2023-2024学年四川省宜宾市高二下学期期末学业质量监测数学试题（含解析）

2023-2024学年四川省宜宾市高二下学期期末学业质量监测
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设为虚数单位，复数的模为( )
A. B. C. D.
2.下列运算不正确的是( )
A. B. C. D.
3.在建立两个变量与的回归模型时，分别选择了个不同的模型，模型、、、的决定系数依次为，，，，则其中拟合效果最好的模型是( )
A. 模型 B. 模型 C. 模型 D. 模型
4.展开式中含的项的系数是( )
A. B. C. D.
5.已知函数的极小值为，则( )
A. B. C. 或 D.
6.名男生和名女生共位同学站成一排照相，且位女生不相邻，则不同排法的种数为( )
A. B. C. D.
7.若随机事件满足，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数在上可导，且，若成立，则 的 取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.随机变量，则( )
A. B.
C. D.
10.已知函数，则( )
A. 有唯一极值点 B. 在单调递增
C. 的最大值为 D. 在处的切线方程为
11.设，则( )
A. B. 展开式中系数最大值为
C. D.
12.在棱长为的正方体中，分别为的中点，则( )
A.
B. 平面平面
C. 点到平面的距离为
D. 该正方体的外接球被平面截得的截面圆的面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若随机变量，且，则 ．
14.已知双曲线的离心率为，则 ．
15.有台车床加工同一型号的零件，第台车床加工的次品率依次为，加工出来的零件混放在一起，已知第，，台车床加工的零件数分别占总数的、，任取一个零件，则它是次品的概率为 ．
16.若函数无零点，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知数列满足：，点在直线上．
求的通项公式；
若，求数列的前项和．
18.本小题分
通过对某商品在六个城市的销售情况与广告投入的关系进行调研，得到一些统计量的值如下表并发现该商品的销售额单位：百万元与其广告费单位：万元成线性相关用模型进行拟合，得出相应的经验回归方程并进行残差分析绘制了如图所示的残差图，但在随后数据整理的过程中不小心将部分数据损坏．
城市
广告费万元
销售额百万元
现将残差绝对值大于的数据被视为异常数据，需要剔除．
剔除异常数据后，分别计算广告费、销售额的平均值；
求剔除异常数据后的经验回归方程；并估计当广告费为万元时，销售额为多少．
参考公式：
19.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，．

证明：平面；
求平面与平面夹角的余弦值．
20.本小题分
某校为了了解学生体能情况，从全校男女生体能测试成绩中随机抽取容量为的样本数据进行统计分析，样本数据整理如下满分分：
女生
男生
若规定成绩不低于为等，成绩低于为等．
性别 成绩 合计
等 等
女生
男生
合计
完成上表，依据的独立性检验，能否认为体能测试成绩与性别有关联
从这名体能测试成绩为等的学生中随机挑选名，求挑选出男生成绩为等的人数的分布列与数学期望．
附：，其中．
21.本小题分
已知为抛物线的焦点，是抛物线上一点，且的最小值为．
求的方程；
过的直线与交于两点，过原点作直线的垂线交于点异于点当四边形的面积为时，求直线的方程．
22.本小题分
已知函数．
当时，求的单调区间；
当时，，求的取值范围．
答案解析
1.
【解析】解：复数的模，
故选：．
2.
【解析】解：．，故正确，不符合题意；
B.，故正确，不符合题意；
C.，故正确，不符合题意；
D.，故选项错误，符合题意；．
故选：．
3.
【解析】因为越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，所以这个不同的模型拟合效果最好的模型是模型．
故选：
4.
【解析】的展开式的通项公式为，令，则含 的项的系数是，
故选：
5.
【解析】由求导得，．
当时，由可得或，由可得，
即当或时，单调递增，当时，单调递减，
故的极小值为，不合题意；
当时，，故在上单调递增，无极值，不合题意；
当时，由可得或，由可得，
即当或时，单调递增，当时，单调递减，
故的极小值为，解得．
综上，．
故选：．
6.
【解析】先排名男生，有种排法，借助插空法，共有个空位，故名女生有种排法，
共有种排法．
故选：．
7.
【解析】解：，
，
，
，
故选：．
8.
【解析】构造函数
因为，即，所以函数在上单调递减．
可变形为，即，即．
故选：
9.
【解析】因为，所以，所以，
，故 A正确，B错误；
由对称性可知，所以，
由对称性可知，，而，
所以，故 C错误，D正确；
故选：．
10.
【解析】由，得，
令，则或，
所以当或时，；
当时，．
所以在上递增，在上递减，在上递增，
所以当时，取得极大值，
当时，取得极小值．
因为，所以的最大值为．
，
又，
函数在点处的切线方程是，即．
故AD错误；BC正确；
故选：
11.
【解析】对于，取，代入可得，，故 A正确；
对于，由二项式的通项公式知，
展开式中系数最大值为和，即和，故 B错误；
对于，取，代入可得，
取，代入则得，，
两式相减可得，，即得，故 C正确；
对于，取，代入可得，，故 D正确．
故选：．
12.
【解析】对于：以点为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系

