2023-2024学年河南省南阳市七年级（下）期末数学试卷（含详解）

2023-2024学年河南省南阳市七年级（下）期末数学试卷
一、选择题：（每小题3分，共30分.）（下列各小题中只有一个答案是正确的，）
1．（3分）方程2x﹣4＝0的解是（　　）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C． D．
2．（3分）“x与5的差的一半是正数”，用不等式可表示为（　　）
A．x﹣＞0 B．＞0 C．≥0 D．﹣5≥0
3．（3分）若三角形的两条边的长度分别是3cm和7cm，则第三条边的长度可能是（　　）
A．10cm B．6cm C．4cm D．3cm
4．（3分）已知x、y满足方程组，则x+y的值为（　　）
A．3 B． C．1 D．
5．（3分）在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（3分）下列变形正确的是（　　）
A．若﹣3x＝5，则 B．若﹣x＜3，则x＞﹣3
C．若5﹣x＝1，则x＝5+1 D．若，则1﹣x＝2x
7．（3分）如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E，F，G，H分别是四条边上的中点，为使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条应钉在（　　）
A．E，H两点之间 B．E，G两点之间
C．F，H两点之间 D．A，B两点之间
8．（3分）我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，值金十九两；牛二、羊三，值金十二两．问牛、羊各值金几何？”若设1头牛值x两银子，1只羊值y两银子，则可列方程组为（　　）
A．
B．
C．
D．
9．（3分）如图，由5个“O”和3个“□”组成的图形关于某条直线对称，该直线是（　　）
A．l1 B．l2 C．l3 D．l4
10．（3分）一道条件缺失的问题情境：一项工程，甲队单独做需要12天完成， 还需要几天完成任务．根据标准答案，老师在黑板上画出线段示意图（如图），设两队合作还需x天完成任务，并列方程为．根据上面信息，下面结论不正确的是（　　）
A．乙队单独完成需要8天完成
B．D处代表的代数式
C．A处代表的实际意义：甲先做2天的工作量
D．甲先做2天，然后甲乙两队合作5天完成了整个工程
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）写出一个解为x＝﹣7的一元一次方程：　 　．
12．（3分）在解关于x、y的二元一次方程组时，若①+②可以直接消去一个未知数，则m、n之间的数量关系可以用等式表示为 　 　．
13．（3分）某人以八折的优惠价购买一套服装花了256元，则这套服装打折前的售价是 　 　元．
14．（3分）如图，△ABC以每秒2cm的速度沿着射线BC向右平移，平移2秒后所得图形是△DEF，连接AD，如果AD＝2CE，那么BC＝　 　．
15．（3分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是BC、AD、BE的中点，若△ABC的面积为8，则图中阴影部分的面积为 　 　．
三、解答题（共8个小题，满分75分）
16．（10分）（1）求不等式1﹣2x＜6的所有负整数解；
（2）解方程．
17．（9分）如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，①②③均为顶点都在格点上的三角形（每个小方格的顶点叫做格点）．
（1）图中，①经过 　 　（填“平移”“轴对称”或“旋转”）变换可以得到②；
（2）图中，③是由①经过一次顺时针旋转变换得到的，其旋转中心是 　 　（填“A”“B”“C”或“D”），旋转角度等于 　 　（小于360°）；
（3）在图中画出①关于直线l成轴对称的图形④．
18．（9分）解不等式组，把解集在数轴上表示出来．
19．（9分）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE．
（1）如图1，当点C的对应点E恰好落在AB上时，若BC＝6，BD＝9，求AE的长；
（2）如图2，BD∥AC，若∠C＝110°，∠BAC＝40°，求∠ABE的度数．
20．（9分）已知关于x、y的方程组．
（1）请写出方程x+2y＝5的一组正整数解；
（2）不管m取任何值，方程m﹣2y+mx+9＝0总有一个公共解，请求出这个解；
（3）若方程组的解满足x+y＝0，直接写出m的值．
21．（9分）学完图形变换后，小宛以“正五边形的变换”为主题开展探究活动：
（1）如图1，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为AM，展开后，再将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B的对应点为点B，折痕为AF，求∠AFB的大小．
（2）如图2，用一些全等的正五边形按图示方式拼接，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为24°，图中所示的是前3个正五边形拼接的情况，若拼接一圈后，中间能形成一个正多边形，请直接写出这个正多边形的边数．
