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第1章 有理数 单元测试（提升版）
一、单选题
1．“坎宁安数”是以英国数学家坎宁安的名字命名的，能写成形式的数字，2024是一个坎宁安数，因为．下列各数中均含有“2024”，其中最小的是（ ）
A．2024 B． C． D．
2．已知a、b、c三个数的位置如图所示，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．在正整数中，前50个偶数的和减去前50个奇数的和所得的结果是（ ）
A．50 B． C．100 D．
4．如果，那么这四个数中负数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．若a，b（，）互为相反数，n是正整数，则（ ）
A．和互为相反数 B．和互为相反数
C．和互为相反数 D．和互为相反数
6．在我国古书《易经》中有“上古结绳而治”的记载，它指“结绳记事”或“结绳记数”．如图，一远古牧人在从右到左依次排列的绳子上打结，满6进1，用来记录他所放牧的羊的只数，由图可知，他所放牧的羊的只数是（ ）
A．1234 B．310 C．60 D．10
二、填空题
7．“北斗系统”是我国自主建设运行的全球卫星导航系统．目前，北斗定位服务日均使用量已超过亿次，数据用科学记数法表示为 ．
8．有一条可以坐名游客的木船要载名游客从岸边到湖中的、两岛参观，参观岛需要分钟，参观岛需要分钟，岸边与岛间船航行需要分钟，岸边与岛间船航行分钟，岛与岛间航行需分钟，则名游客全部参观完两岛后返回岸边最少需要 分钟．
9．计算： ．
10．已知，，则的值是 ．
11．若，，且，则 ．
12．规定图形表示运算，图形表示运算，则+ = ．（直接写出答案）
13．小丽在4张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是7，8，9，10中的一个数，并且这4个数都能取到．猜猜看，小丽在4张纸片上写的数字是 ．
14．比较大小： ．
15．如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，30，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为6，则C点表示的数是
16．体育课上全班女生进行了米测试，达标成绩为，下面是某小组8名女生的成绩记录：，，，，，，，，其中“”号表示成绩大于，“”号表示成绩小于，该小组女生的达标率为
17．若是最简分数，则a可取的正整数有 ．
18．计算： ．
三、解答题
19．把下列各数填在相应的集合内：
，8，，0，，，，．
负数集合{ ……}；
正分数集合{ ……}；
非负数集合{ ……}；
有理数集合{ ……}．
20．计算下列各式：
(1)
(2)
(3)
(4)
21．若a，b，c为有理数，且，求的值．
22．阅读理解： 数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，如图，线段；线段．
问题：
(1)数轴上点M、N代表的数分别为10和3，则线段___________；
(2)数轴上点E、F代表的数分别为3和，则线段___________；
(3)数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为12，求另一个点表示的数．
23．如果，那么为的“劳格数”，记为．由定义可知：与表示、两个量之间的同一关系．
(1)根据“劳格数”的定义，填空： ，______；
(2)“劳格数”有如下运算性质：若、为正数，则，；根据运算性质，填空：________．（a为正数）
(3)若，分别计算；．
24．夏季快要到了，某服装厂为我校学生们新订制了一批夏季校服，已知校服每套的成本是130元，为了合理定价，卖出时以每套150元为标准，超过150元的部分记为正，不足150元的部分记为负．每批的销售量以50套为标准，超过或不足的数量分别用正、负来表示，服装厂的老板记录了五批校服的售价情况和售出情况：
批次 一 二 三 四 五
每套价格相对于标准价格（元）
相对于标准销售数量（套） 15 10
(1)这五批校服中，哪批校服售出销售额最高？最高销售额是多少？
(2)这五批校服销售后，共盈利多少元？中小学教育资源及组卷应用平台
第1章 有理数 单元测试（提升版）
一、单选题
1．“坎宁安数”是以英国数学家坎宁安的名字命名的，能写成形式的数字，2024是一个坎宁安数，因为．下列各数中均含有“2024”，其中最小的是（ ）
A．2024 B． C． D．
【答案】D
【详解】此题考查的是有理数的比较大小及绝对值的概念，熟练掌握有理数大小比较方法是解题的关键；
根据有理数的比较大小，即可找出最小的数.
