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第二十四章《一元二次方程》单元核心知识归纳与题型突破
一、一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
二、一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
三、一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c=0（a≠0），ax22+bx2+c=0（a≠0）．
四、解一元二次方程-直接开平方
形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±；
如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
五、解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
六、解一元二次方程-公式法
（1）把（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
七、解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
八、由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地申清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
九、一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2=后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程
题型一 利用一元二次方程的定义判断是否是一元二次方程
例1．（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可．
【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
B、当时，不是一元二次方程，不符合题意；
C、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
D、是一元二次方程，符合题意；
故选：D．
巩固训练
1．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）下列是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程，由一元二次方程的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、不是方程，故此选项错误，不符合题意；
B、化简后为：，是一元二次方程，故此选项正确，符合题意；
C、化简后为：，不是一元二次方程，故此选项错误，不符合题意；
D、不是整式方程，故此选项错误，不符合题意；
故选：B．
2．（23-24八年级下·山东聊城·期中）下列关于x的方程中一定是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程定义，根据一元二次方程的定义逐个判断即可．解题的关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是”；“二次项的系数不等于”；“整式方程”．
【详解】解：A．，
整理得：，是一元一次方程，故此选项不符合题意；
B．，是一元二次方程，故此选项符合题意；
C．当时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
D．，不是整式方程，故此选项不符合题意．
故选：B．
3．（23-24八年级下·山东烟台·阶段练习）下面关于x的方程中：，，，，，，其中一元二次方程的个数为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．3
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，理解定义是解题的关键．含有个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，叫做一元二次方程，据此进行逐一判断，即可求解．
【详解】解：是一元一次方程，
是一元二次方程，
含有两个未知数，是二元二次方程，
分母中含有未知数，不是一元二次方程，
是一元二次方程，
当时才是一元二次方程，
故其中一元二次方程的个数为2个，
故选：A．
题型二 一元二次方程的一般形式
例2. （23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）将一元二次方程化为一般形式是 ； ， ， ．
【答案】 1
【分析】先移项，把方程化为，从而可得各项的系数．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，，
故答案为：，1，，．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的一般形式，一元二次方程的各项系数，熟记基本概念是解本题的关键．
巩固训练
1．（23-24九年级上·新疆昌吉·阶段练习）一元二次方程的一般形式为 ，二次项为 ，一次项系数为 ，常数项为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程的一般式为（其中a、b、c是常数且），其中叫做二次项，叫做一次项，叫做常数项，a为二次项系数，b为一次项系数，据此可得答案．
【详解】解：一元二次方程的一般形式为，
∴二次项为，一次项系数为，常数项为，
故答案为：；；；．
2．（23-24九年级上·湖北孝感·阶段练习）将方程化为一般形式为 ，其中二次项系数为 ，一次项为 ．
【答案】 6
【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，根据“形如的是一元二次方程，其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项”，进行解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
整理得：，
∴二次项系数为6，一次项为，
故答案为：，6，．
3．（22-23九年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）将方程化为一般形式为 ，其中 ， ， ．
【答案】 1 1
【分析】根据等式性质将方程化为一般形式，得出a、b、c的值即可．
【详解】解：方程化为一般形式为，
∴，，．
故答案为：；1；；．