22．（10分）某古镇为发展旅游产业，助力乡村振兴，决定在“五一”期间对团队（人数均不少于10）旅游实行门票特价优惠活动，价格如表：
购票人数m（人） 10≤m≤50 51≤m≤100 m＞100
每人门票价（元） 60 50 40
现有甲、乙两个团队共102人，计划利用“五一”假期到该古镇旅游，其中甲团队不足50人，乙团队多于50人．
（1）如果两个团队分别购票，一共应付5580元，问甲、乙团队各有多少人？
（2）如果两个团队联合起来作为一个“大团队”购票，比两个团队各自购票节省费用不低于1200元，问甲团队至少有多少人？
23．（10分）本明在学习中遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D，猜想∠B、∠C、∠EAD的数量关系．
（1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入∠B、∠C的特殊值求∠EAD值并寻找它们的数量关系，得到下面几组对应值：
∠B 10° 30° 30° 20° 20°
∠C 70° 70° 60° 60° 80°
∠EAD 30° α 15° 20° 30°
上表中α＝　 　，猜想∠EAD与∠B、∠C的数量关系是 　 　．
（2）小明继续研究，在图2中，∠B＝35°，∠C＝75°，其它条件不变，若把“AD⊥BC于D“改为“点F是线段AE上任意一点，FD⊥BC于D“，求∠DFE的度数．小明通过“过点A作AG⊥BC于G，求出∠EAG的度数”，使问题得到解决，请你按照小明的思路写出解答过程．
（3）在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，若点F是线段AE延长线上一点，FD⊥BC于D，请直接写出∠DFE与∠B、∠C之间的数量关系．
2023-2024学年河南省南阳市七年级（下）期末数学试卷
一、选择题：（每小题3分，共30分.）（下列各小题中只有一个答案是正确的，）
1．（3分）方程2x﹣4＝0的解是（　　）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C． D．
【解答】解：移项得：2x＝4，
系数化1得：x＝2，
故选：A．
2．（3分）“x与5的差的一半是正数”，用不等式可表示为（　　）
A．x﹣＞0 B．＞0 C．≥0 D．﹣5≥0
【解答】解：根据题意，可列不等式：＞0，
故选：B．
3．（3分）若三角形的两条边的长度分别是3cm和7cm，则第三条边的长度可能是（　　）
A．10cm B．6cm C．4cm D．3cm
【解答】解：∵三角形的两条边的长度分别是3cm和7cm，
∴7﹣3＜第三条边的长度＜7+3，
即4＜第三条边的长度＜10，
只有B选项在此范围内，
故选：B．
4．（3分）已知x、y满足方程组，则x+y的值为（　　）
A．3 B． C．1 D．
【解答】解：，
②﹣①得，
3x+3y＝1，
∴x+y＝，
故选：B．
5．（3分）在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
B．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C．该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意；
D．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
6．（3分）下列变形正确的是（　　）
A．若﹣3x＝5，则 B．若﹣x＜3，则x＞﹣3
C．若5﹣x＝1，则x＝5+1 D．若，则1﹣x＝2x
【解答】A．根据等式的基本性质2，将﹣3x＝5的两边同除以﹣3，得x＝﹣，
∴A不正确，不符合题意；
B．根据不等式的基本性质3，将﹣x＜3的两边同乘以﹣1，得x＞﹣3，
∴B正确，符合题意；
C．根据等式的基本性质1，将5﹣x＝1的两边同时减5，得﹣x＝1﹣5，
根据等式的基本性质2，将﹣x＝1﹣5的两边同乘以﹣1，得x＝5﹣1，
∴C不正确，不符合题意；
D．根据等式的基本性质2，将的两边同乘以6，得6﹣x＝2x，
∴D不正确，不符合题意．
故选：B．
7．（3分）如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E，F，G，H分别是四条边上的中点，为使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条应钉在（　　）
A．E，H两点之间 B．E，G两点之间
C．F，H两点之间 D．A，B两点之间
【解答】解：为使它稳固，根据三角形的稳定性，这根木条应钉在E，H两点之间，
故选：A．
8．（3分）我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，值金十九两；牛二、羊三，值金十二两．问牛、羊各值金几何？”若设1头牛值x两银子，1只羊值y两银子，则可列方程组为（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵5头牛、2只羊，共值19两银子，
∴5x+2y＝19；
∵2头牛、3只羊，共值12两银子，
∴2x+3y＝12．
∴根据题意可列方程组．
故选：A．
9．（3分）如图，由5个“O”和3个“□”组成的图形关于某条直线对称，该直线是（　　）