解：∵，，，
最小的数是.
故选：D.
2．已知a、b、c三个数的位置如图所示，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了利用数轴上点对应的数确定代数式的符号，解答本题的关键是熟练掌握有理数的加法法则中对于符号的确定方法．同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数相加得0；任何数与0相加仍得原数．
根据a、b、c三个数的位置，结合有理数的加法法则逐项分析即可．
【详解】解：∵从数轴可知：，，
∴A．，
∴，正确，故本选项不符合题意；
B．∵，
∴，正确，故本选项不符合题意；
C．∵，，
∴，错误，故本选项符合题意；
D．∵，，
∴，正确，故本选项不符合题意；
故选：C．
3．在正整数中，前50个偶数的和减去前50个奇数的和所得的结果是（ ）
A．50 B． C．100 D．
【答案】A
【分析】本题考查了有理数加减混合运算，解题关键是根据题意列出算式，准确进行计算．
【详解】解：根据题意列式：
，
故选：A．
4．如果，那么这四个数中负数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】D
【分析】本题考查了有理数的加法与乘法的应用，关键是能根据已知和有理数的运算法则进行判断a、 b 、c 、d的符号．
根据，，得出a、b异号，c、d中至少有一个正数，即c、d中最多有1个负数，再由，负因数得个数是1个或3个．即可求解．
【详解】解：∵，
∴a、b互为相反数，即a、b异号，
∵
∴c、d中至少有一个正数，即c、d中最多有1个负数，
∴a、b、c、d中至少有2个正数，
又∵
∴负因数得个数是1个或3个．
∴这四个数中负数有1个．
故选：D．
5．若a，b（，）互为相反数，n是正整数，则（ ）
A．和互为相反数 B．和互为相反数
C．和互为相反数 D．和互为相反数
【答案】B
【分析】本题考查了有理数的乘方，以及相反数概念，掌握有理数的乘方法则是解题关键； 有理数的乘方法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0； 然后根据相反数的定义结合有理数的乘方法则分别对每一项进行分析，即可得出正确答案．
【详解】解：A、，，
和不是相反数，选项结论错误，不符合题意；
B、 a，b（，）互为相反数，为奇数，
和互为相反数，选项结论正确，符合题意；
C、，，
和不是相反数，选项结论错误，不符合题意；
D、 a，b（，）互为相反数，
当为偶数时，和不是相反数，选项结论错误，不符合题意；
故选：B．
6．在我国古书《易经》中有“上古结绳而治”的记载，它指“结绳记事”或“结绳记数”．如图，一远古牧人在从右到左依次排列的绳子上打结，满6进1，用来记录他所放牧的羊的只数，由图可知，他所放牧的羊的只数是（ ）
A．1234 B．310 C．60 D．10
【答案】B
【分析】本题考查了有理数的运算，根据计数规则可知，从右边第1位的计数单位为，右边第2位的计数单位为，右边第3位的计数单位为，右边第4位的计数单位为，……，依此类推，可求出结果．
【详解】解：根据题意得：
（只），
答：他所放牧的羊的只数是310只．
故选：B．
二、填空题
7．“北斗系统”是我国自主建设运行的全球卫星导航系统．目前，北斗定位服务日均使用量已超过亿次，数据用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值．
【详解】解：，
故答案为：．
8．有一条可以坐名游客的木船要载名游客从岸边到湖中的、两岛参观，参观岛需要分钟，参观岛需要分钟，岸边与岛间船航行需要分钟，岸边与岛间船航行分钟，岛与岛间航行需分钟，则名游客全部参观完两岛后返回岸边最少需要 分钟．
【答案】
【分析】本题考查了有理数的混合运算，利用统筹方法是解题的关键，其流程为把40人分为两批，每批20人，先把第一批人带到岛，然后回来带第二批人再去岛，第一批人参观完岛后去岛，又送第二批人去A岛，然后送第一批人返回，再去A岛接第二批人返回即可
【详解】解∶把40人分为两批，每批20人，先带第一批人先去岛用时10分钟，回到C处用时10分钟，再送第二批的人到B岛用时12分钟，从B岛到A岛接第一批的20人用时6分钟，在A岛等2分钟，从A岛到B岛用时6分钟把第一批人送到B岛，在B岛等11分钟，把第二批20人从B岛送到A岛用时6分钟，从A到返回B岛用时6分钟，在B岛等2分钟后将第一批20人送回C用时12分钟，然后去A岛接第二批20人用时分钟，
（分钟
∴名同学参观完两岛后返回岸边处最少需要分钟．