【点睛】本题主要考出了一元二次方程的一般形式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的一般形式．
题型三 利用一元二次方程的定义求参数
例3.（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）若关于的方程是一元二次方程，则的值是（ ）
A．0 B． C．1 D．
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．理解一元二次方程的定义，需要抓住两个条件：①二次项系数不为0；②未知数的最高次数为2；
结合一元二次方程的定义，可以得到关于的方程和不等式，求解即可得到的值．
【详解】解：关于的方程是一元二次方程，
，
解得．
故选：C．
巩固训练
1.（2024八年级下·安徽·专题练习）关于的方程是一元二次方程，则值为（ ）
A．2或 B．2 C． D．且
【答案】C
【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．
【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴且，
解得．
故选：C．
2.（23-24八年级下·安徽亳州·期中）若是一元二次方程，则的值为（ ）
A．2 B． C．2或 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案．
【详解】解：∵是一元二次方程，
∴，
解得，
故选：B．
3．（23-24八年级下·安徽池州·期末）若关于的方程是一元二次方程，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程，熟记定义是解题关键．
根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数2的整式方程，叫做一元二次方程）即可得．
【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴，
解得，
故答案为：．
题型四 一元二次方程的解求参数的值
例4. （2024·江苏镇江·二模）已知是方程的一个根，则实数c的值是 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，把代入即可求出c的值．
【详解】解：把代入，
可得出，
解得：，
故答案为：2．
巩固训练
1．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）关于的一元二次方程有一个根为0，则的值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】本题主要考查一元二次方程的解及一元二次方程的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，将代入原方程计算即可得到答案．
【详解】解：∵0是方程的根，
∴，
∴，
故选：C．
2.（2024·山东济南·三模）关于的一元二次方程的一个根，则 ．
【答案】0
【分析】本题考查了一元二次方程，把代入方程，解关于的方程即可．
【详解】解：把代入方程
得
解得：
故答案为：．
3.（2024·山东济南·二模）已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值是 ．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的一个根是，将代入原方程得到关于的一元一次方程进而即可解答．本题考查了一元二次方程的根，一元一次方程的解，理解一元二次方程的根是解题的关键．
【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是，
∴将代入方程得：，
解得：，
故答案为：．
题型五 一元二次方程的解求代数式的值
例5. （23-24八年级下·浙江衢州·期中）若m是方程的一个根，则代数式的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了代数式求值，一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
先根据一元二次方程解的定义得到，则，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：是方程的一个根，
，
，
．
故答案为：．
巩固训练
1．（2024·湖南长沙·二模）若关于的一元二次方程（）的解是，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程的解，先根据一元二次方程解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．解题的关键是掌握一元二次方程解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了求代数式的值．
【详解】解：∵关于的一元二次方程（）的解是，
∴，即，
∴，
∴的值是．
故答案为：．
2．（23-24八年级下·江苏南通·期末）若a是一元二次方程的一个根，则的值是 ．
【答案】4
【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，整体思想的应用是本题的关键．
根据一元二次方程解的定义可得，再整体代入求代数式即可．
【详解】解：∵是一元二次方程的一个根，
把代入得，．即．
∴．
故答案为：4．
3．（23-24八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）已知实数是关于的一元二次方程的一个解，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解是指能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先把代入方程得到，变形可得，，然后把它们整体代入中，通分、化简、约分即可．
【详解】实数是关于的一元二次方程的一个解，
，
，
，
故答案为：
题型六 一元二次方程的解的估算
例6. （23-24八年级下·黑龙江大庆·阶段练习）根据表格中的数据：估计一元二次方程（，，为常数，）一个解的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了利用二次函数估算一元二次方程的近似解，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解决本类题型的关键根据表格中的数据发现，在到之间时，随着的增大而减小，而当时，，当时，，在和之间，所以一元二次方程其中一个解的范围是
【详解】由表格可知：
