边的直角三角形．
22．据调查，年月底某景点累计接待游客为万人次，但年月底，该景点火出圈了，接待游客突破万人次．景点附近某宾馆有间房供游客居住，当每间房每天定价为元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出元的费用．
(1)求年月底到年月底该景点累计接待游客的月平均增长率；
(2)为了尽可能让游客享受更低的单价，当房价定为多少元时，宾馆当天利润为元．
23．已知关于x的一元二次方程
(1)若该方程有一个根是，求k的值．
(2)若该方程有两个实数根，求k的取值范围．
(3)若该方程的两个实数根满足 ，求k的值．
24．综合实践：如何用最少的材料设计花园？
【情境】如图，小王打算用篱笆围一个矩形花园，其中一边靠墙，墙长为10米，现可用的篱笆总长为20米，设的长为x米．
【项目解决】
目标1：确定面积与边长关系．
当篱笆全部用完，且围成矩形花园的面积为32平方米时，求的长．
目标2：探究最少的材料方案．
现要围面积为平方米的矩形花园，设所用的篱笆为m米．
（1）若米，能成功围成吗？若能，求出的长；若不能，请说明理由．
（2）若要成功围成，则m的最小值为______米，此时，______米．
25．如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
(1)当时，写出该“勾系一元二次方程”；
(2)求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根；
(3)如图，若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求的面积．
26．如图，中，，，．
(1)如图1，点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动），点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动）．如果点，分别从，两点同时出发．
①经过多少秒钟，的面积等于；
②线段能否将分成面积为的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由；
(2)如图2，若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，，同时出发，直接写出几秒后，的面积为．中小学教育资源及组卷应用平台
第二十四章《一元二次方程》单元测试
考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共16个小题，共38分，1~6小题每题3分，7~16小题每题2分.每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解并掌握一元二次方程的定义是解题关键．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论．
【详解】解：A. ，不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意；
B. ，当时不是一元二次方程，不符合题意；
C. ，整理可得，是一元二次方程，符合题意；
D. ，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意．
故选：C．
2．用求根公式解一元二次方程时，，的值是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【分析】本题主要考查解一元二次方程的一般形式，认知一次项系数二次项系数常数项是解题的关键．按照未知数的降幂排列，据此可得答案．
【详解】解：，
，
则，，，
故选：C
3．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查解一元二次方程-配方法，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．
方程移项变形后，利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断．
【详解】解：，
移项，得，
配方，得，
即，
故选：C．
4．若关于 的一元二次方程 有一个实数根为 ，则 的值为（ ）
A．1 B．3 C．-1 D．-2
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程解的定义是解题的关键．将代入原方程即可解决问题．
【详解】解：将代入原方程得，
，
解得．
故选：A
5．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法判断
【答案】A
【分析】本题考查了根的判别式，根据方程根的判别式的符号确定方程解的情况是解题的关键．
首先转化成一般式，然后根据根的判别式求解即可．
【详解】∵
∴
∴
∴有两个不相等的实数根．
故选：A．
6．已知方程的两根是，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键；由根与系数的关系得，再直接代入即可求解．
【详解】解：∵的两根是，
，
．
故选：D．
7．在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义．根据求根公式解答．
【详解】解：由知：，，．
所以该一元二次方程为：．
故选：A．
8．若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ）
A．2 B． C．2或 D．
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为．由一元二次方程的定义，可知；一根是，代入可得，即可求答案．
【详解】解：是关于的一元二次方程，
，即
由一个根，代入，
可得，解之得；
由得；
故选A
9．已知，（x为任意实数），则关于P，Q的大小关系判断正确的是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键．将变形为，再结合非负性判断即可．
【详解】解：，
，
故选：A．
10．根据下列表格的对应值，估计方程的一个解的范围是（ ）
x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程解的范围，从表格中选择合适的数据是解题关键．应该在与之间，从表中选择合适的数据即可．
【详解】解：由表中数据得：
当时，，
当时，，
使方程成立的一个解应该在与之间，
．
故选C
11．已知a、b、c是的三条边的长，那么方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的负实根 D．只有一个实数根
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、三角形的三边关系，解本题的关键在熟练掌握根据一元二次方程根与系数的关系，判断出方程有两个不等的负实根．