，
，则，所以 A错误；
对于：设平面的法向量为，，
，取，则，
同理可得平面的法向量为，
，则平面平面，故 B正确；
对于：，点到平面的距离为，故 C正确；
对于：该正方体的外接球的球心为，且外接球的半径为，
，点到平面的距离为，
则平面截得的截面圆的半径为，
所以该正方体的外接球被平面截得的截面圆的面积为，故 D正确；
故选：
13.
【解析】因，由可得，解得．
故答案为：．
14.
【解析】由题意，
从而双曲线的离心率为，
结合，解得满足题意．
故答案为：．
15.
【解析】依题意，事件“零件为第台车床加工”，事件“零件为次品”；
所以
．
故答案为：
16.
【解析】一方面，若，设为实数，由于对有，对有，故或，从而对任意实数，都有．
故，而我们还有
，
故函数存在零点，不满足条件；
另一方面，若，设，则．
故对有，对有，所以在上递减，在上递增．
从而对任意都有，即，此即．
对，在不等式中令，得；在不等式中令，得．
从而将和二者结合就有．
故由，知对任意都有
．
这表明对任意都有，故函数无零点，满足条件．
综上，的取值范围是．
故答案为：．
17.【小问详解】
因为点在直线，所以，即．
所以是等差数列，且首项为，公差为．
于是，．
【小问详解】
因为．
所以
【解析】根据等差数列定义求通项公式；
分组求和法求前项和．
18.【小问详解】
由题知，剔除城市，的数据后，广告费的平均值为：
销售额的平均值为：．
【小问详解】
依题意，．
．
所以．
即得：
当时，．
所以，估计当广告费为万元时，销售额为百万元．
【解析】由残差图可知城市，的 数据异常，故应剔除广告费中的和，剔除销售额中的和，利用平均数计算公式即得；
先计算出剔除两组数据后，和的值，代入和的计算公式，得到回归方程，即可估计出销售额．
19.【小问详解】

过点作，所以
在中，因为，则，所以
于是，，过点作交于点，连接，
因为，所以，因，则且，
于是，四边形是平行四边形
则平面平面，
所以平面
【小问详解】

法一：因为平面，所以
因为，所以平面，因平面，
所以平面平面
过点作交直线于，
因平面，平面平面，故平面．
过点作交直线于点，
因平面，平面，则，得矩形，则，
故，连接，因平面，平面，则，
因，故平面，平面，则，
所以为二面角的平面角．
易得，由，则，
即，故．
在中，则，所以，
即平面与平面夹角的余弦值为；
法二：
如图建系，
因为，．
所以
设平面的法向量，
所以，
不妨设，于是，，所以，
设平面的法向量，所以，
，不妨设，于是，
所以，于是，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
【解析】利用求出，过点作交于点，连接，证明即得；
法一：先证平面平面，过点作于，证平面，作交于点，连接，证明为二面角的平面角即可求得；法二：建系，写出相关点的坐标，求出两平面的法向量的坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得．
20.【小问详解】
解：填表如下：
性别 成绩 合计
等 等
女生
男生
合计
假设：体能测试成绩与性别无关．
．
假设不成立，认为体能测试成绩与性别有关．
【小问详解】
解：由题知且．
于是，的分布列为
所以的数学期望．
【解析】根据题意补充完整列联表，然后根据的公式计算出其观测值，并与附表中的数据进行对比即可作出判断；
这名学生中，而的可能取值为，，，然后结合超几何分布计算概率的方式逐一求出每个的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望．
21.【小问详解】

由题知，当点在原点上时，的最小，所以，所以，所以抛物线的方程为．
【小问详解】
设方程为
由联立得：于是，，
于是，
直线方程为．
由联立得：解得或．
于是，点，所以
所以四边形的面积
即，令，则，所以
于是，．
即
即解得或
于是，或
所以直线的方程为或
【解析】根据抛物线定义即可求解；
将两直线分别与抛物线方程联立成方程组，消元后，得到，，再结合四边形的面积为即可列等式求解．
22.【小问详解】
当时，
当时，，当时，．
所以的单调递减区间为；单调递增区间为
【小问详解】
因为对任意恒成立．设．
所以．
分类：当时，，知在单调递增，
所以，不成立．
当时，，知在单调递减，所以成立．
当时，令．
所以．
(ⅰ)若即时，，知在单调递减，所以，
所以，所以在单调递减，所以对任意时，成立．
(ⅱ)若即时，由可得，所以当时，，
于是，在单调递增，所以对任意时，，所以，
所以在单调递增，所以对任意时，恒成立．
综上所述：的取值范围是．
【解析】利用导数即可判断函数的 单调区间；
转化为恒成立问题，构造函数，求导，对分类讨论，研究正负判断的单调性，即可求解．
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