在和之间，对应的在和之间，
所以一个解的取值范围为
故选
巩固训练
1.（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知，依据下表，它的一个解的范围是（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的估算，由表格可知，的值随着的增大而增大，那么在与之间必然有一个数使得代数式的值为0，据此可得答案．
【详解】解：由表格可知，的值随着的增大而增大，
当时，，
当时，，
那么在与之间必然有一个数使得代数式的值为0，
∴方程的一个解的范围为．
故选：B．
2.（23-24八年级下·江苏苏州·期中）观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解．根据图表数据找出一元二次方程等于0时，未知数的值的范围，即可得到答案．
【详解】解：时，，时，，
∴一元二次方程的解的范围是．
故答案为：
题型七 用配方法配一元二次方程
例7.（23-24八年级下·浙江金华·期中）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，将方程两边同时加上一次项系数一半的平方，再写成完全平方式即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，即，
故选：A．
巩固训练
1.（2024·山西阳泉·三模）用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元二次方程的配方法．把常数项移到等式右边后，利用完全平方公式配方得到结果，即可做出判断．
【详解】解：，
移项得：，
配方得：，
整理得：，
故选：D．
2.（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是利用配方法解一元二次方程．先把原方程化为：，再“两边同时加上一次项系数一半的平方”，从而可得答案．
【详解】解：，
，
配方得，即，
故选：A．
3.（23-24八年级下·安徽淮北·阶段练习）用配方法解方程，应把它先变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查解一元二次方程-配方法，涉及完全平方差公式、等式性质等知识，由配方法，利用完全平方差公式恒等变形即可得到答案，熟练掌握配方法是解决问题的关键．
【详解】解：，
二次项系数化为1得，
移常数项得，
配方得，
，即，
故选：A．
题型八 解一元二次方程
例8．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）解方程：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元二次方程；
（1）根据配方法解一元二次方程，即可求解；
（2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．
【详解】（1）解：，
∴，
∴，
∴，
∴
解得：；
（2），
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得：
巩固训练
1．（23-24八年级下·吉林长春·期末）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)，
(2)，
【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键．
（1）利用直接开方法求解方程即可；
（2）利用因式分解法求解方程即可．
【详解】（1）解：，
，
，
，；
（2），
，
，．
2．（23-24九年级上·四川德阳·期末）用适当的方法解下列方程．
(1)
(2)
【答案】(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】（1）
∴或
解得，；
（2）
，，
∴
解得，．
3．（2024九年级上·全国·专题练习）用指定方法解下列一元二次方程．
(1) (直接开平方法)
(2) (配方法)
(3) (公式法)
(4) (因式分解法)
【答案】(1)
(2)，
(3)
(4)
【分析】本题考查了解一元二次方程，根据要求结合方程的特点灵活运用相关解法是解题的关键．
（1）将常数项移到右侧，利用直接开平方法求解即可；
（2）方程两边同时加上4，左边配成完全平方式，然后两边开平方即可得；
（3）确定出a、b、c的值，然后按照公式法的步骤进行求解即可；
（4）方程左边利用完全平方公式进行分解，继而进行求解即可得．
【详解】（1），
，
，
∴；
（2），
，
，
，
∴，；
（3），
，，，
，
∴，
即；
（4），
，
，
∴．
4．（23-24九年级下·山东济宁·阶段练习）解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)，
(3)无解
(4)
【分析】本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点灵活运用合适的方法是解题的关键；
（1）直接利用因式分解法即可求解；
（2）左边先展开，再利用配方法求解即可；
（3）利用公式法求解；
（4）利用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：，
，
所以；
（2）解：；
展开，得：，
配方，得，
即，
两边开平方根，得：，
所以，；
（3）解：，
∵，
∴，
所以原方程无实数根；
（4）解：，
即，
或，
所以．
题型九 解一元二次方程中错解复原问题
例9：（2024·江西吉安·三模）小明解一元二次方程的过程如下，请你仔细阅读，并回答问题：
解：原方程可变形为，（第一步） ∴，（第二步） ∴，（第三步） ∴，（第四步） ∴，（第五步） ∴，．（第六步）
(1)小明解此方程使用的是______法；小明的解答过程是从第______步开始出错的．
(2)请写出此题正确的解答过程．
【答案】(1)配方；三
(2)，
【分析】（1）根据配方法解答即可．
（2）根据配方法的基本步骤规范解答即可．
本题考查了配方法解方程，熟练掌握配方法解方程是解题的关键．
【详解】（1）根据题意，这种解方程的方法是配方法，配方时，在第三步时出现错误，
故答案为：配方法，第三步．
（2）原方程可变形为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，．
巩固训练
1.（23-24八年级下·全国·假期作业）解方程，某位同学的解答过程如下：
解：∵，，，
∴，
∴，
∴，.
请你分析以上解答过程有无错误，如有错误，指出错误的地方，并写出正确的结果.
【答案】见解析
【详解】解：有错误，的值应为.
将方程化为一般形式，得.
∵，，，
∴，
∴，
∴，.