故答案为：
9．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了有理数的乘方和乘法，根据有理数的乘方和乘法运算法则进行计算即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
10．已知，，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了绝对值，有理数的除法法则，由变形可得：，，，从而原式可化为：；再由和可知：在中必为两正一负或两负一正，分情况讨论就可求得原式的值．
【详解】∵，
∴，，，
∴原式，
∵和，
∴在中必为两正一负或两负一正，
∴当为两正一负时，原式，
当为两负一正时，原式，
故答案为：．
11．若，，且，则 ．
【答案】或1/1或
【分析】本题考查了有理数的加法，有理数的乘法，解决此类问题的关键是由，得出；，得出．再利用这一条件确定x和y的具体取值，然后代入，从而得出结果．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，；，，
∴或，
故答案为：或1．
12．规定图形表示运算，图形表示运算，则+ = ．（直接写出答案）
【答案】0
【分析】本题考查了有理数运算，解题关键是根据题意列出算式，准确进行计算即可．
【详解】
解：规定图形表示运算，图形表示运算，
所以，+ =，
故答案为：0．
13．小丽在4张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是7，8，9，10中的一个数，并且这4个数都能取到．猜猜看，小丽在4张纸片上写的数字是 ．
【答案】3，4，4，6或3，4，5，5
【分析】此题主要考查了应用类问题，利用分类讨论得出是解题关键．首先假设这四个数字分别为：A，B，C，D且，进而得出符合题意的答案．
【详解】解：四个数只能是3，4，4，6或3，4，5，5，
理由：设这四个数字分别为：A，B，C，D且，
故，，
（1）当时，得，
∵，
∴，不合题意舍去，所以，
（2）当时，得，
（I）当时，，不合题意舍去，
（II）当时，∵，
∴，不合题意舍去，
（2）当时，得，
（I）当时，，
（II）当时，∵，
∴，
故综上所述：这四个数只能是：3，4，4，6或3，4，5，5．
故答案为：3，4，4，6或3，4，5，5．
14．比较大小： ．
【答案】
【分析】本题考查了有理数的比较大小，先分别求出两个数，根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
15．如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，30，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为6，则C点表示的数是
【答案】5或11
【分析】本题考查了数轴，根据点的位置不同进行分类讨论是解题的关键．分两种情况：当点A落在B点的左侧时和当点A落在B点的右侧时，可求出点A的对应点所表示的数，再利用中点公式即可求解．
【详解】解：设是点的对应点，由题意可知点是和的中点，
当点在的右侧，，
表示的数为，
C表示的数为：；，
当点在的左侧，，
表示的数为，
C表示的数为：，
故答案：5或11．
16．体育课上全班女生进行了米测试，达标成绩为，下面是某小组8名女生的成绩记录：，，，，，，，，其中“”号表示成绩大于，“”号表示成绩小于，该小组女生的达标率为
【答案】
【分析】根据正负数的意义可得达标的有人，然后计算即可．
【详解】解：由题意得：：，，，，，，，中，小于等于0的有6个，即达标的有6人，
则这个小组的达标率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正负数的意义，根据正负数的意义得出达标的人数是解题的关键．
17．若是最简分数，则a可取的正整数有 ．
【答案】1、3、5、7
【分析】根据最简分数的意义，分子、分母互质来求解，还要考虑是真分数，即分子比分母小．即可得解．
【详解】解：若是真分数，则a可取的正整数有：1、2、3、4、5、6、7；
其中2、4、6和8不互质，能约分，即＝，＝，＝，约分后分母不再是8；
所以a可取的正整数只有1、3、5、7．
故答案为：1、3、5、7．
【点睛】此题考查了有理数，关键是熟练掌握最简真分数的意义．
18．计算： ．
【答案】135
【分析】本题考查了有理数四则混合运算，可以将分成，再利用乘法的分配律，通过约分恰好是整数．同理将可以分为，可以分为，最后利用分配律得出几个整数相加．