根据三角形三边关系得到，然后利用一元二次方程根与系数的关系和根的判别式求解即可．
【详解】解：在方程中，
可得：，
∵a、b、c是的三条边的长，
∴．，即，
∴，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
又∵两根的和是，两根的积是，
∴方程有两个不等的负实根．
故选：C．
12．甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，若有一人感染了“甲流”，若得不到有效控制，则每轮传染平均一个人传染x人，经过两轮传染后共有256人感染了“甲流”．则关于x的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意，第一轮传染了x人，第二轮传染了人，根据“经过两轮传染后共有256人感染”列方程求解即可．
【详解】解：设每轮传染平均一个人传染x人，
根据题意，得，
故选：C．
13．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及判别式的应用，根据关于的一元二次方程有实数根，得出，再解出的取值范围，即可作答．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根
∴
∴且
故选：C
14．若是关于的方程的根，则的值为（ ）
A． B．15 C． D．16
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的解、求代数式的值，由题意得出，从而得到，整体代入计算即可得出答案．
【详解】解：∵是关于的方程的根，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
15．已知实数满足，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查代数式求值，涉及一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系等知识，由题意得到是一元二次方程的两个实数根，再由根与系数的关系得到，再化简代值即可得到答案．
【详解】解：实数满足，，
是一元二次方程的两个实数根，
，
，
故选：B．
16．关于x的一元二次方程，下列说法错误的是（ ）
A．若，则
B．若c是方程的一个实数根，则一定有成立
C．若方程没有实数根，则方程必有两个不相等的实数根
D．若m是方程的一个实数根，则
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根是解题的关键．
根据一元二次方程根的判别式及根的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、若，则是方程的解，由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：，正确，故此选项不符合题意；
B、是方程的一个根，，，当时，等式成立，当，，等式仍然成立，故不一定成立，故一定有成立错误，故此选项符合题意；
C、∵方程没有实数根，，，方程的判别式，方程必有两个不相等的实根，正确，故此选项不符合题意；
D、若m是一元二次方程的根，由求根公式可得：，，，正确，故此选项不符合题意；
故选：B．
二、填空题（本大题共3个小题，共10分；17小题2分，18~19小题各4分，每空2分，答案写在答题卡上）
17．一元二次方程根的判别式的值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了根的判别式的确定，代入根的判别式进行计算即可，注意首先确定一元二次方程的各项系数及常数项．
【详解】解：∵，，，
∴，
故答案为：4．
18．某中学计划在一块长，宽的矩形空地上修建三块全等的矩形草坪，如图所示，余下空地修建成同样宽为a的小路．
（1）若，则草坪总面积为 平方米．
（2）若草坪总面积恰好等于小路总面积，那么，此时的路宽a是 米．
【答案】 30 1
【分析】本题考查全等图形、代数式求值，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式和方程．
（1）根据题意和图形中的数据，可以用的代数式表示出草坪的面积，然后将的值代入计算即可；
（2）根据草坪总面积恰好等于小路总面积，可以得到关于的一元二次方程，从而可以求得此时的路宽．
【详解】解：（1）由图可得，
草坪的总面积是，
当时，
，
即时，草坪总面积为30平方米，
故答案为：30；
（2）由图可得，
草坪的总面积是，
路的总面积是，
∵草坪总面积恰好等于小路总面积，
，
解得(舍去)，
即此时的路宽为1米，
故答案为：1．
19．已知实数，满足，试求的值．
解：设，原方程可化为，即，解得．
∵，∴．上面的这种方法称为“换元法”．
请根据以上阅读材料，解决问题．
（1）若实数，满足，则的值为 ．
（2）若一元二次方程的两根分别为，3，则方程的根是 ．
【答案】
【分析】本题考查解一元二次方程，掌握换元法是解题的关键：
（1）设，将，转化为，求出的值，进而求出的值即可；
（2）根据题意，得到，解方程即可．
【详解】解：（1）设，则：，
∵，
∴，
解得：（舍去）或，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）∵一元二次方程的两根分别为，3，
∴则方程的根为或（舍去），
∴，
解得：；
经检验，是原方程的解；
故答案为：．
三、解答题（本大题共7个小题，20~22小题各9分，23~24小题各10分，25小题12分，26小题13分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．解方程：
(1)； (2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】（1）
∴或
解得，；
（2）
，，
∴
解得，．
21．已知的两边、的长是关于的一元二次方程的两个根，第三边的长是5．
(1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)当为何值时，是以为斜边的直角三角形．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】本题考查了根的判别式，韦达定理，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据题意直接列出根的判别式，即可证明；
（2）根据韦达定理用表示出，，再利用勾股定理，变式得到，代入即可得到的方程，解之即可得到答案．
【详解】（1）证明：，，
无论为何值，方程总有两个不相等的实数根
（2）解：和是的两个根
，
是以为斜边的直角三角形
，即
解得：，（，不合题意，舍去）
的值为3