2.（23-24八年级下·广西百色·期中）小涵与小彤两位同学解方程的过程如下：
小涵的解题过程： 第1步：两边同时除以得， 第2步：移项，得， 第3步：解得．
小彤的解题过程： 第1步：移项，得， 第2步：提取公因式，得． 第3步：则或， 第4步：解得，．
(1)小涵和小彤的解法都不正确，小涵第一次出错在第_____步，小彤第一次出错在第_____步；
(2)请你给出正确的解法，并结合你的经验提出一条解题注意事项．
【答案】(1)1，2
(2)正确的解法见解析，，．注意事项：移项时要注意改变符号，或(除数不能为0)
【分析】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
（1）根据等式的性质和因式分解法则即可得出答案；
（2）利用因式分解法解答即可．
【详解】（1）解：小涵的解法中，因为可能为0，
所以不能两边同时除以，即第一次出错错在第1步；
小彤的解法中，第1步移项没错，
第2步提取公因式后有一项忘记变号，即第一次出错错在第2步；
故答案为：1；2；
（2）解：正确的解法是：，
移项，得，
提取公因式，得，
则或，
解得，
注意事项：在利用因式分解法解一元二次方程时，注意把方程一边的多项式正确因式分解．
题型十 根据判别式判断一元二次方程根的情况
例10.（23-24九年级下·云南昆明·阶段练习）已知关于x的一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．
【详解】解：∵，
∴，
∴方程两个不相等的实数根．
故选A．
巩固训练
1.（2024·河南周口·三模）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】D
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
先计算根的判别式的值得到，再由非负数的性质可判断，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断．
【详解】解：∵，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：D．
2.（2024·上海·中考真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程判别式判断根的情况，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程的两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．分别计算出各选项中的根的判别式的值，即可判断．
【详解】解：A． ，该方程有两个不相等实数根，故A选项不符合题意；
B． ，该方程有两个不相等实数根，故B选项不符合题意；
C． ，该方程有两个不相等实数根，故C选项不符合题意；
D． ，该方程有两个相等实数根，故D选项不符合题意；
故选：D．
3.（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）下列方程中，没有实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键．
分别计算四个方程的根的判别式，然后根据判别式的意义判断根的情况．
【详解】解：A、可化为：
，
方程有两个不相等的实数根；
B、
，
方程有两个相等的实数根；
C、
，
方程有两个不相等的实数根；
D、可化为：
，
方程没有实数根；
故选：D．
题型十一 利用一元二次方程根与系数的关系求值
例11．（2024·江西宜春·模拟预测）一元二次方程的两根分别为，，则 ．
【答案】
【分析】此题考查一元二次方程根与系数的关系式：一元二次方程，两根的和等于，两根的积等于，熟记公式是解题的关键.根据一元二次方程根与系数的关系得到，再将代数式化简代入即可得到答案.
【详解】∵一元二次方程的两根分别为，，
∴，
∴，
故答案为：.
巩固训练
1.（2024·江西吉安·一模）已知方程的两个根分别为，，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，熟练掌握根与系数的关系公式是解本题的关键．
根据一元二次方程根和系数的关系，得出两根的积即可．
【详解】方程的两个根分别为，，
，
故答案为：．
2.（2024·广东深圳·模拟预测）若，是方程的两个根，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟记公式，是解题关键．先求出，，再整体代入即可求值．
【详解】解：∵，是方程的两个根，
∴，，
∴，
故答案为：．
3.（2024·江苏南京·三模）设是方程的两个根，则 ．
【答案】2024
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数关系，方程解的定义，掌握一元二次方程根与系数关系，方程解的定义是解题的关键．根据根与系数关系得到，之后将代入方程中得到，变形为，两式相加即可得到答案．
【详解】解： 是方程的两个根，
，，
，
．
故答案为：2024．
4.（2024·山东济宁·一模）设，是一元二次方程的两个根，则 .
【答案】
【分析】此题主要考查了根与系数的关系，由，是一元二次方程的两个根，得出，，再把变形为，即可求出答案．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
题型十二 用一元二次方程解决与图形有关的问题
例12：（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）一个矩形蔬菜大棚长，宽，其中有两横两竖四条小路，横竖小路的宽度相同，小路的面积占整个大棚面积的．
(1)小路的宽度是多少？
(2)蔬菜的种植需要两组工人来完成，甲组每平方米50元，乙组每平方米60元，若完成此大棚的种植不超过30000元，至少安排甲组种植多少平方米？
【答案】(1)小路的宽度为1米
(2)至少安排甲组种植240平方米
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出一元二次方程以及一元一次不等式是解此题的关键．
（1）设小路的宽度是米，根据题意列出一元二次方程，解方程并检验即可得出答案；
（2）设安排甲组种植平方米，则安排乙组种植平方米，根据“完成此大棚的种植不超过30000元”列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案．
【详解】（1）解：设小路的宽度是米，
依题意得：
解得，，
时，
舍去，
答：小路的宽度为1米．
（2）解：（平方米），
设安排甲组种植平方米，则安排乙组种植平方米，
由题意得：，
解得
答：至少安排甲组种植240平方米．
巩固训练
1．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）李大爷用30米的栅栏围成一个菜园，围成的菜地是如图所示的矩形．设边的长为（单位：米），矩形的面积为S（单位：平方米）．