A．l1 B．l2 C．l3 D．l4
【解答】解：由图可知，该图形关于直线l3对称．
故选：C．
10．（3分）一道条件缺失的问题情境：一项工程，甲队单独做需要12天完成， 还需要几天完成任务．根据标准答案，老师在黑板上画出线段示意图（如图），设两队合作还需x天完成任务，并列方程为．根据上面信息，下面结论不正确的是（　　）
A．乙队单独完成需要8天完成
B．D处代表的代数式
C．A处代表的实际意义：甲先做2天的工作量
D．甲先做2天，然后甲乙两队合作5天完成了整个工程
【解答】解：A、甲队单独做需要12天完成，根据所列的方程可知乙队单独完成需要8天完成，故不符合题意；
B、根据所列的方程可知D处代表的代数式（+）x，故不符合题意；
C、A处代表的实际意义：甲先做2天的工作量，故不符合题意；
D、解方程×2+（+）x＝1，得x＝4，
所以甲乙两队合作4天完成了整个工程，故符合题意．
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）写出一个解为x＝﹣7的一元一次方程：　x+7＝0　．
12．（3分）在解关于x、y的二元一次方程组时，若①+②可以直接消去一个未知数，则m、n之间的数量关系可以用等式表示为 　m+n＝0　．
13．（3分）某人以八折的优惠价购买一套服装花了256元，则这套服装打折前的售价是 　320　元．
14．（3分）如图，△ABC以每秒2cm的速度沿着射线BC向右平移，平移2秒后所得图形是△DEF，连接AD，如果AD＝2CE，那么BC＝　6cm　．
15．（3分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是BC、AD、BE的中点，若△ABC的面积为8，则图中阴影部分的面积为 　2　．
三、解答题（共8个小题，满分75分）
16．（10分）（1）求不等式1﹣2x＜6的所有负整数解；
（2）解方程．
【解答】解：（1）1﹣2x＜6，
﹣2x＜6﹣1，
﹣2x＜5，
x＞，
所以不等式的所有负整数解为：﹣2，﹣1．
（2），
3（x+1）﹣2（x﹣3）＝6，
3x+3﹣2x+6＝6，
3x﹣2x＝6﹣3﹣6，
x＝﹣3．
17．（9分）如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，①②③均为顶点都在格点上的三角形（每个小方格的顶点叫做格点）．
（1）图中，①经过 　平移　（填“平移”“轴对称”或“旋转”）变换可以得到②；
（2）图中，③是由①经过一次顺时针旋转变换得到的，其旋转中心是 　D　（填“A”“B”“C”或“D”），旋转角度等于 　90°　（小于360°）；
（3）在图中画出①关于直线l成轴对称的图形④．
【解答】解：（1）由图可知，图形①向右平移5个单位长度，向上平移1个单位长度得到图形②，
∴①经过平移变换可以得到②．
故答案为：平移．
（2）如图，分别连接图形①与图形③的对应点，再分别作对应点连线所得线段的垂直平分线，相交于点D，
可知③是由①绕点D顺时针旋转90°得到的，
∴旋转中心是D，旋转角度等于90°．
故答案为：D；90°．
（3）如图，图形④即为所求．
18．（9分）解不等式组，把解集在数轴上表示出来．
【解答】解：，
由4x﹣8≤0，
解得，x≤2，
由，
解得，x＞﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1＜x≤2；
解集在数轴上表示如下；
19．（9分）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE．
（1）如图1，当点C的对应点E恰好落在AB上时，若BC＝6，BD＝9，求AE的长；
（2）如图2，BD∥AC，若∠C＝110°，∠BAC＝40°，求∠ABE的度数．
（2）根据旋转的性质得出∠DBE＝∠ABC＝30°，再根据平行线的性质得出∠DBC＝70°，即可得出结果．
【解答】解：（1）∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE，
∴AB＝BD＝9，BE＝BC＝6，
∴AE＝AB﹣BE＝9﹣6＝3；
（2）∵∠C＝110°，∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝180°﹣110°﹣40°＝30°，
∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE，
∴∠DBE＝∠ABC＝30°，
∵BD∥AC，
∴∠DBC+∠C＝180°，
∴∠DBC＝70°，
∴∠ABE＝70°﹣30°×2＝10°．
20．（9分）已知关于x、y的方程组．
（1）请写出方程x+2y＝5的一组正整数解；
（2）不管m取任何值，方程m﹣2y+mx+9＝0总有一个公共解，请求出这个解；
（3）若方程组的解满足x+y＝0，直接写出m的值．
（2）将方程m﹣2y+mx+9＝0可变为（1+x）m﹣2y+9＝0，令1+x＝0即可求出x，进而求出y的值即可；
（3）根据方程组的解满足x+y＝0，代入方程x+2y＝5可求出y的值，进而求出x的值，然后把x，y的值代入方程m﹣2y+mx+9＝0求出m的值．
【解答】解：（1）当x＝1时，即1+2y＝5，解得y＝2，
所以方程x+2y＝5的一组正整数解可以是，
故答案为：（答案不唯一）；