【详解】解：
．
三、解答题
19．把下列各数填在相应的集合内：
，8，，0，，，，．
负数集合{ ……}；
正分数集合{ ……}；
非负数集合{ ……}；
有理数集合{ ……}．
【答案】见解析
【分析】本题考查了有理数的分类，据此填写即可，特别要注意带“非”字的分类，非负数：正数和0；非正数：负数和0；非负整数：正整数和0（自然数）；非正整数：负整数和0．
【详解】解：负数集合{ ，， }；
正分数集合{ ， }；
非负数集合{ 8，，0，，}；
有理数集合{，8，，0，，，}．
20．计算下列各式：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，根据有理数的加减计算法则求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
21．若a，b，c为有理数，且，求的值．
【答案】1
【分析】本题主要考查了有理数的乘法，绝对值的意义．会确定字母的正负是关键．
根据已知等式，利用绝对值的代数意义判断出、、中负数有2个，正数有1个，判断出的正负，原式利用绝对值的代数意义化简计算即可．
【详解】解：、、为三个不为0的有理数，且，
、、中负数有2个，正数有1个，
，
．
22．阅读理解： 数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，如图，线段；线段．
问题：
(1)数轴上点M、N代表的数分别为10和3，则线段___________；
(2)数轴上点E、F代表的数分别为3和，则线段___________；
(3)数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为12，求另一个点表示的数．
【答案】(1)7
(2)4
(3)另一个点表示的数为17或7
【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）直接根据数轴上两点间的距离求解即可；
（2）直接根据数轴上两点间的距离求解即可；
（3）分两种情况讨论，当另一个点在表示12的点的右侧或当另一个点在表示12的点的左侧，再根据数轴上两点间的距离求解即可．
【详解】（1）解：数轴上点M、N代表的数分别为10和3，则线段，
故答案为：7；
（2）解：数轴上点E、F代表的数分别为3和，则线段，
故答案为：4；
（3）解：由题可得：①当另一个点在表示12的点的右侧时，；
②当另一个点在表示12的点的左侧时，，
综上，另一个点表示的数为17或7．
23．如果，那么为的“劳格数”，记为．由定义可知：与表示、两个量之间的同一关系．
(1)根据“劳格数”的定义，填空： ，______；
(2)“劳格数”有如下运算性质：若、为正数，则，；根据运算性质，填空：________．（a为正数）
(3)若，分别计算；．
【答案】(1)1，
(2)3
(3)0.6020，0.699．
【分析】本题考查新定义，有理数的运算；理解题意，将新定义转化为同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方运算是解题的关键．
（1），，则有；，，则有；
（2）根据，进行求解即可；
（3）由题意得：，．
【详解】（1）由题意得：，
，
；
由题意得：，
，
；
故答案为：1，；
（2）∵，，
∴
故答案为3；
（3），
，
．
24．夏季快要到了，某服装厂为我校学生们新订制了一批夏季校服，已知校服每套的成本是130元，为了合理定价，卖出时以每套150元为标准，超过150元的部分记为正，不足150元的部分记为负．每批的销售量以50套为标准，超过或不足的数量分别用正、负来表示，服装厂的老板记录了五批校服的售价情况和售出情况：
批次 一 二 三 四 五
每套价格相对于标准价格（元）
相对于标准销售数量（套） 15 10
(1)这五批校服中，哪批校服售出销售额最高？最高销售额是多少？
(2)这五批校服销售后，共盈利多少元？
【答案】(1)第二批校服售出销售额最高，最高销售额是9425元
(2)共盈利4995元
【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意列出算式进行计算．
（1）分别计算出每一批的销售额，再进行比较即可；
（2）用总销售额减去总成本，即可解答．
【详解】（1）解：第一批：（元），
第二批： （元），
第三批：（元），
第四批：（元），
第五批：（元），
∵，
∴第二批校服售出销售额最高，最高销售额是9425元．
（2）解： （元），
答：共盈利4995元．