(1)求S与之间的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)若矩形的面积为54平方米，且，请求出此时的长．
【答案】(1)
(2)9米
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，对于长方形的面积公式要熟记．注意本题，因此可根据这个条件舍去不合题意的解．
（1）根据长方形的面积公式求出与之间的函数关系式．
（2）根据矩形的面积为54平方米，即，即可列出一元二次方程求解．
【详解】（1）四边形是矩形，
，
，
；
（2）由题意可得，，
解得，，
当时，不符合题意舍去，
∴的长为9米．
2．（重庆市两江新区2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试题）新高考采用“”的模式，对生物学科提出了更高的要求．某学校生物组为培养同学们观察、归纳的能力，组建了生物课外活动小组．在一次野外实践时，同学们发现一种水果黄瓜的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21．
(1)这种水果黄瓜每个支干长出多少小分支？
(2)学校打算建立一块矩形的生物种植田来种植这种水果黄瓜，一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为10米），其余部分需要用总长为22米的栅栏围成，且矩形中间需用栅栏隔开，栅栏因实验需要，有两个宽为1米的门（门无需栅栏，如图所示）．设种植田的宽为米．若该种植田的面积为36平方米（栅栏的占地面积忽略不计），求该种植田的宽．
【答案】(1)4个
(2)6米
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用：
（1）设这种水果黄瓜每个支干长出的小分支个数是x，根据主干、支干和小分支的总数是21，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出答案．
（2）设种植田的宽为米，则长为米，根据题意列一元二次方程组，解方程组，再根据对求出的根进行取舍．
【详解】（1）解：设这种水果黄瓜每个支干长出x个小分支，
由题意得：，
解得，（舍），
即这种水果黄瓜每个支干长出4个小分支；
（2）解：设种植田的宽为米，则长为米，
由题意得：，
整理得：，
解得，，
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意；
综上可知，该种植田的宽为6米．中小学教育资源及组卷应用平台
第二十四章《一元二次方程》单元核心知识归纳与题型突破
一、一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
二、一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
三、一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c=0（a≠0），ax22+bx2+c=0（a≠0）．
四、解一元二次方程-直接开平方
形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±；
如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
五、解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
六、解一元二次方程-公式法
（1）把（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
七、解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
八、由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地申清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
九、一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2=后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程
题型一 利用一元二次方程的定义判断是否是一元二次方程
例1．（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
巩固训练
1．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）下列是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24八年级下·山东聊城·期中）下列关于x的方程中一定是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24八年级下·山东烟台·阶段练习）下面关于x的方程中：，，，，，，其中一元二次方程的个数为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．3
题型二 一元二次方程的一般形式
例2. （23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）将一元二次方程化为一般形式是 ； ， ， ．
巩固训练
1．（23-24九年级上·新疆昌吉·阶段练习）一元二次方程的一般形式为 ，二次项为 ，一次项系数为 ，常数项为 ．
2．（23-24九年级上·湖北孝感·阶段练习）将方程化为一般形式为 ，其中二次项系数为 ，一次项为 ．
3．（22-23九年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）将方程化为一般形式为 ，其中 ， ， ．
题型三 利用一元二次方程的定义求参数
例3.（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）若关于的方程是一元二次方程，则的值是（ ）
A．0 B． C．1 D．
巩固训练
1.（2024八年级下·安徽·专题练习）关于的方程是一元二次方程，则值为（ ）
A．2或 B．2 C． D．且
2.（23-24八年级下·安徽亳州·期中）若是一元二次方程，则的值为（ ）
A．2 B． C．2或 D．
3．（23-24八年级下·安徽池州·期末）若关于的方程是一元二次方程，则 ．
题型四 一元二次方程的解求参数的值
例4. （2024·江苏镇江·二模）已知是方程的一个根，则实数c的值是 ．
巩固训练
1．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）关于的一元二次方程有一个根为0，则的值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
2.（2024·山东济南·三模）关于的一元二次方程的一个根，则 ．