（2）方程m﹣2y+mx+9＝0可变为（1+x）m﹣2y+9＝0，
由于不管m取任何值，方程m﹣2y+mx+9＝0总有一个公共解，
所以1+x＝0，﹣2y+9＝0，
解得x＝﹣1，y＝，
因此这个解为；
（3）由于关于x、y的方程组的解满足x+y＝0，
∴y＝5，x＝﹣5，
∴m+10+5m+9＝0，
解得m＝﹣．
21．（9分）学完图形变换后，小宛以“正五边形的变换”为主题开展探究活动：
（1）如图1，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为AM，展开后，再将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B的对应点为点B，折痕为AF，求∠AFB的大小．
（2）如图2，用一些全等的正五边形按图示方式拼接，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为24°，图中所示的是前3个正五边形拼接的情况，若拼接一圈后，中间能形成一个正多边形，请直接写出这个正多边形的边数．
【解答】解：（1）如图1，∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BAE＝∠B＝＝108°，
由题意可知，AM所在的直线是正五边形的对称轴，
∴∠BAM＝∠EAM＝∠BAE＝54°，
由翻折的性质可知，
∠BAF＝∠B′AF＝∠BAM＝27°，
∴∠AFB＝180°﹣108°﹣27°＝45°；
（2）由题意可知，所得到的正多边形的一个内角的度数为360°﹣108°﹣108°﹣24°＝120°，
则这个正多边形的外角为180°﹣120°＝60°，
所以这个正多边形的边数为＝6，
即这个正多边形是正六边形．
22．（10分）某古镇为发展旅游产业，助力乡村振兴，决定在“五一”期间对团队（人数均不少于10）旅游实行门票特价优惠活动，价格如表：
购票人数m（人） 10≤m≤50 51≤m≤100 m＞100
每人门票价（元） 60 50 40
现有甲、乙两个团队共102人，计划利用“五一”假期到该古镇旅游，其中甲团队不足50人，乙团队多于50人．
（1）如果两个团队分别购票，一共应付5580元，问甲、乙团队各有多少人？
（2）如果两个团队联合起来作为一个“大团队”购票，比两个团队各自购票节省费用不低于1200元，问甲团队至少有多少人？
【解答】解：（1）设甲团队有x人，乙团队有y人，
根据题意得：，
解得：．
答：甲团队有48人，乙团队有54人；
（2）设甲团队有m人，则乙团队有（102﹣m）人，
根据题意得：60m+50（102﹣m）﹣40×102≥1200，
解得：m≥18，
∴m的最小值为18．
答：甲团队至少有18人．
23．（10分）本明在学习中遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D，猜想∠B、∠C、∠EAD的数量关系．
（1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入∠B、∠C的特殊值求∠EAD值并寻找它们的数量关系，得到下面几组对应值：
∠B 10° 30° 30° 20° 20°
∠C 70° 70° 60° 60° 80°
∠EAD 30° α 15° 20° 30°
上表中α＝　20°　，猜想∠EAD与∠B、∠C的数量关系是 　∠EAD＝（∠C﹣∠B）　．
（2）小明继续研究，在图2中，∠B＝35°，∠C＝75°，其它条件不变，若把“AD⊥BC于D“改为“点F是线段AE上任意一点，FD⊥BC于D“，求∠DFE的度数．小明通过“过点A作AG⊥BC于G，求出∠EAG的度数”，使问题得到解决，请你按照小明的思路写出解答过程．
（3）在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，若点F是线段AE延长线上一点，FD⊥BC于D，请直接写出∠DFE与∠B、∠C之间的数量关系．
【解答】解：（1）根据表格中对应值的规律得：α＝20°，猜想：∠EAD＝（∠C﹣∠B），理由如下：
∵AD⊥BC，
∴∠EAD＝90°﹣∠AED，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE＝1/2∠BAC，
∵∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C），
∴∠BAE＝90°﹣（∠B+∠C），
又∵∠AED＝∠B+∠BAE＝∠B+90°﹣（∠B+∠C）＝90°﹣（∠C﹣∠B），
∴∠EAD＝90°﹣∠AED＝（∠C﹣∠B），
∴α＝×（70°﹣30°）＝20°，
故答案为：20°，∠EAD＝（∠C﹣∠B）．
（2）∵AG⊥BC，FD⊥BC，
∴AG∥FD，
∴∠DFE＝∠EAG，
∵AE是∠BAC的平分线，AG⊥BC，
∴由（1）的结论得：∠EAG＝（∠C﹣∠B），
∴∠DFE＝（∠C﹣∠B），
∵∠B＝35°，∠C＝75°，
∴∠DFE＝×（∠75°﹣35°）＝20°；
（3）∠DFE与∠B、∠C之间的数量关系是：∠DFE＝（∠C﹣∠B），理由如下：
过点A作AH⊥BC于H，如下图所示：
∵FD⊥BC
∴FD∥AH，
∴∠DFE＝∠EAH，
∵AE是∠BAC的平分线，AH⊥BC，
∴由（1）的结论得：∠EAH＝（∠C﹣∠B），
∴∠DFE＝（∠C﹣∠B）．