22．据调查，年月底某景点累计接待游客为万人次，但年月底，该景点火出圈了，接待游客突破万人次．景点附近某宾馆有间房供游客居住，当每间房每天定价为元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出元的费用．
(1)求年月底到年月底该景点累计接待游客的月平均增长率；
(2)为了尽可能让游客享受更低的单价，当房价定为多少元时，宾馆当天利润为元．
【答案】(1)景点接待游客的年平均增长率为；
(2)当房价定为元时，宾馆当天的利润为元．
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是等量关系，列出方程．
（1）设景点累计接待游客的月平均增长率为，根据年月底和年月底的游客人数列出方程，解之即可；
（2）设房价定为元，根据居住的房间数乘以每间房间的利润等于总利润，列出方程，解之，取较小正数解即可．
【详解】（1）解：设景点累计接待游客的月平均增长率为，
由题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：景点接待游客的年平均增长率为；
（2）设房价定为元时，宾馆当天的利润为元，
由题意得：，
解得：，，
为了尽可能让游客享受更低的单价，
，
答：当房价定为元时，宾馆当天的利润为元．
23．已知关于x的一元二次方程
(1)若该方程有一个根是，求k的值．
(2)若该方程有两个实数根，求k的取值范围．
(3)若该方程的两个实数根满足 ，求k的值．
【答案】(1)或
(2)
(3)
【分析】本题考查一元二次方程的解，根的判别式，以及根与系数的关系：
（1）把代入方程求出的值即可；
（2）根据方程有两个实数根，得到，求解即可；
（3）根据根与系数的关系进行求解即可．
【详解】（1）解：把代入方程得：
解得：或；
（2）由题意，得：，
解得：；
（3）由题意，得：，
∴
，
解得：或（不合题意，舍去）
∴．
24．综合实践：如何用最少的材料设计花园？
【情境】如图，小王打算用篱笆围一个矩形花园，其中一边靠墙，墙长为10米，现可用的篱笆总长为20米，设的长为x米．
【项目解决】
目标1：确定面积与边长关系．
当篱笆全部用完，且围成矩形花园的面积为32平方米时，求的长．
目标2：探究最少的材料方案．
现要围面积为平方米的矩形花园，设所用的篱笆为m米．
（1）若米，能成功围成吗？若能，求出的长；若不能，请说明理由．
（2）若要成功围成，则m的最小值为______米，此时，______米．
【答案】目标1：； 目标2：（1）不能，理由见解析； （2）18，；
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用问题，根据题干找到等量关系，列出方程是解题的关键．
目标1：设的长为x米，根据矩形花园的面积为32平方米，则，由于篱笆全部用完，则，即，解方程即可；
目标2：（1）设的长为x米，根据矩形花园面积为平方米，，所用的篱笆为米，列方程，即，判别式小于零，无解，故不能围成；（2）设所用的篱笆为米，则，即，根据判别式大于等于零，可求得最小值，由此可求出此时的值；
【详解】解：目标1：设的长为x米，
当篱笆全部用完，矩形花园的面积为32平方米，
，
现可用的篱笆总长为20米，且篱笆全部用完，
，即，
解得，，
或，
又 墙长为10米，，不合题意，舍去，
．
目标2：（1） 设的长为x米，
矩形花园面积为平方米，
，
所用的篱笆为米，
，即，
，
方程无解，故不能成功围成．
（2）设所用的篱笆为米，
则，即，
，
，
解得，或（舍去），
故m的最小值为18米，
此时，
解得．
故米．
25．如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
(1)当时，写出该“勾系一元二次方程”；
(2)求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根；
(3)如图，若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求的面积．
【答案】(1)“勾系一元二次方程”为：
(2)见解析
(3)
【分析】（1）先根据勾股定理求出c的值，再代入方程求解即可；
（2）通过判断根的判别式的正负来证明结论；
（3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得c的值，根据完全平方公式求得的值，从而可求得面积．
【详解】（1），
“勾系一元二次方程”为：；
（2）根据题意，得，
“勾系一元二次方程”必有实数根；
（3）当时，有，即，
四边形的周长是，
，即
【点睛】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式的变形求值，一元二次方程的解和一元二次方程根的判别式，正确读懂题意是解题的关键．
26．如图，中，，，．
(1)如图1，点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动），点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动）．如果点，分别从，两点同时出发．
①经过多少秒钟，的面积等于；
②线段能否将分成面积为的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由；
(2)如图2，若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，，同时出发，直接写出几秒后，的面积为．
【答案】(1)①秒或秒；②秒
(2)秒或秒或秒
【分析】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积，
（1）①由三角形的面积公式可求解；
②分两种情况讨论，由题意列出方程可求出答案；
（2）分三种情况：①点在线段上，点在线段上，②点在线段上，点在线段的延长线上时，③点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时，由三角形面积公式可得出答案；
运用分类讨论的思想是解题的关键．
【详解】（1）解：①设经过秒钟，的面积等于，
由题意，，，
∴，
∴，
解得：，，
∴经过秒或秒钟，的面积等于；
②设经过秒，线段能将分成面积为的两部分，由题意得：
1），即：，
∴，
解得：（不合题意，舍去），；
2），即：，
∴，
∵，
此方程无实数根，即这种情况不存在；
综上所述，经过秒时，线段能将分成面积为的两部分；
（2）设经过秒，的面积为，可分三种情况：
①点在线段上，点在线段上时，
此时，，
∴，
∴，
解得：（舍去），；
②点在线段上，点在线段的延长线上时，
此时，，
∴，
∴，
解得：；
③点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时，
此时，，
∴，
∴，
解得：，（舍去）；
综上所述，经过秒或秒或秒后，的面积为．