3.（2024·山东济南·二模）已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值是 ．
题型五 一元二次方程的解求代数式的值
例5. （23-24八年级下·浙江衢州·期中）若m是方程的一个根，则代数式的值是 ．
巩固训练
1．（2024·湖南长沙·二模）若关于的一元二次方程（）的解是，则的值是 ．
2．（23-24八年级下·江苏南通·期末）若a是一元二次方程的一个根，则的值是 ．
3．（23-24八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）已知实数是关于的一元二次方程的一个解，则的值是 ．
题型六 一元二次方程的解的估算
例6. （23-24八年级下·黑龙江大庆·阶段练习）根据表格中的数据：估计一元二次方程（，，为常数，）一个解的范围为（ ）
A． B． C． D．
巩固训练
1.（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知，依据下表，它的一个解的范围是（ ）
A． B． C． D．不确定
2.（23-24八年级下·江苏苏州·期中）观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ．
题型七 用配方法配一元二次方程
例7.（23-24八年级下·浙江金华·期中）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ）
A． B． C． D．
巩固训练
1.（2024·山西阳泉·三模）用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（ ）
A． B． C． D．
2.（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
3.（23-24八年级下·安徽淮北·阶段练习）用配方法解方程，应把它先变形为（ ）
A． B． C． D．
题型八 解一元二次方程
例8．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）解方程：
(1)； (2)．
巩固训练
1．（23-24八年级下·吉林长春·期末）解方程：
(1)
(2)
2．（23-24九年级上·四川德阳·期末）用适当的方法解下列方程．
(1)
(2)
3．（2024九年级上·全国·专题练习）用指定方法解下列一元二次方程．
(1) (直接开平方法)
(2) (配方法)
(3) (公式法)
(4) (因式分解法)
4．（23-24九年级下·山东济宁·阶段练习）解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
题型九 解一元二次方程中错解复原问题
例9：（2024·江西吉安·三模）小明解一元二次方程的过程如下，请你仔细阅读，并回答问题：
解：原方程可变形为，（第一步） ∴，（第二步） ∴，（第三步） ∴，（第四步） ∴，（第五步） ∴，．（第六步）
(1)小明解此方程使用的是______法；小明的解答过程是从第______步开始出错的．
(2)请写出此题正确的解答过程．
巩固训练
1.（23-24八年级下·全国·假期作业）解方程，某位同学的解答过程如下：
解：∵，，，
∴，
∴，
∴，.
请你分析以上解答过程有无错误，如有错误，指出错误的地方，并写出正确的结果.
2.（23-24八年级下·广西百色·期中）小涵与小彤两位同学解方程的过程如下：
小涵的解题过程： 第1步：两边同时除以得， 第2步：移项，得， 第3步：解得．
小彤的解题过程： 第1步：移项，得， 第2步：提取公因式，得． 第3步：则或， 第4步：解得，．
(1)小涵和小彤的解法都不正确，小涵第一次出错在第_____步，小彤第一次出错在第_____步；
(2)请你给出正确的解法，并结合你的经验提出一条解题注意事项．
题型十 根据判别式判断一元二次方程根的情况
例10.（23-24九年级下·云南昆明·阶段练习）已知关于x的一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
巩固训练
1.（2024·河南周口·三模）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
2.（2024·上海·中考真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
3.（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）下列方程中，没有实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
题型十一 利用一元二次方程根与系数的关系求值
例11．（2024·江西宜春·模拟预测）一元二次方程的两根分别为，，则 ．
巩固训练
1.（2024·江西吉安·一模）已知方程的两个根分别为，，则的值为 ．
2.（2024·广东深圳·模拟预测）若，是方程的两个根，则的值为 ．
3.（2024·江苏南京·三模）设是方程的两个根，则 ．
4.（2024·山东济宁·一模）设，是一元二次方程的两个根，则 .
题型十二 用一元二次方程解决与图形有关的问题
例12：（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）一个矩形蔬菜大棚长，宽，其中有两横两竖四条小路，横竖小路的宽度相同，小路的面积占整个大棚面积的．
(1)小路的宽度是多少？
(2)蔬菜的种植需要两组工人来完成，甲组每平方米50元，乙组每平方米60元，若完成此大棚的种植不超过30000元，至少安排甲组种植多少平方米？
巩固训练
1．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）李大爷用30米的栅栏围成一个菜园，围成的菜地是如图所示的矩形．设边的长为（单位：米），矩形的面积为S（单位：平方米）．
(1)求S与之间的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)若矩形的面积为54平方米，且，请求出此时的长．
2．（重庆市两江新区2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试题）新高考采用“”的模式，对生物学科提出了更高的要求．某学校生物组为培养同学们观察、归纳的能力，组建了生物课外活动小组．在一次野外实践时，同学们发现一种水果黄瓜的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21．
(1)这种水果黄瓜每个支干长出多少小分支？
(2)学校打算建立一块矩形的生物种植田来种植这种水果黄瓜，一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为10米），其余部分需要用总长为22米的栅栏围成，且矩形中间需用栅栏隔开，栅栏因实验需要，有两个宽为1米的门（门无需栅栏，如图所示）．设种植田的宽为米．若该种植田的面积为36平方米（栅栏的占地面积忽略不计），求该种植田的宽．
